Частично и пълно увеличение на функция. Производна на функцията. Подробна теория с примери Какво е приращението на функция

Нека е дадена функция. Да вземем две стойности на аргумента: начална и модифициран, което обикновено се обозначава
, където - количеството, с което се променя аргументът при преминаване от първата стойност към втората, се извиква увеличение на аргумента.

Стойностите на аргумента и съответстват на определени стойности на функцията: начален и модифициран
, стойност , с което стойността на функцията се променя, когато аргументът се промени с , се извиква увеличение на функцията.

2. понятието предел на функция в точка.

номер се нарича граница на функцията
докато се стреми към ако за произволно число
има такъв номер
, това за всички
удовлетворяване на неравенството
, неравенството
.

Втора дефиниция: Числото се нарича граница на функция, тъй като тя се стреми към, ако за всяко число има такава съседство на точката, че за която и да е от тази околност . Обозначава се
.

3. безкрайно големи и безкрайно малки функции в точка. Безкрайно малка функция в точка е функция, чиято граница, когато се приближава до дадената точка, е нула. Безкрайно голяма функция в дадена точка е функция, чиято граница, когато се стреми към дадена точка, е безкрайност.

4. основни теореми за границите и последствията от тях (без доказателство).

следствие: постоянният фактор може да бъде изваден от знака на границата:

Ако последователностите и се сближават и границата на последователността е различна от нула

следствие: постоянният фактор може да бъде изваден от знака на границата.

11. ако има ограничения на функциите за
и
и границата на функцията е различна от нула,

тогава съществува и граница на тяхното съотношение, равно на съотношението на границите на функциите и :

.

12. ако
, тогава
, и обратното също е вярно.

13. теорема за границата на междинна последователност. Ако последователностите
сближаване и
и
тогава

5. ограничение на функцията в безкрайност.

Числото a се нарича граница на функцията в безкрайност (за x, стремяща се към безкрайност), ако за всяка последователност, стремяща се към безкрайност
съответства на поредица от стойности, клонящи към число а.

6. Граници на числовата последователност.

номер асе нарича граница на числова последователност, ако за всяко положително число има естествено число N такова, че за всички н> ннеравенството
.

Символично това се дефинира по следния начин:
справедливо .

Фактът, че номерът ае границата на последователността, обозначена по следния начин:

.

7.номер "е". естествени логаритми.

номер "д" представлява границата на числовата последователност, н- чийто член
, т.е.

.

Естествен логаритъм - основен логаритъм д. естествени логаритми са обозначени
без да посочва причина.

номер
ви позволява да превключвате от десетичен логаритъм към естествен и обратно.

, се нарича модул на преход от естествени логаритми към десетични логаритми.

8. прекрасни граници
,

.

Първо забележително ограничение:

по този начин при

чрез граничната теорема за междинната последователност

второ забележително ограничение:

.

За да докаже съществуването на границата
използвайте лемата: за всяко реално число
и
неравенството
(2) (когато
или
неравенството се превръща в равенство.)

.

Сега помислете за спомагателна последователност с общ термин
уверете се, че намалява и е ограничен отдолу:
ако
, тогава последователността намалява. Ако
, тогава последователността е ограничена отдолу. Нека го покажем:

поради равенство (2)

т.е.
или
. Тоест последователността намалява и оттогава последователността е ограничена отдолу. Ако една последователност е намаляваща и ограничена отдолу, тогава тя има граница. Тогава

има граница и последователност (1), тъй като

и
.

Л. Ойлер нарече тази граница .

9. еднопосочни граници, функция прекъсване.

числото A е лявата граница, ако за произволна последователност важи следното: .

числото A е дясната граница, ако за която и да е последователност важи следното: .

Ако в точката апринадлежащ към областта на дефиниране на функцията или нейната граница, условието за непрекъснатост на функцията е нарушено, тогава точката асе нарича точка на прекъсване или прекъсване на функция, ако, както точката се стреми

12. сборът от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Геометрична прогресия - последователност, в която съотношението между следващите и предишните членове остава непроменено, това съотношение се нарича знаменател на прогресията. Сумата от първата нчленове на геометрична прогресия се изразява с формулата
тази формула е удобна за използване за намаляваща геометрична прогресия - прогресия, в която абсолютната стойност на знаменателя й е по-малка от нула. - първият член; - знаменател на прогресията; - номера на взетия член на поредицата. Сборът от безкрайно намаляваща прогресия е числото, до което сумата от първите членове на намаляващата прогресия се приближава за неопределено време с неограничено увеличаване на броя.
тогава. Сборът от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е .

по медицинска и биологична физика

ЛЕКЦИЯ №1

ПРОИЗВОДНИ И ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФУНКЦИИ.

ЧАСТНИ ДЕРИВАТИ.

1. Понятието за производно, неговото механично и геометрично значение.

а ) Увеличение на аргумента и функцията.

Нека е дадена функцията y=f(х), където х е стойността на аргумента от областта на функцията. Ако изберем две стойности на аргумента x o и x от определен интервал от областта на функцията, тогава разликата между двете стойности на аргумента се нарича приращение на аргумента: x - x o =∆x .

Стойността на аргумента x може да се определи чрез x 0 и неговото приращение: x = x o + ∆x.

Разликата между две стойности на функция се нарича приращение на функцията: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Увеличението на аргумента и функцията може да бъде представено графично (фиг. 1). Увеличението на аргумента и увеличението на функцията може да бъде положително или отрицателно. Както следва от фиг. 1, приращението на аргумента ∆х е представено геометрично чрез приращение на абсцисата, а увеличението на функцията ∆у чрез приращение на ординатата. Изчисляването на нарастването на функцията трябва да се извърши в следния ред:

даваме на аргумента приращение ∆x и получаваме стойността - x + Δx;

2) намиране на стойността на функцията за стойността на аргумента (х+∆х) – f(х+∆х);

3) намерете приращението на функцията ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

пример:Определете приращението на функцията y=x 2, ако аргументът се е променил от x o =1 на x=3. За точка x o, стойността на функцията f (x o) \u003d x² o; за точка (x o + ∆x) стойността на функцията f (x o + ∆x) \u003d (x o + ∆x) 2 = x² o +2x o ∆x + ∆x 2, откъдето ∆f = f ( x o + ∆x)–f(x o) = (x o + ∆x) 2 -x² o = x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x около ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

б)Проблеми, водещи до концепцията за производно. Определение на производната, нейното физическо значение.

Концепцията за приращение на аргумент и функция е необходима, за да се въведе понятието производна, което исторически е възникнало от необходимостта да се определи скоростта на определени процеси.

Помислете как можете да определите скоростта на праволинейното движение. Нека тялото се движи праволинейно по закона: ∆S= ·∆t. За равномерно движение:= ∆S/∆t.

За променливо движение стойността ∆S/∆t определя стойността вж. , т.е. вж. =∆S/∆t. Но средната скорост не дава възможност да се отразят особеностите на движението на тялото и да се даде представа за истинската скорост в момент t. С намаляване на интервала от време, т.е. при ∆t→0 средната скорост клони към своя предел - моментната скорост:

 инст. =
 вж. =
∆S/∆t.

Моментната скорост на химическа реакция се определя по същия начин:

 инст. =
 вж. =
∆х/∆t,

където x е количеството вещество, образувано по време на химическа реакция за време t. Подобни задачи за определяне на скоростта на различни процеси доведоха до въвеждането в математиката на понятието производна на функция.

Нека е дадена непрекъсната функция f(x), дефинирана на интервала ]a,b[и нейното приращение ∆f=f(x+∆x)–f(x).
е функция на ∆x и изразява средната скорост на промяна на функцията.

граница на съотношението , когато ∆x→0, при условие че тази граница съществува, се нарича производна на функцията :

y" x =

.

Производната се обозначава:
- (y тире на x); f " (x) - (ef. просто на x) ; y" - (y ход); dy / dx – (de y на de x); - (y с точка).

Въз основа на дефиницията на производната можем да кажем, че моментната скорост на праволинейното движение е производна на пътя по отношение на времето:

 инст. \u003d S "t \u003d f " (T).

По този начин можем да заключим, че производната на функцията по отношение на аргумента x е моментната скорост на промяна на функцията f(x):

y" x \u003d f " (х)= инст.

Това е физическото значение на производната. Процесът на намиране на производната се нарича диференциране, така че изразът "диференцирайте функция" е еквивалентен на израза "намерете производната на функция".

в)Геометричното значение на производната.

П
производната на функцията y = f(x) има просто геометрично значение, свързано с концепцията за допирателна към крива линия в някаква точка M. В същото време допирателната, т.е. права линия се изразява аналитично като y = kx = tg x, където  – ъгъла на наклона на допирателната (правата линия) към оста X. Нека представим непрекъсната крива като функция y = f (x), вземем точка M на кривата и точка M 1 близо до нея и начертаем a сека през тях. Неговият наклон към sec = tg β = .Ако приближим точката M 1 до M, тогава приращението на аргумента ∆х ще клони към нула, а секансът при β=α ще заеме позицията на допирателна. От фиг. 2 следва: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Но tgα е равно на наклона на допирателната към графиката на функцията:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (Х). И така, наклонът на допирателната към графиката на функцията в дадена точка е равен на стойността на нейната производна в точката на контакт. Това е геометричният смисъл на производната.

ж)Общо правило за намиране на производната.

Въз основа на дефиницията на производната, процесът на диференциране на функция може да бъде представен по следния начин:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

намиране на приращението на функцията: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

съставете съотношението на увеличението на функцията към приращението на аргумента:

;

пример: f(x)=x2; е " (x)=?.

Въпреки това, както може да се види дори от този прост пример, използването на тази последователност при вземане на производни е трудоемък и сложен процес. Следователно за различни функции се въвеждат общи формули за диференциране, които се представят под формата на таблица с „Основни формули за диференциращи функции“.

Определение 1

Ако за всяка двойка $(x,y)$ стойности на две независими променливи от някакъв домейн е присвоена определена стойност на $z$, тогава $z$ се казва, че е функция на две променливи $(x,y) )$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

По отношение на функцията $z=f(x,y)$, нека разгледаме понятията за общо (общо) и частично увеличение на функция.

Нека е дадена функция $z=f(x,y)$ от две независими променливи $(x,y)$.

Забележка 1

Тъй като променливите $(x,y)$ са независими, една от тях може да се променя, докато другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $x$ инкремент $\Delta x$, като запазим стойността на променливата $y$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $x$. Обозначаване:

По същия начин, ние даваме на променливата $y$ увеличение $\Delta y$, като запазваме стойността на променливата $x$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $y$. Обозначаване:

Ако аргументът $x$ се увеличи с $\Delta x$, а аргументът $y$ се увеличи с $\Delta y$, тогава се получава общото увеличение на дадената функция $z=f(x,y)$ . Обозначаване:

По този начин имаме:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - общо увеличение на функцията $z=f(x,y)$.

Пример 1

Решение:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - общо увеличение на функцията $z=f(x,y)$.

Пример 2

Изчислете частичните и общите приращения на функцията $z=xy$ в точката $(1;2)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Решение:

По дефиниция на частно приращение намираме:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $y$;

По дефиницията на общото приращение намираме:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - общо увеличение на функцията $z=f(x,y)$.

следователно,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

Забележка 2

Общото увеличение на дадената функция $z=f(x,y)$ не е равно на сумата от нейните частични увеличения $\Delta _(x) z$ и $\Delta _(y) z$. Математическа нотация: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Пример 3

Проверете забележките към израза за функция

Решение:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните увеличения на дадената функция $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Определение 2

Ако за всяка тройка $(x,y,z)$ от стойности на три независими променливи от някакъв домейн се присвои определена стойност $w$, тогава $w$ се казва, че е функция на три променливи $(x, y,z)$ в тази област.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 3

Ако за всеки набор $(x,y,z,...,t)$ от стойности на независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $w$, тогава $w$ се казва, че е функция на променливи $(x,y, z,...,t)$ в дадения домейн.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, се определят частични увеличения за всяка от променливите:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z,... ,t )$ в $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частично увеличение на $w=f (x,y,z,...,t)$ над $t$.

Пример 4

Напишете частични и общи нараствания на функция

Решение:

По дефиниция на частно приращение намираме:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ по отношение на $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ спрямо $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ спрямо $z$;

По дефиницията на общото приращение намираме:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - общо увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$.

Пример 5

Изчислете частичните и общите приращения на функцията $w=xyz$ в точката $(1;2;1)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta z=0,1$.

Решение:

По дефиниция на частно приращение намираме:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ спрямо $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ спрямо $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ спрямо $z$;

По дефиницията на общото приращение намираме:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - общо увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$.

следователно,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $z=f(x,y)$ (по дефиниция $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) е равно на увеличението на приложението на функциите на графиката $z=f(x,y)$ при преминаване от точка $M(x,y)$ до точка $M_(1) (x+\Delta x ,y+\Delta y)$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Нека x е произволна точка, лежаща в някаква околност на фиксирана точка x 0 . разликата x - x 0 обикновено се нарича приращение на независимата променлива (или приращение на аргумента) в точката x 0 и се означава с Δx. По този начин,

Δx \u003d x - x 0,

откъдето следва, че

Увеличение на функцията −разлика между две стойности на функциите.

Нека функцията в = f(x), дефиниран със стойност на аргумента, равна на х 0 . Нека увеличим D х, ᴛ.ᴇ. считайте стойността на аргумента ͵ равна на х 0+D х. Да предположим, че тази стойност на аргумента също е включена в обхвата на тази функция. Тогава разликата D г = f(x 0+D Х) – f(x0)се нарича приращение на функция. Увеличение на функцията е(х) в точката хе функция, която обикновено се означава като Δ х евърху новата променлива Δ хопределена като

Δ х е(Δ х) = е(х + Δ х) − е(х).

Намерете приращението на аргумента и приращението на функцията в точката x 0 if

Пример 2. Намерете приращението на функцията f (x) = x 2, ако x = 1, ∆x = 0,1

Решение: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Намерете приращението на функцията ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Заменете стойностите x=1 и ∆x= 0,1, получаваме ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Намерете приращението на аргумента и приращението на функцията в точки x 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 = 3 x \u003d 2,4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x \u003d 0,8

4. f(x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Определение: ПроизводнаОбичайно е функцията в дадена точка да се извиква границата (ако тя съществува и е крайна) на отношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, при условие че последният клони към нула.

Най-често се използва следната нотация за производната:

По този начин,

Намирането на производната се нарича диференциация . Въведени дефиниция на диференцируема функция: Функция f, която има производна във всяка точка от някакъв интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

Нека функция е дефинирана в някаква околност на точката.Прието е да се нарича производната на функция такова число, че функцията в околността У(х 0) може да се представи като

е(х 0 + з) = е(х 0) + ах + о(з)

ако съществува.

Дефиниране на производната на функция в точка.

Нека функцията f(x)дефинирани на интервала (а; б), и са точките на този интервал.

Определение. Производна функция f(x)в дадена точка е обичайно да се извиква границата на съотношението на увеличението на функция към нарастването на аргумента при . Определени .

Когато последната граница придобие определена крайна стойност, тогава се говори за съществуването крайна производна в точка. Ако границата е безкрайна, тогава казваме това производната е безкрайна в дадена точка. Ако ограничението не съществува, тогава производната на функцията не съществува в този момент.

Функция f(x)се казва, че е диференцируема в точка, когато има крайна производна в нея.

В случай, че функцията f(x)е диференцируема във всяка точка от някакъв интервал (а; б), тогава функцията се нарича диференцируема на този интервал. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всяка точка хот пропастта (а; б)можем да свържем стойността на производната на функцията в този момент, тоест имаме възможност да дефинираме нова функция, която се нарича производна на функцията f(x)на интервала (а; б).

Операцията по намиране на производната се нарича диференциране.

Позволявам х– аргумент (независима променлива); y=y(x)- функция.

Вземете фиксирана стойност на аргумента x=x 0 и изчисляване на стойността на функцията г 0 =y(x 0 ) . Сега произволно задаваме увеличение (промяна) на аргумента и го обозначете  х ( хможе да бъде от всякакъв знак).

Инкременталният аргумент е точка х 0 +  х. Да предположим, че съдържа и стойност на функция y=y(x 0 +  Х)(виж снимката).

Така при произволна промяна в стойността на аргумента се получава промяна във функцията, която се извиква увеличение стойности на функцията:

и не е произволно, а зависи от вида на функцията и количеството
.

Увеличенията на аргумента и функцията могат да бъдат финал, т.е. изразени като постоянни числа, в който случай понякога се наричат ​​крайни разлики.

В икономиката крайните нараствания се разглеждат доста често. Например, таблицата показва данни за дължината на железопътната мрежа на определена държава. Очевидно увеличаването на дължината на мрежата се изчислява чрез изваждане на предишната стойност от следващата.

Ще разгледаме дължината на железопътната мрежа като функция, чийто аргумент ще бъде времето (години).

Само по себе си увеличението на функцията (в този случай дължината на железопътната мрежа) слабо характеризира промяната на функцията. В нашия пример от факта, че 2,5>0,9 не може да се заключи, че мрежата нараства по-бързо 2000-2003 години, отколкото през 2004 напр., тъй като приращението 2,5 се отнася за тригодишен период и 0,9 - само за една година. Следователно е съвсем естествено увеличаването на функцията да води до единична промяна в аргумента. Увеличението на аргумента тук е точки: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Получаваме това, което се нарича в икономическата литература средногодишен прираст.

Възможно е да се избегне операцията за прехвърляне на приращение към единицата за промяна на аргумента, ако вземем стойностите на функцията за стойностите на аргумента, които се различават с едно, което не винаги е възможно.

В математическия анализ, по-специално при диференциалното смятане, се разглеждат безкрайно малки (IM) нараствания на аргумент и функция.

Диференциране на функция от една променлива (производна и диференциална) Производна на функция

Аргумент и функция се увеличават в точка х 0 могат да се разглеждат като сравними безкрайно малки величини (виж тема 4, сравнение на BM), т.е. BM от същия порядък.

Тогава тяхното съотношение ще има краен предел, който се дефинира като производна на функцията в t х 0 .

Ограничение на съотношението на приращение на функцията към приращение на аргумента на BM в точка x=x 0 Наречен производно функционира в този момент.

Символичното обозначение на производната с щрих (или по-скоро римската цифра I) е въведено от Нютон. Можете също да използвате индекс, който показва от коя променлива се изчислява производната, например . Друга нотация, предложена от основателя на изчисляването на производните, немския математик Лайбниц, също е широко използвана:
. Ще научите повече за произхода на това обозначение в раздела Диференциал на функциите и диференциал на аргументи.

Това число оценява скоростпромяна на функцията, преминаваща през точката
.

Да инсталираме геометричен смисълпроизводна на функция в точка. За тази цел изграждаме графика на функцията y=y(x)и маркирайте върху него точките, които определят промяната y(x)междувременно

Допирателна към графиката на функция в точка М 0
ще разгледаме граничното положение на секанса М 0 Мв състояние
(точка Мплъзга се по графиката на функцията до точка М 0 ).

Обмисли
. очевидно,
.

Ако точката Мбързайте по графиката на функцията към точката М 0 , след това стойността
ще се стреми към определена граница, която означаваме
. При което.

Граничен ъгъл  съвпада с ъгъла на наклон на допирателната, начертана към графиката на функцията, вкл. М 0 , така че производната
е числено равно на допирателен наклон в посочената точка.

-

геометричен смисъл на производната на функция в точка.

По този начин може да се запишат уравненията на допирателната и нормала ( нормално е права, перпендикулярна на допирателната) към графиката на функцията в някаква точка х 0 :

Тангента - .

Нормално -
.

Интерес представляват случаите, когато тези линии са разположени хоризонтално или вертикално (виж тема 3, специални случаи на положението на права върху равнина). Тогава,

ако
;

ако
.

Определението за производно се нарича диференциация функции.

 Ако функцията в точката х 0 има крайна производна, тя се нарича диференцируемив този момент. Функция, която е диференцируема във всички точки от някакъв интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

 Теорема . Ако функцията y=y(x)диференцируеми в т. х 0 , то в този момент е непрекъснато.

По този начин, приемственосте необходимо (но не достатъчно) условие, за да може функцията да бъде диференцируема.