फ़ंक्शन व्युत्पन्न। डमी के लिए व्युत्पन्न को हल करना: परिभाषा, कैसे खोजना है, समाधान के उदाहरण दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाना f कहलाता है

एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हर स्नातक इस सवाल का जवाब नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात। यौगिक, - विभिन्न। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?

हम वास्तव में जो देख रहे हैं वह यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजा जाए।

किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। उस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लें। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक उपयोगी मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस खंड में ग्राफ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।

पता लगाते हैं । हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न पैर के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के कार्य अक्सर गणित में परीक्षा में अंक के तहत मिलते हैं।

एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिलता है

आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।

एक बिंदु पर, समारोह बढ़ रहा है। बिंदु पर खींची गई ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाती है। चूँकि अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इसलिए बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर होता है, लेकिन इसका चिन्ह "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रुचिकर लगता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, अवकलज भी शून्य होता है और चिह्न को ऋण से धन में बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। परीक्षा की समस्याओं को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :

एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालाँकि, बिंदु से पहले फ़ंक्शन बढ़ता है - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है।

लेकिन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन एक ग्राफ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया है? इस मामले में, यह लागू होता है

किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव।गणितीय विश्लेषण के दौरान कई समस्याओं में व्युत्पन्न पाया जाना है। उदाहरण के लिए, जब किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ढूंढते हैं।

कैसे ढूंढें?

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका को जानना होगा और भेदभाव के बुनियादी नियमों को लागू करना होगा:

1. व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकालना: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. योग/फलनों के अंतर का व्युत्पन्न: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. भिन्न व्युत्पन्न: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. यौगिक फलन व्युत्पन्न: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

समाधान उदाहरण

किसी बिंदु के किसी पड़ोस में एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें। एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सीमा कहा जाता है, यदि यह मौजूद है,

एक बिंदु पर एक समारोह के व्युत्पन्न के लिए पारंपरिक संकेतन

व्युत्पन्न तालिका

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

secant . पर विचार करें अबफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)ऐसा है कि अंक लेकिनऔर मेंनिर्देशांक हैं और , तर्क की वृद्धि कहाँ है। फ़ंक्शन की वृद्धि से निरूपित करें। आइए ड्राइंग पर सब कुछ चिह्नित करें:

एक समकोण त्रिभुज से एबीसीअपने पास । चूंकि, परिभाषा के अनुसार, स्पर्शरेखा एक छेदक की सीमित स्थिति है, तो .

एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा को याद करें: एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क की वृद्धि के लिए कहा जाता है , निरूपित .

फलस्वरूप, , स्पर्शरेखा का ढाल कहाँ है।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अस्तित्व वाई = एफ (एक्स)एक बिंदु पर फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के अस्तित्व के बराबर है वाई = एफ (एक्स)संपर्क के बिंदु पर, और स्पर्शरेखा का ढलान बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है, अर्थात ।

हम निष्कर्ष निकालते हैं: एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थइस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के अस्तित्व में शामिल हैं।

20 किसी बिंदु पर किसी फलन की अवकलनीयता। भिन्नता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त।

किसी दिए गए बिंदु पर अलग-अलग फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क के एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो कि छोटेपन के उच्च क्रम के मूल्यों तक बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए बिंदु के पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस के लिए, फ़ंक्शन को एक रेखीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को अपरिवर्तित माना जा सकता है)। किसी फलन की वृद्धि के रैखिक भाग को उसका अवकलन (किसी दिए गए बिंदु पर) कहा जाता है।

अवकलनीयता के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है, वह है फलन की निरंतरता। एक वास्तविक चर के एक फलन के मामले में, भिन्नता एक व्युत्पन्न के अस्तित्व के बराबर है। कई वास्तविक चरों के एक फलन के मामले में, भिन्नता के लिए एक आवश्यक (लेकिन पर्याप्त नहीं) शर्त सभी चरों के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का अस्तित्व है। एक बिंदु पर भिन्न होने के लिए कई चर के एक समारोह के लिए, यह पर्याप्त है कि आंशिक डेरिवेटिव विचाराधीन बिंदु के कुछ पड़ोस में मौजूद हैं और दिए गए बिंदु पर निरंतर रहें।

21 किसी बिंदु पर किसी फलन की अवकलनीयता। एक अवकलनीय फलन की निरंतरता पर प्रमेय।

प्रमेय।

यदि किसी दिए गए बिंदु पर कोई फलन अवकलनीय है, तो वह फलन उस बिंदु पर सतत होता है।

प्रमाण।

समारोह y=f(x)y=f(x) बिंदु x0x0 पर अलग-अलग होने दें, फिर इस फ़ंक्शन की वृद्धि है Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) x.

जब फ़ंक्शन xΔx के तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, तो फ़ंक्शन yΔy की वृद्धि भी शून्य हो जाती है, और इसका मतलब फ़ंक्शन की निरंतरता है।

अर्थात्, अंत में, हमने पाया कि फलन y=f(x)y=f(x), जो बिंदु x0x0 पर अवकलनीय है, इस बिंदु पर एक सतत फलन भी है। क्यू.ई.डी.

इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है ताकि फ़ंक्शन भिन्न हो सके।

उदाहरण।

फलन y=|x|y=|x| बिंदु पर x0x0 एक सतत फलन है, लेकिन इस बिंदु पर फलन अवकलनीय नहीं है।

दरअसल, फ़ंक्शन की वृद्धि इसके बराबर है:

y=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|।

ऐसा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

yΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

सीमा limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन y=|x|y=|x|, जो बिंदु x0x0 पर निरंतर है, इस बिंदु पर भिन्न नहीं है।

22 फ़ंक्शन अंतर। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन अंतर एक्सफ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य, रैखिक भाग कहा जाता है।

समारोह अंतर वाई = एफ(एक्स) इसके व्युत्पन्न के उत्पाद और स्वतंत्र चर की वृद्धि के बराबर है एक्स(तर्क)।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

अंतर का ज्यामितीय अर्थ।समारोह अंतर वाई = एफ(एक्स) बिंदु M पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा S की कोटि की वृद्धि के बराबर है ( एक्स; आप), जब यह बदलता है एक्स(तर्क) मूल्य से (आंकड़ा देखें) ..

23 योग और उत्पाद की भिन्नता का नियम।

दूसरे विभेदन नियम को सिद्ध करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा और एक सतत फलन की सीमा के गुण का उपयोग करते हैं।

इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि योग (अंतर) का व्युत्पन्न एनकार्य योग के बराबर है (अंतर) एनडेरिवेटिव

आइए हम दो फलनों के गुणनफल के विभेदीकरण के नियम को सिद्ध करें।

आइए हम तर्क की वृद्धि के लिए कार्यों के उत्पाद की वृद्धि के अनुपात की सीमा को लिखें। हम इसे ध्यान में रखेंगे और (जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है तो फ़ंक्शन की वृद्धि शून्य हो जाती है)।

क्यू.ई.डी.

24 प्रपत्र 1 के अंतर का अपरिवर्तन।

पहले अंतर के रूप का व्युत्क्रम

अगर एक्सएक स्वतंत्र चर है, तो डीएक्स = एक्स - एक्स 0 (निश्चित वेतन वृद्धि)। इस मामले में हमारे पास है

डीएफ(एक्स 0) = एफ"(एक्स 0)डीएक्स. (3)

अगर एक्स = φ (टी) एक अवकलनीय फलन है, तो डीएक्स = φ" (टी 0)डीटी. फलस्वरूप,

यानी, तर्क के परिवर्तन के तहत पहले अंतर में अपरिवर्तनीयता की संपत्ति होती है।

25 रोले का प्रमेय।

रोले का प्रमेय (शून्य व्युत्पन्न प्रमेय) बताता है

प्रमाण

यदि अंतराल पर फलन स्थिर है, तो कथन स्पष्ट है, क्योंकि फलन का अवकलज अंतराल के किसी भी बिंदु पर शून्य के बराबर होता है।

यदि नहीं, क्योंकि खंड के सीमा बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान समान हैं, तो वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, यह अंतराल के किसी बिंदु पर अपना सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान लेता है, अर्थात इसका एक स्थानीय चरम है इस बिंदु पर, और फर्मेट के लेम्मा के अनुसार, इस बिंदु पर व्युत्पन्न 0 के बराबर है।

ज्यामितीय अर्थ

प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक चिकने वक्र के दोनों सिरों की कोटि बराबर हो, तो वक्र पर एक बिंदु होता है जिस पर वक्र की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है।

26 लैग्रेंज की प्रमेय और उसके उपफल।

परिमित वेतन वृद्धि फॉर्मूलाया लैग्रेंज माध्य मान प्रमेययह दावा करता है कि यदि कोई फलन अंतराल पर निरंतर है और अंतराल पर अवकलनीय है, तो एक बिंदु ऐसा होता है कि

.

ज्यामितीयइसे निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: खंड पर एक बिंदु है जिस पर स्पर्शरेखा खंड के सिरों के अनुरूप ग्राफ के बिंदुओं से गुजरने वाली जीवा के समानांतर होती है।

यांत्रिक व्याख्या: मान लीजिए - प्रारंभिक स्थिति से इस समय बिंदु की दूरी। फिर पल-पल की दूरी तय की जाती है, अनुपात इस अंतराल पर औसत गति है। इसका अर्थ यह हुआ कि यदि शरीर की गति किसी भी समय निर्धारित की जाए तो किसी क्षण यह इस खंड में अपने औसत मान के बराबर होगी।

प्रमाण

एकल चर फ़ंक्शन के लिए:

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। यह रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है: खंड के सिरों पर, इसके मान शून्य के बराबर होते हैं। उल्लिखित प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि एक बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

क्यू.ई.डी.

परिणाम और सामान्यीकरण

लैग्रेंज की परिमित वृद्धि प्रमेय, विभेदक कलन की संपूर्ण प्रणाली में सबसे महत्वपूर्ण, प्रमुख प्रमेयों में से एक है। कम्प्यूटेशनल गणित में इसके बहुत सारे अनुप्रयोग हैं, और गणितीय विश्लेषण के मुख्य प्रमेय भी इसके परिणाम हैं।

परिणाम 1.शून्य के बराबर अवकलज वाले अंतराल पर अवकलनीय फलन एक स्थिरांक होता है।

प्रमाण।किसी के लिए और वहाँ एक बिंदु मौजूद है जैसे कि .

इसलिए, सभी के लिए और समानता सत्य है।

कोरोलरी 2 (लैग्रेंज रूप में शेष पद के साथ टेलर का सूत्र)।यदि फ़ंक्शन बिंदु के पड़ोस में अलग-अलग समय है, तो छोटे के लिए (यानी, जिनके लिए खंड निर्दिष्ट पड़ोस में स्थित है) टेलर सूत्र मान्य है:

अंतराल से कुछ संख्या कहाँ है।

परिणाम 3.यदि बिंदु O के पड़ोस में चर का कार्य दो बार अवकलनीय है और इसके सभी दूसरे मिश्रित व्युत्पन्न बिंदु O पर निरंतर हैं, तो इस बिंदु पर समानता सत्य है:

के लिए सबूत।आइए हम अंतर ऑपरेटरों के मूल्यों को ठीक करें और विचार करें

लैग्रेंज के प्रमेय के अनुसार, संख्याएँ होती हैं , ऐसा है कि

पर फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव की निरंतरता के कारण।

इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि .

लेकिन चूंकि , (जिसे सीधे चेक किया जाता है), ये सीमाएँ मेल खाती हैं।

कोरोलरी 4 (न्यूटन-लीबनिज फॉर्मूला)।यदि कोई फलन किसी खंड पर अवकलनीय है और उसका अवकलज इस खंड पर रीमैन समाकलनीय है, तो निम्न सूत्र मान्य है: .

प्रमाण।आज्ञा देना खंड का एक मनमाना विभाजन हो. लैग्रेंज प्रमेय को लागू करने पर, प्रत्येक खंड पर हम एक ऐसा बिंदु पाते हैं जो .

इन समानताओं का योग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर इंटीग्रल और दिए गए चिह्नित विभाजन के लिए रीमैन इंटीग्रल योग है। विभाजन के व्यास की सीमा को पार करते हुए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र प्राप्त करते हैं।

परिणाम 5 (परिमित वेतन वृद्धि के अनुमान पर प्रमेय)।अंतरिक्ष के उत्तल कॉम्पैक्ट डोमेन में मानचित्र को लगातार भिन्न होने दें। फिर ।

27 काशी की प्रमेय।

कॉची माध्य मान प्रमेय.

चलो दो कार्य करते हैं और इस तरह दिए जाते हैं कि: 1. और खंड पर परिभाषित और निरंतर हैं; 2. व्युत्पन्न और अंतराल पर परिमित हैं; 3. व्युत्पन्न और अंतराल 4 पर एक साथ गायब नहीं होते हैं। तब वहाँ मौजूद है जिसके लिए सत्य है: . (यदि हम शर्त 4 को हटा दें, तो यह आवश्यक है, उदाहरण के लिए, स्थिति 3 को मजबूत करने के लिए: g "(x) अंतराल में कहीं भी गायब नहीं होना चाहिए।)

ज्यामितीय रूप से, इसे निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है: यदि और विमान पर गति का नियम सेट किया गया है (अर्थात, एब्सिस्सा और कोर्डिनेट पैरामीटर के माध्यम से निर्धारित किया जाता है), तो इस तरह के वक्र के किसी भी खंड पर, मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट और, विस्थापन सदिश से को तक एक स्पर्शरेखा सदिश संरेख होता है।

जीवन में हमेशा नहीं हम किसी भी मात्रा के सटीक मूल्यों में रुचि रखते हैं। कभी-कभी इस मान में परिवर्तन जानना दिलचस्प होता है, उदाहरण के लिए, बस की औसत गति, समय अंतराल के लिए गति की मात्रा का अनुपात आदि। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के मान की तुलना अन्य बिंदुओं पर समान फ़ंक्शन के मानों से करने के लिए, "फ़ंक्शन वृद्धि" और "तर्क वृद्धि" जैसी अवधारणाओं का उपयोग करना सुविधाजनक है।

"फ़ंक्शन वृद्धि" और "तर्क वृद्धि" की अवधारणाएं

मान लीजिए x कोई मनमाना बिंदु है जो बिंदु x0 के किसी पड़ोस में स्थित है। बिंदु x0 पर तर्क की वृद्धि अंतर x-x0 है। वृद्धि को निम्नानुसार दर्शाया गया है: ∆x।

• x=x-x0.

कभी-कभी इस मान को बिंदु x0 पर स्वतंत्र चर की वृद्धि भी कहा जाता है। यह सूत्र का अनुसरण करता है: x = x0 + x। ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि स्वतंत्र चर x0 के प्रारंभिक मान में x की वृद्धि हुई है।

यदि हम तर्क बदलते हैं, तो फ़ंक्शन का मान भी बदल जाएगा।

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0)।

फ़ंक्शन f की वृद्धि बिंदु x0 पर,संगत वेतन वृद्धि ∆x अंतर f(x0 + ∆x) - f(x0) है। किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को ∆f के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार, हम परिभाषा के अनुसार प्राप्त करते हैं:

• f= f(x0 + x) - f(x0)।

कभी-कभी, f को आश्रित चर का इंक्रीमेंट भी कहा जाता है और y का उपयोग इसे निरूपित करने के लिए किया जाता है यदि फ़ंक्शन था, उदाहरण के लिए, y=f(x)।

वृद्धि की ज्यामितीय भावना

आगे की तस्वीर देखिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वेतन वृद्धि बिंदु के कोटि और भुज में परिवर्तन को दर्शाती है। और तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात बिंदु के प्रारंभिक और अंतिम पदों से गुजरने वाले सेकेंड के झुकाव के कोण को निर्धारित करता है।

फ़ंक्शन और तर्क वृद्धि के उदाहरणों पर विचार करें

उदाहरण 1यदि f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1 पर तर्क ∆x की वृद्धि और फ़ंक्शन ∆f की वृद्धि का पता लगाएं।

आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करें:

ए) =х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

बी) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41।

उदाहरण 2फ़ंक्शन f(x) = 1/x के लिए बिंदु x0 पर वृद्धि ∆f की गणना करें यदि तर्क की वृद्धि ∆x के बराबर है।

फिर से, हम ऊपर प्राप्त सूत्रों का उपयोग करते हैं।

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x))।

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए घातांकीय फलन \(y = (e^x)\) के अवकलज के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

प्रारंभिक चरण मानक हैं: सबसे पहले, तर्क की वृद्धि के अनुरूप फ़ंक्शन \(\Delta y\) की वृद्धि लिखें \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta) x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] व्युत्पन्न की गणना वेतन वृद्धि की सीमा के रूप में की जाती है अनुपात: \[ (y"\बाएं(x \दाएं) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac(((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right))) ((\Delta x))) \] The अंश में फलन \(y = (e^x)\) . पर निर्भर नहीं करता है एक्सऔर इसे सीमा चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है। फिर व्युत्पन्न निम्नलिखित रूप लेता है: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ Limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] प्राप्त सीमा को \(L\) से निरूपित करें और इसकी गणना करें अलग से। संयोग से, \((e^0) = 1\) और, इसलिए, हम लिख सकते हैं \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((e^(\Delta x) )) - 1)) ((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] यानी यह सीमा शून्य पर घातांक फलन के व्युत्पन्न का मान है। नतीजतन, \ हमने एक संबंध प्राप्त किया है जिसमें वांछित व्युत्पन्न फ़ंक्शन \(y = (e^x)\) के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसके व्युत्पन्न बिंदु \(x = 0\) पर होता है। आइए हम साबित करें कि \ ऐसा करने के लिए, याद रखें कि संख्या \(e\) को एक अनंत सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है \ और संख्या \(e\) से घात \(\Delta x\) क्रमशः , के बराबर होना ^n).\] इसके बाद हम प्रसिद्ध सूत्र लागू करते हैं न्यूटन का द्विपद और सीमा साइन इन के तहत अभिव्यक्ति का विस्तार करें द्विपद श्रृंखला: \[(\बाएं((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\])। यूरोपीय और अमेरिकी पाठ्यपुस्तकों में, संयोजनों की संख्या को \ Let's वापस हमारी सीमा \(L\) के रूप में दर्शाया गया है, जिसे अब इस प्रकार लिखा जा सकता है: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \) से \infty ) \ बाएँ [ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))) (n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] हमारे लिए द्विपद श्रृंखला में पहले दो पदों को अलग करना सुविधाजनक है: \(k = 0\) और \(k = 1 के लिए) \). परिणाम \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n) है (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)) \right] - 1)) ((\Delta x))) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))))(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1)) ((\Delta x))) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)))) ((\Delta x))) = (\lim\limits_(\ डेल्टा x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\ बाएं ((\ frac ((\ Del .) टा x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to) 0) \बाएं((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \right))^(k - 1))))(( (n^k)))) ) \right)) \right]।) \] जाहिर है, श्रृंखला का योग \(\Delta x \to 0\) के रूप में शून्य हो जाता है। इसलिए, \(एल = 1\)। इसका मतलब यह है कि घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न \(y = (e^x)\) फ़ंक्शन के बराबर है: \