Производна на функцията. Решаване на производната за манекени: определение, как се намира, примери за решения Намирането на производната на дадена функция f се нарича

Производната на функция е една от най-трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия просто и ясно обяснява какво е производно и защо е необходимо.. Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си спомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функцията.

Фигурата показва графики на три функции. Кое според вас расте най-бързо?

Отговорът е очевиден – третото. Той има най-висока скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как се промениха доходите им през годината:

Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Доходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. А доходите на Матю намаляха до нула. Началните условия са еднакви, но скоростта на промяна на функцията, т.е. производно, - различно. Що се отнася до Матвей, производната на неговия доход като цяло е отрицателна.

Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно графиката на функцията върви нагоре (или надолу). С други думи, колко бързо y се променя с x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различна стойност на производната - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се означава с .

Нека покажем как да намерите с помощта на графиката.

Начертава се графика на някаква функция. Вземете точка върху него с абциса. Начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се издига графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на наклона на допирателната.

Производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на наклон на допирателната, ние приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат каква е допирателната към графиката на функция. Това е права линия, която има единствената обща точка с графиката в този раздел, освен това, както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Да намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на отношението на противоположния катет към съседния. От триъгълник:

Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номера.

Има още една важна корелация. Припомнете си, че правата линия се дава от уравнението

Количеството в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклон на правата линия спрямо оста.

.

Ние разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричното значение на производната.

Производната на функция в дадена точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на допирателната на наклона на допирателната.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други и с различни темпове. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Така че производната е положителна в точката.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако функцията се увеличава, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

И какво ще се случи при максимални и минимални точки? Виждаме, че в (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на наклона на допирателната в тези точки е нула, а производната също е нула.

Точката е максималната точка. В този момент увеличаването на функцията се заменя с намаляване. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".

В точката - минималната точка - производната също е равна на нула, но знакът й се променя от "минус" на "плюс".

Заключение: с помощта на производната можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функцията.

Ако производната е положителна, тогава функцията се увеличава.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от плюс на минус.

В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.

Записваме тези констатации под формата на таблица:

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви е необходим, когато решавате изпитни задачи. Друга – през първата година, с по-сериозно проучване на функциите и производните.

Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална, а производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията се увеличи - и след точката тя продължава да се увеличава. Знакът на производната не се променя - той е останал положителен, както е бил.

Също така се случва, че в точката на максимум или минимум производната не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Но как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай се прилага

Процесът на намиране на производната на функция се нарича диференциация.Производната трябва да се намери в редица задачи в хода на математическия анализ. Например, при намиране на точки на екстремум и точки на прегъване на графика на функцията.

Как да намеря?

За да намерите производната на функция, трябва да знаете таблицата на производните на елементарните функции и да приложите основните правила за диференциране:

1. Изваждане на константата от знака на производната: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производна на сума/разлика от функции: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производна на произведението на две функции: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производна на дроби : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Производна на съставната функция: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примери за решение

Нека функцията е дефинирана в някаква околност на точка. Производната на функция в точка се нарича граница, ако съществува,

Конвенционална нотация за производна на функция в точка

Таблица на производните

Геометричното значение на производната на функция в точка.

Помислете за секанса АБфункционална графика y=f(x)така че точките НОИ INимат координати и , където е приращението на аргумента. Означете с приращение на функцията. Нека да отбележим всичко на чертежа:

От правоъгълен триъгълник ABCние имаме . Тъй като по дефиниция допирателната е граничната позиция на секуща, тогава .

Припомнете си дефиницията на производната на функция в точка: производната на функция y=f(x)в точката се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента в , обозначено .

следователно, , където е наклонът на допирателната.

По този начин съществуването на производна на функция y=f(x)в точка е еквивалентно на съществуването на допирателна към графиката на функцията y=f(x)в точката на контакт и наклонът на допирателната е равен на стойността на производната в точката, т.е.

Заключаваме: геометричен смисъл на производната на функция в точкасе състои в съществуването на допирателна към графиката на функцията в тази точка.

20 Диференцируемост на функция в точка. Необходимо и достатъчно условие за диференцируемост.

Увеличението на функция, диференцируема в дадена точка, може да бъде представена като линейна функция на нарастването на аргумента до стойности от по-висок порядък на малко. Това означава, че за достатъчно малки околности на дадена точка функцията може да бъде заменена с линейна (скоростта на промяна на функцията може да се счита за непроменена). Линейната част от приращението на функция се нарича неин диференциал (в дадена точка).

Необходимо, но не достатъчно условие за диференцируемост е непрекъснатостта на функцията. В случай на функция на една реална променлива, диференцируемостта е еквивалентна на съществуването на производна. В случай на функция от няколко реални променливи, необходимо (но не достатъчно) условие за диференцируемост е наличието на частични производни по отношение на всички променливи. За да може една функция от няколко променливи да бъде диференцируема в дадена точка, достатъчно е частичните производни да съществуват в някаква околност на разглежданата точка и да са непрекъснати в дадена точка.

21 Диференцируемост на функция в точка. Теорема за непрекъснатостта на диференцируема функция.

Теорема.

Ако функцията е диференцируема в дадена точка, тогава функцията е непрекъсната в тази точка.

Доказателство.

Нека функцията y=f(x)y=f(x) е диференцируема в точката x0x0, тогава нарастването на тази функция е Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.

Когато нарастването на аргумента на функцията ΔxΔx клони към нула, увеличението на функцията ΔyΔy също клони към нула, а това означава непрекъснатост на функцията.

Тоест, в крайна сметка получаваме, че функцията y=f(x)y=f(x), диференцируема в точката x0x0, също е непрекъсната функция в тази точка. Q.E.D.

Следователно, непрекъснатостта на функция в дадена точка е необходимо, но не и достатъчно условие, за да може функцията да бъде диференцируема.

Пример.

Функция y=|x|y=|x| в точката x0x0 е непрекъсната функция, но в този момент функцията не е диференцируема.

Всъщност увеличението на функцията е равно на:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

По този начин получаваме:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Границата limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не съществува, което означава, че функцията y=|x|y=|x|, която е непрекъсната в точката x0x0, не е диференцируема в тази точка.

22 Функционален диференциал. Геометричното значение на диференциала.

Функционална диференциал в даден момент хсе нарича основна, линейна част от приращението на функцията.

Функционален диференциал y=f(х) е равно на произведението на неговата производна и приращението на независимата променлива х(аргумент).

Пише се така:

Геометричното значение на диференциала.Функционален диференциал y=f(х) е равно на нарастването на ординатата на допирателната S, начертана към графиката на тази функция в точка M( х; г), когато се промени х(аргумент) по стойност (виж фигурата)..

23 Правилото за диференцируемост на сбора и произведението.

За да докажем второто правило за диференциране, използваме дефиницията на производната и свойството на границата на непрекъсната функция.

По подобен начин може да се докаже, че производната на сбора (разликата) нфункции е равна на сумата (разликата) ндеривати

Нека докажем правилото за диференциране на произведението на две функции.

Нека запишем границата на съотношението на приращението на произведението на функциите към приращението на аргумента. Ще вземем предвид това и (нарастването на функцията клони към нула, когато нарастването на аргумента клони към нула).

Q.E.D.

24 Инвариантност на диференциала от форма 1.

Инвариантност на формата на първия диференциал

Ако хтогава е независима променлива dx = х - х 0 (фиксирано увеличение). В този случай имаме

df(х 0) = е"(х 0)dx. (3)

Ако х = φ (т) е диференцируема функция, тогава dx = φ" (т 0)dt. следователно,

т.е. първият диференциал има свойството на инвариантност спрямо промяната на аргумента.

25 Теорема на Рол.

Теорема на Рол (теорема за нулева производна) Гласи че

Доказателство

Ако функцията на интервала е постоянна, тогава твърдението е очевидно, тъй като производната на функцията е равна на нула във всяка точка от интервала.

Ако не, тъй като стойностите на функцията в граничните точки на отсечката са равни, тогава според теоремата на Weierstrass тя взема своята максимална или минимална стойност в някаква точка от интервала, тоест има локален екстремум в тази точка и според лемата на Ферма, в този момент производната е равна на 0 .

геометричен смисъл

Теоремата гласи, че ако ординатите на двата края на гладка крива са равни, тогава има точка от кривата, в която допирателната към кривата е успоредна на оста x.

26 Теоремата на Лагранж и нейните следствия.

Формула за крайно нарастванеили Теорема за средната стойност на Лагранжзаявява, че ако функцията е непрекъсната на сегмент и диференцируема на интервал , тогава има такава точка, че

.

Геометричнотова може да се преформулира по следния начин: има точка на отсечката, в която допирателната е успоредна на хордата, преминаваща през точките на графиката, съответстващи на краищата на отсечката.

Механична интерпретация: Let - разстоянието на точката в момента от началната позиция. След това има изминато разстояние от момент до момент, съотношението е средната скорост за този интервал. Това означава, че ако скоростта на тялото се определя във всеки момент от време, тогава в даден момент тя ще бъде равна на средната му стойност в този участък.

Доказателство

За функция с една променлива:

Нека представим функция. Той удовлетворява условията на теоремата на Рол: в краищата на сегмента неговите стойности са равни на нула. Използвайки споменатата теорема, получаваме, че има точка, в която производната на функцията е равна на нула:

Q.E.D.

Последици и обобщения

Теоремата за крайния инкремент на Лагранж е една от най-важните, ключови теореми в цялата система на диференциалното смятане. Той има много приложения в изчислителната математика, а основните теореми на математическия анализ са и неговите последствия.

Последствие 1.Функция, диференцируема на интервал с производна, равна на нула, е константа.

Доказателство.За всеки и съществува такава точка, че .

Следователно, за всички и , равенството е вярно.

Следствие 2 (Формула на Тейлър с остатък във формата на Лагранж).Ако функцията е диференцируема времена в съседство на точката , тогава за малки (т.е. тези, за които сегментът лежи в определената окръг) е валидна формулата на Тейлър:

където е някакво число от интервала .

Последствие 3.Ако функцията на променливите е два пъти диференцируема в съседство на точка O и всички нейни втори смесени производни са непрекъснати в точка O, тогава равенството е вярно в тази точка:

Доказателство за.Нека фиксираме стойностите на и и да разгледаме операторите на разликата

По теоремата на Лагранж има числа , такъв, че

в поради непрекъснатостта на вторите производни на функцията .

По същия начин е доказано, че .

Но тъй като , (което се проверява директно), тези граници съвпадат.

Следствие 4 (формула на Нютон-Лайбниц).Ако функцията е диференцируема на отсечка и нейната производна е интегрируема по Риман на този сегмент, тогава формулата е валидна: .

Доказателство.Позволявам да бъде произволен дял на сегмента . Прилагайки теоремата на Лагранж, на всеки от сегментите намираме точка, такава, че .

Обобщавайки тези равенства, получаваме:

Отляво е интегралната сума на Риман за интеграла и даденото маркирано дял. Преминавайки до границата на диаметъра на преградата, получаваме формулата на Нютон-Лайбниц.

Следствие 5 (Теорема за оценката на крайните инкременти).Нека отображението е непрекъснато диференцируемо в изпъкнала компактна област на пространството. Тогава .

27 Теорема на Каши.

Теорема за средната стойност на Коши.

Нека две функции и са дадени такива, че: 1. и са дефинирани и непрекъснати на отсечката ; 2. производни и са крайни на интервала ; 3. производни и не изчезват едновременно на интервала 4. ; тогава съществува, за което е вярно: . (Ако премахнем условие 4, тогава е необходимо, например, да засилим условие 3: g "(x) не трябва да изчезва никъде в интервала.)

Геометрично това може да се преформулира по следния начин: ако и законът за движение в равнината е зададен (тоест абсцисата и ординатата се определят чрез параметъра ), тогава на всеки сегмент от такава крива, определен от параметрите и , има допирателен вектор, колинеарен на вектора на изместване от до .

Не винаги в живота ни интересуват точните стойности на всякакви количества. Понякога е интересно да се знае промяната в тази стойност, например средната скорост на автобуса, съотношението на количеството движение към интервала от време и т.н. За да сравните стойността на функция в даден момент със стойностите на същата функция в други точки, е удобно да използвате понятия като "нарастване на функцията" и "нарастване на аргумента".

Понятията за "увеличение на функцията" и "увеличение на аргумента"

Да предположим, че x е произволна точка, която се намира в някаква околност на точка x0. Увеличението на аргумента в точката x0 е разликата x-x0. Увеличението се обозначава, както следва: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Понякога тази стойност се нарича още увеличение на независимата променлива в точката x0. Това следва от формулата: x = x0 + ∆x. В такива случаи се казва, че първоначалната стойност на независимата променлива x0 е получила увеличение ∆x.

Ако променим аргумента, тогава стойността на функцията също ще се промени.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Увеличението на функцията f в точката x0,съответното увеличение ∆x е разликата f(x0 + ∆x) - f(x0). Увеличението на функция се обозначава като ∆f. Така получаваме, по дефиниция:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Понякога ∆f се нарича още приращение на зависимата променлива и ∆y се използва за обозначаването му, ако функцията е била например y=f(x).

Геометрично усещане за нарастване

Вижте следващата снимка.

Както можете да видите, приращението показва промяната в ординатата и абсцисата на точката. А съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента определя ъгъла на наклон на секущата, преминаваща през началната и крайната позиция на точката.

Помислете за примери за увеличаване на функцията и аргумента

Пример 1Намерете приращението на аргумента ∆x и приращението на функцията ∆f в точката x0, ако f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Нека използваме формулите по-горе:

а) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

б) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Пример 2Изчислете приращението ∆f за функцията f(x) = 1/x в точката x0, ако приращението на аргумента е равно на ∆x.

Отново използваме формулите, получени по-горе.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Намерете израз за производната на експоненциалната функция \(y = (e^x)\), като използвате дефиницията на производната.

Решение.

Първоначалните стъпки са стандартни: първо, напишете увеличението на функцията \(\Delta y\), съответстващо на увеличението на аргумента \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \вдясно) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Производната се изчислява като граница на увеличението съотношение: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] функцията \(y = (e^x)\) в числителя не зависи от Δ хи може да се извади от граничния знак. Тогава производната приема следната форма: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Означете получената граница с \(L\) и я изчислете отделно, между другото, \((e^0) = 1\) и следователно можем да напишем \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x) )) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] тоест тази граница е стойността на производната на експоненциалната функция при нула. Следователно \ Получихме релация, в която желаната производна се изразява чрез самата функция \(y = (e^x)\) и нейната производна в точката \(x = 0\). Нека докажем, че \ За да направите това, припомнете си, че числото \(e\) е дефинирано под формата на безкрайна граница като \ и числото \(e\) на степен \(\Delta x\), съответно , е равно на \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] След това прилагаме известната формула Бином на Нютон и разширете израза под граничния вход биномен ред: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \вдясно))^k)) .\] ). В европейските и американските учебници броят на комбинациите се обозначава като \ Нека се върнем към нашия лимит \(L\), който сега може да се запише по следния начин: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ до \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \вдясно] - 1))((\Delta x)).) \] За нас е удобно да отделим първите два члена в биномиалния ред: за \(k = 0\) и \(k = 1 \). Резултатът е \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \вдясно))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\ляво((\frac((\Del ta x))(n)) \вдясно))^k)) ) \вдясно] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \right))^(k - 1))))(( (n^k)))) ) \вдясно)) \вдясно].) \] Очевидно сумата от редицата клони към нула като \(\Delta x \to 0\). Следователно, \(L = 1\). Това означава, че производната на експоненциалната функция \(y = (e^x)\) е равна на самата функция: \