Законът за разпределението на сумата от две случайни величини. Състав на два закона за разпределение. Сума от две случайни променливи Разпределение на сумите от независими случайни величини

Нека използваме горния общ метод, за да решим един проблем, а именно да намерим закона на разпределението за сумата от две случайни променливи. Има система от две случайни променливи (X,Y) с плътност на разпределението f(x,y).

Помислете за сумата от случайни променливи X и Y: и намерете закона за разпределение на стойността Z. За да направите това, ние построяваме права върху равнината xOy, чието уравнение (фиг. 6.3.1). Това е права линия, която отрязва сегменти, равни на z по осите. Направо разделя равнината xy на две части; вдясно и отгоре ; вляво и отдолу

Област D в този случай е долната лява част на равнината xOy, засенчена на фиг. 6.3.1. Съгласно формула (6.3.2) имаме:

Това е общата формула за плътността на разпределението на сумата от две случайни променливи.

От съображения за симетрия на проблема по отношение на X и Y можем да напишем друга версия на същата формула:

Необходимо е да се създаде композиция от тези закони, т.е. да се намери законът за разпределение на количеството: .

Прилагаме общата формула за състава на законите за разпределение:

Заместване на тези изрази във формулата, която вече сме срещали

и това не е нищо друго освен нормален закон с дисперсионен център

До същия извод може да се стигне много по-лесно с помощта на следните качествени разсъждения.

Без да отваряме скобите и без да извършваме трансформации в интегралната функция (6.3.3), веднага стигаме до извода, че експонентата е квадратен тричлен по отношение на x от вида

където стойността на z изобщо не е включена в коефициента A, тя се включва в коефициента B в първа степен, а коефициентът C се включва в квадрата. Имайки предвид това и прилагайки формула (6.3.4), заключаваме, че g(z) е експоненциална функция, чийто експонент е квадратен тричлен спрямо z и плътността на разпределението; от този вид отговаря на нормалния закон. По този начин ние; стигаме до чисто качествен извод: законът за разпределението на z трябва да е нормален. За да намерите параметрите на този закон - и - използвайте теоремата за събиране на математически очаквания и теоремата за събиране на дисперсии. Според теоремата за събиране на математическите очаквания . Според теоремата за добавяне на дисперсия или откъдето следва формулата (6.3.7).

Преминавайки от средноквадратични отклонения към вероятни отклонения, пропорционални на тях, получаваме:
.

Така стигнахме до следното правило: когато се съставят нормални закони, отново се получава нормален закон и математическите очаквания и дисперсии (или квадратът на вероятните отклонения) се сумират.

Правилото за състава на нормалните закони може да бъде обобщено за случай на произволен брой независими случайни променливи.

Ако има n независими случайни променливи: подчинени на нормални закони с дисперсионни центрове и стандартни отклонения, тогава стойността също е подчинена на нормалния закон с параметри

Ако системата от случайни променливи (X, Y) е разпределена според нормалния закон, но величините X, Y са зависими, тогава е лесно да се докаже, както преди, въз основа на общата формула (6.3.1), че законът за разпределение на количеството също е нормален закон. Центровете на разсейване все още добавят алгебрично, но за стандартните отклонения правилото става по-сложно: , където r е коефициентът на корелация на стойностите X и Y.

При добавяне на няколко зависими случайни променливи, които в своята съвкупност се подчиняват на нормалния закон, законът за разпределение на сумата също се оказва нормален с параметри

където е коефициентът на корелация на величините X i , X j , а сумирането се простира до всички различни комбинации по двойки от величините .

Видяхме много важно свойство на нормалния закон: когато нормалните закони се комбинират, отново се получава нормален закон. Това е така нареченото "свойство на стабилност". Законът за разпределението се казва стабилен, ако чрез съставяне на два закона от този тип отново се получи закон от същия тип. По-горе показахме, че нормалният закон е стабилен. Много малко закони за разпределението имат свойството на стабилност. Законът за равномерната плътност е нестабилен: при съставянето на два закона за еднаква плътност в секции от 0 до 1 получихме закона на Симпсън.

Стабилността на нормалния закон е едно от съществените условия за неговото широко приложение в практиката. Свойството на стабилност обаче, освен нормалното, притежават и някои други закони на разпределението. Характеристика на нормалния закон е, че когато се съставят достатъчно голям брой практически произволни закони за разпределение, общият закон се оказва произволно близък до нормалния, независимо какви са били законите за разпределение на термините. Това може да се илюстрира, например, чрез съставяне на състава от три закона с еднаква плътност в секции от 0 до 1. Полученият закон за разпределение g(z) е показан на фиг. 6.3.1. Както се вижда от чертежа, графиката на функцията g(z) е много подобна на графиката на нормалния закон.

Определение. Случайните променливи Х 1 , Х 2 , …, Х n се наричат ​​независими, ако за произволни x 1, x 2 , …, x n събитията са независими

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

От определението директно следва, че за независими случайни променливи X 1, X 2, …, X nфункция на разпределение н-размерна случайна променлива х = X 1, X 2, …, X nе равно на произведението на функциите на разпределение на случайните величини X 1, X 2, …, X n

Ф(х 1 , x2, …, x n) = Ф(х 1)Ф(x2)…Ф(x n). (1)

Нека диференцираме равенството (1) нпъти по х 1 , x2, …, x n, получаваме

стр(х 1 , x2, …, x n) = стр(х 1)стр(x2)…стр(x n). (2)

Може да се даде друга дефиниция на независимостта на случайните променливи.

Ако законът за разпределение на една произволна променлива не зависи от това какви възможни стойности са взели други произволни променливи, тогава такива случайни променливи се наричат ​​независими в съвкупността.

Например се купуват два лотарийни билета от различни издания. Нека бъде х– сумата на печалбите за първия билет, Й– сумата на печалбите за втория билет. случайни променливи хИ Й- независими, тъй като спечелването на един билет няма да повлияе на закона за разпределение на другия. Но ако билетите са от същия проблем, тогава хИ Й- зависим.

Две случайни променливи се наричат ​​независими, ако законът за разпределение на една от тях не се променя в зависимост от възможните стойности, които е взела другата променлива.

Теорема 1(конволюции) или "теоремата за плътността на сумата от 2 случайни променливи".

Нека бъде х = (X 1;X 2) е независима непрекъсната двумерна случайна променлива, Й = X 1+ X 2. След това плътността на разпределение

Доказателство. Може да се покаже, че ако , тогава

където х = (х 1 , х 2 , …, X n). Тогава ако х = (х 1 , х 2), след това функцията на разпределение Й = х 1 + х 2 може да се дефинира както следва (фиг. 1) -

В съответствие с дефиницията, функцията е плътността на разпределението на случайната променлива Y = X 1 + X 2 , т.е.

py (т) = което трябваше да се докаже.

Нека изведем формула за намиране на разпределението на вероятностите на сумата от две независими дискретни случайни променливи.

Теорема 2.Нека бъде х 1 , х 2 – независими дискретни случайни променливи,

Доказателство. Представете си събитие А х = {х 1 +х 2 = х) като сбор от несъвместими събития

А х = å( х 1 = хаз ; х 2 = х– хи).

Защото х 1 , х 2 - независими тогава П(х 1 = хаз ; х 2 = х– хи) = П(х 1 = хи) П(х 2 = х-хи), тогава

П(А х) = П(å( х 1 = хаз ; х 2 = x – x i)) = å( П(х 1 = x i) П(х 2 = х-хи))

Q.E.D.

Пример 1Нека бъде х 1 , х 2 - независими случайни променливи с нормално разпределение с параметри н(0;1); х 1 , х 2 ~ н(0;1).

Нека намерим плътността на разпределението на тяхната сума (означаваме х 1 = х, Й = х 1 +х 2)

Лесно е да се види, че интегралната функция е плътността на разпределението на нормална произволна променлива с параметри но= , , т.е. интегралът е 1.

Функция py(т) е плътността на нормалното разпределение с параметри a = 0, s = . Така сумата от независими нормални случайни променливи с параметри (0,1) има нормално разпределение с параметри (0,), т.е. Й = х 1 + х 2 ~ н(0;).

Пример 2. Тогава нека са дадени две дискретни независими случайни променливи с разпределение на Поасон

където k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

По теорема 2 имаме:

Пример 3Нека бъде х 1, х 2 - независими случайни променливи с експоненциално разпределение . Да намерим плътността Й= х 1 +х 2 .

Означете х = х 1. Тъй като х 1, х 2 са независими случайни променливи, тогава използваме „теоремата за конволюцията“

Може да се покаже, че ако сумата ( Х iимат експоненциално разпределение с параметър l), тогава Й= има разпределение, наречено разпределение на Erlang ( н- 1) поръчка. Този закон е получен чрез моделиране на работата на телефонните централи в първите работи по теорията на опашката.

В математическата статистика често се използват законите за разпределение на случайни променливи, които са функции на независими нормални случайни променливи. Нека разгледаме три закона, които най-често се срещат при моделирането на случайни явления.

Теорема 3.Ако случайните променливи са независими х 1, ..., X n, то функциите на тези случайни променливи също са независими Й 1 = е 1 (х 1), ...,Y n = f n(X n).

Разпределение на Пиърсън(от 2 -разпределение). Нека бъде х 1, ..., X nса независими нормални случайни променливи с параметри но= 0, s = 1. Съставете произволна променлива

По този начин,

Може да се покаже, че плътността за x > 0 има формата , където k n е някакъв коефициент за изпълнение на условието. Тъй като n ® ¥, разпределението на Пиърсън клони към нормалното разпределение.

Нека Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), тогава случайни променливи ~ N(0,1). Следователно случайната променлива има c 2 разпределение с n степени на свобода.

Разпределението на Пиърсън е таблично и се използва в различни приложения на математическата статистика (например при тестване на хипотезата, че законът за разпределение е последователен).

РАЗПРЕДЕЛИТЕЛНИ ФУНКЦИИ

Нека бъде x(k)е някаква случайна променлива. Тогава за всяка фиксирана стойност x произволно събитие x(k) хдефиниран като набор от всички възможни резултати ктакъв, че x(k) x. По отношение на първоначалната вероятностна мярка, дадена в пространството на извадката, функция на разпределениеP(x)дефинирана като вероятност, приписана на набор от точки к x(k) x. Имайте предвид, че наборът от точки кудовлетворяване на неравенството x(k) x, е подмножество от множеството точки, които отговарят на неравенството x(k) . формално

Очевидно е, че

Ако диапазонът от стойности на произволната променлива е непрекъснат, което се приема по-долу, тогава плътност на вероятността(едноизмерен) p(x)се определя от диференциалната връзка

(4)

следователно,

(6)

За да може да се разглеждат дискретни случаи, е необходимо да се допусне наличието на делта функции в състава на плътността на вероятността.

ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ

Нека произволната променлива x(k)приема стойности от диапазона от -  до + . Означава(в противен случай, очаквана стойностили очаквана стойност) x(k)се изчислява с помощта на съответното преминаване към границата в сбора от произведения на стойностите x(k)относно вероятността тези събития да настъпят:

(8)

където Е- математическо очакване на израза в квадратни скоби по индекс к. Математическото очакване на реална еднозначна непрекъсната функция се дефинира по подобен начин ж(х)от случайна променлива x(k)

(9)

където p(x)- плътност на вероятността на случайна величина x(k).По-специално, вземане g(x)=x,получаваме среден квадрат x(k) :

(10)

Дисперсияx(k)дефиниран като средния квадрат на разликата x(k)и средната му стойност,

т. е. в този случай g(x)= И

По дефиниция, стандартно отклонениеслучайна величина x(k),обозначено , е положителната стойност на квадратния корен на дисперсията. Стандартното отклонение се измерва в същите единици като средното.

НАЙ-ВАЖНИТЕ ФУНКЦИИ ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

РАВНО (ПРАВЪГЪЛНО) РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ.

Да приемем, че експериментът се състои в произволен избор на точка от интервала [ а, б] , включително неговите крайни точки. В този пример като стойност на произволна променлива x(k)можете да вземете числовата стойност на избраната точка. Съответната функция на разпределение има формата

Следователно, плътността на вероятността се дава по формулата

В този пример изчислението на средната стойност и дисперсията с помощта на формули (9) и (11) дава

НОРМАЛНО (ГАУСОВО) РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

, - средноаритметично, - RMS.

Стойността на z, съответстваща на вероятността P(z)=1-, т.е.

ЧИ - КВАДРАТНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Нека бъде - n независими случайни променливи, всяка от които има нормално разпределение с нулева средна и единична дисперсия.

Хи-квадрат произволна променлива с n степени на свобода.

плътност на вероятността.

DF: 100 - процентни пункта - разпределенията се означават с , т.е.

средната стойност и дисперсията са равни

t - РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ НА УЧЕНИЦИ

y, z са независими случайни променливи; y - има - разпределение, z - нормално разпределено с нулева средна и единична дисперсия.

стойност - има т- Разпределение на Студент с n степени на свобода

DF: 100 - процентна точка t - посочено е разпределението

Средната и дисперсията са равни

F - РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Независими случайни променливи; има - разпределение със степени на свобода; разпределение със степени на свобода. Случайна стойност:

,

F е разпределена случайна променлива със и степени на свобода.

,

DF: 100 - процентен пункт:

Средната стойност и дисперсията са равни:

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА СУМАТА

ДВЕ СЛУЧАЙНИ ПРОМЕНИМИ

Нека бъде x(k)И y(k)са случайни променливи с обща плътност на вероятностите p(x,y).Намерете плътността на вероятността на сумата от случайни променливи

На фиксирано хние имаме y=z–x.Ето защо

На фиксирано zстойности хстартирайте интервала от – до +. Ето защо

(37)

откъдето може да се види, че за да се изчисли желаната плътност на сумата, трябва да се знае първоначалната съвместна плътност на вероятностите. Ако x(k)И y(k)са независими случайни променливи с плътности и съответно тогава и

(38)

ПРИМЕР:СУМАТА ОТ ДВЕ НЕЗАВИСИМИ, РАВНО РАЗПРЕДЕЛЕНИ СЛУЧАЙНИ ПРОМЕНИМИ.

Нека две случайни независими променливи имат плътност от вида

В други случаи Нека намерим плътността на вероятността p(z) на тяхната сума z= x+ y.

Плътност на вероятността за т.е за следователно, хпо-малко от z. В допълнение, не е равно на нула за По формула (38), намираме, че

Илюстрация:

Плътността на вероятността на сбора от две независими, равномерно разпределени случайни променливи.

СЛУЧАЙНО ПРЕОБРАЗУВАНЕ

СТОЙНОСТИ

Нека бъде x(t)- произволна променлива с плътност на вероятността p(x),остави g(x)е еднозначна реална непрекъсната функция на х. Помислете първо за случая, когато обратната функция x(g)е също еднозначна непрекъсната функция на ж.Плътност на вероятността p(g),съответстваща на произволна променлива g(x(k)) = g(k),може да се определи от плътността на вероятността p(x)случайна величина x(k)и производна dg/dxпри допускането, че производната съществува и е различна от нула, а именно:

(12)

Следователно в предела dg/dx#0

(13)

Използвайки тази формула, следва от дясната й страна вместо променлива хзаменете подходящата стойност ж.

Помислете сега за случая, когато обратната функция x(g)е валиден н-ценна функция на ж, където не цяло число и всички n стойности са еднакво вероятни. Тогава

(14)

ПРИМЕР:

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ХАРМОНИЧНАТА ФУНКЦИЯ.

Хармонична функция с фиксирана амплитуда хи честота еще бъде произволна променлива, ако неговият начален фазов ъгъл  =  (к)- произволна стойност. По-специално, нека тфиксирани и равни т о, и нека хармоничната случайна променлива има формата

Нека се преструваме  (к)има еднаква плътност на вероятността p( ) мил

Намерете плътността на вероятността p(x)случайна величина x(k).

В този пример директната функция х( ) недвусмислено и обратната функция  (х)двусмислено.

Нека има система от две случайни променливи хИ Й, чието общо разпределение е известно. Задачата е да се намери разпределението на произволна променлива. Като примери за SV Зможете да донесете печалба от две предприятия; броят на избирателите, гласували по определен начин от две различни секции; сбора от точките на двата зара.

1. Случаят с две DSV.Каквито и стойности да приемат дискретните CV (под формата на крайна десетична дроб, с различни стъпки), ситуацията почти винаги може да се сведе до следния специален случай. Количества хИ Йможе да приема само цели числа, т.е. където . Ако първоначално са били десетични дроби, тогава те могат да бъдат направени цели числа, като се умножат по 10 k. А на липсващите стойности между върховете и минимумите могат да се присвоят нулеви вероятности. Нека съвместното разпределение на вероятностите е известно. Тогава, ако номерираме редовете и колоните на матрицата според правилата: , тогава вероятността за сбора е:

Елементите на матрицата се добавят по един от диагоналите.

2. Случаят с два NSW.Нека е известна плътността на разпределението на ставите. Тогава плътността на разпределение на сумата:

Ако хИ Йнезависими, т.е. , тогава

Пример 1 X, Y– независимо, равномерно разпределено SW:

Нека намерим плътността на разпределението на произволната променлива.

Очевидно е, че ,

ЮЗ Зможе да приема стойности в интервала ( c+d; а+б), но не за всички х. извън този интервал. В координатната равнина ( х, z) диапазонът от възможни стойности на количеството zе паралелограм със страни х=от; х=а; z=x+d; z=x+b. Във формулата за границите на интеграция ще бъде ° СИ а. Въпреки това, поради факта, че в замяната y=z-x, за някои стойности zфункция . Например, ако ° С , след това при z=x+cи всякакви хще има: . Следователно изчисляването на интеграла трябва да се извършва отделно за различни области на промяна в стойността z, във всеки от които границите на интеграция ще бъдат различни, но за всички хИ z. Ще направим това за специалния случай, когато а+г< b+c . Нека разгледаме три различни области на промяна в количеството zи за всеки от тях намираме .