Pri štúdiu akejkoľvek témy školského kurzu si môžete vybrať určité minimum problémov, po zvládnutí metód riešenia, ktoré budú študenti schopní vyriešiť akýkoľvek problém na úrovni programových požiadaviek na študovanú tému. Navrhujem zvážiť úlohy, ktoré vám umožnia vidieť vzťah jednotlivých tém školského kurzu matematiky. Preto je zostavený systém úloh účinným prostriedkom na opakovanie, zovšeobecňovanie a systematizáciu vzdelávacieho materiálu v priebehu prípravy študentov na skúšku.
Na úspešné absolvovanie skúšky nebudú zbytočné ďalšie informácie o niektorých prvkoch trojuholníka. Zvážte vlastnosti mediánu trojuholníka a problém, pri riešení ktorého možno tieto vlastnosti použiť. Navrhované úlohy implementujú princíp diferenciácie úrovní. Všetky úlohy sú konvenčne rozdelené do úrovní (úroveň je uvedená v zátvorkách za každou úlohou).
Pripomeňme si niektoré vlastnosti mediánu trojuholníka
Nehnuteľnosť 1. Dokážte, že stredná hodnota trojuholníka ABC nakreslený zhora A, menej ako polovica súčtu strán AB a AC.
Dôkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif "alt =" (! JAZYK: $ \ displaystyle (\ frac (AB + AC) (2)) $" width="90" height="60">.!}
Nehnuteľnosť 2. Medián rozdelí trojuholník na dva rovnaké.
Dôkaz
Nakreslite z vrcholu B trojuholníka ABC medián BD a výšku BE..gif "alt =" (! LANG: Plocha" width="82" height="46">!}
Keďže segment BD je medián, potom
Q.E.D.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif "alt =" (! JAZYK: Medián" align="left" width="196" height="75 src=">!} Nehnuteľnosť 4. Mediány trojuholníka rozdeľujú trojuholník na 6 rovnakých trojuholníkov.
Dôkaz
Dokážme, že plocha každého zo šiestich trojuholníkov, na ktoré mediány rozdeľujú trojuholník ABC, sa rovná ploche trojuholníka ABC. Za týmto účelom zvážte napríklad trojuholník AOF a pustite kolmicu AK z vrcholu A na priamku BF.
Kvôli majetku 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif "alt =" (! JAZYK: Medián" align="left" width="105" height="132 src=">!}
Nehnuteľnosť 6. Stred v pravouhlom trojuholníku, nakreslenom z vrcholu pravého uhla, je polovica prepony.
Dôkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif "alt =" (! JAZYK: Medián" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Dôsledky:1. Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
2. Ak sa dĺžka mediánu v trojuholníku rovná polovici dĺžky strany, na ktorú je nakreslený, potom je tento trojuholník pravouhlý.
ÚLOHY
Pri riešení každého nasledujúceho problému sa využívajú overené vlastnosti.
№1 Témy: Zdvojnásobenie mediánu. Obtiažnosť: 2+
Znaky a vlastnosti rovnobežníka Triedy: 8.9
Podmienka
Na pokračovaní mediánu AM trojuholník ABC za bod M odložený segment MUDr rovná AM... Dokážte, že štvoruholník ABDC- rovnobežník.
Riešenie
Využime jednu z vlastností rovnobežníka. Uhlopriečky štvoruholníka ABDC pretínajú v bode M a rozdeľte ho na polovicu, teda na štvoruholník ABDC- rovnobežník.
Stred je jednou z hlavných čiar trojuholníka. Tento segment a čiara, na ktorej leží, spája bod na čele rohu trojuholníka so stredom protiľahlej strany toho istého obrázku. V rovnostrannom trojuholníku je stredom aj stred a výška.Vlastnosť mediánu, ktorá výrazne uľahčí riešenie mnohých problémov, je nasledovná: ak nakreslíte mediány z každého uhla v trojuholníku, potom všetky, ktoré sa pretínajú v jednom bode, budú rozdelené v pomere 2: 1. Pomer by sa mal merať od vrcholu uhla.
Medián má tendenciu rozdeliť všetko rovnako. Napríklad ľubovoľný medián rozdeľuje trojuholník na dva ďalšie s rovnakou plochou. A ak nakreslíte všetky tri stredy, potom vo veľkom trojuholníku dostanete 6 malých, tiež rovnakých v ploche. Takéto čísla (s rovnakou plochou) sa nazývajú rovnaké.
Bisector
Osa je lúč, ktorý začína na vrchole uhla a pretína rovnaký uhol. Body ležiace na danom lúči sú rovnako vzdialené od strán rohu. Vlastnosti osy sú užitočné pri riešení problémov s trojuholníkmi.V trojuholníku je os je segment, ktorý leží na lúči osi uhla a spája vrchol s opačnou stranou. Priesečník so stranou ju rozdeľuje na segmenty, ktorých pomer sa rovná pomeru priľahlých strán.
Ak vpíšete kruh do trojuholníka, jeho stred sa bude zhodovať s priesečníkom všetkých priesečníkov tohto trojuholníka. Táto vlastnosť sa odráža aj v stereometrii - kde úlohu trojuholníka zohráva pyramída a kruh je guľa.
Výška
Rovnako ako stred a stred, aj výška v trojuholníku spája predovšetkým vrchol uhla a opačnú stranu. Toto spojenie vychádza z nasledujúceho: výška je kolmica vedená z vrcholu k priamke, ktorá obsahuje opačnú stranu.Ak je výška nakreslená v pravouhlom trojuholníku, potom, dotýkajúc sa opačnej strany, rozdeľuje celý trojuholník na dva ďalšie, ktoré sú zase podobné prvému.
Koncept kolmice sa často používa v stereometrii na určenie relatívnych polôh priamych čiar v rôznych rovinách a vzdialenosti medzi nimi. V tomto prípade segment slúžiaci ako kolmica musí mať pravý uhol s oboma priamkami. Potom číselná hodnota tohto segmentu ukáže vzdialenosť medzi týmito dvoma tvarmi.
Ak chcete nájsť medián pozdĺž strán trojuholníka, nemusíte si zapamätať ďalší vzorec. Stačí poznať algoritmus riešenia.
Na začiatok zvážte problém vo všeobecnosti.
Je daný trojuholník so stranami a, b, c. Nájdite dĺžku mediánu na stranu b.
AB = a, AC = b, BC = c.
Na lúči BF nastavte segment FD, FD = BF.
Spojte bod D s bodmi A a C.
Štvoruholník ABCD je rovnobežník (podľa znaku), pretože jeho uhlopriečky v priesečníku sú polovičné.
Vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka: súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán.
Preto: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²), takže b² + BD² = 2 (a² + c²),
BD² = 2 (a² + c²) -b². Konštrukciou je BF polovica BD, teda
Toto je vzorec na nájdenie mediánu trojuholníka pozdĺž jeho strán. Zvyčajne sa píše takto:
Prejdime k zváženiu konkrétneho problému.
Strany trojuholníka sú 13 cm, 14 cm a 15 cm Nájdite stred trojuholníka nakreslený k jeho strednej strane.
Aplikovaním podobného uvažovania dostaneme:
AC² + BD² = 2 (AB² + BC²).
14² + BD² = 2 (13² + 15²)
Vlastnosti
- Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva ťažisko, a týmto bodom sú rozdelené na dve časti v pomere 2:1, počítané od vrcholu.
- Trojuholník je rozdelený tromi stredmi na šesť rovnakých trojuholníkov.
- Väčšia strana trojuholníka zodpovedá menšiemu mediánu.
- Z vektorov, ktoré tvoria mediány, môžete vytvoriť trojuholník.
- Pri afinných transformáciách medián prechádza na medián.
- Stred trojuholníka ho rozdeľuje na dve rovnaké časti.
Vzorce
- Vzorec pre medián z hľadiska strán (odvodený Stewartovou vetou alebo rozšírením na rovnobežník a použitím rovnosti súčtu štvorcov strán a súčtu druhých mocnín uhlopriečok v rovnobežníku):
- Vzorec strany z hľadiska mediánov:
Ak sú dva stredy kolmé, potom súčet štvorcov strán, na ktoré sú padnuté, je 5-násobok štvorca tretej strany.
Mnemotechnické pravidlo
stredná opica,
ktorý má bystrý zrak,
skočiť priamo do stredu
strany proti vrchu,
kde je teraz.
Poznámky (upraviť)
pozri tiež
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je "Trojuholník Medián" v iných slovníkoch:
Medián: Medián trojuholníka v planimetrii, úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany v štatistike, medián je hodnota populácie, ktorá delí rad údajov zoradených na polovicu Medián (štatistika) ... . .. Wikipedia
Medián: Medián trojuholníka v planimetrii, úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany Medián (štatistika) kvantil 0,5 Medián (stopa) je stredná čiara stopy nakreslenej medzi pravou a ľavou ... Wikipedia
Trojuholník a jeho stredy. Stred trojuholníka je segment vo vnútri trojuholníka, ktorý spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, ako aj priamku obsahujúcu tento segment. Obsah 1 Vlastnosti 2 Vzorce ... Wikipedia
Čiara spájajúca vrchol trojuholníka so stredom jeho základne. Kompletný slovník cudzích slov, ktoré sa začali používať v ruskom jazyku. Popov M., 1907. medián (lat.mediana priemer) 1) geol. segment spájajúci vrchol trojuholníka s ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
Medián (z latinského mediana stred) v geometrii segment spájajúci jeden z vrcholov trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri M. trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa niekedy nazýva „ťažisko“ trojuholníka, takže ... Veľká sovietska encyklopédia
Trojuholník je priamka (alebo úsečka vo vnútri trojuholníka), ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri M. trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, do raja sa nazýva ťažisko trojuholníka, ťažisko, alebo ... ... Encyklopédia matematiky
- (z latinského mediana stred) segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany ... Veľký encyklopedický slovník
MEDIÁN, prostredník, manželky (lat.mediana, lit. stred). 1. Rovná čiara vedená od vrcholu trojuholníka do stredu protiľahlej strany (mat.). 2. V štatistike pre rad mnohých údajov veličina s vlastnosťou, že počet údajov, ... ... Ušakovov výkladový slovník
MEDIAN, s, manželky. V matematike priamka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany. Ozhegovov výkladový slovník. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 ... Ozhegovov výkladový slovník
MEDIANA (z latinského mediana middle), segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany ... encyklopedický slovník
Stred trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany tohto trojuholníka.
Vlastnosti mediánov trojuholníka
1. Medián rozdelí trojuholník na dva trojuholníky rovnakej oblasti.
2. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2: 1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka (ťažisko).
3. Celý trojuholník je rozdelený strednicami na šesť rovnakých trojuholníkov.
Dĺžka mediánu nakreslená na stranu: ( dokovať dokončením konštrukcie k rovnobežníku a použitím rovnosti v rovnobežníku dvojnásobku súčtu štvorcov strán a súčtu druhých mocnín uhlopriečok )
T1. Tri stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode M, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2: 1, počítajúc od vrcholov trojuholníka. Dané: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediány
∆ABC... Dokážte: a
D-in: Nech M je priesečník stredníc CC 1, AA 1 trojuholníka ABC. Označme A 2 - stred segmentu AM a C 2 - stred segmentu CM. Potom A 2 C 2 je stredná čiara trojuholníka AMC. znamená, A 2 C 2|| AS
a A2C2 = 0,5* AC. S 1 A 1 - stredná čiara trojuholníka ABC. Preto A 1 S 1 || AC a A 1 S 1 = 0,5 * AC.
Štvoruholník A 2 C 1 A 1 C 2- rovnobežník, keďže jeho protiľahlé strany A 1 S 1 a A 2 C 2 sú rovnaké a paralelné. teda A 2 M = MA 1 a C2M = MC 1 . To znamená, že body A 2 a M zdieľať medián AA 2 na tri rovnaké časti, t.j. AM = 2MA 2. Podobne CM = 2MC 1 ... Takže bod M priesečníka dvoch mediánov AA 2 a CC 2 trojuholník ABC rozdeľuje každý z nich v pomere 2: 1, počítajúc od vrcholov trojuholníka. Presne rovnakým spôsobom je dokázané, že priesečník stredníc AA 1 a BB 1 rozdeľuje každý z nich v pomere 2: 1, počítajúc od vrcholov trojuholníka.
Na mediáne AA 1 je takýmto bodom bod M, teda bod M a tam je priesečník mediánov AA 1 a BB 1.
Touto cestou, n
T2. Dokážte, že úsečky, ktoré spájajú ťažisko s vrcholmi trojuholníka, ho rozdeľujú na tri rovnaké časti. Vzhľadom na to: ∆ABC, 
je jeho medián.
dokázať: S AMB =S BMC =S AMC.Dôkaz. V, majú spoločné. 
odkedy ich dôvody sú rovnaké 
a výška nakreslená zhora M, majú spoločné. Potom
Dokazuje sa podobným spôsobom, že S AMB = S AMC. Touto cestou, S AMB = S AMC = S CMB.n
Osa trojuholníka Vety týkajúce sa osi trojuholníka. Vzorce na nájdenie osi
Stred uhla- lúč s počiatkom na vrchole uhla, rozdeľujúci uhol na dva rovnaké uhly.
Osa uhla je ťažisko bodov vo vnútri uhla, rovnako vzdialené od strán uhla.
Vlastnosti
1. Sektorová veta: Sektor vnútorného rohu trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.
2. Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred - stred kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
3. Ak sú dve osi v trojuholníku rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný (Steiner – Lemusova veta).
Výpočet dĺžky osi
l c - dĺžka osy nakreslenej na stranu c,
a, b, c - strany trojuholníka proti vrcholom A, B, C, resp.
p - polovica obvodu trojuholníka,
a l, b l - dĺžky úsečiek, na ktoré os l c delí stranu c,
α, β, γ sú vnútorné uhly trojuholníka vo vrcholoch A, B, C, resp.
h c - výška trojuholníka zníženého na stranu c.
Plošná metóda.
Popis metódy. Už z názvu vyplýva, že hlavným predmetom tejto metódy je plocha. Pri viacerých obrazcoch, napríklad pri trojuholníku, je plocha celkom jednoducho vyjadrená rôznymi kombináciami prvkov obrazca (trojuholníka). Preto sa táto technika ukazuje ako veľmi účinná, keď sa porovnávajú rôzne výrazy pre oblasť daného čísla. V tomto prípade vzniká rovnica obsahujúca známe a hľadané prvky obrazca, ktorej riešením určíme neznámu. Tu sa prejavuje hlavná vlastnosť plošnej metódy – z geometrickej úlohy „urobí“ algebraickú úlohu, pričom všetko zredukuje na riešenie rovnice (a niekedy aj sústavy rovníc).
1) Metóda porovnávania: spojená s veľkým počtom vzorcov S rovnakých čísel
2) Metóda pomeru S: založená na referenčných úlohách sledovania:
Chevova veta
Nech body A ", B", C "ležia na priamkach BC, CA, AB trojuholníka. Priamky AA", BB ", CC" sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy 
Dôkaz.
Označme priesečníkom segmentov a. Spustíme kolmice z bodov C a A na priamku BB 1, kým sa s ňou nepretnú v bodoch K a L (pozri obrázok).
Keďže trojuholníky a majú spoločnú stranu, ich plochy sa označujú ako výšky nakreslené na túto stranu, t.j. AL a CK:
Posledná rovnosť je pravdivá, pretože pravouhlé trojuholníky a sú podobné v ostrom uhle.
Podobne získame 
a 
Vynásobme tieto tri rovnosti:
Q.E.D.
Komentujte. Úsečka (alebo pokračovanie úsečky) spájajúca vrchol trojuholníka s bodom ležiacim na opačnej strane alebo jeho predĺžením sa nazýva Cheviana.
Veta (inverzná Chevova veta)... Nech body A ", B", C "ležia na stranách BC, CA a AB trojuholníka ABC. Nech platí vzťah 
Potom sa segmenty AA ", BB", CC " a pretínajú v jednom bode.
Menelaova veta
Menelaova veta. Nech priamka pretína trojuholník ABC a C 1 je jej priesečník so stranou AB, A 1 je jej priesečník so stranou BC a B 1 je jej priesečník s predĺžením strany AC. . Potom
Dôkaz
... Nakreslite priamku cez bod C rovnobežnú s AB. Nech K označuje jej priesečník s priamkou B 1 C 1.
Trojuholníky AC 1 B 1 a CKB 1 sú podobné (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). teda 
Trojuholníky BC 1 A 1 a CKA 1 sú tiež podobné (∟BA 1 C 1 = ∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 = ∟CKA 1). znamená,
Z každej rovnosti vyjadrujeme CK:
Kde 
Q.E.D.
Veta (inverzná Menelaova veta). Nech je daný trojuholník ABC. Nech bod C 1 leží na strane AB, bod A 1 - na strane BC a bod B 1 - na predĺžení strany AC a vzťah
Potom body A 1, B 1 a C 1 sú kolineárne.
