цели:
образователен: да формират умение за привеждане на дроби до най-малкия общ знаменател и намиране на допълнителен фактор в по-сложни случаи; да формира способност за превеждане на обикновени дроби в десетични;
развиващи се: развиват логическо мислене, памет,компютърните умения на учениците
Образователна: култивиране на познавателен интерес към предмета
По време на занятията
I. Организационен момент
II. Словесно броене
1. Намерете най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на числата: 10 и 12; 12 и 8; 15 и 9; 6 и 4; 6 и 8; 12 и 15; 12 и 10; 16 и 20; 11 и 7.
2. Двама туристи напуснаха една и съща точка по едно и също време в различни посоки. Скоростта на първия турист е 6 км/ч, скоростта на втория е 7 км/ч. На колко разстояние ще са те след 3 часа?
3. Помпата изпълва басейна за 48 минути. Каква част от басейна ще напълни помпата за 1 минута?
4. В семейството има петима сина, всеки от тях има по една сестра. Колко деца има в семейството? (6 деца.)
III . Съобщение по темата на урока
- В последния урок доведохме дроби до нов знаменател. Днес ще намерим общ знаменател за няколко дроби и ще разберем кой е най-малкият общ знаменател на дробите.
IV. Изучаване на нов материал
1. Всякакви 2 дроби могат да се сведат до един и същ знаменател или, с други думи, до общ знаменател.
- Намерете някои общи знаменатели на дроби. Назовете техния най-малък общ знаменател.
Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. .
В същото време, като правило, те се опитват да изберат най-малкия общ знаменател (LCD) - тогава изчисленията с дроби се оказват по-лесни. Най-малкият общ знаменател е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.
2. Нека разгледаме примери как да намерим NOZ от дроби.
1) Да намалим дробите 7/21 и 2/7 до общ знаменател.
- Какво е особеното на числата 21 и 7? (21 се дели равномерно на 7.)
(Разсъждението води учителя.)
- По-големият знаменател - числото 21 - се дели на по-малкия знаменател 7, следователно може да се приеме като общ знаменател на тези дроби. Този общ знаменател е възможно най-малкият.
Това означава, че трябва само да намалите дроба 2/7 до знаменателя 21. За да направите това, ще намерим допълнителен фактор: 21: 7 = 3.
- Какъв извод може да се направи? (Ако един знаменател на дроб се дели на друг, тогава NOZ ще има по-голям знаменател.)
2) Да намалим дробите 3/4 и 2/5 до общ знаменател.
- Какво можете да кажете за числата 4 и 5? (Числата са относително прости.) Общият знаменател на тези дроби трябва да се дели както на 4, така и на 5, т.е. бъде тяхното общо кратно. Има безкрайно много общи кратни на 4 и 5: 20, 40, 60, 80 и т. н. Най-малкото кратно на 20 е произведението на 4 и 5.
И така, трябва да доведете всяка от дробите до знаменателя 20:
- Какъв извод може да се направи? (Ако знаменателите на дробите са взаимно прости, тогава най-малкият общ знаменател е тяхното произведение.)
V. Физическо възпитание
VI. Работа по задача
VII. Затвърдяване на изучавания материал
1. No 279 стр. 45 (устно). Работете по двойки.
Някой от двойката отговаря на учителя.
- Защо дробът 3/5 не може да бъде намален до знаменател 36? (36 не е кратно на 5.)
2. № 283 (а-е) стр. 46 (с подробен коментар на дъската и в тетрадките, а) б) запишете подробно решението, след което го произнесете устно, запишете само дроби с нов знаменател ).
Решение:
Допълнителни множители: 24:6 = 4, 24:8 = 3.
Допълнителни множители: 45:9 = 5, 45:15 = 3.
3. Назовете числата, които:
а) повече от 4/7, но по-малко от 5/7; б) повече от 1/6, но по-малко от 2/6; в) повече от 5/8, но по-малко от 3/4.
- Какво трябва да се направи, за да се изпълни задачата? (Доведете дробите до нов знаменател.)
4. No 281 стр. 46 (в) (един ученик на гърба на дъската, останалите в тетрадки, самопроверка).
Решение:
VIII. Самостоятелна работа
Вариант I
1. Доведете дробите до нов знаменател 24:
2. Приведете дроба 3/5 до нов знаменател: 15; 25; 40; 55; 250; 300
Вариант II
1. Доведете дробите до нов знаменател 48:
2. Приведете дроба 4/7 до нов знаменател: 14; 28; 49; 70; 210; 350
3. Изразете в стотни от дроб:
Вариант III (за по-напреднали студенти)
1. Доведете дробите до нов знаменател 84:
2. Приведете дроба 5/8 до нов знаменател: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.
3. Изразете в стотни от дроб:
IX. Затвърдяване на изучавания материал
1. No 290 стр. 47 (устно). Работете по двойки.
- Какво е използвано в решението? (Основното свойство на дроб.)
- Формулирайте основното свойство на дроб.
(Отговор: a) x = 3, b) x = 5, c) x = 5, d) x = 7.)
2. No 289 (в, г) стр. 47 (самостоятелно, взаимна проверка).
- Кой е най-големият общ делител на числителя и знаменателя?
X. Обобщаване на урока
- Кое число може да бъде общ знаменател на две дроби?
- Как да доведем дробите до най-малкия общ знаменател?
- Какво е правилото за редуциране на дроби до общ знаменател?
Домашна работа:
Тази статия обяснява, как да намерим най-малкия общ знаменатели как да доведем дроби до общ знаменател. Първо са дадени определенията за общия знаменател на дробите и най-малкия общ знаменател, а също така е показано как се намира общият знаменател на дробите. Следва правило за редуциране на дроби до общ знаменател и са разгледани примери за прилагане на това правило. В заключение се анализират примери за привеждане на три или повече дроби към общ знаменател.
Навигация в страницата.
Какво се нарича свеждане на дроби до общ знаменател?
Сега можем да кажем какво означава да доведем дроби до общ знаменател. Привеждане на дроби до общ знаменателе умножението на числителите и знаменателите на дадени дроби по такива допълнителни множители, че резултатът е дроби със същите знаменатели.
Общ знаменател, определение, примери
Сега е време да определим общия знаменател на дробите.
С други думи, общият знаменател на някакъв набор от обикновени дроби е всяко естествено число, което се дели на всички знаменатели на тези дроби.
От посоченото определение следва, че този набор от дроби има безкрайно много общи знаменатели, тъй като има безкраен брой общи кратни на всички знаменатели на първоначалния набор от дроби.
Определянето на общия знаменател на дробите ви позволява да намерите общите знаменатели на дадени дроби. Нека, например, дадени дроби 1/4 и 5/6, техните знаменатели са съответно 4 и 6. Положителните общи кратни на 4 и 6 са числата 12, 24, 36, 48, ... Всяко от тези числа е общият знаменател на дробите 1/4 и 5/6.
За да консолидирате материала, разгледайте решението на следния пример.
Пример.
Възможно ли е дробите 2/3, 23/6 и 7/12 да се сведат до общ знаменател 150?
Решение.
За да отговорим на този въпрос, трябва да разберем дали числото 150 е общо кратно на знаменателите 3, 6 и 12. За да направите това, проверете дали 150 се дели равномерно на всяко от тези числа (ако е необходимо, вижте правилата и примерите за деление на естествени числа, както и правилата и примерите за деление на естествени числа с остатък): 150:3 =50, 150:6=25, 150:12=12 (почивка 6) .
Така, 150 не се дели на 12, така че 150 не е общо кратно на 3, 6 и 12. Следователно числото 150 не може да бъде общ знаменател на оригиналните дроби.
Отговор:
Забранено е.
Най-малкият общ знаменател, как да го намеря?
В множеството от числа, които са общи знаменатели на тези дроби, има най-малкото естествено число, което се нарича най-малък общ знаменател. Нека формулираме определението за най-малкия общ знаменател на тези дроби.
Определение.
Най-малък общ знаменателе най-малкият брой от всички общи знаменатели на тези дроби.
Остава да се справим с въпроса как да намерим най-малкия общ делител.
Тъй като е най-малкият положителен общ делител на даден набор от числа, LCM на знаменателите на тези дроби е най-малкият общ знаменател на тези дроби.
По този начин намирането на най-малкия общ знаменател на дробите се свежда до знаменателите на тези дроби. Нека да разгледаме примерно решение.
Пример.
Намерете най-малкия общ знаменател на 3/10 и 277/28.
Решение.
Знаменателите на тези дроби са 10 и 28. Желаният най-малък общ знаменател се намира като LCM на числата 10 и 28. В нашия случай е лесно: тъй като 10=2 5 и 28=2 2 7 , тогава LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .
Отговор:
140 .
Как да доведем дробите до общ знаменател? Правило, примери, решения
Обикновените дроби обикновено водят до най-малкия общ знаменател. Сега ще запишем правило, което обяснява как да намалим дробите до най-малкия общ знаменател.
Правилото за намаляване на дробите до най-малкия общ знаменателсе състои от три стъпки:
- Първо, намерете най-малкия общ знаменател на дробите.
- Второ, за всяка дроб се изчислява допълнителен фактор, за който най-малкият общ знаменател се разделя на знаменателя на всяка дроб.
- На трето място, числителят и знаменателят на всяка дроб се умножават по нейния допълнителен фактор.
Нека приложим посоченото правило към решението на следния пример.
Пример.
Намалете дробите 5/14 и 7/18 до най-малкия общ знаменател.
Решение.
Нека изпълним всички стъпки от алгоритъма за намаляване на дробите до най-малкия общ знаменател.
Първо, намираме най-малкия общ знаменател, който е равен на най-малкото общо кратно на числата 14 и 18. Тъй като 14=2 7 и 18=2 3 3 , тогава LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .
Сега изчисляваме допълнителни фактори, с помощта на които дробите 5/14 и 7/18 ще бъдат намалени до знаменателя 126. За дроб 5/14 допълнителният коефициент е 126:14=9 , а за дроб 7/18 допълнителният множител е 126:18=7 .
Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите 5/14 и 7/18 с допълнителни множители съответно 9 и 7. Имаме и 
.
И така, намаляването на дроби 5/14 и 7/18 до най-малкия общ знаменател е завършено. Резултатът беше дроби 45/126 и 49/126.
Тема: Свеждане на дроби до общ знаменател. Оценка: 5 УМК: Математика. 5 клас / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шаригин и други, издателство "Просвещение" Мястото на урока в системата от уроци: първи урок в блока, урокът за запознаване с типологията на задачите Цел: организиране на дейности за възприемане , разбиране и първично запаметяване на нови знания и начини на дейност. Задачи: Образователни: - да затвърдят умението за намиране на най-малкото общо кратно на числата; - въвеждат понятието допълнителен фактор; - да развива умението за намиране на допълнителен множител и привеждане на дроби до нов общ знаменател; - да се затвърдят знанията за основното свойство на дроб и умението за намаляване на дроби. Развиващи: - разширяване на кръгозора на учениците; - развитие на методи на умствена дейност, памет, внимание, способност за сравняване, анализиране, извеждане на изводи; - повишаване на информационната култура на учениците, интереса към предмета; - развитие на познавателна активност, положителна мотивация за субекта; - развиване на потребност от самообразование. Възпитателни: - възпитание на отговорност, самостоятелност, способност за работа в екип; - покажете математиката като интересна наука, превърнете урока в необичаен урок, в който всеки ученик може да се докаже. Планирани резултати: Лични: - проявяват интерес към изучаването на темата; - да покажат желание да приложат знанията си на практика; - изразявайте правилно мислите си; - разбират смисъла на задачата; - възприемат адекватно оценката на учителя и съучениците. Метасубект: . Когнитивно UUD: - способност за трансформиране на модели с цел идентифициране на общи закони, които определят предметната област; - продължава формирането на умението за намиране на най-малкото общо кратно; . Регулаторен UUD: - самостоятелно поставяне на нови учебни цели, като задава въпроси за непознатото; - да изпълнява образователни задачи в съответствие с целта; - да съпоставят придобитите знания с реалния живот; - да извършват възпитателното действие в съответствие с плана, да планират собствените си дейности. Комуникативно UUD: - да формулира твърдение, мнение; - способност за обосноваване, защита на мнението; - съгласуване на позициите с партньор и намиране на общо решение; - компетентно да използва речеви средства за представяне на резултата. Тема: - привеждане на дроб до нов знаменател; - да се изведе понятието допълнителен фактор; - да се изведе правило: как да се доведе дроб до най-малкия общ знаменател. Структура и ход на урока Етап на урока Задачи на етапа Дейности на учителя Дейности на учениците Време (в минути) 1 1. Организационен етап За създаване на благоприятно психологическо настроение за работа Включват се в деловия ритъм на урока. 2. Актуализация на знанията Актуализация на основни знания и методи на действие. Поздрав, проверка на готовността за урока, организиране на вниманието на децата. Организация на устното броене Участвайте в работата по повторение: в разговор с учителя те отговарят на поставените въпроси. 7 3. Определяне на целта и задачите на урока. Мотивация на учебната дейност на учениците. Осигуряване на мотивация за учене от децата, тяхното приемане на целите на урока. Мотивира учениците, заедно с тях определя целта на урока; насочва вниманието на учениците към важността на темата. определят темата и целта на урока. 4 Формиран UUD Communicative: планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторни: организиране на собствени учебни дейности Лични: мотивация за учене Когнитивни: структуриране на собствените знания. Комуникативно: организиране и планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторен: контрол и оценка на процеса и резултатите от дейностите. Лично: оценка на усвоения материал. Когнитивни: способност за съзнателно и доброволно изграждане на речево изявление в устна форма. Лично: самоопределяне. Нормативно: поставяне на цели. Комуникативно: способност за влизане в диалог, за участие в колективно обсъждане на въпроса. 4. Първично затвърдяване на нови знания Показване на разнообразни задачи 5. Физическа промяна на дейността. 6. Затвърждаване на нови знания и умения 6. Контрол на усвояването, обсъждане на допуснатите грешки и тяхното коригиране. 7. Рефлексия (обобщаване на урока) 8. Информация за домашните Организация и контрол върху процеса на решаване на задачи. Работете по двойки, самостоятелно и съвместно с учителя по задачите. 10 Променете дейностите, осигурете емоционално облекчение на учениците. Практикувайте умения Организация и контрол върху процеса на решаване на задачи. Учениците смениха дейности и са готови да продължат да работят. 2 Работете по двойки, самостоятелно и заедно с учителя по задачите. 10 Дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици. Той разкрива качеството и нивото на усвояване на знанията, а също така установява причините за идентифицираните грешки. 4 Определете количествено работата на учениците. Уверете се, че децата разбират съдържанието и методите за изпълнение на домашните. Обобщава работата на класа като цяло. Учениците анализират работата си, изразяват трудностите си на глас и обсъждат правилността на решаването на задачите. Учениците подават възложени задачи. Коментира домашното. Учениците записват задачата в дневниците си. 4 3 Когнитивно: формиране на интерес към тази тема. Лично: формиране на готовност за самообразование. Комуникативни: да могат да формулират своите мисли устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Когнитивно: формирането на интерес към тази тема. Лично: формиране на готовност за самообразование. Комуникативни: да могат да формулират своите мисли устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Лично: формиране на положително самочувствие Комуникативно: Регулаторно: способност за независим адекватен анализ на правилността на действията и извършване на необходимите корекции. Нормативна: оценка на собствената дейност в урока Етап на урока Задачи на етапа Дейност на учителя Дейност на учениците Vr Сформиран УУД 1. Организационен етап Създаване на благоприятно психологическо отношение към работата Учителят приветства учениците, проверява готовността им за урока, организация на вниманието на децата. Включено в деловия ритъм на урока. 1 Комуникативно: планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Нормативно: организиране на собствени учебни дейности Лични: мотивация за учене Актуализиране на основни знания и методи на действие. - Преди да започнем да изучаваме нова тема, ще повторим материала, изучаван в предишните уроци. За да направим това, ще играем играта Вярно/Невярно. Вземете работния лист на бюрото. Моля, отговорете на въпроса: Игра Вярно/Невярно 7 Когнитивно: структуриране на собствените си знания. Комуникативно: организиране и планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторен: контрол и оценка на процеса и резултатите от дейностите. Лично: оценка на усвоения материал. 2. Актуализация на знанията "Без познаване на дробите никой не може да бъде признат за знаещ по аритметика" Т. Цицерон "+" Вярно / "-" неправилно Въпрос 3 5 1. Вярно ли е, че дробите и имат различни 4 6 знаменатели ? 2. Вярно ли е, че числото 12 е най-малкото общо кратно на числата 4 и 6? 3 Изпълнявайте задачи; - устно отговорете на въпроси 5 3. Вярно ли е, че дроби 4 и 6 могат да се сведат до знаменател 12? 3 9 5 10 4. Вярно ли е, че дробите 4 и 12 са равни? 5. Вярно ли е, че дробите 6 и 12 са равни? - Момчета, какви основни понятия трябваше да запомните, за да отговорите на въпросите? (ОК, Основното свойство на дробите) - маркирайте върху координатната линия на дроба: Маркирайте посочените точки на координатната линия, като обсъдите коя е необходима а) ; 1 5 3 9 2 1 б) 3 ; дефинирайте един сегмент 2 изход към проблема: как да бъде? (Намерете NOC). И сега запишете дробите, така че веднага да е ясно кой сегмент от единицата трябва да изберете 3. Определяне на целта и задачите на урока. Мотивация на учебната дейност на учениците. 4. Усвояване на нов материал Осигуряване на мотивация за учене от децата, приемане от тях на целите на урока. Какво правило използвахте? Какво е? Вижте дробите и ми кажете какво се случи? Как са се променили? Намалете дробите до общ знаменател. Произнасят Основното свойство на дроба – учителят задава поредица от въпроси, необходими за: 1) формулиране на темата на урока; 2) формулиране на целта на урока; 3) индивидуални задачи. - Запишете датата в тетрадка, определете темата и целта на урока. Можете ли да познаете темата на урока? Посочете темата и целта на урока. Каква задача за днешния урок ще си постави всеки от вас? Начертайте стълба от 5 стъпки в полетата и маркирайте на коя сте на този етап от урока по тази тема. Формиране на идеи за решаване на задачи по части. Разсъждават, отговарят на въпроси, правят заключение Какво е необходимо за по-добро и по-лесно усвояване на тази тема? Защо трябва да знаете как да намалите дробите до общ знаменател? Може ли някой от вас да назове стъпките на алгоритъма? Опитайте се да хвърлите 7 1 3 1 ; ; дроби към общ знаменател: ; 8 4 16 2 И така, какви са стъпките на алгоритъма? Намаляване на дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) За да доведете няколко дроби до най-малкия общ знаменател, ви е необходимо: 4 Когнитивни: способност за съзнателно и произволно изграждане на речево изявление в устна форма. Лично: самоопределяне. Нормативно: поставяне на цели. Комуникативна: способност за влизане в диалог, участие в колективна дискусия по въпроса Способност за изразяване на своята гледна точка и аргументиране 10 Когнитивно: формиране на интерес към тази тема. Лично: формиране на готовност за самообразование. Комуникативни: да могат да формулират своите мисли устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. - Изградете монологичен разказ в съответствие с поставените въпроси; формулирайте темата и целите на урока. - Отговорете на въпроси Създайте алгоритъм. Отговорете на въпроси, опитайте се да изпълните задачата. Самостоятелно, взаимен контрол Участвайте в съставянето на алгоритъма, Запишете алгоритъма в тетрадка 1) намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде техният най-малък общ знаменател; 2) разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб; 3) умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен фактор. 5. Физическо възпитание 6. Прилагане на знания и умения в нова ситуация Променете дейностите, осигурете емоционално облекчение на учениците. Променете дейностите, осигурете емоционално разтоварване на учениците. Покажете различни задачи И така, формулирахме алгоритъм за редуциране на дроби до обща основа, проверете какво е написано в учебника и дали текстът съвпада с нашия алгоритъм? А сега нека изпълним някои задачи от учебника. No 806 „Вярно/Невярно” No 807 (a-e), според формулировката на задачата, какво може да се каже за общите знаменатели? 6. Контрол на усвояването, обсъждане на допуснатите грешки и тяхното коригиране. Умение за самостоятелно прилагане на знанията в стандартна, но нова ситуация, самоконтрол, самопроверка Карти със задачи 1 125 28 а) , ; 2 150 63 в) 4 16 17 б) , ; 21 56 35 7 5 444 120 . 12 18 777 720 Учениците смениха дейности и са готови да продължат да работят. 2 Работете по двойки по задачата, направете изводи. - учениците изпълняват задачата, 10 Работа по двойки Учениците изпълняват в тетрадки, един на черната дъска. Извършете кръстосана проверка. Само оценка. 5 Когнитивно: формиране на интерес към тази тема. Лично: формиране на готовност за самообразование. Комуникативни: да могат да формулират своите мисли устно; слушайте и разбирайте речта на другите; взаимодействие на учениците при работа по двойки. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Лично: формиране на положително самочувствие Комуникативно: Регулаторно: способност за независим адекватен анализ на правилността на изпълнението на действията и извършване на необходимите корекции. 7. Рефлексия (обобщаване на урока) Оценяване (подбор и осъзнаване от учениците на вече наученото и на това, което тепърва предстои, осъзнаване на качеството и нивото на усвояване); За какво говорихме днес? Каква е нашата цел днес? Постигнахме ли тази цел? Всичко ясно ли беше, всички имаха ли време? Защо е важно да знаем как да намалим дробите до най-малкия общ знаменател? А сега в тетрадките си нарисувайте стълба от пет стъпала и отбележете кое стъпало по тази тема сте сега, изкачихте ли я? . Как да стигнем до най-високото стъпало? Искам да завърша урока със следното твърдение: „Не е достатъчно само да разбереш проблема, нужно е желанието да го разрешиш. Невъзможно е да се реши труден проблем без силно желание, но с такова желание е възможно. Където има желание, има и начин” Д. Поя Учениците отговарят на въпроси 3 Когнитивни: размисъл върху методите и условията на действие, адекватно разбиране на причините за успех и неуспех, контрол и оценка на процеса и резултатите от дейностите Комуникативно: способност за изразяване на мислите, аргументация Урокът приключи! Всички сте страхотни! Благодаря ви за вашата работа! 8. Информация за домашните. Уверете се, че децата разбират целта, съдържанието и методите за правене на домашна работа. Запишете домашното: съставете и решете проблема на части. No 807 (ж-к) Нормативна: оценка на собствената дейност в урока Учениците записват задачата в дневниците си. 2
В този урок ще разгледаме намаляването на дроби до общ знаменател и ще решим задачи по тази тема. Нека да дадем определение на понятието общ знаменател и допълнителен фактор, не забравяйте за взаимно простите числа. Нека да дефинираме концепцията за най-малкия общ знаменател (LCD) и да решим редица задачи, за да го намерим.
Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
Урок: Намаляване на дроби до общ знаменател
Повторение. Основно свойство на дроб.
Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, тогава ще се получи дроб, равна на него.
Например, числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат разделени на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Можете също да извършите обратното преобразуване, като умножите числителя и знаменателя на дроба по 2. В този случай казваме, че сме намалили дробта до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълнителен фактор.
Заключение.Една дроб може да бъде намалена до всеки знаменател, който е кратен на знаменателя на дадената дроб. За да доведем дроб до нов знаменател, нейният числител и знаменател се умножават с допълнителен фактор.
1. Доведете дроба до знаменателя 35.
Числото 35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Така че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделяме 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроб по 5.
2. Доведете дроба до знаменателя 18.
Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделяме новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножаваме числителя и знаменателя на тази дроб по 3.
3. Доведете дроба до знаменателя 60.
Като разделим 60 на 15, получаваме допълнителен множител. Равно е на 4. Нека умножим числителя и знаменателя по 4.
4. Доведете дроба до знаменателя 24
В прости случаи редуцирането до нов знаменател се извършва в ума. Обичайно е да се посочи само допълнителен фактор зад скобата малко вдясно и над оригиналната фракция.
Една дроб може да бъде намалена до знаменател 15, а една дроб може да бъде намалена до знаменател 15. Дробите имат общ знаменател 15.
Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. За простота дробите се редуцират до най-малкия общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.
Пример. Намалете до най-малкия общ знаменател на дроба и .
Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен множител за първата и втората дроб. За да направите това, разделяме 12 на 4 и на 6. Три е допълнителен фактор за първата дроб, а две за втората. Довеждаме дробите до знаменателя 12.
Сведохме дробите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, които са им равни и имат един и същ знаменател.
Правило.За да доведем дробите до най-малкия общ знаменател,
Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, което ще бъде техният най-малък общ знаменател;
Второ, разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб.
Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен фактор.
а) Намалете дробите и до общ знаменател.
Най-малкият общ знаменател е 12. Допълнителният фактор за първата дроб е 4, за втората - 3. Довеждаме дробите до знаменателя 24.
б) Намалете дробите и до общ знаменател.
Най-малкият общ знаменател е 45. Като разделим 45 на 9 на 15, получаваме съответно 5 и 3. Довеждаме дробите до знаменателя 45.
в) Намалете дробите и до общ знаменател.
Общият знаменател е 24. Допълнителните фактори са съответно 2 и 3.
Понякога е трудно устно да се намери най-малкото общо кратно за знаменателите на дадени дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират чрез разлагане на прости фактори.
Намалете до общ знаменател на дроба и .
Нека разложим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разширението на числото 60 и да добавим липсващите множители 2 и 7 от второто разширение. Умножете 60 по 14 и получите общ знаменател 840. Допълнителният фактор за първата дроб е 14. Допълнителният фактор за втората дроб е 5. Нека намалим дробите до общ знаменател 840.
Библиография
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - ЗШ МИФИ, 2011г.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас на задочно училище МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011г.
6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. и др.Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас на СОУ. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.
Можете да изтеглите книгите, посочени в точка 1.2. този урок.
Домашна работа
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (виж линк 1.2)
Домашна работа: No 297, No 298, No 300.
Други задачи: #270, #290
Първоначално исках да включа методите на общия знаменател в параграфа „Добавяне и изваждане на дроби“. Но имаше толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата не само числовите дроби имат общи знаменатели), че е по-добре да проучим този въпрос отделно.
Така че да кажем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да сме сигурни, че знаменателите ще станат еднакви. На помощ идва основното свойство на дроб, което, нека ви напомня, звучи така:
Една дроб не се променя, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също число, различно от нула.
По този начин, ако изберете факторите правилно, знаменателите на дробите ще бъдат равни - този процес се нарича редукция до общ знаменател. А желаните числа, "изравняващи" знаменателите, се наричат допълнителни фактори.
Защо трябва да доведете дробите до общ знаменател? Ето само няколко причини:
- Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
- Сравнение на фракции. Понякога свеждането до общ знаменател значително опростява тази задача;
- Решаване на задачи за акции и проценти. Процентите всъщност са обикновени изрази, които съдържат дроби.
Има много начини да намерите числа, които правят знаменателите равни, когато се умножат. Ще разгледаме само три от тях - в ред на нарастваща сложност и в известен смисъл ефективност.
Умножение "на кръст"
Най-простият и най-надежден начин, който гарантирано изравнява знаменателите. Ще действаме "напред": умножаваме първата дроб по знаменателя на втората дроб, а втората по знаменателя на първата. В резултат знаменателите на двете дроби ще станат равни на произведението на оригиналните знаменатели. Погледни:
Като допълнителни фактори вземете знаменателите на съседни дроби. Получаваме:
Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да учите дроби, по-добре е да работите с този метод - по този начин ще се застраховате от много грешки и гарантирано ще получите резултата.
Единственият недостатък на този метод е, че трябва да броите много, защото знаменателите се умножават "напред" и в резултат на това могат да се получат много големи числа. Това е цената на надеждността.
Метод на общ делител
Тази техника помага значително да се намалят изчисленията, но, за съжаление, рядко се използва. Методът е както следва:
- Погледнете знаменателите, преди да преминете "през" (т.е. "на кръст"). Може би един от тях (този, който е по-голям) се дели на другия.
- Числото, получено от такова деление, ще бъде допълнителен фактор за дроб с по-малък знаменател.
- В същото време дроб с голям знаменател изобщо не трябва да се умножава по нищо - това са спестяванията. В същото време вероятността от грешка е рязко намалена.
Задача. Намерете стойности на израза:
Забележете, че 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели без остатък на другия, използваме метода на общите множители. Ние имаме:
Обърнете внимание, че втората дроб не е била умножена по нищо. Всъщност намалихме количеството на изчисленията наполовина!
Между другото, взех дробите в този пример с причина. Ако се интересувате, опитайте да ги преброите, като използвате метода на кръстосано кръстосване. След намаляването отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.
Това е силата на метода на общите делители, но отново може да се приложи само когато един от знаменателите е разделен на другия без остатък. Което се случва доста рядко.
Най-малко разпространеният множествен метод
Когато свеждаме дроби до общ знаменател, ние по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки от знаменателите. След това довеждаме знаменателите на двете дроби до това число.
Има много такива числа и най-малкото от тях не е задължително да е равно на прякото произведение на знаменателите на оригиналните дроби, както се приема в метода "на кръст".
Например за знаменатели 8 и 12 числото 24 е доста подходящо, тъй като 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Това число е много по-малко от произведението 8 12 = 96 .
Най-малкото число, което се дели на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най-малко общо кратно (LCM).
Обозначение: Най-малкото общо кратно на a и b се означава с LCM(a ; b ) . Например LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Ако успеете да намерите такова число, общият размер на изчисленията ще бъде минимален. Вижте примерите:
Задача. Намерете стойности на израза:
Забележете, че 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Фактори 2 и 3 са взаимно прости (нямат общи делители освен 1), а фактор 117 е общ. Следователно LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.
По същия начин, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Фактори 3 и 4 са относително прости, а фактор 5 е често срещан. Следователно LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Сега нека доведем дробите до общи знаменатели:
Забележете колко полезна се оказа факторизацията на оригиналните знаменатели:
- След като намерихме същите фактори, веднага стигнахме до най-малкото общо кратно, което най-общо казано е нетривиален проблем;
- От полученото разширение можете да разберете кои фактори „липсват“ за всяка от дробите. Например, 234 3 \u003d 702, следователно, за първата фракция допълнителният фактор е 3.
За да оцените каква печалба дава методът с най-малко често срещано множество, опитайте да изчислите същите примери, като използвате метода на кръстосано кръстосване. Разбира се, без калкулатор. Мисля, че след това коментарите ще бъдат излишни.
Не мислете, че такива сложни дроби няма да бъдат в реални примери. Те се срещат непрекъснато, а горните задачи не са границата!
Единственият проблем е как да намерите този NOC. Понякога всичко се намира за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложен изчислителен проблем, който изисква отделно разглеждане. Тук няма да засягаме това.
