Основни понятия и дефиниции:
Нулата на аналитичната функция f(z) е точката “a”, за която f(a)=0.
Нулата от порядък “n” на функцията f(z) е точката “a”, ако е но fn(a)¹0.
Особена точка "a" се нарича изолирана особена точка на функцията f(z), ако съществува квартал на тази точка, където няма особени точки, различни от "a".
Изолираните единични точки са три вида: .
1 подвижни специални точки;
3 съществени единични точки.
Видът на сингулярната точка може да се определи въз основа на поведението на дадената функция в намерената особена точка, както и от формата на редицата на Лоран, получена за функцията в близост до намерената особена точка.
Определяне на вида на единична точка от поведението на функцията в нея.
1. Отстраняеми единични точки.
Изолирана особена точка a на функцията f(z) се нарича отстраняема, ако съществува краен лимит.
2. Поляци.
Изолирана особена точка a на функцията f(z) се нарича полюс if 
.
3. Значими единични точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича съществена сингулярна точка, ако не съществува нито крайна, нито безкрайна.
Следната връзка се осъществява между нулите и полюсите на функцията.
За да бъде точка a полюс от порядък n на функцията f(Z), е необходимо и достатъчно тази точка да бъде нула от порядък n за функцията .
Ако n=1 полюсът се нарича прост.
определение:Изолирана единична точка с еднозначен символ се нарича:
а) отстраняеми, ако основната част от разлагането липсва;
б) полюс, ако основната част съдържа краен брой членове;
в) по същество единична точка, ако основната част съдържа безкраен брой членове.
а) По този начин, в съседство на подвижна единична точка, разширението има формата:
той изразява функцията във всички точки на окръжността |z-a| В центъра z=a равенството е невярно, тъй като функцията при z=a има прекъсване, а дясната страна е непрекъсната. Ако стойността на функцията в центъра се промени, като се приеме, че е равна на стойността на дясната страна, тогава празнината ще бъде елиминирана - оттук и името - отстраняемо. б) В близост до полюс от порядък m, разширението в редицата на Лоран има вида: в) В близост до обикновен стълб Удръжки и формули за тяхното изчисляване. Остатъкът от аналитична функция f(z) в изолирана сингулярна точка z 0 е комплексно число, равно на стойността на интеграла Остатъкът на функцията f(z) в изолирана особена точка z 0 се обозначава със символа Res f(z 0) или Res (f(z); z 0). По този начин, Resf(z0)= Ако поставим n=-1 във формулата (22.15.1), тогава получаваме: C-1= или Res f(z 0)= C -1 , тези. остатъкът на функцията f(z) по отношение на сингулярната точка z 0 е равен на коефициента на първия член с отрицателен показател в разлагането на функцията f(z) в ред на Лоран. Изчисляване на удръжки. Редовни или подвижни единични точки. Очевидно, ако z=z 0 е регулярна или отстраняема единична точка на функцията f(z), то Res f(z 0)=0 (в тези случаи няма главна част в декомпозицията на Лоран, така че c-1= 0). полюс. Нека точката z 0 е прост полюс на функцията f(z). Тогава редът на Лоран за функцията f(z) в съседство на точка z 0 има вида: Оттук Следователно, преминавайки в това равенство до предела като z --z 0 , получаваме Res f(z0)= По същество специална точка. Ако точката z 0 е по същество сингулярна точка на функцията f(z), тогава за да се изчисли остатъкът на функцията в тази точка, обикновено се определя директно коефициентът c-1 в разширението на функцията в ред на Лоран. Класификация на събитията. Сума, произведение на събитията, техните свойства, графично представяне. Събитията са разделени на: 1. Случаен 2. Достоверен 3. Невъзможно Надежден - това е събитие, което задължително се случва при тези условия (нощта е последвана от сутрин). Случайно е събитие, което може или не може да се случи (полагане на изпит). Невъзможното е събитие, което няма да се случи при дадените условия (извадете зелен молив от кутията само с червени). Определение.Единствената точка на функцията се извиква изолиран,
ако в някаква околност на тази точка е аналитична функция (т.е. аналитична в пръстена). Класификацията на изолирани особени точки на функция е свързана с поведението на тази функция в околност на особена точка. Определение.Точката се нарича разполагаем
особена точка на функция, ако има краен лимит на тази функция в . Пример 5Покажете, че функцията има отстранима сингулярност в точка. Решение.Припомняйки първата забележителна граница, изчисляваме Това означава, че дадената функция има отстраняема сингулярност в точката. Задача 4.Покажете, че точката е отстраняема за . Определение.Точката се нарича полюс
функция , ако тази функция се увеличава неограничено за , т.е. Нека обърнем внимание на връзката между понятията нула и полюс на аналитичната функция. Нека представим функцията като . Ако точката е обикновена нула на функция, тогава функцията има прост полюс Ако точката е нулев порядък за функцията, тогава за функцията това е полюсът поръчка.
Пример 6Покажете, че функцията има полюс от трети порядък в точка. Решение.Ако приемем, получаваме. Тъй като сме склонни към нула, според всеки закон имаме . Тогава , а с него и самата функция се увеличава за неопределено време. Следователно, , тоест особената точка е полюс. За функция тази точка очевидно е тройна нула. Следователно за тази функция точката е полюс от трети порядък. Задача 5.Покажете, че точката има прост полюс. Определение.Точката се нарича по същество специален
точка на функцията, ако в тази точка няма нито краен, нито безкраен предел на функцията (поведението на функцията не е дефинирано). Позволявам е съществена особена точка на функцията . Тогава за всяко предварително зададено комплексно число има такава последователност от точки, сближаващи се към , по която стойностите клонят към: ( теорема на Сохочки).
Пример 7Покажете, че функция в точка има съществена сингулярност. Решение.Разгледайте поведението на дадена функция в близост до точката. Защото по протежение на положителната част на реалната ос (т.е.) имаме и ; ако по протежение на отрицателната част на реалната ос (т.е.), тогава и . Така че няма ограничение за. По дефиниция функцията има съществена сингулярност в дадена точка. Нека разгледаме поведението на функцията при нула от гледна точка на теоремата на Сохочки. Нека е всяко комплексно число, различно от нула и безкрайност. От равенството намираме . Ако приемем , получаваме последователност от точки , . Очевидно,. Във всяка точка от тази последователност функцията е равна на , и следователно Задача 6.Покажете, че функцията има съществена сингулярност в дадена точка. Точка в безкрайност винаги се счита за специална за функцията. Точката се нарича изолирана особена точка на функция, ако тази функция няма други особени точки извън някакъв кръг с център в началото. Класификацията на изолирани особени точки също може да бъде разширена до случая. Пример 8Покажете, че функцията има двоен полюс в безкрайност. Решение.Помислете за функцията , където е аналитична функция в съседство на точката , и . Това означава, че функцията има двойна нула в безкрайност, но тогава за функцията точката е двоен полюс. Пример 9Покажете, че функцията има съществена сингулярност в безкрайността. Решение.Подобен проблем е разгледан в пр.7. Разгледайте поведението на функция в околността на безкрайно далечна точка. За по положителната част на реалната ос и за по протежение на отрицателната част на реалната ос. Това означава, че няма ограничение на функцията в дадена точка и по силата на дефиницията тази точка е по същество единична. От естеството на сингулярността на функция в дадена точка може да се съди Главна част
Разширяване на Лоран в квартал на тази точка. Теорема 1.За да бъде точката разполагаем
особена точка на функцията , е необходимо и достатъчно, че съответното разширение на Лоран не съдържаше основната част.
Задача 6.Използвайки разширението на Тейлър на функцията в съседство на точката, покажете, че тя има отстраняема сингулярност на нула. Теорема 2.За да бъде точката полюс
функции , е необходимо и достатъчно, така че Главна част
съответното разширение на Лоран съдържаше краен брой членове
: Номерът на най-високия отрицателен член определя реда на полюса. В този случай функцията може да бъде представена като където е функцията аналитична в точката, , е редът на полюса. Пример 10Покажете, че функцията има прости полюси в точки. Решение.Нека разгледаме една точка. Използваме разширението на Лоран на тази функция в близост до тази точка, получено в пример 2: Тъй като най-високата (и единствена) отрицателна мощност в основната част на това разширение е равна на единица, точката е прост полюс на тази функция. Този резултат можеше да се получи и по друг начин. Нека представим във формата и поставим - това е функция, която е аналитична в точката и . Следователно, поради (8) тази функция има прост полюс в точката. Друг начин: разгледайте функция, която има проста нула в точката. Следователно в този момент той има обикновен полюс. По същия начин, ако напишем функцията във формата , където е функция, аналитична в точката и , тогава веднага става ясно, че точката е прост полюс на функцията . Задача 7.Покажете, че функцията има полюс от 2-ри ред в точката и полюс от 4-ти ред в точката. Теорема 3.За да бъде точката по същество специален
точка на функцията е необходимо и достатъчно, че Главна част
Разширяване на Лоран в квартал на точката съдържаше безкраен брой членове
. Пример 11.Определете естеството на сингулярността в точката на функцията Решение.В добре познатото разширение на косинуса поставяме вместо: Следователно, разширението на Лоран в съседство на точка има формата Тук правилната част е един термин. И основната част съдържа безкраен брой термини, така че точката е по същество единична. Задача 8.Покажете, че в дадена точка функцията има съществена сингулярност. Помислете за някаква функция и запишете нейното разширение на Лоран в точката: Нека направим замяна, докато точката отива към точката. Сега, в съседство на точка в безкрайност, имаме Остава да се въведе ново наименование. Получаваме където е основната част и е редовната част от разширението на Лоран на функцията в околността на безкрайно далечна точка. По този начин, в разширението на Лоран на функция в съседство на точка, главната част е серия с положителни степени, докато правилната част е ред с отрицателни степени. Като се има предвид това Въпреки това, горните критерии за определяне на естеството на сингулярността остават валидни за безкрайно далечна точка. Пример 12.Открийте естеството на сингулярността на функцията в точката. , то в даден момент може да се окаже неизолиран. Пример 15Функцията в безкрайно далечна точка има съществена сингулярност. Покажете, че точката за функцията не е изолирана особена точка. Решение.Функцията има безкраен брой полюси в нулите на знаменателя, тоест в точките , . Тъй като , Тогава точката , във всяка околност на която има полюси , е граничната точка за полюсите. Нека бъде zq - сингулярна точка на функцията f(z), т.с. f(z)но е аналитичен в този момент (в частност, може да не е дефиниран в него). Ако има такъв пробит квартал на точката zq (т.е. множеството O z - тогава zq f(z) е псевдоним зоНаречен изолирана единична точкафункции f(z).Това определение е запазено и в случая zn =оо, ако йодът е пробит квартал на точка zq = oo разбират множеството z >аз -
появата на някакъв кръг с център в началото. С други думи, единствената точка zq се казва, че е изолиран, ако съществува квартал на тази точка, в който има други особени точки, различни от zq Навсякъде по-долу разглеждаме само единични точки от еднозначен символ (функцията f(z)се приема за уникален). В зависимост от поведението на функцията f(z)в z -> zqИма три вида единични точки. Изолирана единична точка zq функции f(z)Наречен: 1) подвижна единична точкаако има краен предел 2) полюсако има ограничение 3) съществен момент,ако f(z) няма нито краен, нито безкраен лимит за z-> zq. ПРИМЕР 26.1. Нека покажем, че и трите типа особени точки са реализирани. Обмисли е(z)= точка zq = 0 е изолиран единична точка на тази функция. Използвайки формула (22.12), получаваме разширението от което следва, че съществува lim fi(z)= 1. Следователно zq = 0 е е подвижна особена точка на функцията fi(z). Функция f'j(z) =--- има стълб в точка зо= 1, защото 2
r" Х Помислете сега за функцията )z(z)= e 1 ^ r и покажете, че zo = O е съществена единична точка на тази функция. При стремеж zдо нула по реалната ос, лявата и дясната граница на функцията f (z)различни: lim от 1 / 1
=
0,лим с 1 /* =операционна система. Това предполага, x->0-0 x->0+0 Какво f:i(z)няма нито краен, нито безкраен лимит за 2 ->
О, т.е. zq = 0 е по същество сингулярна точка на тази функция. (Обърнете внимание, че докато точката клони z-iyдо нула на функцията на въображаемата ос изобщо няма ограничение.) Разбира се, има и неизолирани единични точки. Например. функцията има полюси в точки z n = -, П= ±1, ±2,... следователно, Zq = 0 е неизолирана особена точка на тази функция: във всяка (произволно малка) околност на тази точка има други особени точки личен лекар.
Нека бъде зо-крайна изолирана особена точка на функция f(z).Тогава f(z)е подобно в някаква пробита махала 0 Zo на точката зотази околност може да се разглежда като пръстен с вътрешен радиус r = 0. По теорема 25.1 в разглежданата окръжност функцията f(z)може да се разшири в серия на Лоран (25.2). Ще покажем, че поведението на функцията за 2 -> zq (т.е. типът на особената точка зо)зависи от формата на основната част на разлагането (25.2); това обстоятелство обяснява произхода на термина “основна част”. ТЕОРЕМА 2G.2. Изолирана особена точка zo на функция f(z) е отстранима, ако и само ако разширението на Лорап в пробита околност на тази точка има oid тези. се състои само от правилната част, и всички коефициенти на основната част са равни на куршума. Доказателство. 1. Нека зое подвижна единична точка. Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има вида (26.1). Тъй като единствената точка зоотстраним, тогава има краен лимит lim f(z) = A.следователно, f(z)ограничена в някаква пробита околия 0 z - zq на точката зо,тези. )(z) за всички zот този квартал. Вземете всякакви Р. U р /?| и използвайте формулите (25.3) за коефициентите от реда на Лоран: За коефициентите на основната част от разширението n =- 1,-2,... За такива стойности Пние имаме p~n-e 0 в Р-> 0. Тъй като стойността Ртогава може да бъде избран произволно малък г-н~"може да бъде произволно малък. Тъй като |c t,| ^ Mr~nи cn не зависят от p, тогава cn = 0 за И= - 1, -2,..., което трябваше да се докаже. 2. Нека сега приемем, че разширението на Лоран има вида (26.1). Ред (26.1) е степенен ред и. следователно, се сближава не само в пробитите, но и в целия квартал z-zq включително точката zo;нейното количество S(z)е аналитичен за z и S(z) = )(z)при 0 z - зоР.Следователно има краен лимит lim )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Следователно, сингулярната точка zq Z->Zo Z-*Zo разполагаем. Теоремата е доказана. Коментирайте. От доказателството на теоремата следва, че в пробита окръжност 0 z - zo на подвижна особена точка, функцията f(z)съвпада с функцията S(r), която е аналитична в цялата околност z - зо . Следователно, ако поставим /(th) = S(zq), след това, без да променя стойностите на функцията f(z)във всяка точка от пробитата околия правим тази функция аналитична по r, т.е. „премахнете“ функцията. Това обяснява термина „отстраняема сингулярност“. Естествено е такива точки да се разглеждат като правилни, а не като единични точки на функцията f(z).
Помислете например за функцията В пример 26.1 беше показано, че Pm (n) = 1. т.е. единична точка zq = 0 може да се премахне. Поставяйки /i(0) = 1, по този начин елиминираме сингулярността и получаваме функция, която е аналитична в точката zq = 0 (и в цялата равнина C). Нека сега да характеризираме полюсите в термините на разширенията на Лоран. Теорема 26.3. Изолирана особена точка Zo на функция f(z) е полюс тогава и само ако, когато главната част от разширението на Лоран с център Zq има само краен брой различни от нулеви коефициенти с n: Доказателство. 1. Нека zq - полюс, т.е. lim /( z) = оо. Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има формата (2G.2). Тъй като лим f(z)= оо. тогава има пробит околност на точката ки zq при което f(z)е аналитичен и няма нули. След това функцията g(z) = 1 /f(z)също ще бъде аналитичен в този пробит квартал, а lim g(z)= 0. Следователно, Zoе за еднократна употреба *-? *0 единична точка на функцията g(z).Нека предефинираме g(z)в точката зо, поставяне g(zo)=
0. Тогава g(z)става аналитичен в цялата околност на (непробитата) точка z 0 ,и z0ще бъде нейната изолирана нула. Означете с нкратност (порядък) на тази нула. Както беше показано в §23, в съседство на точката zq функция g(z)представимо във формата (виж (23.2)) и (z$) е 0 и y>(z)е аналитичен в някои околности на точката зо-Защото ip(z)непрекъснато в точка зоИ g>(zo) F 0" тогава ip(z)също няма нули в някой квартал на тази точка. Следователно функция 1 /-p(z)също ще бъде аналитичен в този квартал и следователно се разширява в него в серия на Тейлър: Отваряйки скобите и променяйки обозначенията на коефициентите, записваме последното разширение във формата където c_jv = 1>о е 0. По този начин основната част от разширението на Лоран на f(r) съдържа само краен брой членове; стигнахме до изискваното равенство (26.2). 2. Нека в пробита околност на точка тифункция )(z)е представено от разширението на Лоран (26.2) (в по-разширена форма, виж (26.3)), чиято основна част съдържа само краен брой термини, и от-д" е 0. Трябва да докажем това Zq - функционален полюс f(z).Умножаване на равенството (26.3) по (Г - г o) iV , получаваме функцията Редът в (26.4) е степенен ред, сближаващ се към аналитична функция не само в пробитата, но и в цялата околност на точката Zq. Следователно, функцията h(z)става аналитичен в този квартал, ако го разширим в th чрез задаване h(zo)= s_dg е 0. Тогава Така точката o е полюс и теорема 26.3 е доказана. Кратност (порядък) на нулевата функция g(z)= 1//(r) се извиква полюсен редфункция /(r). Ако Н-тогава редът на полюса е th g(z)= (r - Zo)N ip(z),и (върви) Ф 0 и, както е показано в първата част на доказателството на теорема 26.3, разширението на f(r) има формата (26.3), където c_/v е 0. Обратно, ако f(r) се разширява в редицата (26.3) и e-z F 0, тогава т.с. Н-реда на полюса на функцията f(r). По този начин, реда на полюса zq на функцията/(G) е равно на броя на водещия ненулев коефициент на основната част от разширението на Лоран в пробитата окръжност на точката zq(т.е. равно на такова число Н,какво s_dg е 0 и sp= 0 при П > Н). Нека докажем следното твърдение, което е удобно) за приложения. Следствие 26.4. Точката zq е полюс от порядък N на художествената литература/(G) ако и само ако/(G) представляват във формата където h(z) е аналитична функция в околност на точкати и h(zo) f 0. Доказателство. Функция cp(z) = l/h(z)е аналитичен в някаква околност на точка r. Условието на следствие 26.4 е еквивалентно на следното: Ето защо zq -
кратност нула нфункции g(z).и оттук полюсът за множественост нфункции /(2). II пример 26.5. Намерете изолирани особени точки на функция D e u c tio n. Точките, в които (з 2
+ 1 )(z+ H) 2 = 0. Ако z 2
L- 1 = 0 след това 2 = ±rако (з 4- H) 2 = 0, тогава z= -3. Следователно функцията има три особени точки z= r, 22 = -r, З3
=
- 3. Помислете z: G -полюс от първи ред (използвахме следствие 26.4). По подобен начин може да се докаже, че 22 = -iсъщо полюс от първи порядък. За 2 часа имаме: Нека преминем към разглеждането на по същество единични точки. Теорема 26.6. Изолирана особена точка zq на функция f(z) е по същество сингулярна, ако и само ако основната част от разширението на Лоран с център в zq има безкрайно много различни от. нула, коефициенти с п. Доказателство. Теорема 26.6 следва директно от теореми 26.2 и 26.3. Наистина, ако точката zq е по същество единична, тогава основната част от разширението на Лоран не може да отсъства или да съдържа краен брой термини (в противен случай точката Zq ще бъде или сваляем, или стълб). Следователно броят на термините в основната част трябва да бъде безкраен. Обратно, ако основната част съдържа безкрайно много членове, тогава Zq не може да бъде нито подвижна точка, нито полюс. Следователно тази точка е по същество единична. Съгласно дефиницията, една по същество единична точка се характеризира с факта, че функцията f(2) няма нито краен, нито безкраен предел за z ->zq По-пълна представа за това колко неправилно е поведението на функция в съседство на по същество единична точка се дава от следната теорема. Теорема 26.7 (теорема на Сохочки). Ако zq е по същество сингулярен, тогава точката на функцията f(z), след това за всяко комплексно число L, включително A =оо, има последователност от точки z n, така че z n -> zo и lim f(zn) = НО. n->os Доказателство. Помислете първо за случая А =оо В първата част от доказателството на теорема 2G.2 установихме, че ако f(z)е ограничен в някаква пробита околност на точката r0, тогава всички коефициенти c, n = - 1, - 2,... от основната част са равни на нула (и следователно сингулярността в th е отстранима). Тъй като по предположение r0 е по същество сингулярна точка, функцията f(r) е неограничена във всяка пробита околност на точката r0. Да вземем някаква тясна окръжност 0 Z, така че f(zi) > 1 (ако |/(r)| z - zo R/2 има точка z-2
, където |/(dd)| > 2 и др.: в пробитата махала О 71.
Очевидно е, че rn -e go и lim /(r«) = oo. Така, в случай A = oo, теорема 26.7 доказано. Нека сега А еоо Да приемем първо, че има пробит квартал 0 = -уу----
ще бъде аналитичен в този пробит квартал и следователно, /(G) - НО следователно, r е изолирана особена точка на функцията Φ(r). Да покажем. че r0 е по същество сингулярна точка на Φ(r). Нека е грешно. Тогава съществува лимит lim Φ(r), краен или безкраен. Защото /(r) = A + , тогава съществува и Hsh /(r), което противоречи на условието F(g) ~ :-*z 0 поглед върху теоремата. Така r0 е по същество сингулярна точка на функцията Φ(r). Съгласно доказаното по-горе съществува поредица от точки r n такава, че r n o и lim Φ(r n) = oo. Оттук Доказахме изискваното твърдение при допускането, че f(r) Ф Ав някаква пробита околност на точката r. Нека сега приемем, че това не е вярно, т.е. във всяка произволно малка пробита околност на точката th има такава точка G",че f(r") = A. Тогава за всяко Пв пробитата околия 0 f(z u) = L. Следователно, изискваното твърдение е вярно П-юо във всички случаи и теорема 26.7 е доказана. Съгласно (Сохотски) теорема 26.7, във всяка (произволно малка) пробита околност на по същество сингулярна точка функцията f(r) приема стойности, произволно близки до произволно число в разширената комплексна равнина C. За изследване на изолирани особени точки често са полезни добре познатите разширения на Тейлър на основни елементарни функции. ПРИМЕР 2G.8. Определете вида на сингулярната точка zq = 0 за функцията Решено и д. Разширяваме числителя и знаменателя в ред на Тейлър по степени на r. Заместваме в (22.11) 3 zвместо r и изваждане на 1, получаваме Използвайки (22.12), получаваме разширението на знаменателя: Редовете в тези разширения се сближават в цялата комплексна равнина €. Ние имаме и /2(2) са аналогични в околност на точката zo = 0 (и дори в цялата равнина) и /2(20) Ф 0, тогава h(z)също е аналитична в някаква околност на точката gF 0. Съгласно следствие 26.4, точката Zo = 0 е полюсът на поръчката N = 4. II пример 26.9. Намиране на сингулярни точки на функция f(z)= sin j - и определете вида им. P e in e и e. Функцията има единствена крайна единствена точка zq = 1. В други точки от C функцията w =--- аналитични; оттук функцията грех wще бъде аналитичен. Замествайки в разширението на синуса (22.12) - вместо r, получаваме Получихме разширението на функцията sin в ред на Лоран в пробита околност на точка 20 = 1. Тъй като полученото разширение съдържа безкрайно много членове с отрицателни степени (r - 1), то zq = 1 е съществена сингулярна точка (в този случай разширението на Лоран се състои само от основната част, а правилната част отсъства). Обърнете внимание, че в този случай също беше възможно да се установи естеството на сингулярността директно от определението, без да се прибягва до разширяване на серия. Всъщност има последователности (r") и (2"), които се сближават зо= 1 и така, че f(z" n)= 1, /(2") = 0 (посочете такива последователности сами). И така, f(z)няма ограничение кога z -> 1 и оттам точката zq - 1 е по същество единствено. Нека представим концепцията за разширение на Лоран на функция в околност на точка Zq = 00 и разгледайте връзката между разширяването и естеството на сингулярността в тази точка. Обърнете внимание, че дефинициите на изолирана единична точка и нейният тип (отстранима, полюсна или по същество единична) се пренасят в случая zq = oc непроменено. Но теореми 26.2. 26.3 и 26.6, свързани с естеството на разширенията на Лоран, трябва да бъдат променени. Въпросът е, че членовете c n (z - 2о) стр. П= -1,-2,..., основната част, дефинираща "неправилността" на функцията близо до крайната точка Zq, тъй като 2 клони към oo, те ще се държат „правилно“ (клонят към 0). Напротив, членовете на редовната част с П= 1,2,... ще се стреми към oo; те определят естеството на сингулярността в Zq = oo. Следователно основната част от разширяването в квартала на oo ще бъдат термините с положителни сили P,и правилен - с отрицателен. Нека представим нова променлива w = 12. Функция tv= 1/2, разширено така, че u(oo) = 0, едно към едно и конформно картографира квартала z > Rточки zq = 00 в околността на |w| wq = 0. Ако функцията f(z)анализи в пробит квартал Р z Zq = oc, тогава функцията G(w) = f(l/w)ще бъде аналитичен в жълтата махала 0 wo = 0. Тъй като за 2 -> oo ще има w-> 0, тогава Ето защо G(w)има в точката wq = 0 е сингулярност от същия тип като f(z)в точката Zq = 00. Нека разширим функцията G(w) в ред на Лоран в пробита околност на точката wo = 0: Сумите от дясната страна на (26.5) представляват съответно правилната и основната част на разширението. Нека да преминем към променливата z,заместващ w = 1/z: обозначаващи П\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d с пи забелязвайки това G(l/z) = f(z), получаваме Разлагането (2G.G) се нарича Разлагане на Лоран на функцията f(z) в пробита околност на точката zq= оо. Извиква се първата сума в (2G.6). дясната част, а втората сума е Главна часттова разлагане. Тъй като тези суми съответстват на правилните и главни части на разширението (26.5), разширението (26.6) удовлетворява аналозите на теореми 26.2, 26.3 и 26.6. Следователно, следната теорема е аналог на теорема 26.2. Теорема 26.10. Изолирана единична точкаZq -
операционна система (функции/(G) е отстраняемо, ако и само ако разширението на Лоран в пробит квартал на тази точка има формата
т.с. се състои само от правилната част. Поставяме /(oo) = co.Функцията, дефинирана от редицата (26.7), сближаващи се в околността z > Rточки 2o \u003d oc, наречени аналитичен в точка zо = оо. (Обърнете внимание, че тази дефиниция е еквивалентна на аналитичността на функцията G(w) в точката wo = 0.) Пример 26.11. Изследвайте особената точка zq = oo на функцията Тъй като границата е крайна, тогава zo = oo е подвижна особена точка на функцията f(r). Ако поставим /(oo) = lim Джей Зи)= 0, тогава f(z)ще стане тик в точката Zo= ос. Нека покажем как да намерим съответното разширение (26.7). Нека да преминем към променливата w = 1 fz.Заместване z= 1 /?e, получаваме (последното равенство е валидно в пробитата околност на точката ww = 0, но ще разширим дефиницията (7(0) = 0). Получената функция има единични точки w =±i, w =-1/3 и в точката Wq = 0 е аналитично. Функция за разширяване G(w)по степени w(както беше направено в пример 25.7) и заместване в получения степенен ред w = 1/zможе да се получи разширението (26.7) на функцията f(z).
Теорема 26.3 за случая зо= oo ще бъде пренаписано в следната форма. Теорема 26.12. Изолирана единична точкавърви = os функцията f(z) е полюс, ако и само ако е основната част от разширението на Лоран (26.6) има само краен брой ненулеви коефициентиот": Тук редът е редовната част, а полиномът в скоби е основната част от разширението. Множеството на полюса в oc се дефинира като кратност на полюса wq = 0 функции G(z).Лесно е да се види, че кратността на полюса съвпада с числото нв (26.8). Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2 Задача. Покажете, че функцията f(z) =--
-- има вътре точка zo = oo ред на полюса 3. Теорема 26.6 за съществена сингулярна точка е пренаписана за случая зо= os почти дословно и ние не се спираме на него в подробности. Редиците на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в окръжността zol. За да се изследват функции, които са аналитични в пръстеновидна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на форма, която обобщава разширенията на Тейлър. Поредицата (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича ред на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на ред (1) е общата част на областите на сближаване на всеки от редовете (2). Да я намерим. Площта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар Вътре в кръга на сближаване серия (3) се сближава до аналитична функция и във всяка окръжност с по-малък радиус тя се сближава абсолютно и равномерно. Вторият ред е степенен ред по отношение на променливата. Редът (5) се сближава в рамките на своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексната променлива m-*oo и във всеки кръг с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което означава, че областта на сближаване на редицата (4) е появата на окръжността - Ако тогава има обща област на сближаване на редовете (3) и (4) - кръгов пръстен, в който серия (1) се доближава до аналитична функция. Освен това във всеки пръстен той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определете областта на сближаване на ред Лоран на rad Изолираните единични точки и тяхната класификация (z), която е еднозначна и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от сходящ ред, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите, където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R Изграждаме окръжности с центрове в точка r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и разглеждаме нов пръстен Съгласно теоремата за интеграла на Коши за многосвързана област, имаме Нека преобразуваме всеки от интегралите в сбора (8) поотделно. За всички точки £ по окръжността 7d* е изпълнено отношението de сумата от равномерно сходящия ред 1 1. Следователно дробът ^ може да бъде представен във vi- /" / По малко по-различен начин, за всички точки ξ на кръгът ir> имаме отношението Следователно дробът ^ може да бъде представен като сбор от равномерно сходящи ред във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, според теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли не се променят, ако кръговете 7/r и 7r/ се заменят с която и да е окръжност. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12). Замествайки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази съответно (9) и (11), получаваме желаното разширение. Тъй като z е произволно точка на пръстена, следва, че редът ( 14) се сближава до функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен редът се сближава до тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че декомпозицията на формата (6) е единствена. Да приемем, че се извършва още едно разлагане.Тогава навсякъде вътре в пръстена R имаме По окръжността редовете (15) се сближават равномерно. Умножете двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрирайте и двете серии член по член. В резултат получаваме от лявата страна, а от дясната страна - Csh. Така (4, \u003d St. Тъй като m е произволно число, тогава последният ред на равенство (6), чиито коефициенти се изчисляват по формули (7), се нарича ред на Лоран на функцията f(z) в пръстена 7) за коефициентите на реда на Лоран се използват рядко на практика, тъй като по правило изискват тромави изчисления.Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на Тейлър на елементарни функции.Въз основа на уникалността на разширението всеки легитимен метод води до същия резултат. Пример 2 Помислете за разширенията в редицата на Лоран на функциите на различни области, като приемем, че Fuiscija /(z) има две особени точки: Следователно има три пръстенни области и с център в точката r = 0. във всяка от които функцията f(r) е аналитична: а) окръжността е външната част на окръжността (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Представяме /(z) като сума от елементарни дроби a) Връзка за преобразуване на кръг (16), както следва Използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, получаваме b) Пръстенът за функцията -z остава сходящ в този пръстен, тъй като серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: прилагайки отново формула (19), получаваме, че Тази серия се сближава за. Замествайки разложенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме в) Външността на окръжността за функцията -z с |z| > 2 се разминава и серия (21) за функцията Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разлагането на 8-те серии на Лоран на функцията Ред на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация в пръстеновидната област A. Използваме представянето на функцията f (z) в следната форма: и преобразуваме втория член, използвайки формула за сбора на членовете на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази с формулата (22), имаме пример 4. Разширете функцията в ред на Лоран в околността на тънък zq = 0. За всеки комплексен , имаме Нека Това разширение е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай пръстеновидната област е цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана от следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули (13) за коефициентите на реда на Лоран, по същите разсъждения, както в предишния параграф, могат да се получат неравенствата на Kouiw. ако функцията f(z) е ограничена върху окръжност, където M е константа), тогава изолирани особени точки Точка zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако съществува пръстеновидна окръжност на точката ( това множество понякога се нарича още пробита околност на точка 2o), в която функцията f(z) е еднозначна и аналитична. В самата точка zo функцията или не е дефинирана, или не е еднозначна и аналитична. Различават се три типа особени точки в зависимост от поведението на функцията /(z) при приближаване до точката zo. За изолирана особена точка се казва, че е: 1) отстранима, ако съществува краен 2) pmusach, ако 3) по същество сингулярна точка, ако функцията f(z) няма ограничение за Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е подвижна особена точка, ако и само ако Лорановото разширение на функцията f(z) в съседство на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Let zo - отстраняема особена точка. Тогава съществува едно ограничено и следователно функцията f(z) е ограничена в прокологична окръжност на точката r. Ние задаваме По силата на неравенствата на Коши Тъй като е възможно да изберем ρ толкова малък, колкото ни харесва, тогава всички коефициентите при отрицателни степени (z - 20) са равни на нула: Обратно, нека Лоран разширяването на функцията /(r) в съседство на точка zq съдържа само правилната част, т.е. има вида (23) и следователно е Тейлър. Лесно е да се види, че за z -* z0 функцията /(r) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана сингулярна точка zq на функцията f(z) е отстранима, ако и само ако функцията J(z) е ограничен в някаква пробита околност на точката zq, Zgmechai не. Нека r0 е подвижна особена точка на f(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията f(r) е аналитична в някаква окръжност с център в точката th. Това определя името на точката - еднократна. Теорема 18. Изолирана сингулярна точка zq на функция f(z) е полюс, ако и само ако основната част от разширението на Лоран на функцията f(z) в съседство на точката съдържа крайно (и положително) число от ненулеви членове, т.е. има формата 4 Нека z0 е полюс. Оттогава съществува пробита околност на точката z0, в която функцията f(z) е аналитична и не е нула. Тогава в тази околност се дефинира аналитична функция и следователно точката zq е подвижна особена точка (нула) на функцията или където h(z) е аналитична функция, h(z0) ∩ 0. е аналитична в съседство на точката zq, откъдето получаваме, че Нека сега приемем, че функцията f(z) има декомпозиция от вида (24) в пробита околия на точката zo. Това означава, че в тази околност функцията f(z) е аналитична заедно с функцията. За функцията g(z) е валидно разширението, от което става ясно, че zq е подвижна особена точка на функцията g(z) и съществува. Тогава функцията клони към 0 - полюсът на функцията Има още една проста факт. Точката Zq е полюс на функцията f(z) тогава и само ако функцията g(z) = y може да бъде разширена до аналитична функция в съседство на точка zq чрез задаване на g(z0) = 0. Редът на полюса на функцията f(z) се нарича порядък на нула на функцията jfa. Теореми 16 и 18 предполагат следното твърдение. Теорема 19. Един изолиран сингулярен тънък е по същество сингулярен, ако и само ако главната част от разширението на Лоран в пробита околност на тази точка съдържа безкрайно много ненулеви членове. Пример 5. Сингулярната точка на функцията е zo = 0. Имаме серия на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация. Следователно zo = 0 е подвижна особена точка. Разширението на функцията /(z) в ред на Лоран в близост до нулевата точка съдържа само правилната част: Пример7. f(z) = Сингулярната точка на функцията f(z) е zq = 0. Разгледайте поведението на тази функция върху реалната и въображаемата ос: върху реалната ос при x 0, върху въображаемата ос Следователно, нито крайна, нито безкрайна граница f(z) при z -* 0 не съществува. Следователно точката r0 = 0 е по същество сингулярна точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на нулевата точка. За всеки комплекс C сме задали. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени z.
, взето в положителна посока по окръжността L с център в точката z 0 , която се намира в областта на аналитичност на функцията f(z) (т.е. в пръстена 0<|z-z0| . (22.15.1)
и определят вида им.
