Построение графика квадратичной функции. Визуальный гид (2019). Построение лекальных кривых Как строят параболу в инженерной графике

Лекальные кривые – это такие кривые, которые могут быть вычерчены только с помощью лекала по предварительно построенным точкам. Лекальные кривые широко применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Это могут быть профили зубчатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел вращения плоскостью.

33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых

Пусть на рисунке 196, а заданы точки 1 , 2 , ..., 11 принадлежащие некоторой кривой. Предварительно эти точки от руки с помощью мягкого карандаша соединяют тонкой, по возможности более плавной кривой линией (рис. 196, б). Желательно, чтобы расстояние между точками лекальной кривой не превышало 15 мм. Если же две соседние точки кривой расположены далеко друг от друга и характер кривой не совсем ясен, то следует построить дополнительно еще одну или две точки.

Рис. 196
Затем приступают к предварительной обводке кривой с помощью лекала. Лекало надо подобрать такое, чтобы очертания некоторых его участков были похожи на отдельные участки данной кривой. Предварительный подбор лекала рекомендуется делать на длину всей кривой и черточками на нем помечать выбранные участки. Это особенно важно для обводки симметричных кривых, таких, как эллипс, парабола и др.

Подобранное лекало прикладывают к кривой так, чтобы лежащие подряд как минимум три или четыре точки кривой совпали с определенным участком лекала (например, точки 1–5 на рисунке 196, б). Далее подбирают следующий участок лекала таким образом, чтобы он охватывал также три или четыре точки кривой, включая хотя бы одну точку из предыдущего участка (например, точки 4–9 на рисунке 196, в). Благодаря такому перекрытию двух соседних участков достигается плавность кривой. После того, как будут подобраны участки лекала на протяжении всей кривой, приступают к окончательной обводке ее карандашом или тушью Обводку следует начинать с места наиболее крутого изгиба кривой. На каждом участке обводят среднюю часть его, включая половину участков перекрытия. Такая обводка обеспечивает наибольшую плавность кривой (рис. 196, г).

33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 197).

Рис. 197– Пересечение конуса плоскостью по эллипсу
Эллипс (рис. 198) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М ) до двух заданный точек F 1 и F 2 – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F 1 M + F 2 M = AB ). Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длина большой и малой осей. Точки F 1 и F 2 расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D ) на расстояние, равное половине большой оси эллипса
.

Рис. 198
Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 199). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 199 а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О . Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М ) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рис. 199, б).

Рис. 199
Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р , параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рис. 200).

Рис. 200– Пересечение конуса плоскостью по параболе
Парабола (рис. 201) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD 1 , называемой директрисой , и точки F – фокуса параболы . Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF .

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD 1 . Точна A , лежащая на середине отрезка OF , называется вершиной параболы . Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2  OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы . Чем больше параметр р , тем резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда M К ).

Рис. 201
Построение параболы по ее директрисе DD 1 и фокусу F (рис. 202, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы от точки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 и т. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R 1 = L 1 1 , радиусом R 2 = L 2 до пересечения с прямой, проведенной через точку 2 , и т. д. Полученный точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рис. 202, б). Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B . Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1 , 2 , 3 , 4 проводят лучи, а из точек I , II , III , IV прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рис. 202
Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рис. 203, б). Отрезки O A и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1 –1 , 2 –2 , 3 –3 и т. д. Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рис. 203– Построение параболы по двум ее точкам и касательным

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 204, а).

Гиперболой (рис. 204, б) называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

Рис. 204– Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)

Постоянные точки F 1 и F 2 называются фокусами , а расстояние между ними – фокусным расстоянием . Отрезки прямой (F 1 M и F 2 M ), соединяющие какую-нибудь точку (M ) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний точки от фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F 1 M - F 2 M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительную АВ и мнимую CD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O называются асимптотами .

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F 1 и F 2 приведено на рисунке 204, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F 1 и F 2 , определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F 1 F 2 строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось A B и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F 1 намечают произвольные точки 1 , 2 , 3 , . .., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F 1 , радиусом, равным b 5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рис. 205). В этом случае действительная и мнимая оси будут бисс ектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка А.

Рис. 205– Построение гиперболы с взаимно перпендикулярными асимптотами

Через точку A проводят прямые АK и AM , параллельные осям ох и oу . Из точки O перес ечения ос ей проводят прямые, перес екающие прямые AM и АK в точках 1 , 2 , 3 , 4 и 1" , 2" , 3" , 4" . Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III, IV и т. д. Полученные точки гиперболы соединяют с помощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4 , расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно.

Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рис. 206).

Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A 0 ). Через точку A 0 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности
D . Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A 1 = A 0 1 , 2 A 2 = В A 0 2 , 3A 3 = А 0 3 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

Рис. 206
Спираль Архимеда Спиралью Архимеда называется плоская кривая, которую описывает точка A , равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рис. 206). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения.

Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рис. 206). Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O 1 , O 2 , O 3 и т. д. и на них от точки О откладывают при помощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой.

Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2
OA и повторяют все предыдущие построения.

Рис. 207
Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущейс я по цилиндричес кой винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла.

Для построения синусоиды (рис. 208) через центр О окружности диаметра D проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O 1 A , равный длине окружности
D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рис. 208– Построение синусоиды
Кардиоида . Кардиоидой (рис. 209) называетс я замкнутая траектория точки окружнос ти, которая катится без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса.

Рис. 209– Построение кардиоиды

Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M 1. Так, секущая III 3МIII 1 пересекает окружность в точке 3 ; 3III и 3III 1 , равные диаметру M 1. Точки III и III 1 , принадлежат кардиоиде. По аналогии, с екущая IV4MIV 1 перес екает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV 1 , равные диаметру M1 , получают точки IV и IV 1 и т. д.

Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 209.

Циклоидальные кривые . Циклоиды – плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидой .

Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой .

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой . Окружность, на которой расположена точка, называется производящей . Линия, по которой катится окружность, называется направляющей .

Для построения циклоиды (рис. 210) проводят окружность заданного радиуса R ; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

Рис. 210– Построение циклоиды

Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , . .., 12"). Если точка A перемес титс я в положение A 12 , то отрезок AA 12 будет равен длине заданной окружнос ти, т. е.
. Проводят линию центров О – O 12 производящей окружнос ти, равную
, и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O 1 , O 2 , O 3 , ..., O 12 , являющиеся центрами производящей окружнос ти. Из этих точек проводят окружнос ти (или дуги окружнос тей) заданного радиуса R , которые касаются прямой АВ в точках 1, 2, 3, ..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A , то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A 5 циклоиды следует из центра O 5 провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5", или из точки 5" провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A 5 с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды.

Эпициклоида строится следующим образом . На рисунке 211 изображены производящая окружность радиус а R с центром O 0 , начальная точка A на ней и дуга направляющей окружнос ти радиус а R 1 , по которой катитс я окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ..., 12"), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1 , 2 , 3 , ... , 12) и получают длину дуги AA 12 . Эту длину можно определить с помощью угла
.

Далее из центра О радиусом, равным OO 0 , наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01 , 02 , 03 , ..., 012 , продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О ч. 21 ч. 22 ч. 23

Построение лекальных кривых осуществляют следующим образом:

Сначала определяют точки принадлежащие кривой а затем соединяют их с помощью лекала. К лекальным кривым относят так называемые конические сечения парабола, гипербола, эллипс, получаемые в результате сечения кругового конуса плоскостью, эвольвента, синусоида и другие

1. Построение эллипса.

2. Фокус эллипса

3. Построение параболы

6.Вычерчивание лекальных кривых.

Эллипс это коническое сечение которое относится к так называемым лекальным кривым. Эллипс, гипербола и парабола получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью, синусоида, эвольвента и другие кривые.

Рисунок 41. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу-(а) и эллипс-(б).

Для того чтобы построить лекальные кривые(парабола,эллипс,гипербола),определяют точки которые принадлежат кривой а затем все точки соединяются с помощью лекала. В случае когда рассекают поверхность кругового конуса плоскостью наклонной -Р,таким образом чтобы наклонная плоскость пересекла все образующие кругового конуса, то в самой плоскости сечения образуется эллипс.(Смотри рисунок 41, а).

Эллипс это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из ее точек-М до двух заданных точек F1 и F2,-является постоянной величиной. Эта постоянная величина равняется большой оси эллипса MF1 + MF2=AB.малая ось эллипса CD а также большая ось AB являются взаимно перпендикулярны и одна ось делит другую по полам.

Рисунок 42. Построение эллипса по осям


Таким образом оси делят кривую эллипса на четыре попарно симметричных равных частях. Если из концов малой оси CD, как из центров описать дугу окружности радиусом,равным половине большой оси эллипса R=OA=OB,то она пересечет ее в точках F1 и F2,которые называются фокусами.

На рисунке 42 приводится пример построения эллипса по его осям.На заданных осях AB и CD,как на диаметрах строим две концентрические окружности с центром в точке О. Делим на произвольное число частей большую окружность и соединяем полученные точки прямыми с центром О.

Из точек пересечения 1; 2; 3; 4; со вспомогательными окружностями проводим отрезки горизонтальных и вертикальных прямых до их взаимного пересечения в точках E,F,K,M, которые принадлежат эллипсу. Далее с помощью лекала соединяются построенные точки плавной кривой и получают в результате эллипс.

Построение лекальных кривых,парабола

Рисунок 43. Пересечение конуса плоскостью по параболе. Построение параболы по фокусу и директрисе.

Если рассечь наклонной плоскостью Р круговой конус,параллельной одной из его образующих,то в плоскости сечения образуется парабола.(смотри рисунок 43 а).Парабола это незамкнутая плоская кривая линия. Каждая точка параболы расположена от данной прямой -MN,и от фокуса -F на одинаковом расстоянии.

Прямая MN является направляющей и расположена перпендикулярно оси параболы.Между направляющей -MN и фокусом -F, прямо посередине расположена вершина параболы А. Для того чтобы построить параболу по фокусу и заданной направляющей,через точку фокуса-F , проведем ось параболы -Х, перпендикулярно направляющей -MN.

Разделим пополам отрезок-EF и получим вершину параболы-А.От вершины параболы на произвольном расстоянии проведем прямые перпендикулярно оси параболы. Из точки -F радиусом который равен расстоянию-L, от соответствующей прямой до направляющей, например СВ, делаем на это прямой засечки. В данном случае точки С и В.

Таким образом построив несколько пар симметричных точек,проведем с помощью лекала через них плавную кривую. На рисунке(43 в) приводится пример построения параболы касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делят на одинаковое число равных частей(например делят на восемь). После этого нумеруются полученные точки деления и соединяются прямыми 1-1; 2-2; 3-3 (смотри рисунок 43, в) и так далее. Эти прямые к параболической кривой являются касательными. В образованный прямыми контур далее вписывают плавную касательную кривую-параболу.

Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельно оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (смотри рисунок 45, а).

Рисунок 45. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б).

Гиперболой (рисунок 45,б) называют плоскую кривую у которой разность расстояний от каждой ее точки до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между ее вершинами a и b, например SF1-SF2=ab. У гиперболы две оси симметрии -действительная АВ и мнимая CD.

Две прямые KL и K1 L1, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами. Гиперболу можно построить по заданным вершинам a и b и фокусам F1 и F2. Вершины гиперболы определяем, вписывая прямоугольник в окружность построенном на фокусном расстоянии (отрезке F1 и F2), как на диаметре.

На действительной оси АВ справа от фокуса F2 намечаем произвольные 1, 2, 3, 4, … Из фокусов F1 и F2 проводим дуги окружностей сначала радиусом а-1, затем b-1 до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы. Далее выполним взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами а-2 и b-2(точка S) и так далее.

Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси CD.

Синусоидой называется проекция траектории точки,движущейся по цилиндрической винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно -вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно-поступательного (параллельно от цилиндра).

Рисунок 46. Построение синусоиды

Синусоида представляет собой плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла. для построения синусоиды (рисунок 46) через центр О окружности диаметра D проведем прямую ОХ и на ней отложим отрезок О1 А, равный длине окружности π D . Этот отрезок и окружность делим на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проведем взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединим с помощью лекала плавной кривой.

Вычерчивание лекальных кривых

Лекальные кривые строят по точкам. Соединяют эти точки с помощью лекал, предварительно от руки прорисовывая кривую по точкам. принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем:

Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим количеством точек очерчиваемой кривой. Далее проведем не всю дугу кривой, совпадащую с лекалом, а лишь среднюю часть ее. После этого подберем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведенной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и так далее. Таким образом обеспечивается плавный переход между отдельными дугами кривой.

РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

Эллипс представляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса.

Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рис. 37, а). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Рис. 37 Построения эллипса несколькими способами

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37,б) MN и KL . Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и нумеруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Рис. 38 Построение параболы по ее вершине и какой-либо точке

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА ], отмечают промежуточное положение точки А . Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О 1 , получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.

Рис. 39 Построение циклоиды

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2nR . Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Рис. 40 Построение синусоиды

Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рис. 41): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2nR , который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2nR/n , на второй - два и т. д.

Рис. 41 Построение эвольвенты

Полученные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.

Построение параболы является одной из известных математических операций. Довольно часто она применяется не только в научных целях, но и в чисто практических. Давайте узнаем, как совершить данную процедуру при помощи инструментария приложения Excel.

Парабола представляет собой график квадратичной функции следующего типа f(x)=ax^2+bx+c . Одним из примечательных его свойств является тот факт, что парабола имеет вид симметричной фигуры, состоящей из набора точек равноудаленных от директрисы. По большому счету построение параболы в среде Эксель мало чем отличается от построения любого другого графика в этой программе.

Создание таблицы

Прежде всего, перед тем, как приступить к построению параболы, следует построить таблицу, на основании которой она и будет создаваться. Для примера возьмем построение графика функции f(x)=2x^2+7 .

Построение графика

Как уже было сказано выше, теперь нам предстоит построить сам график.

Редактирование диаграммы

Теперь можно немного отредактировать полученный график.

Кроме того, можно совершать любые другие виды редактирования полученной параболы, включая изменение её названия и наименований осей. Данные приёмы редактирования не выходят за границы действий по работе в Эксель с диаграммами других видов.

Как видим, построение параболы в Эксель ничем принципиально не отличается от построения другого вида графика или диаграммы в этой же программе. Все действия производятся на основе заранее сформированной таблицы. Кроме того, нужно учесть, что для построения параболы более всего подходит точечный вид диаграммы.

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются "координатными осями", и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.

Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A - область определения, B - область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).

Пример
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf (где Gf это график данной функции).

Квадратичная функция

Стандартная форма: f(x) = ax 2 + bx + c

Вершинная форма: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b 2 - 4ac

Если a > 0 , то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола , вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0 , то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола , вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется "осью симметрии" .
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x , то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0) , потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0 .

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox , мы должны решить уравнение f(x)=0 . Мы получаем уравнение a 2 + bx + c = 0 .

Решение уравнения зависит от знака Δ = b 2 - 4ac .

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0 ,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox . Форма графика будет:

2) Δ = 0 ,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

3) Δ > 0 ,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x 1 и Ox . Форма графика будет:

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y) , потому что расстояние от Oy равно 0 . Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)) .

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x .

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox, решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x 1 и x 2 в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x , но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3

$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 и x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ < 0
У этого уравнения нет решений. Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5
f: }