Plán lekcie.

1. Organizačný moment.

2. Prezentácia materiálu.

3. Domáce úlohy.

4. Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

II. Prezentácia materiálu.

Motivácia.

Rozšírenie množiny reálnych čísel spočíva v tom, že k reálnym číslam sa pridávajú nové čísla (imaginárne). Zavedenie týchto čísel je spojené s nemožnosťou extrahovať odmocninu zo záporného čísla v množine reálnych čísel.

Zavedenie pojmu komplexné číslo.

Imaginárne čísla, ktorými dopĺňame reálne čísla, sa píšu ako bi, kde i Je pomyselnou jednotkou a i 2 = - 1.

Na základe toho dostaneme nasledujúcu definíciu komplexného čísla.

Definícia... Komplexné číslo je vyjadrením tvaru a + bi, kde a a b- reálne čísla. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

a) Dve komplexné čísla a 1 + b 1 i a a 2 + b 2 i sú rovnaké vtedy a len vtedy a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Sčítanie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobenie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexného čísla.

Zápis komplexného čísla do formulára a + bi sa nazýva algebraická forma komplexného čísla, kde a- skutočná časť, bi Je imaginárna časť, a b Je skutočné číslo.

Komplexné číslo a + bi sa považuje za rovné nule, ak sa jeho skutočná a imaginárna časť rovnajú nule: a = b = 0

Komplexné číslo a + bi pri b = 0 sa považuje za rovnaké ako reálne číslo a: a + 0i = a.

Komplexné číslo a + bi pri a = 0 sa nazýva čisto imaginárny a označuje sa bi: 0 + bi = bi.

Dve komplexné čísla z = a + bi a = a - bi ktoré sa líšia iba znakom imaginárnej časti sa nazývajú konjugované.

Akcie ukončené komplexné čísla v algebraickej forme.

Na komplexných číslach v algebraickej forme môžete urobiť nasledovné.

1) Doplnenie.

Definícia... Súčet komplexných čísel zi = ai + b1 i a z2 = a2 + b2 i nazývané komplexné číslo z, ktorej reálna časť sa rovná súčtu reálnych častí z 1 a z 2, a imaginárna časť je súčtom imaginárnych častí čísel z 1 a z 2, teda z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

čísla z 1 a z 2 sa nazývajú termíny.

Sčítanie komplexných čísel má nasledujúce vlastnosti:

1º. Zameniteľnosť: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexné číslo –A –bi nazývaný opakom komplexného čísla z = a + bi... Komplexné číslo oproti komplexnému číslu z, označené -z... Súčet komplexných čísel z a -z sa rovná nule: z + (-z) = 0

Príklad 1. Vykonajte pridávanie (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odčítanie.

Definícia. Odčítajte od komplexného čísla z 1 komplexné číslo z 2 z,čo z + z 2 = z 1.

Veta... Rozdiel komplexných čísel existuje a navyše je jedinečný.

Príklad 2. Vykonajte odčítanie (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Násobenie.

Definícia... Súčin komplexných čísel zi = ai + b1 i a z2 = a2 + b2 i nazývané komplexné číslo z definované rovnosťou: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.

čísla z 1 a z 2 sa nazývajú faktory.

Násobenie komplexných čísel má tieto vlastnosti:

1º. Zameniteľnosť: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a - bi) = a2 + b 2 je skutočné číslo.

V praxi sa násobenie komplexných čísel uskutočňuje podľa pravidla násobenia súčtu súčtom a oddeľovania reálnej a imaginárnej časti.

V nasledujúcom príklade budeme uvažovať o násobení komplexných čísel dvoma spôsobmi: pravidlom a násobením súčtu súčtom.

Príklad 3. Vykonajte násobenie (2 + 3i) (5 - 7i).

1 spôsob. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) i = 31 + i.

Metóda 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdelenie.

Definícia... Rozdeľte komplexné číslo z 1 na komplexnom čísle z 2, potom nájdite také komplexné číslo z, čo zz 2 = z 1.

Veta. Podiel komplexných čísel existuje a je jedinečný, ak z 2 ≠ 0 + 0i.

V praxi sa podiel komplexných čísel zistí vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.

Nechaj zi = ai + b1 i, z2 = a2 + b2 i, potom

.

V nasledujúcom príklade budeme deliť vzorcom a pravidlom násobenia konjugátom menovateľa.

Príklad 4. Nájdite kvocient .

5) Zvýšenie na kladné celé číslo.

a) Mocniny imaginárnej jednotky.

Použitie rovnosti i2 = -1, je ľahké definovať akúkoľvek kladnú mocninu celého čísla imaginárnej jednotky. Máme:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 atď.

To ukazuje, že hodnoty stupňa ja n, kde n- kladné celé číslo, ktoré sa periodicky opakuje, keď sa indikátor zvýši o 4 .

Preto na zvýšenie počtu i v celej kladnej miere musí byť exponent vydelený 4 a vzpriamený i k mocnine, ktorej exponent sa rovná zvyšku delenia.

Príklad 5. Vypočítajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.

b) Umocnenie komplexného čísla na kladné celé číslo sa vykonáva podľa pravidla o umocnení dvojčlenu na príslušnú mocninu, keďže ide o špeciálny prípad násobenia rovnakých komplexných faktorov.

Príklad 6. Vypočítajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.

DEFINÍCIA

Algebraická forma komplexného čísla je zapísať komplexné číslo \ (\ z \) v tvare \ (\ z = x + iy \), kde \ (\ x \) a \ (\ y \) sú reálne čísla. , \ (\ i \ ) je imaginárna jednotka spĺňajúca vzťah \ (\ i ^ (2) = - 1 \)

Číslo \ (\ x \) sa nazýva reálna časť komplexného čísla \ (\ z \) a označuje sa \ (\ x = \ meno operátora (Re) z \)

Číslo \ (\ y \) sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla \ (\ z \) a označuje sa \ (\ y = \ meno operátora (Im) z \)

Napríklad:

Komplexné číslo \ (\ z = 3-2 i \) a k nemu priradené číslo \ (\ \ podčiarknuté (z) = 3 + 2 i \) sa zapisujú v algebraickej forme.

Imaginárna hodnota \ (\ z = 5 i \) je zapísaná v algebraickom tvare.

Okrem toho, v závislosti od riešeného problému, môžete previesť komplexné číslo na trigonometrické alebo exponenciálne.

Odvolanie potrebné informácie o komplexných číslach.

Komplexné číslo je vyjadrením formy a + bi, kde a, b sú reálne čísla a i- tzv pomyselná jednotka, teda znak, ktorého druhá mocnina je -1 i 2 = -1. číslo a volal reálna časť a číslo b - imaginárnu časť komplexné číslo z = a + bi... Ak b= 0, potom namiesto a + 0i napíš jednoducho a... Je vidieť, že reálne čísla sú špeciálnym prípadom komplexných čísel.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami sú rovnaké ako s reálnymi číslami: možno ich navzájom sčítať, odčítať, násobiť a deliť. Sčítanie a odčítanie prebieha podľa pravidla ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a násobenie - podľa pravidla ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (inzerát + bc)i(tu sa používa len to i 2 = –1). Číslo = a – bi volal komplexný konjugát Komu z = a + bi... Rovnosť z · = a 2 + b 2 vám umožní pochopiť, ako rozdeliť jedno komplexné číslo iným (nenulovým) komplexným číslom:

(Napríklad .)

Komplexné čísla majú pohodlnú a intuitívnu geometrickú reprezentáciu: číslo z = a + bi môže byť reprezentovaný vektorom so súradnicami ( a; b) na karteziánskej rovine (alebo, čo je takmer to isté, bod - koniec vektora s týmito súradnicami). V tomto prípade je súčet dvoch komplexných čísel znázornený ako súčet zodpovedajúcich vektorov (ktoré možno nájsť pomocou pravidla rovnobežníka). Podľa Pytagorovej vety dĺžka vektora so súradnicami ( a; b) je rovnaký. Toto množstvo sa nazýva modul komplexné číslo z = a + bi a označené | z|. Uhol, ktorý tento vektor zviera s kladným smerom osi x (počítané proti smeru hodinových ručičiek), sa nazýva argument komplexné číslo z a označuje sa Arg z... Argument nie je jednoznačne definovaný, ale iba do súčtu násobku 2 π radiánov (alebo 360°, ak počítate v stupňoch) - je predsa jasné, že otočenie o takýto uhol okolo počiatku nezmení vektor. Ale ak vektor dĺžky r tvorí uhol φ s kladným smerom osi x, potom sú jej súradnice ( r Cos φ ; r Sin φ ). Preto sa ukazuje trigonometrická notácia komplexné číslo: z = |z| (Cos (Arg z) + i hriech (Arg z)). Často je vhodné písať komplexné čísla v tejto forme, pretože to výrazne zjednodušuje výpočty. Násobenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare vyzerá veľmi jednoducho: z jeden · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i hriech (Arg z 1 + Arg z 2)) (pri násobení dvoch komplexných čísel sa ich moduly vynásobia a argumenty sa sčítajú). Preto nasledujte Moivre vzorce: z n = |z|n(Cos ( n(Arg z)) + i hriech ( n(Arg z))). Pomocou týchto vzorcov je ľahké sa naučiť, ako extrahovať korene ľubovoľného stupňa z komplexných čísel. Root n-tý stupeň z čísla z je také komplexné číslo w, čo w n = z... To je jasné , A kde k môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z množiny (0, 1, ..., n- jeden). To znamená, že vždy existuje presne n korene n-tý stupeň komplexného čísla (v rovine sa nachádzajú vo vrcholoch správneho n-gon).

Komplexné čísla sú rozšírením množiny reálnych čísel, zvyčajne sa označujú ako. Akékoľvek komplexné číslo môže byť reprezentované ako formálny súčet, kde a sú reálne čísla, je imaginárna jednotka.

Zápis komplexného čísla v tvare ,, sa nazýva algebraická forma komplexného čísla.

Vlastnosti komplexných čísel. Geometrická interpretácia komplexného čísla.

Akcie na komplexných číslach uvedené v algebraickej forme:

Zvážte pravidlá, podľa ktorých sa vykonávajú aritmetické operácie s komplexnými číslami.

Dané dve komplexné čísla α = a + bi a β = c + di, teda

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i,

a - p = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i. (jedenásť)

Vyplýva to z definície operácií sčítania a odčítania dvoch usporiadaných párov reálnych čísel (pozri vzorce (1) a (3)). Získali sme pravidlá pre sčítanie a odčítanie komplexných čísel: na sčítanie dvoch komplexných čísel musíte oddelene sčítať ich reálne časti a podľa toho aj ich imaginárne časti; aby sme od jedného komplexného čísla odčítali ďalšie, je potrebné odčítať ich reálnu a imaginárnu časť, resp.

Číslo - α = - a - bi sa nazýva opak čísla α = a + bi. Súčet týchto dvoch čísel je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Na získanie pravidla pre násobenie komplexných čísel použijeme vzorec (6), teda skutočnosť, že i2 = -1. Ak vezmeme do úvahy tento vzťah, zistíme (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i - bd, t.j.

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)

Tento vzorec zodpovedá vzorcu (2), ktorý definoval násobenie usporiadaných párov reálnych čísel.

Všimnite si, že súčet a súčin dvoch komplexne konjugovaných čísel sú reálne čísla. V skutočnosti, ak α = a + bi, = a - bi, potom α = (a + bi) (a - bi) = a2 - i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi ) = (a + a) + (b - b) i = 2a, t.j.

α + = 2a, α = a2 + b2. (trinásť)

Pri delení dvoch komplexných čísel v algebraickom tvare treba očakávať, že kvocient je vyjadrený aj číslom rovnakého typu, teda α / β = u + vi, kde u, v R. Odvoďme pravidlo na delenie komplexné čísla. Nech sú dané čísla α = a + bi, β = c + di a β ≠ ​​0, teda c2 + d2 ≠ 0. Posledná nerovnosť znamená, že c a d nezaniknú súčasne (okrem prípadu, keď c = 0 d = 0). Aplikovaním vzorca (12) a druhej z rovníc (13) nájdeme:

Preto je podiel dvoch komplexných čísel určený vzorcom:

zodpovedajúca vzorcu (4).

Pomocou výsledného vzorca pre číslo β = c + di možno nájsť jeho inverzné číslo β-1 = 1 / β. Stanovením a = 1 ab = 0 vo vzorci (14) dostaneme

Tento vzorec definuje prevrátenú hodnotu daného nenulového komplexného čísla; toto číslo je tiež zložité.

Napríklad: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

Akcie na komplexných číslach v algebraickom tvare.

55. Argument komplexného čísla. Trigonometrický zápis komplexného čísla (výstup).

Arg.com.číslo. - medzi kladným smerom reálnej osi X vektorom reprezentujúcim dané číslo.

Formulový trigón. Čísla:,