Параметрични уравнения на права линия върху равнина: описание, примери, решаване на задачи. Равнина и права в пространството: общо и параметрично уравнение на равнината Векторно уравнение на равнината

Досега разгледахме уравнението на повърхност в пространството с координатни оси X, Y, Z в явна или в имплицитна форма

Може да се напишат повърхностните уравнения в параметрична форма, като се изразяват координатите на нейните точки като функции на два независими променливи параметъра и

Ще приемем, че тези функции са еднозначни, непрекъснати и имат непрекъснати производни до втори ред в определен диапазон от параметри

Ако заместим тези координатни изрази по отношение на u и v в лявата страна на уравнение (37), тогава трябва да получим идентичност по отношение на u и V. Диференцирайки тази идентичност по отношение на независимите променливи u и v, имаме

Разглеждайки тези уравнения като две хомогенни уравнения по отношение и прилагайки алгебричната лема, спомената в , получаваме

където k е някакъв коефициент на пропорционалност.

Приемаме, че коефициентът k и поне една от разликите в дясната страна на последните формули са различни от нула.

Нека за краткост да обозначим написаните три разлики, както следва:

Както знаете, уравнението на допирателната равнина към нашата повърхност в дадена точка (x, y, z) може да се запише като

или, замествайки с пропорционални количества, можем да пренапишем уравнението на допирателната равнина, както следва:

Известно е, че коефициентите в това уравнение са пропорционални на косинусите на посоката на нормалата към повърхността.

Позицията на променливата точка M върху повърхността се характеризира със стойностите на параметрите u и v и тези параметри обикновено се наричат координати на повърхностните точки или координатни параметри.

Като даваме постоянни стойности на параметрите u и v, получаваме две семейства линии на повърхността, които ще наречем координатни линии на повърхността: координатни линии, по които се променя само v, и координатни линии, по които се променя само u. Тези две семейства координатни линии дават координатна мрежа на повърхността.

Като пример, разгледайте сфера с център в началото и радиуса R. Параметричните уравнения на такава сфера могат да бъдат записани като

Координатните линии в този случай очевидно са паралелите и меридианите на нашата сфера.

Абстрахирайки се от координатните оси, можем да характеризираме повърхността с променлив радиус-вектор, преминаващ от постоянна точка O до променлива точка M на нашата повърхност. Частичните производни на този радиус-вектор по отношение на параметрите очевидно ще дадат вектори, насочени по допирателните към координатните линии. Компонентите на тези вектори по осите

ще бъде, според и следователно, че коефициентите в уравнението на допирателната равнина (39) са компонентите на векторното произведение. Това векторно произведение е вектор, перпендикулярен на допирателните, т.е. вектор, насочен по нормалата на повърхността. Квадратът на дължината на този вектор очевидно се изразява чрез скаларното произведение на вектора и самия него, тоест, с други думи, от квадрата на този вектор 1). Ще играе в бъдеще съществена роляединица, нормална към повърхността, която очевидно можем да запишем като

Чрез промяна на реда на факторите в писменото векторно произведение получаваме обратната посока за вектора (40). По-нататък ще фиксираме реда на факторите по определен начин, т.е. ще фиксираме посоката на нормалата към повърхността по определен начин.

Нека вземем някаква точка M на повърхността и начертаем през тази точка някаква крива (L), лежаща на повърхността. Тази крива, най-общо казано, не е координатна линия и H и v ще варират по нея. Посоката на допирателната към тази крива ще бъде определена от вектора, ако приемем, че по протежение на (L) в околността на точката, параметърът v е функция на която има производна. От това може да се види, че посоката на допирателната към крива, начертана върху повърхност в някаква точка M от тази крива, се характеризира напълно със стойността в тази точка. При дефинирането на допирателната равнина и извеждането на нейното уравнение (39) приехме, че функции (38) в разглежданата точка и нейната околност имат непрекъснати частични производни и че поне един от коефициентите на уравнение (39) е различен от нула в разглеждана точка.

е общото уравнение на равнина в пространството

Нормален равнинен вектор

Нормалният вектор на равнината е ненулев вектор, ортогонален на всеки вектор, лежащ в равнината.

Уравнение на равнина, минаваща през точка с даден нормален вектор

е уравнението на равнината, минаваща през точка M0 с даден нормален вектор

Вектори на посоката на равнината

Два неколинеарни вектора, успоредни на равнината, се наричат вектори на посоката на равнината

Параметрични равнинни уравнения

– параметрично уравнение на равнината във векторна форма

е параметричното уравнение на равнината в координати

Уравнение на равнина през дадена точка и два вектора на посоката

-фиксирана точка

само точка хаха

са компланарни, така че тяхното смесено произведение е 0.

Уравнение на равнина, минаваща през три дадени точки

– равнинно уравнение през три точки

Уравнение на равнина в сегменти

- равнинно уравнение в сегменти

Доказателство

За да го докажем, използваме факта, че нашата равнина минава през A, B, C и нормалния вектор

Нека заместим координатите на точката и вектора n в уравнението на равнината с нормалния вектор

Разделете всичко и вземете

Така стоят нещата.

Нормално равнинно уравнение

е ъгълът между вол и нормалния вектор към равнината, излизаща от O.

е ъгълът между oy и нормалния вектор към равнината, изходяща от O.

е ъгълът между oz и нормалния вектор към равнината, изходящ от O.

е разстоянието от началото на координатите до равнината.

Доказателства или някакви подобни глупости

Знакът е срещу D.

По същия начин за други косинуси. Край.

Разстояние от точка до равнина

Точка S, равнина

е ориентираното разстояние от точка S до равнината

Ако , тогава S и O лежат от противоположните страни на равнината

Ако , тогава S и O лежат от една и съща страна

Умножете по n

Взаимно подреждане на две линии в пространството

Ъгъл между равнините

В пресечната точка се образуват две двойки вертикални двугранни ъгли, най-малкият се нарича ъгълът между равнините

Права линия в пространството

Една линия в пространството може да се даде като

Пресичане на две равнини:

Параметрични уравнения на права линия

- параметрично уравнение на права във векторна форма

е параметричното уравнение на права линия в координати

Канонично уравнение

е каноничното уравнение на права линия.

Уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки

– канонично уравнение на права във векторна форма;

Взаимно подреждане на две линии в пространството

Взаимно подреждане на права линия и равнина в пространството

Ъгъл между права и равнина

Разстояние от точка до права в пространството

a е векторът на посоката на нашата права линия.

е произволна точка, принадлежаща на дадена права

- точката, до която търсим разстоянието.

Разстояние между две пресичащи се прави

Разстояние между две успоредни прави

M1 - точка, принадлежаща на първия ред

M2 е точка, принадлежаща на втората линия

Криви и повърхности от втори ред

Елипсата е набор от точки в равнина, сумата от разстоянията, от които до две дадени точки(фокуси) е постоянна стойност.

Канонично уравнение на елипса

Нека го заменим с

Разделете на

Свойства на елипса

Пресечна точка с координатни оси

Симетрия около

Произход

Елипса е крива, лежаща в ограничена част от равнина

Елипса може да се получи от кръг чрез разтягане или свиване

Параметрично уравнение на елипса:

- режисьори

Хипербола

Хиперболата е набор от точки в равнина, за които модулът на разликата в разстоянията до 2 дадени точки (фокуси) е постоянна стойност (2a)

Правим всичко по същия начин, както с елипсата, получаваме

Замени с

Разделете на

Свойства на хипербола

;

- режисьори

Асимптота

Асимптота е права линия, към която кривата се приближава неограничено, отдалечавайки се до безкрайност.

парабола

свойства на паработите

Връзка между елипса, хипербола и парабола.

Връзката между тези криви има алгебрично обяснение: всички те са дадени от уравнения от втора степен. Във всяка координатна система уравненията на тези криви имат формата: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, където a, b, c, d, e, f са числа

Преобразуване на правоъгълни декартови координатни системи

Паралелно преместване на координатната система

–O’ в старата координатна система

– координати на точката в старата координатна система

-координати на точката в нова системакоординати

Координати на точки в новата координатна система.

Завъртане в декартова координатна система

– нова координатна система

Преходна матрица от старата база към новата

- (под първата колона аз’ , под втория j’ ) преходната матрица от основата аз,jкъм основа аз’ ,j’

Общ случай

1 вариант

Въртене на координатната система

Вариант 2

Въртене на координатната система
Паралелен превод на произхода

Общо уравнение на линиите от втори ред и свеждането му до канонична форма

е общата форма на кривите от втори ред

Класификация на кривите от втори ред

Елипсоид

Напречни сечения на елипсоид

- елипса

Елипсоиди на революцията

Елипсоидите на революцията са или сплести, или изпънати сфероиди, в зависимост от това около какво се въртим.

Еднолентов хиперболоид

Разрези от еднолентов хиперболоид

– хипербола с реална ос oy

е хипербола с реална ос x

Оказва се елипса за произволно h. Така стоят нещата.

Еднолентови хиперболоиди на революцията

Хиперболоид на въртене с един лист може да се получи чрез завъртане на хипербола около нейната въображаема ос.

Хиперболоид с два листа

Разрези на двулистов хиперболоид

- хипербола с действие. axisoz

е хипербола с реална ос oz

конус

- двойка пресичащи се прави

Елиптичен параболоид

- парабола

Завъртания

Ако , тогава елиптичният параболоид е повърхност на въртене, образувана от въртенето на параболата около оста на симетрия.

Хиперболичен параболоид

парабола

- парабола

h>0 хипербола с реална ос, успоредна на x

з<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Под цилиндъра имаме предвид повърхността, която ще се получи, когато права линия се движи в пространството, която не променя посоката си, ако правата линия се движи спрямо oz, тогава уравнението на цилиндъра е уравнението на сечение от равнината xoy.

Елиптичен цилиндър

хиперболичен цилиндър

параболичен цилиндър

Праволинейни генератори на повърхности от втори ред

Линиите, лежащи изцяло върху повърхността, се наричат праволинейни генератори на повърхността.

Повърхности на революция

Майната ти хаха

Дисплей

чрез показванеНека наречем правилото, според което всеки елемент от множество A е свързан с един или повече елементи от множество B. Ако на всеки е присвоен единичен елемент от множеството B, тогава преобразуването се извиква недвусмислено, в противен случай двусмислено.

Трансформациямножество се нарича едно към едно преобразуване на множество върху себе си

инжекция

Инжектиране или едно към едно съпоставяне на набор A към набор B

(различни елементи от a съответстват на различни елементи от B) например y=x^2

сюръекция

Сърекция или преобразуване на множество A върху множество B

За всяко B има поне едно A (например синус)

Всеки елемент от набор B съответства само на един елемент от множество A. (например, y=x)

Всяко уравнение от първа степен по отношение на координатите x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

дефинира равнина и обратно: всяка равнина може да бъде представена с уравнение (3.1), което се нарича равнинно уравнение.

вектор н(A, B, C) ортогонална на равнината се нарича нормален векторсамолети. В уравнение (3.1) коефициентите A, B, C не са равни на 0 едновременно.

Специални случаи на уравнение (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - равнината минава през началото.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - равнината е успоредна на оста Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - равнината преминава през оста Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - равнината е успоредна на равнината Oyz.

Уравнения на координатна равнина: x = 0, y = 0, z = 0.

Може да се даде права линия в пространството:

1) като линия на пресичане на две равнини, т.е. система от уравнения:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) неговите две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава правата линия, минаваща през тях, се дава от уравненията:

3) точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1), която й принадлежи, и векторът а(m, n, p), s колинеарни. Тогава правата линия се определя от уравненията:

Уравнения (3.4) се наричат канонични уравнения на правата.

вектор аНаречен направляващ вектор прав.

Параметрични уравнения на права линияполучаваме като приравним всяко от отношенията (3.4) с параметъра t:

x \u003d x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p t. (3.5)

Решаване на система (3.2) като система от линейни уравнения в неизвестни хИ г, стигаме до уравненията на правата линия в прогнозиили да редуцирани прави уравнения :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнения (3.6) може да се премине към каноничните уравнения, намирайки zот всяко уравнение и приравняване на получените стойности:

Може да се премине от общи уравнения (3.2) към канонични уравнения по друг начин, ако се намери някоя точка от тази права и нейния вектор на посоката н= [н 1 , н 2], където н 1 (A 1 , B 1 , C 1) и н 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормални вектори на дадените равнини. Ако един от знаменателите m,nили Рв уравнения (3.4) се оказва равно на нула, тогава числителят на съответната дроб трябва да бъде равен на нула, т.е. система

е еквивалентен на системата; такава права е перпендикулярна на оста x.

Системата е еквивалентна на системата x = x 1 , y = y 1 ; правата линия е успоредна на оста Oz.

Пример 1.15. Напишете уравнението на равнината, като знаете, че точката A (1, -1,3) служи като основа на перпендикуляра, изтеглен от началото към тази равнина.

Решение.По условието на задачата, векторът ОА(1,-1,3) е нормален вектор на равнината, тогава нейното уравнение може да се запише като
x-y+3z+D=0. Замествайки координатите на точката A(1,-1,3), принадлежаща на равнината, намираме D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Така че x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Напишете уравнение за равнина, минаваща през оста Oz и образуваща ъгъл от 60 градуса с равнината 2x+y-z-7=0.

Решение.Равнината, преминаваща през оста Oz, се дава от уравнението Ax+By=0, където A и B не изчезват едновременно. Нека B не
е 0, A/Bx+y=0. Според формулата за косинус на ъгъла между две равнини

Решавайки квадратното уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, намираме неговите корени
m 1 = 1/3, m 2 = -3, от което получаваме две равнини 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17.Напишете каноничните уравнения на правата линия:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение.Каноничните уравнения на правата линия имат вида:

където m, n, p- координати на насочващия вектор на правата линия, x1, y1, z1- координати на всяка точка, принадлежаща на правата. Правата линия се определя като пресечната линия на две равнини. За да се намери точка, принадлежаща на права линия, една от координатите е фиксирана (най-лесният начин е да се постави например x=0) и получената система се решава като система от линейни уравнения с две неизвестни. И така, нека x=0, тогава y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откъдето y=-1, z=1. Намерихме координатите на точката M (x 1, y 1, z 1), принадлежаща на тази права: M (0,-1,1). Насочващият вектор на права линия е лесно да се намери, като се знаят нормалните вектори на оригиналните равнини н 1 (5,1,1) и н 2(2,3,-2). Тогава

Каноничните уравнения на линията са: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Векторни и параметрични уравнения на равнината.Нека r 0 и r са радиус векторите на точките M 0 и M, съответно. Тогава M 0 M = r - r 0 и условието (5.1) точката M принадлежи на равнината, минаваща през точката M 0 перпендикулярно ненулев вектор n (фиг. 5.2, а), може да се запише с помощта на точков продукткато съотношение

n(r - r 0) = 0, (5.4)

което се нарича векторно уравнение на равнината.

Неподвижна равнина в пространството съответства на набор от вектори, успоредни на нея, т.е. пространство V2. Нека избираме в това пространство основа e 1 , e 2 , т.е. двойка неколинеарни вектори, успоредни на разглежданата равнина, и точка M 0 на равнината. Ако точката M принадлежи на равнината, то това е еквивалентно на факта, че векторът M 0 M е успореден на нея (фиг. 5.2, b), т.е. той принадлежи на посоченото пространство V 2 . Това означава, че има разлагане на вектора M 0 M в базиса e 1 , e 2 , т.е. има числа t 1 и t 2, за които M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Записвайки лявата страна на това уравнение по отношение на радиус векторите r 0 и r на точките M 0 и M, съответно, получаваме векторно параметрично уравнение на равнината

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Да преминем от равенството на векторите в (5.5) към тяхното равенство координати, означено с (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) координати на точката M 0 , M и през (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) координатите на векторите e 1 , e 2 . Приравнявайки едноименните координати на векторите r и r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , получаваме уравнения на параметрична равнина

Равнина, преминаваща през три точки.Да приемем, че три точки M 1 , M 2 и M 3 не лежат на една права линия. Тогава има уникална равнина π, на която принадлежат тези точки. Нека намерим уравнението на тази равнина, като формулираме критерия за произволна точка M да принадлежи на дадена равнина π. След това записваме този критерий по отношение на координатите на точките. Посоченият критерий е описанието на равнината π като множество от онези точки M, за които векторите M 1 M 2 , M 1 M 3 и M 1 M компланарен. Критерият за компланарност на три вектора е равенството на нула на техните смесен продукт(виж 3.2). Смесеният продукт се изчислява с помощта на детерминанта от трети порядък, чиито низове са координатите на векторите в ортонормална основа. Следователно, ако (xi ; yx i ; Zx i) са координатите на точките Mx i , i = 1, 2, 3 и (x; y; z) са координатите на точка M, то M 1 M = (xx 1 ; yy 1 ; zz 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) и условието за равенство на нула на смесеното произведение на тези вектори има формата

Изчислявайки детерминанта, получаваме линеенспрямо x, y, z уравнението, кое е общото уравнение на желаната равнина. Например, ако разширете детерминанта по 1-ви ред, тогава получаваме

Това равенство след изчисляване на детерминантите и отваряне на скобите се преобразува в общото уравнение на равнината.

Забележете, че коефициентите на променливите в последното уравнение съвпадат с координатите векторен продукт M 1 M 2 × M 1 M 3 . Това кръстосано произведение, което е произведение на два неколинеарни вектора, успоредни на π равнината, дава ненулев вектор, перпендикулярен на π, т.е. нея нормален вектор. Така че появата на координатите на векторното произведение като коефициенти на общото уравнение на равнината е съвсем естествена.

Да разгледаме следния частен случай на равнина, минаваща през три точки. Точки M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, не лежат на една права линия и определят равнина, която отрязва отсечки по координатните оси ненулева дължина (фиг. 5.3). Тук "дължините на сегментите" означават стойността на ненулевите координати на радиус векторите на точките M i , i = 1,2,3.

Тъй като M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), уравнението (5.7) приема формата

След като изчислихме детерминанта, намираме bc(x - a) + acy + abz = 0, разделяме полученото уравнение на abc и преместваме свободния член в дясната страна,

x/a + y/b + z/c = 1.

Това уравнение се нарича равнинно уравнение в сегменти.

Пример 5.2.Нека намерим общото уравнение на равнина, която минава през точка с координати (1; 1; 2) и отрязва сегменти с еднаква дължина от координатните оси.

Уравнението на равнина в сегменти, при условие че отрязва сегменти с еднаква дължина от координатните оси, да речем a ≠ 0, има формата x/a + y/b + z/c = 1. Това уравнение трябва да отговаря на координатите (1; 1; 2) известна точка от равнината, т.е. важи равенството 4/a = 1. Следователно a = 4 и желаното уравнение е x + y + z - 4 = 0.

Нормално уравнение на равнината.Да разгледаме някаква равнина π в пространството. Оправяме за нея мерна единицанормално вектор n насочено от произход"към равнината" и обозначаваме с p разстоянието от началото O на координатната система до равнината π (фиг. 5.4). Ако равнината минава през началото на координатната система, тогава p = 0 и всяка от двете възможни посоки може да бъде избрана като посока за нормален вектор n.

Ако точката M принадлежи на равнината π, тогава това е еквивалентно на факта, че векторна ортогонална проекцияОМ към посокатавектор n е равен на p, т.е. условието nOM = pr n OM = p е изпълнено, тъй като дължина на вектора n е равно на единица.

Означете координатите на точката M с (x; y; z) и нека n = (cosα; cosβ; cosγ) (припомнете си, че за единичния вектор n неговата косинус на посоката cosα, cosβ, cosγ също са неговите координати). Записвайки скаларното произведение в равенството nOM = p в координатна форма, получаваме нормално уравнение на равнината

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Подобно на случая на права линия в равнина, общото уравнение на равнина в пространството може да се трансформира в нормалното му уравнение чрез разделяне на нормализиращ фактор.

За равнинното уравнение Ax + By + Cz + D = 0 нормализиращият фактор е числото ±√(A 2 + B 2 + C 2), чийто знак е избран срещу знака на D. По абсолютна стойност, нормализиращият фактор е дължината на нормалния вектор (A; B ; C) на равнината, а знакът съответства на желаната посока на единичния нормален вектор на равнината. Ако равнината минава през началото на координатната система, т.е. D = 0, тогава знакът на нормализиращия фактор може да бъде избран с произволен знак.

Една от подточките на темата „Уравнението на права линия върху равнина” е въпросът за съставяне на параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Статията по-долу обсъжда принципа на съставяне на такива уравнения за определени известни данни. Нека покажем как да преминем от параметрични уравнения към уравнения с различна форма; Нека анализираме решението на типични проблеми.

Конкретна линия може да бъде дефинирана чрез посочване на точка, която принадлежи на тази линия, и вектор на посоката за линията.

Да предположим, че ни е дадена правоъгълна координатна система O x y . И също така е дадена правата линия a, указваща точката M 1, лежаща върху нея (x 1, y 1) и вектора на посоката на дадената права линия a → = (a x , a y) . Даваме описание на дадения ред a с помощта на уравнения.

Използваме произволна точка M (x, y) и получаваме вектор M 1 M →; изчислете координатите му от координатите на началната и крайната точки: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Нека опишем резултата: правата е дадена от набор от точки M (x, y), минава през точка M 1 (x 1, y 1) и има вектор на посоката a → = (a x , a y) . Посоченото множество дефинира права линия само когато векторите M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (a x , a y) са колинеарни.

Съществува необходимо и достатъчно условие за колинеарност на векторите, което в този случай за векторите M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (ax , ay) може да се запише като уравнение:

M 1 M → = λ · a → , където λ е някакво реално число.

Определение 1

Уравнението M 1 M → = λ · a → се нарича векторно-параметрично уравнение на правата.

В координатна форма изглежда така:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Уравненията на получената система x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ се наричат параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Същността на името е следната: координатите на всички точки от линията могат да бъдат определени чрез параметрични уравнения на равнината на формата x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ при повторение на всички реални стойности на параметъра λ

Съгласно горното, параметричните уравнения на права линия на равнината x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ определят права линия, която е дадена в правоъгълна координатна система, минава през точка M 1 (x 1, y 1) и има направляващ вектор a → = (a x , a y) . Следователно, ако са дадени координатите на определена точка от правата линия и координатите на нейния насочващ вектор, тогава е възможно незабавно да се запишат параметричните уравнения на дадената права линия.

Пример 1

Необходимо е да се съставят параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система, ако са дадени принадлежащата й точка M 1 (2, 3) и нейният вектор на посоката a → = (3 , 1) .

Решение

Въз основа на първоначалните данни получаваме: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Параметричните уравнения ще изглеждат така:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Нека ясно илюстрираме:

Отговор: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Трябва да се отбележи: ако векторът a → = (a x , a y) служи като насочващ вектор на правата a, а точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) принадлежат на тази права, тогава тя може да се определи чрез задаване на параметрични уравнения от вида: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ , както и тази опция: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ .

Например ни е даден насочващ вектор на права линия a → \u003d (2, - 1), както и точки M 1 (1, - 2) и M 2 (3, - 3), принадлежащи на тази права. Тогава правата линия се определя от параметрични уравнения: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ или x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Трябва да се обърне внимание и на следния факт: ако a → = (a x , a y) е насочващият вектор на правата a , то всеки от векторите ще бъде и негов насочващ вектор μ a → = (μ a x , μ a y) , където μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Така права линия a върху равнина в правоъгълна координатна система може да бъде дефинирана с параметрични уравнения: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ за всяка стойност на μ, която е различна от нула.

Да предположим, че правата a е дадена от параметричните уравнения x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Тогава a → = (2 , - 5) - вектор на посоката на тази линия. И също така всеки от векторите μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 ще стане вектор на посоката за дадената права линия. За по-голяма яснота помислете за конкретен вектор - 2 · a → = (- 4 , 10) , той съответства на стойността μ = - 2 . В този случай дадената права линия може да се определи и от параметричните уравнения x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Преход от параметрични уравнения на права линия на равнина към други уравнения на дадена права линия и обратно

При решаването на някои проблеми използването на параметрични уравнения не е най-оптималната опция, тогава става необходимо да се преведат параметричните уравнения на права линия в уравнения на права линия от различен тип. Нека видим как да го направим.

Параметричните уравнения на правата линия x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ще съответстват на каноничното уравнение на правата линия в равнината x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Решаваме всяко от параметричните уравнения по отношение на параметъра λ, приравняваме десните части на получените равенства и получаваме каноничното уравнение на дадената права линия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

В този случай не трябва да е неудобно, ако a x или a y ще бъде равно на нула.

Пример 2

Необходимо е да се извърши прехода от параметричните уравнения на правата x = 3 y = - 2 - 4 · λ към каноничното уравнение.

Решение

Записваме дадените параметрични уравнения в следния вид: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Изразяваме параметъра λ във всяко от уравненията: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Приравняваме правилните части на системата от уравнения и получаваме необходимото канонично уравнение на права линия в равнината:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Отговор: x - 3 0 = y + 2 - 4

В случай, че е необходимо да се запише уравнението на правата линия от вида A x + B y + C = 0 , докато са дадени параметричните уравнения на правата в равнината, е необходимо първо да се направи преход към каноничното уравнение и след това към общото уравнение на правата линия. Нека запишем цялата последователност от действия:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 3

Необходимо е да се запише общото уравнение на права линия, ако са дадени определящите го параметрични уравнения: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Решение

Първо, нека направим прехода към каноничното уравнение:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Получената пропорция е идентична с равенството - 3 · (x + 1) = 2 · y. Да отворим скобите и да получим общото уравнение на правата линия: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Отговор: 3x + 2y + 3 = 0

Следвайки горната логика на действията, за да се получи уравнение на права линия с наклон, уравнение на права линия на сегменти или нормално уравнение на права линия, е необходимо да се получи общото уравнение на права линия , а от него да се извърши по-нататъшен преход.

Сега разгледайте обратното действие: напишете параметричните уравнения на права линия за различна дадена форма на уравненията на тази права линия.

Най-лесният преход: от каноничното уравнение към параметричните. Нека е дадено каноничното уравнение на вида: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Приемаме всяко от отношенията на това равенство равно на параметъра λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Нека решим получените уравнения за променливите x и y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Пример 4

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на правата линия, ако е известно каноничното уравнение на правата линия в равнината: x - 2 5 = y - 2 2

Решение

Нека приравним частите от известното уравнение към параметъра λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . От полученото равенство получаваме параметричните уравнения на правата линия: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Отговор: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Когато е необходимо да се направи преход към параметрични уравнения от дадено общо уравнение на права линия, уравнение на права линия с наклон или уравнение на права линия на отсечки, е необходимо първоначалното уравнение да се доведе до каноничен и след това направете преход към параметрични уравнения.

Пример 5

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на правата линия с известното общо уравнение на тази права линия: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Решение

Преобразуваме даденото общо уравнение в уравнение с канонична форма:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняваме двете части на равенството към параметъра λ и получаваме необходимите параметрични уравнения на правата линия:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Отговор: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Примери и задачи с параметрични уравнения на права линия върху равнина

Нека разгледаме най-често срещаните типове задачи, използвайки параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система.

В задачите от първия тип се дават координатите на точките, независимо дали принадлежат на права линия, описана с параметрични уравнения.

Решаването на такива задачи се основава на следния факт: числата (x, y), определени от параметричните уравнения x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ за някаква реална стойност λ, са координатите на a точка, принадлежаща на правата линия, която е описана с тези параметрични уравнения.

Пример 6

Необходимо е да се определят координатите на точка, която лежи върху права, дадена от параметричните уравнения x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ за λ = 3 .

Решение

Заместваме известната стойност λ = 3 в дадените параметрични уравнения и изчисляваме необходимите координати: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Отговор: 1 1 2 , 5

Възможен е и следният проблем: нека дадена точка M 0 (x 0, y 0) е дадена на равнина в правоъгълна координатна система и е необходимо да се определи дали тази точка принадлежи на правата, описана от параметричните уравнения x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ .

За да се реши такава задача, е необходимо координатите на дадена точка да се заменят в известните параметрични уравнения на права линия. Ако се установи, че е възможна такава стойност на параметъра λ = λ 0, при която и двете параметрични уравнения са верни, то дадената точка принадлежи на дадената права линия.

Пример 7

Дадени са точки M 0 (4, - 2) и N 0 (- 2, 1). Необходимо е да се определи дали принадлежат на правата линия, дефинирана от параметричните уравнения x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Решение

Заместваме координатите на точка M 0 (4, - 2) в дадените параметрични уравнения:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Заключаваме, че точката M 0 принадлежи на дадена права, т.к съответства на стойността λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очевидно е, че няма такъв параметър λ, на който да отговаря точката N 0. С други думи, дадената права не минава през точката N 0 (- 2 , 1) .

Отговор:точка M 0 принадлежи на дадена права; точката N 0 не принадлежи на дадената права.

При задачи от втория тип се изисква съставяне на параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Най-простият пример за такъв проблем (с известни координати на точката на линията и вектора на посоката) беше разгледан по-горе. Сега нека разгледаме примери, в които първо трябва да намерите координатите на вектора на посоката и след това да запишете параметричните уравнения.

Пример 8

Дадена е точка M 1 1 2 , 2 3. Необходимо е да се съставят параметрични уравнения на права линия, минаваща през тази точка, и успоредна права линия x 2 \u003d y - 3 - 1.

Решение

Според условието на задачата правата линия, чието уравнение трябва да изпреварим, е успоредна на правата x 2 \u003d y - 3 - 1. Тогава като насочващ вектор на права линия, преминаваща през дадена точка, е възможно да се използва насочващият вектор на права x 2 = y - 3 - 1, който записваме под формата: a → = (2, - 1) . Сега са известни всички необходими данни, за да се съставят желаните параметрични уравнения:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Отговор: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Пример 9

Дадена е точка M 1 (0, - 7). Необходимо е да се напишат параметричните уравнения на права линия, минаваща през тази точка перпендикулярно на правата 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

Като насочващ вектор на правата линия, чието уравнение трябва да бъде съставено, е възможно да се вземе нормален вектор на правата линия 3 x - 2 y - 5 = 0 . Координатите му са (3 , - 2) . Записваме необходимите параметрични уравнения на правата линия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Отговор: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

При задачи от третия тип се изисква да се извърши преход от параметрични уравнения на дадена права линия към други видове уравнения, които я определят. Разгледахме решението на такива примери по-горе, ще дадем още един.

Пример 10

Дадена е права линия върху равнина в правоъгълна координатна система, дефинирана от параметричните уравнения x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Необходимо е да се намерят координатите на някакъв нормален вектор на тази права.

Решение

За да определим желаните координати на нормалния вектор, ще направим прехода от параметрични уравнения към общото уравнение:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коефициентите на променливите x и y ни дават необходимите координати на нормалния вектор. По този начин, нормалният вектор на правата x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ има координати 1 , 3 4 .

Отговор: 1 , 3 4 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter