Числовата последователност се нарича рейтинг. Понятието за числова последователност. Определяне на границата на последователност

Въведение………………………………………………………………………………………………3

1.Теоретична част……………………………………………………………………………….4

Основни понятия и термини……………………………………………………………..4

1.1 Видове последователности…………………………………………………………6

1.1.1. Ограничени и неограничени поредици от брой....6

1.1.2.Монотонност на последователностите……………………………………6

1.1.3. Безкрайно малки и безкрайно малки поредици…….7

1.1.4 Свойства на безкрайно малките поредици…………………8

1.1.5 Конвергентни и дивергентни поредици и техните свойства...9

1.2 Ограничение на последователността…………………………………………………….11

1.2.1.Теореми за границите на последователности……………………………………………………………………………15

1.3.Аритметична прогресия………………………………………………………………………17

1.3.1. Свойства на аритметична прогресия………………………………………………..17

1.4Геометрична прогресия……………………………………………………..19

1.4.1. Свойства на геометрична прогресия……………………………………….19

1.5. Числата на Фибоначи…………………………………………………………………………………..21

1.5.1 Връзка на числата на Фибоначи с други области на познанието…………………….22

1.5.2. Използване на поредица от числа на Фибоначи за описване на живата и неживата природа……………………………………………………………………………….23

2. Собствено изследване………………………………………………………………….28

Заключение…………………………………………………………………………………….30

Списък на използваната литература………………………………………………………31

Въведение.

Цифровите поредици са много интересна и информативна тема. Тази тема се намира в задачи с повишена сложност, които се предлагат на студентите от авторите на дидактически материали, в задачите на математическите олимпиади, приемните изпити във висши учебни заведения и ЕГЭ. Интересувам се да знам връзката на математическите последователности с други области на знанието.

Цел на изследователската работа: Разширяване на знанията за числовата последователност.

1. Помислете за последователността;

2. Разгледайте неговите свойства;

3. Помислете за аналитичната задача на последователността;

4. Демонстрирайте ролята му в развитието на други области на знанието.

5. Демонстрирайте използването на поредица от числа на Фибоначи за описание на живата и неживата природа.

1. Теоретична част.

Основни понятия и термини.

Определение. Числовата последователност е функция от вида y = f(x), x Î N, където N е наборът от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означени с y = f(n) или y1, y2, …, да,…. Стойностите y1, y2, y3,… се наричат ​​съответно първи, втори, трети, … членове на последователността.

Числото a се нарича граница на последователността x = (x n ), ако за произволно предварително зададено произволно малко положително число ε има естествено число N такова, че за всички n>N неравенството |x n - a|< ε.

Ако числото a е границата на последователността x \u003d (x n), тогава те казват, че x n клони към a и пишат

Последователност (yn) се нарича нарастваща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по-голям от предишния:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последователност (yn) се нарича намаляваща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по-малък от предишния:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Нарастващите и намаляващи поредици са обединени от общ термин - монотонни поредици.

Поредица се нарича периодична, ако съществува естествено число T, така че, като се започне от някакво n, е изпълнено равенството yn = yn+T. Числото T се нарича дължина на периода.

Аритметична прогресия е последователност (an), чийто всеки член, започвайки от втория, е равен на сумата от предишния член и същото число d, се нарича аритметична прогресия, а числото d се нарича разликата от аритметична прогресия.

По този начин, аритметичната прогресия е числова последователност (an), дадена рекурсивно от отношенията

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометричната прогресия е последователност, в която всички членове са различни от нула и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножение по същото число q.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност (bn), дадена рекурсивно от отношенията

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Видове последователности.

1.1.1 Ограничени и неограничени поредици.

За последователност (bn) се казва, че е ограничена отгоре, ако съществува число M такова, че за всяко число n е изпълнено неравенството bn≤ M;

За последователност (bn) се казва, че е ограничена отдолу, ако съществува число M такова, че за всяко число n е изпълнено неравенството bn≥ M;

Например:

1.1.2 Монотонност на последователностите.

Последователност (bn) се нарича ненарастваща (ненамаляваща), ако за произволно число n е вярно неравенството bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последователност (bn) се нарича намаляваща (нарастваща), ако за произволно число n е изпълнено неравенството bn > bn+1 (bn

Намаляващите и нарастващите поредици се наричат ​​строго монотонни, ненарастващи - монотонни в широк смисъл.

Последователностите, ограничени както отгоре, така и отдолу, се наричат ​​ограничени.

Последователността на всички тези типове се нарича монотонна.

1.1.3 Безкрайно големи и малки поредици.

Безкрайно малка последователност е числова функция или последователност, която клони към нула.

Последователност an се нарича безкрайно малка, ако

Функция се нарича безкрайно малка в околност на точката x0, ако ℓimx→x0 f(x)=0.

Функция се нарича безкрайно малка в безкрайност, ако ℓimx→.+∞ f(x)=0 или ℓimx→-∞ f(x)=0

Също така безкрайно малка е функция, която е разликата между функция и нейната граница, тоест ако ℓimx→.+∞ f(x)=а, тогава f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Безкрайно голяма последователност е числова функция или последователност, която клони към безкрайност.

Последователност an се нарича безкрайно голяма ако

ℓimn→0 an=∞.

Функция се нарича безкрайна в околност на точка x0, ако ℓimx→x0 f(x)= ∞.

За функция се казва, че е безкрайно голяма в безкрайност, ако

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ или ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Свойства на безкрайно малките поредици.

Сумата от две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност.

Разликата на две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност.

Алгебричната сума от произволен краен брой безкрайно малки последователности също е безкрайно малка последователност.

Продуктът на ограничена последователност и безкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност.

Продуктът на произволен краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Ако стационарната последователност е безкрайно малка, тогава всички нейни елементи, започвайки от някои, са равни на нула.

Ако цялата безкрайно малка последователност се състои от едни и същи елементи, тогава тези елементи са нули.

Ако (xn) е безкрайно голяма последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1/xn), която е безкрайно малка. Ако обаче (xn) съдържа нула елементи, тогава последователността (1/xn) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно малка.

Ако (an) е безкрайно малка последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1/an), която е безкрайно голяма. Ако обаче (an) съдържа нула елементи, тогава последователността (1/an) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно голяма.

1.1.5 Конвергентни и дивергентни поредици и техните свойства.

Конвергентна последователност е последователност от елементи от множеството X, която има ограничение в това множество.

Дивергентна последователност е последователност, която не е конвергентна.

Всяка безкрайно малка последователност е конвергентна. Неговият лимит е нула.

Премахването на произволен краен брой елементи от безкрайна последователност не засяга нито сближаването, нито границата на тази последователност.

Всяка конвергентна последователност е ограничена. Въпреки това, не всяка ограничена последователност се сближава.

Ако последователността (xn) се сближава, но не е безкрайно малка, тогава, започвайки от някакво число, се дефинира последователността (1/xn), която е ограничена.

Сборът от конвергентни последователности също е конвергентна последователност.

Разликата на конвергентните последователности също е конвергентна последователност.

Продуктът на конвергентните последователности също е конвергентна последователност.

Коефициентът на две конвергентни последователности се дефинира, започвайки от някакъв елемент, освен ако втората последователност не е безкрайно малка. Ако частното на две конвергентни последователности е определено, тогава това е конвергентна последователност.

Ако конвергентна последователност е ограничена отдолу, тогава никоя от долните й граници не надвишава нейната граница.

Ако конвергентна последователност е ограничена отгоре, тогава нейната граница не надвишава никоя от горните й граници.

Ако за произволно число членовете на една сходяща последователност не надвишават членовете на друга сходяща последователност, тогава границата на първата последователност също не надвишава границата на втората.

Математиката е науката, която изгражда света. И ученият, и обикновеният човек - никой не може без него. Първо, малките деца се научават да броят, след това събират, изваждат, умножават и делят, от средното училище буквените обозначения влизат в игра, а в по-голямото те вече не могат да бъдат премахнати.

Но днес ще говорим за това на какво се основава цялата известна математика. Относно общността от числа, наречена "граници на последователността".

Какво представляват последователностите и къде е тяхната граница?

Значението на думата "последователност" не е трудно за тълкуване. Това е такава конструкция на нещата, при която някой или нещо се намира в определен ред или опашка. Например опашката за билети за зоологическата градина е последователност. И може да има само един! Ако например погледнете опашката към магазина, това е една последователност. И ако един човек изведнъж напусне тази опашка, тогава това е друга опашка, различен ред.

Думата „лимит“ също се тълкува лесно – това е краят на нещо. Въпреки това, в математиката границите на последователностите са тези стойности на числовата права, към които се стреми поредица от числа. Защо се стреми и не свършва? Просто е, числовата права няма край и повечето поредици, като лъчите, имат само начало и изглеждат така:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Следователно дефиницията на последователност е функция на естествения аргумент. С по-прости думи, това е поредица от членове на някакво множество.

Как се изгражда числова последователност?

Най-простият пример за числова последователност може да изглежда така: 1, 2, 3, 4, …n…

В повечето случаи за практически цели последователностите се изграждат от числа и всеки следващ член на поредицата, нека го обозначим с X, има свое собствено име. Например:

x 1 - първият член на последователността;

x 2 - вторият член на последователността;

x 3 - третият член;

x n е n-тият член.

В практическите методи последователността се дава от обща формула, в която има някаква променлива. Например:

X n \u003d 3n, тогава самата поредица от числа ще изглежда така:

Струва си да запомните, че в общата нотация на последователностите можете да използвате всякакви латински букви, а не само X. Например: y, z, k и т.н.

Аритметична прогресия като част от последователности

Преди да потърсите границите на последователностите, препоръчително е да се задълбочим в самата концепция за такъв числов ред, с който всеки се е сблъсквал, когато е бил в средните класове. Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които разликата между съседни членове е постоянна.

Задача: „Нека a 1 = 15 и стъпката на прогресията на числовия ред d = 4. Изградете първите 4 члена от този ред"

Решение: a 1 = 15 (по условие) е първият член на прогресията (числова серия).

и 2 = 15+4=19 е вторият член на прогресията.

и 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 е третият член.

и 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 е четвъртият член.

Въпреки това, с този метод е трудно да се достигнат големи стойности, например до 125. . Специално за такива случаи е получена формула, удобна за практика: a n \u003d a 1 + d (n-1). В този случай 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Типове последователности

Повечето от последователностите са безкрайни, струва си да ги запомните цял живот. Има два интересни типа числови серии. Първият се дава с формулата a n =(-1) n . Математиците често се позовават на тази мигаща последователност. Защо? Нека проверим номерата му.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т.н. С този пример става ясно, че числата в поредици могат лесно да се повтарят.

факторна последователност. Лесно е да се отгатне, че във формулата има факториал, който определя последователността. Например: и n = (n+1)!

Тогава последователността ще изглежда така:

и 2 \u003d 1x2x3 = 6;

и 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 и т.н.

Последователност, дадена от аритметична прогресия, се нарича безкрайно намаляваща, ако неравенството -1 се спазва за всичките й членове

и 3 \u003d - 1/8 и т.н.

Има дори поредица, състояща се от едно и също число. И така, и n \u003d 6 се състои от безкраен брой шестици.

Определяне на границата на последователност

Ограниченията на последователността отдавна съществуват в математиката. Разбира се, те заслужават собствен компетентен дизайн. И така, време е да научите дефиницията на границите на последователността. Първо, разгледайте подробно ограничението за линейна функция:

1. Всички ограничения са съкратени като lim.
2. Лимитният запис се състои от съкращението lim, някаква променлива, стремяща се към определено число, нула или безкрайност, както и самата функция.

Лесно е да се разбере, че определението на границата на последователност може да бъде формулирано по следния начин: това е определено число, към което всички членове на последователността се приближават безкрайно. Прост пример: и x = 4x+1. Тогава самата последователност ще изглежда така.

5, 9, 13, 17, 21…x…

По този начин тази последователност ще се увеличава неограничено, което означава, че нейната граница е равна на безкрайност като x→∞ и това трябва да бъде записано, както следва:

Ако вземем подобна последователност, но x клони към 1, получаваме:

И поредицата от числа ще бъде следната: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 и т.н. Всеки път трябва да замествате числото все повече и повече близо до едно (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). От тази серия се вижда, че границата на функцията е пет.

От тази част си струва да си припомним каква е границата на числова последователност, определението и метода за решаване на прости задачи.

Общо обозначение за границата на последователностите

След като анализираме границата на числовата последователност, нейното определение и примери, можем да преминем към по-сложна тема. Абсолютно всички граници на последователностите могат да бъдат формулирани с една формула, която обикновено се анализира през първия семестър.

И така, какво означава този набор от букви, модули и знаци за неравенство?

∀ е универсален квантор, заместващ фразите „за всички“, „за всичко“ и т.н.

∃ е квантор на съществуване, в този случай това означава, че има някаква стойност N, принадлежаща към множеството от естествени числа.

Дълга вертикална пръчка след N означава, че даденото множество N е „такава“. На практика може да означава „такава“, „такава“ и т.н.

За да консолидирате материала, прочетете формулата на глас.

Несигурност и сигурност на границата

Методът за намиране на границата на последователностите, който беше обсъден по-горе, макар и лесен за използване, не е толкова рационален на практика. Опитайте се да намерите ограничението за тази функция:

Ако заменим различни стойности на x (увеличаващи се всеки път: 10, 100, 1000 и т.н.), тогава получаваме ∞ в числителя, но също и ∞ в знаменателя. Оказва се доста странна дроб:

Но дали наистина е така? Изчисляването на границата на числовата последователност в този случай изглежда достатъчно лесно. Би могло да се остави всичко както е, защото отговорът е готов и е получен при разумни условия, но има друг начин специално за такива случаи.

Първо, нека намерим най-високата степен в числителя на дроба - това е 1, тъй като x може да бъде представено като x 1.

Сега нека намерим най-високата степен в знаменателя. Също така 1.

Разделете числителя и знаменателя на променливата в най-висока степен. В този случай делим фракцията на x 1.

След това нека намерим към каква стойност има тенденция всеки термин, съдържащ променливата. В този случай се вземат предвид дробите. При x→∞ стойността на всяка от дробите клони към нула. Когато правите хартия в писмен вид, си струва да направите следните бележки под линия:

Получава се следният израз:

Разбира се, дробите, съдържащи x, не са станали нули! Но тяхната стойност е толкова малка, че е напълно допустимо да не се вземе предвид при изчисленията. Всъщност x никога няма да бъде равно на 0 в този случай, защото не можете да разделите на нула.

Какво е квартал?

Да приемем, че професорът разполага със сложна последователност, дадена, очевидно, от не по-малко сложна формула. Професорът намери отговора, но дали отговаря? В крайна сметка всички хора правят грешки.

Огюст Коши измисли страхотен начин да докаже границите на последователностите. Методът му се наричаше квартална операция.

Да предположим, че има някаква точка a, нейната околност в двете посоки на реалната права е равна на ε („епсилон“). Тъй като последната променлива е разстоянието, нейната стойност винаги е положителна.

Сега нека зададем някаква последователност x n и да предположим, че десетият член на последователността (x 10) е включен в околността на a. Как да напиша този факт на математически език?

Да предположим, че x 10 е вдясно от точка a, тогава разстоянието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Сега е време да обясним на практика гореспоменатата формула. Справедливо е да наречем някое число крайна точка на поредица, ако неравенството ε>0 е валидно за която и да е от нейните граници и цялата околност има собствено естествено число N, така че всички членове на последователността с по-високи числа ще бъдат вътре в последователността |x n - a|< ε.

С такива познания е лесно да се решат границите на една последователност, да се докаже или опровергае готов отговор.

Теореми

Теоремите за границите на последователностите са важен компонент на теорията, без който практиката е невъзможна. Има само четири основни теореми, запомняйки които, можете значително да улесните процеса на решаване или доказване:

1. Уникалност на границата на последователност. Всяка последователност може да има само една граница или да няма изобщо. Същият пример с опашка, която може да има само един край.
2. Ако серия от числа има ограничение, тогава последователността от тези числа е ограничена.
3. Границата на сбора (разлика, произведение) от последователности е равна на сумата (разлика, произведение) от техните граници.
4. Границата на частното на две последователности е равна на частното от границите, ако и само ако знаменателят не изчезва.

Доказателство за последователност

Понякога се изисква да се реши обратна задача, да се докаже даден предел на числова последователност. Нека да разгледаме един пример.

Докажете, че границата на последователността, дадена от формулата, е равна на нула.

Съгласно горното правило, за всяка последователност неравенството |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Нека изразим n чрез "епсилон", за да покажем съществуването на определено число и да докажем съществуването на граница на последователността.

На този етап е важно да припомним, че "epsilon" и "en" са положителни числа и не са равни на нула. Сега можете да продължите по-нататъшни трансформации, като използвате знанията за неравенствата, придобити в гимназията.

Откъдето се оказва, че n > -3 + 1/ε. Тъй като си струва да припомним, че говорим за естествени числа, резултатът може да бъде закръглен, като се постави в квадратни скоби. По този начин беше доказано, че за всяка стойност на „епсилонната” околност на точката a = 0 е намерена стойност, такава, че е изпълнено първоначалното неравенство. От това можем спокойно да твърдим, че числото a е границата на дадената последователност. Q.E.D.

С такъв удобен метод можете да докажете границата на числова последователност, колкото и сложно да изглежда на пръв поглед. Основното нещо е да не се паникьосвате при вида на задачата.

Или може би той не съществува?

Съществуването на граница на последователност не е необходимо на практика. Лесно е да се намерят такива серии от числа, които наистина нямат край. Например, същият мигач x n = (-1) n . очевидно е, че последователност, състояща се само от две цифри, циклично повтарящи се, не може да има ограничение.

Същата история се повтаря с поредици, състоящи се от едно число, дробно, имащо в хода на изчисленията несигурност от произволен порядък (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т.н.). Трябва обаче да се помни, че има и неправилно изчисление. Понякога повторната проверка на вашето собствено решение ще ви помогне да намерите границата на последователността.

монотонна последователност

По-горе разгледахме няколко примера за последователности, методи за решаването им, а сега нека се опитаме да вземем по-специфичен случай и да го наречем "монотонна последователност".

Определение: справедливо е всяка последователност да се нарича монотонно нарастваща, ако удовлетворява строгото неравенство x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Наред с тези две условия съществуват и подобни нестроги неравенства. Съответно, x n ≤ x n +1 (ненамаляваща последователност) и x n ≥ x n +1 (ненарастваща последователност).

Но е по-лесно да се разбере това с примери.

Последователността, дадена с формулата x n \u003d 2 + n, образува следната серия от числа: 4, 5, 6 и т.н. Това е монотонно нарастваща последователност.

И ако вземем x n \u003d 1 / n, тогава получаваме серия: 1/3, ¼, 1/5 и т.н. Това е монотонно намаляваща последователност.

Предел на сходяща и ограничена последователност

Ограничената последователност е последователност, която има ограничение. Конвергентната последователност е поредица от числа, която има безкрайно малък лимит.

По този начин границата на ограничена последователност е всяко реално или комплексно число. Не забравяйте, че може да има само едно ограничение.

Границата на конвергентна последователност е безкрайно малка величина (реална или комплексна). Ако нарисувате диаграма на последователност, тогава в определен момент тя ще се сближи, ще има тенденция да се превърне в определена стойност. Оттук и името - конвергентна последователност.

Монотонна граница на последователността

Такава последователност може или не може да има ограничение. Първо, полезно е да разберете кога е, от тук можете да започнете при доказване на липсата на лимит.

Сред монотонните последователности се разграничават конвергентни и дивергентни. Конвергентна – това е последователност, която се образува от множеството x и има реален или комплексен лимит в това множество. Дивергентна - последователност, която няма ограничение в своето множество (нито реална, нито сложна).

Освен това последователността се сближава, ако нейните горни и долни граници се сближават в геометрично представяне.

Границата на конвергентна последователност в много случаи може да бъде равна на нула, тъй като всяка безкрайно малка последователност има известна граница (нула).

Която и конвергентна последователност да вземете, всички те са ограничени, но далеч не всички ограничени последователности се сближават.

Сборът, разликата, произведението на две конвергентни последователности също е конвергентна последователност. Коефициентът обаче може също да се сближи, ако е дефиниран!

Различни действия с ограничения

Ограниченията на последователността са толкова значими (в повечето случаи) като числата и числата: 1, 2, 15, 24, 362 и т.н. Оказва се, че някои операции могат да се извършват с ограничения.

Първо, точно като цифрите и числата, границите на всяка последователност могат да се добавят и изваждат. Въз основа на третата теорема за границите на последователностите е вярно следното равенство: границата на сбора от последователности е равна на сумата от техните граници.

Второ, въз основа на четвъртата теорема за границите на последователностите е вярно следното равенство: границата на произведението на n-ия брой поредици е равно на произведението на техните граници. Същото важи и за деленето: границата на частното на две последователности е равна на частното от техните граници, при условие че границата не е равна на нула. В крайна сметка, ако границата на последователностите е равна на нула, тогава ще се окаже деление на нула, което е невъзможно.

Свойства на стойността на последователността

Изглежда, че границата на числовата последователност вече е анализирана подробно, но такива фрази като „безкрайно малки“ и „безкрайно големи“ числа се споменават повече от веднъж. Очевидно, ако има последователност 1/x, където x→∞, тогава такава дроб е безкрайно малка, а ако същата последователност, но границата клони към нула (x→0), тогава дробът става безкрайно голяма стойност . И такива ценности имат свои собствени характеристики. Свойствата на границата на последователност с произволни малки или големи стойности са както следва:

1. Сборът от произволно малки количества също ще бъде малко количество.
2. Сборът от произволен брой големи стойности ще бъде безкрайно голяма стойност.
3. Продуктът на произволно малки количества е безкрайно малък.
4. Произведението на произволно големи числа е безкрайно голямо количество.
5. Ако оригиналната последователност клони към безкрайно число, тогава реципрочната стойност на нея ще бъде безкрайно малка и ще клони към нула.

Всъщност изчисляването на границата на последователност не е толкова трудна задача, ако знаете прост алгоритъм. Но границите на последователностите са тема, която изисква максимално внимание и постоянство. Разбира се, достатъчно е просто да разберете същността на решението на подобни изрази. Започвайки от малко, с течение на времето можете да достигнете големи висоти.

Вида г= е(х), хО н, където не наборът от естествени числа (или функция на естествен аргумент), обозначени г=е(н) или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойности г 1 ,г 2 ,г 3 ,… се наричат ​​съответно първи, втори, трети, ... членове на поредицата.

Например за функцията г= н 2 може да се запише:

г 1 = 1 2 = 1;

г 2 = 2 2 = 4;

г 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Методи за задаване на последователности.Последователностите могат да бъдат посочени по различни начини, сред които три са особено важни: аналитични, описателни и повтарящи се.

1. Последователност е дадена аналитично, ако е дадена нейната формула н-ти член:

y n=е(н).

Пример. y n= 2н- 1 – поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Описателен начинът за определяне на числова последователност е, че тя обяснява от какви елементи е изградена последователността.

Пример 1. "Всички членове на последователността са равни на 1." Това означава, че говорим за стационарна последователност 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. "Поредицата се състои от всички прости числа във възходящ ред." Така се дава последователността 2, 3, 5, 7, 11, .... С този начин на уточняване на последователността в този пример е трудно да се отговори на какво е равен, да речем, 1000-ият елемент от последователността.

3. Повтарящият се начин за определяне на последователност е, че се посочва правило, което позволява да се изчисли н-ти член на последователността, ако са известни предишните й членове. Името повтарящ се метод идва от латинската дума повтарят се- Върни се. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява изразяване нти член на последователността през предишните и посочете 1–2 начални члена на последователността.

Пример 1 г 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако н = 2, 3, 4,….

Тук г 1 = 3; г 2 = 3 + 4 = 7;г 3 = 7 + 4 = 11; ….

Може да се види, че последователността, получена в този пример, може да бъде определена и аналитично: y n= 4н- 1.

Пример 2 г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ако н = 3, 4,….

Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;

Последователността, съставена в този пример, е специално изследвана в математиката, тъй като има редица интересни свойства и приложения. Нарича се поредицата на Фибоначи – по името на италианския математик от 13 век. Рекурсивното дефиниране на последователността на Фибоначи е много лесно, но аналитично е много трудно. нТото число на Фибоначи се изразява чрез неговия пореден номер чрез следната формула.

На пръв поглед формулата за нЧислото на Фибоначи изглежда неправдоподобно, тъй като формулата, която определя последователността от естествени числа, съдържа само квадратни корени, но можете да проверите „ръчно“ валидността на тази формула за първите няколко н.

Свойства на числови поредици.

Числовата последователност е специален случай на числова функция, така че редица свойства на функциите също се разглеждат за последователности.

Определение . Подпоследователност ( y n} се нарича нарастващ, ако всеки негов член (с изключение на първия) е по-голям от предишния:

г 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последователност ( y n} се нарича намаляващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предишния:

г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n +1 > … .

Нарастващите и намаляващи поредици са обединени от общ термин - монотонни поредици.

Пример 1 г 1 = 1; y n= н 2 е нарастваща последователност.

Следователно, следната теорема е вярна (характерно свойство на аритметична прогресия). Числовата последователност е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на средноаритметичната стойност на предишния и следващите членове.

Пример. На каква стойност хномер 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 образуват крайна аритметична прогресия?

Според характеристичното свойство дадените изрази трябва да удовлетворяват релацията

5х – 4 = ((3х + 2) + (11х + 12))/2.

Решаването на това уравнение дава х= –5,5. С тази стойност хдадени изрази 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 приемат, съответно, стойностите -14,5, –31,5, –48,5. Това е аритметична прогресия, нейната разлика е -17.

Геометрична прогресия.

Числова последователност, всички членове на която са различни от нула и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножение по същото число q, се нарича геометрична прогресия, а числото q- знаменателят на геометрична прогресия.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност ( b n) дадено рекурсивно от отношенията

б 1 = б, b n = b n –1 q (н = 2, 3, 4…).

(би q-дадени числа, б ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... - нарастваща геометрична прогресия б = 2, q = 3.

Пример 2. 2, -2, 2, -2, ... – геометрична прогресия б= 2,q= –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресия б= 8, q= 1.

Геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако б 1 > 0, q> 1 и намаляващо ако б 1 > 0, 0q

Едно от очевидните свойства на геометричната прогресия е, че ако една последователност е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е.

б 1 2 , б 2 2 , б 3 2 , …, b n 2,... е геометрична прогресия, чийто първи член е равен на б 1 2 , а знаменателят е q 2 .

Формула н-тият член на геометричната прогресия има формата

b n= б 1 q n– 1 .

Можете да получите формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека има крайна геометрична прогресия

б 1 ,б 2 ,б 3 , …, b n

позволявам S n -сбора от членовете му, т.е.

S n= б 1 + б 2 + б 3 + … +b n.

Прието е, че q No 1. Да се ​​определи S nприлага се изкуствен трик: извършват се някои геометрични трансформации на израза S n q.

S n q = (б 1 + б 2 + б 3 + … + b n –1 + b n)q = б 2 + б 3 + б 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– б 1 .

По този начин, S n q= S n +b n q – b 1 и следователно

Това е формулата с umma n членове на геометрична прогресияза случая, когато q≠ 1.

В q= 1 формула не може да се изведе отделно, очевидно е, че в този случай S n= а 1 н.

Нарича се геометрична прогресия, тъй като в нея всеки член, с изключение на първия, е равен на средната геометрична стойност на предишния и следващите членове. Наистина, тъй като

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

следователно, b n 2= b n– 1 bn+ 1 и следната теорема е вярна (характерно свойство на геометрична прогресия):

числова последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове.

Ограничение на последователността.

Нека има последователност ( c n} = {1/н}. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е средната хармонична стойност между предишния и следващите членове. Средна геометрична стойност на числата аи бима номер

В противен случай последователността се нарича дивергентна.

Въз основа на това определение може например да се докаже съществуването на граница A=0за хармоничната последователност ( c n} = {1/н). Нека ε е произволно малко положително число. Ние отчитаме разликата

има ли такъв нтова за всеки n≥ ннеравенство 1 /Н? Ако се приема като нвсяко естествено число, по-голямо от 1/ε , след това за всички n ≥ Nнеравенство 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Понякога е много трудно да се докаже съществуването на граница за определена последователност. Най-често срещаните последователности са добре проучени и са изброени в справочниците. Има важни теореми, които позволяват да се заключи, че дадена последователност има ограничение (и дори да се изчисли) въз основа на вече проучени последователности.

Теорема 1. Ако една последователност има ограничение, тогава тя е ограничена.

Теорема 2. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница.

Теорема 3. Ако последователността ( a n} има лимит А, след това последователностите ( мога}, {a n+ в) и (| a n|} имат граници cA, А +° С, |А| съответно (тук ° Се произволно число).

Теорема 4. Ако последователности ( a n} и ( b n) имат граници, равни на Аи Б pa n + qb n) има ограничение pA+ qB.

Теорема 5. Ако последователности ( a n) и ( b n) имат граници, равни на Аи Бсъответно, тогава последователността ( a n b n) има ограничение АБ.

Теорема 6. Ако последователности ( a n} и ( b n) имат граници, равни на Аи Бсъответно и в допълнение b n ≠ 0 и B≠ 0, след това последователността ( a n / b n) има ограничение A/B.

Анна Чугайнова

Дадено е определението на числова последователност. Разгледани са примери за безкрайно нарастващи, конвергентни и дивергентни последователности. Разглежда се поредица, съдържаща всички рационални числа.

Вижте също:

Определение

Последователността се обозначава като n-тия член, затворен в къдрави скоби: . Възможни са и следните обозначения: . Те изрично заявяват, че индексът n принадлежи на множеството естествени числа и че самата последователност има безкраен брой членове. Ето някои примери за последователности:
, , .

С други думи, числова последователност е функция, чиято област е набор от естествени числа. Броят на елементите в последователността е безкраен. Сред елементите може да има и членове, които имат същата стойност. Също така последователността може да се разглежда като номериран набор от числа, състоящ се от безкраен брой членове.

Ще ни интересува основно въпросът - как се държат последователностите, когато n клони към безкрайност: . Този материал е представен в раздела Ограничение на последователността - основни теореми и свойства. И тук ще разгледаме някои примери за последователности.

Примери за последователност

Примери за безкрайно нарастващи поредици

Нека разгледаме една последователност. Общият термин на тази последователност е . Нека напишем първите няколко термина:
.
Може да се види, че с нарастването на числото n елементите се увеличават неограничено към положителни стойности. Можем да кажем, че тази последователност клони към : при .

Сега разгледайте последователност с общ термин. Ето някои от първите му членове:
.
С нарастването на числото n елементите на тази последователност се увеличават по абсолютна стойност за неопределено време, но нямат постоянен знак. Това означава, че тази последователност клони към: при .

Примери за последователности, сближаващи се до крайно число

Нека разгледаме една последователност. Негов общ член Първите термини са както следва:
.
Вижда се, че с нарастването на числото n елементите на тази последователност се доближават до граничната си стойност a = 0 : в . Така че всеки следващ член е по-близък до нула от предишния. В известен смисъл можем да приемем, че има приблизителна стойност за числото a = 0 с грешка. Ясно е, че с нарастването на n тази грешка клони към нула, тоест, като се избере n, грешката може да се направи произволно малка. Освен това за всяка дадена грешка ε > 0 възможно е да се посочи такова число N , че за всички елементи с номера по - големи от N : отклонението на числото от граничната стойност a да не надвишава грешката ε : .

След това помислете за последователността. Негов общ член Ето някои от първите му членове:
.
В тази последователност четните членове са нула. Членовете с нечетно n са . Следователно, когато n расте, техните стойности се доближават до граничната стойност a = 0 . Това следва и от факта, че
.
Както в предишния пример, можем да посочим произволно малка грешка ε > 0 , за което е възможно да се намери такова число N, че елементите с номера по-големи от N да се отклоняват от граничната стойност a = 0 със стойност, която не надвишава посочената грешка. Следователно тази последователност се сближава до стойността a = 0 : в .

Примери за различни последователности

Помислете за последователност със следния общ термин:

Ето първите му членове:


.
Вижда се, че термините с четни числа:
,
се доближават до стойността a 1 = 0 . Членове с нечетни номера:
,
се доближават до стойността a 2 = 2 . Самата последователност, когато n расте, не се доближава до никаква стойност.

Последователност с членове, разпределени в интервала (0;1)

Сега помислете за по-интересна последователност. Вземете отсечка на числовата права. Нека го разделим наполовина. Получаваме два сегмента. Позволявам
.
Всеки от сегментите отново е разделен наполовина. Получаваме четири сегмента. Позволявам
.
Разделете отново всеки сегмент наполовина. Да вземем


.
И така нататък.

В резултат на това получаваме последователност, чиито елементи са разпределени в отворен интервал (0; 1) . Каквато и точка да вземем от затворения интервал , винаги можем да намерим членове на последователността, които са произволно близки до тази точка или съвпадат с нея.

Тогава от оригиналната последователност може да се отдели подпоследователност, която ще се сближи до произволна точка от интервала . Тоест с нарастването на числото n членовете на подпоследователността ще се приближават все по-близо до предварително избраната точка.

Например за точка а = 0 можете да изберете следната подпоследователност:
.
= 0 .

За точка а = 1 изберете следната подпоследователност:
.
Членовете на тази подпоследователност се доближават до стойността a = 1 .

Тъй като има подпоследователности, които се доближават до различни стойности, самата оригинална последователност не се сближава до никакво число.

Поредица, съдържаща всички рационални числа

Сега нека построим последователност, която съдържа всички рационални числа. Освен това всяко рационално число ще бъде включено в такава последователност безкраен брой пъти.

Рационалното число r може да бъде представено, както следва:
,
където е цяло число; - естествено.
Трябва да присвоим на всяко естествено число n двойка числа p и q, така че всяка двойка p и q да бъде включена в нашата последователност.

За да направите това, начертайте оси p и q върху равнината. Начертаваме линии на мрежата през целочислени стойности p и q. Тогава всеки възел от тази мрежа с ще съответства на рационално число. Целият набор от рационални числа ще бъде представен от набор от възли. Трябва да намерим начин да номерираме всички възли, така че да не пропуснем нито един възел. Това е лесно да се направи, ако номерираме възлите според квадратите, чиито центрове са разположени в точката (0; 0) (виж снимката). В този случай долните части на квадратите с q < 1 не ни трябва. Следователно те не са показани на фигурата.

И така, за горната страна на първия квадрат имаме:
.
След това номерираме горната част на следващия квадрат:

.
Номерираме горната част на следващия квадрат:

.
И така нататък.

По този начин получаваме поредица, съдържаща всички рационални числа. Може да се види, че всяко рационално число се появява в тази последователност безкраен брой пъти. Всъщност, заедно с възела, тази последователност ще включва и възли, където е естествено число. Но всички тези възли съответстват на едно и също рационално число.

След това от последователността, която сме построили, можем да изберем подпоследователност (с безкраен брой елементи), всички елементи на която са равни на предварително определено рационално число. Тъй като последователността, която сме конструирали, има подпоследователности, сближаващи се до различни числа, последователността не се сближава до нито едно число.

Заключение

Тук сме дали точна дефиниция на числовата последователност. Засегнахме и въпроса за нейната конвергенция, основана на интуитивни идеи. Точното определение на конвергенцията се обсъжда на страницата Определяне на границата на последователност. Свързаните свойства и теореми са очертани на страницата Ограничение на последователността - Основни теореми и свойства.

Лекция 8. Числови поредици.

Определение8.1. Ако всяка стойност е свързана по определен закон с определено реално числох н , след това наборът от номерирани реални числа

– съкратена нотация
, (8.1)

ще се обадимчислова последователност или просто последователност.

Отделни числа х н  елементи или членове на последователност (8.1).

Последователността може да бъде определена с обща формула за термин, както следва:
или
. Последователността може да бъде определена двусмислено, например последователността -1, 1, -1, 1, ... може да бъде определена с формулата
или
. Понякога се използва повтарящ се начин за определяне на последователност: дават се първите няколко члена на последователността и формула за изчисляване на следващите елементи. Например последователността, дефинирана от първия елемент и рекурентната връзка
(аритметична прогресия). Помислете за последователност, наречена близо до Фибоначи: задайте първите два елемента х 1 =1, х 2 =1 и рекурентното отношение
за всякакви
. Получаваме поредица от числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... За такава серия е доста трудно да се намери формула за общ термин.

8.1. Аритметични операции с поредици.

Помислете за две последователности:

(8.1)

Определение 8.2. Да се ​​обадимпродуктът на последователността
на брой мподпоследователност
. Нека го напишем така:
.

Да наречем последователността сума от последователности (8.1) и (8.2), пишем, както следва: ; по същия начин
нека се обадим разлика в последователността (8.1) и (8.2);
 продукт на последователности (8.1) и (8.2);  частни поредици (8.1) и (8.2) (всички елементи
).

8.2. Ограничени и неограничени поредици.

Множеството от всички елементи на произволна последователност
образува определено числово множество, което може да бъде ограничено отгоре (отдолу) и за което са валидни определения, подобни на въведените за реални числа.

Определение 8.3. Подпоследователност
Нареченограничен отгоре , ако ; М  горен ръб.

Определение 8.4. Подпоследователност
Нареченограничен отдолу , ако ;м  долен ръб.

Определение 8.5.Подпоследователност
Нареченограничен , ако е ограничен както отгоре, така и отдолу, тоест ако има две реални числа M им така че всеки елемент от последователността
удовлетворява неравенствата:

, (8.3)

миМ- горен и долен ръб
.

Неравенствата (8.3) се наричат условие за ограниченост на последователността
.

Например последователността
ограничен и
неограничен.

♦ Изявление 8.1.
е ограничен .

Доказателство.Да изберем
. Съгласно дефиниция 8.5, последователността
ще бъде ограничен. ■

Определение 8.6. Подпоследователност
Нареченнеограничен , ако за всяко положително (произволно голямо) реално число A има поне един елемент от последователносттах н , удовлетворявайки неравенството:
.

Например последователността 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 н, … неограничен, т.к ограничени само отдолу.

8.3. Безкрайно големи и безкрайно малки поредици.

Определение 8.7. Подпоследователност
Нареченбезкрайно голям , ако за всяко (произволно голямо) реално число A има число
такъв, че за всички
елементих н
.

☼ Забележка 8.1.Ако една последователност е безкрайно голяма, тогава тя е неограничена. Но не бива да се мисли, че всяка неограничена последователност е безкрайно голяма. Например последователността
не е ограничено, но не е безкрайно голямо, т.к състояние
не е доволен дори за всички н. ☼

 Пример 8.1.
е безкрайно голям. Вземете произволно число НО>0. От неравенството
получаваме н>А. Ако вземете
, след това за всички н>ннеравенството ще се запази
, тоест, съгласно дефиниция 8.7, последователността
безкрайно голям. 

Определение 8.8. Подпоследователност
Нареченбезкрайно малък , ако за
(колкото и да е малък ) има номер
такъв, че за всички
елементи тази последователност удовлетворява неравенството
.

 Пример 8.2.Нека докажем, че последователността безкрайно малък.

Вземете произволно число
. От неравенството
получаваме . Ако вземете
, след това за всички н>ннеравенството ще се запази
. 

♦ Изявление 8.2. Подпоследователност
е безкрайно голям при
и безкрайно малък при
.

Доказателство.

1) Нека първо
:
, където
. Съгласно формулата на Бернули (Пример 6.3, раздел 6.1.)
. Фиксираме произволно положително число НОи изберете число нтака че неравенството е вярно:

,
,
,
.

Защото
, след това чрез свойството на произведението на реалните числа за всички

.

Така че за
има номер
, това за всички


- безкрайно голям
.

2) Разгледайте случая
,
(при q=0 имаме тривиален случай).

Позволявам
, където
, според формулата на Бернули
или
.

Поправяне
,
и изберете
такъв, че

,
,
.

За

. Посочете този номер н, това за всички

, тоест кога
подпоследователност
безкрайно малък. ■

8.4. Основни свойства на безкрайно малките поредици.

♦ Теорема 8.1.Сума

и

Доказателство.Поправяне ;
- безкрайно малък

,

- безкрайно малък

. Да изберем
. След това при

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2. Разликата
две безкрайно малки последователности
и
е безкрайно малка последователност.

За доказателство затеорема, достатъчно е да се използва неравенството . ■

Последица.Алгебричната сума на произволен краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

♦ Теорема 8.3.Продуктът на ограничена последователност и безкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност.

Доказателство.
- ограничено
е безкрайно малка последователност. Поправяне ;
,
;
: в
справедлив
. Тогава
. ■

♦ Теорема 8.4.Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Доказателство.Поправяне Нека някакво число. Тогава
за всички стаи н, което означава, че последователността е ограничена. ■

Последица. Продуктът на две (и произволен краен брой) безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

♦ Теорема 8.5.

Ако всички елементи от безкрайно малка последователност
са равни на едно и също число° С, тогава c= 0.

Доказателствотеоремата се осъществява от противоречие, ако означим
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Ако
тогава е безкрайно голяма последователност, започваща от някакво числон, коефициентът е дефиниран две последователности
и
, което е безкрайно малка последователност.

2) Ако всички елементи от безкрайно малка последователност
са различни от нула, тогава частното две последователности
и
е безкрайна последователност.

Доказателство.

1) Нека
е безкрайно голяма последователност. Поправяне ;
или
в
. Така, по дефиниция 8.8, последователността - безкрайно малък.

2) Нека
е безкрайно малка последователност. Да приемем, че всички елементи
са различни от нула. Поправяне НО;
или
в
. По дефиниция 8.7 последователността безкрайно голям. ■