Расположение двух плоскостей в пространстве. Плоскость в пространстве – необходимые сведения. Способы задания плоскости

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Не меньше 1, так хотя бы 1 элемент отличен от нуля. Пусть 1 и 2 пересекаются они имеют общую линию они имеют общую систему они не параллельны, а так они совместны, значит . Пусть 1 и 2 параллельны: , . Если декартовая система координат, то - нормальные вектора. Косинус угла между двумя векторами:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей:

20. Различные способы задания прямой в пространстве. Прямая и плоскость. 2 прямые в пространстве. Угол между двумя прямыми. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, где коэффициенты A 1 ,B 1 ,C 1 и A 2 ,B 2 ,C 2 не пропорциональны: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0.Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.Составим уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) параллельно вектору a ={l,m,n}.Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором .Для любой точки М(x,y,z ), лежащей на данной прямой, вектор М 0 М = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0 ) коллинеарен направляющему вектору а . Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М 1 (х 1 , у 1 , z 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М 1 М 2 = {x 2 – x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 }, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки . Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях за некоторый параметр t , можно получить так называемые параметрические уравнения прямой :

Для того, чтобы перейти от уравнений к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n 1 n 2 ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений, выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

И косинус угла между ними можно найти по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых ,

- условие перпендикулярности прямых . Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

И плоскостью, определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а : Al + Bm + Cn = 0, а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.

21. каноническое уравнение эллипса. Свойства. называется линия, кото­рая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, при условии a≥b>0. Из уравнения следует, что для всех точек эллипса │x│≤ a и │у│≤ b. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответ­ственно большой и малой полу­оси. С1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы - его центром симметрии.Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: х 2 +у 2 =а 2 . При каждом х таком, что I х I < а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства. Гиперболой мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат определя­ется каноническим уравнением x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы │x│≥a, т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а. Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, 0) и (-а, 0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.C1. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = кх, поскольку мы уже знаем, что прямая х= 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1. Поэтому, если b 2 – a 2 k 2 >0, то x = ± ab / √b 2 – a 2 k 2 . Это позволяет указать координат точек пересечения (аb/u, аbк/u) и (-аb/и,-аbк/u),где обозначено u = (b 2 - а 2 к 2) 1/2 .

Прямые с уравнениями у = Ьх/а и у = -bх/а в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. C2. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно а 2 b 2 /(а 2 + b 2). C3. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Введем число с, положив с 2 =а 2 +b 2 и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки F 1 u F 2 c координатами (c, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентри­ситетом. У гиперболы е > 1. C4. Расстояния от произвольной точки М (х, у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M│=│a+ex│. C5. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее рас­стояний до фокусов по абсолютной величине равнялась ве­щественной оси гиперболы 2а. Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями x=a/ , x=-a/ . C6. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету . Уравнение касательной к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0), лежа­щей на ней имеет вид: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. Касательная к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0) есть биссектриса угла между отрезками, соединяю­щими эту точку с фокусами.

23. Каноническое уравнение параболы. Свойства. мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат опреде­ляется каноническим уравнением y 2 =2рх, при условии р > 0. Из уравнения вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/ 2, 0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х=-р/2 в канонической системе координат. C1. Расстояние от точки М (х, у), лежа­щей на параболе, до фокуса равно r=x+p/2. C2. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одина­ково удалена от фокуса и от директрисы, этой параболы. Параболе приписывается эксцентриситет е = 1. В силу этого соглашения формула r/d=e верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке М 0 (х 0 ,y 0), лежащей на ней, имеет вид yy 0 = p(x+x 0). C3 Касательная к параболе в точке М о есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет М о с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

24. Алгебраические линии. Задать алгебраические линии на плоскость,значит некоторое алгебраическое ур-ие вида F(x,y)=0 и некоторая аффинная система координат окружности на плоскости, тогда те и только те M(x,y),координаты которых удовлетворяют уравнению,считают лежами на данном уравнении.Аналогично задаются уравнения для поверхности в пространстве.Задать алгебр.ур-ие вида F(x,y,z)=0(z) с 3 переменными и некоторую систему координат OXYZтолько те и те точки F(x,y,z)=0(z) являются уравнением плоскости. При этом мы считаем, что два ур-ия определяют одну и туже линию или поверхность т. и т. т.,когда одно из этих ур-ий получается из другого умножением на некоторый числовой множитель лямбда 0.

25. Понятие алгебраической поверхности. Изучениепроизвольных множеств точек-задача совершенно необъятная.Опр.Алгебраической поверхностью называется множество точек,которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида +…+ =0,где все показатели степени-целые неотрицательные числа.Наибольшая из сумм(разумеется,здесь имеется в виду наибольшая из сумм,фактически входящих в уравнение,т.е.предполагается,что после приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым коэффициентом,имеющее такую сумму показателей.) + + ,…., + + называется степенью уравнения,а также порядком алгебраической поверхности.Это определение означает,в частности,что сфера,уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид ( +( +( = ,является алгебраической поверхностью второго порядка.Теорема.Алгебраическая поверхность порядка p в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида +…+ =0 порядка p.

26. Цилиндрические поверхности 2-го порядка. Пусть плоскость П дана некоторая прямая 2-го порядка и связка параллельных прямых d таких, что для любого d не параллельного П, тогда множество φ всех точек пространства принадлежащих тем прямым связки, которые пересекают линию γ называется направляющими, а прямые пересекающие φ – образующие. Выведем уравнение цилиндрической поверхности, относительно аффинной системы координат. Пусть в некоторой плоскости П лежит некоторая К, уравнение которой F(x,y)=0, в имеет направление а(а 1 а 2 а 3) d параллелен а. Точка М(x,y,z) лежит на какой-то образующей, а N(x’y’o) – точка пересечения этой образующей с плоскостью П. Вектор MN будет коллинеарен с ta следовательно MN=ta , x’=x+a 1 t ; y’=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t следовательно t= -z/a 3 , тогда x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y’=y- (a 2 z)/a 3 F(x’y’)=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . Теперь ясно, что уравнение F(x,y)=0 есть уравнение цилиндра с образующими параллельными оси Оy, а F(y,z)=0 с образующими параллельными оси Ох. Частный случай: Пусть прямая связки а параллельна (о,z) следовательно а 1 =0 а 2 =0 а 3 ≠0 F(x,y)=0, поэтому сколько линий второго порядка, столько и цилиндров. Поверхности: 1. Эллиптический цилиндр x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. Гиперболический цилиндр x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Параболический цилиндр y 2 =2πx 4. Пара пересекающихся плоскостей x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. Пара параллельных плоскостей x 2 /a 2 =1

27. Канонические поверхности 2-го порядка. Поверхность, на которой имеется точка М о, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М о ≠M содержит прямую (М о М), такая поверхность называется канонической или конусом. М о – вершина конуса, а прямые – ее образующие. Функция F(x,y,z)=0 называется однородной, если F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), где φ(t) – функция от t. Теорема. Если F(x,y,z) однородная функция, то поверхность, определяемая этим уравнением есть каноническая поверхность с вершиной в начале координат. Док-во. Пусть задана аффинная система координат и от нее задано каноническое уравнение с центром F(x,y,z)=0. Рассмотрим уравнение с вершиной в точке O M(x,y,z)=0, тогда всякая точка OM из F будет иметь вид M 1 (tx,ty,tz) на канонической поверхности. M o M(x,y,z), раз удовлетворяет поверхности, то F(tx,ty,tz)=0 функция однородная φ(t) F(x,y,z)=0 следовательно поверхность каноническая. Кривые 2-го порядка явл сечениями в конечной поверхности плоскостей x 2 +y 2 -z 2 =0/ При сечении канонических поверхностей плоскостями получаем в сечении следующие линии: а) плоскость проходящую через точку или пара слившихся прямых и пара пересекающихся прямых. Б) плоскость не проходит через вершину конуса следовательно получаем в сечении либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу.

28. Поверхности вращения. Пусть в 3-мерном пространстве дан декартовый репер. Плоскость П проходит через Oz, в плоскости Ozy задана γ и угол xOy=φ γ имеет вид u=f(z). Возьмем точку M из γ относительно репера Oxyz. γ – описанная окружность γМ по всем точкам М из γ называется отображением. Сечением поверхности вращения плоскости, проходящей через ось вращения называется меридианом. Сечением поверхности вращения плоскости перпендикулярной оси вращения называется параллельной. Уравнение поверхности вращения x 2 +y 2 =f 2 (z) – уравнение поверхности вращения. 1) Если угол φ=0, то γ лежит в плоскости xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ лежит в плоскости xOy и уравнение ее y=g(x), тогда y 2 +z 2 =g 2 (x) 3) γ лежит в плоскости yOz и уравнение ее z=h(y), тогда z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Эллипсоиды. Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор е 3 сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим ур-я эллипса в следующих видах: . В силу формулы ур-я соответствующих поверхностей вращения будут = 1 (a>c). Поверхности с такими ур-ями называются сжатым (а) и втянутым (б) эллипсоидами вращения.

Каждую точку М (x, y, z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y=0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшалось в постоянном для всех точек отношении λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. Гиперболоиды. Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 48) . В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 мы получаем однополостный гиперболоид с ур-ем . Интересное св-во однополостного гиперболоида – наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однопол гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, ур-я которых можно получить следующим образом. Ур-е (8) можно переписать в виде . Рассмотрим прямую линию с ур-ями μ =λ , λ =μ (9), где λ и μ – некоторые числа (λ 2 +μ 2 ≠0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим ур-ям, а следовательно и ур-ю (8), которое получается почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были λ и μ прямая с ур-ями (9) лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определяет семейство прямолинейных образующих. Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. Пр и сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем ур-е двуполостного гиперболоида вращения В результате сжатия этой поверхности к плоскости y=0 получается поверхность с ур-ем (12). Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет ур-е вида (12), называет двуполостным гиперболоидом (рис. 49). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

31. Параболоиды. Эллиптический параболоид. Вращая параболу x 2 =2pz вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с ур-ем x 2 +y 2 =2pz. Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y=0 переводит параболоид вращения в поверхность, ур-е которой приводится к виду 2z (14). Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом. Гиперболический параболоид. По аналогии с ур-ем (14) мы можем написать ур-е Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом. Из канонического уравнения z= x 2 /a 2 - y 2 /b 2 гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Оz называется осью гипер­болического параболоида.. Линии z=h пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z=h представляют собой при h > 0 гиперболы x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√h, b * =b√h , а при h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида z = х + iу, где х и у - действительные числа, i - мнимая единица. Число х называется действительной частью числа z и обозначается Rе(z), а число у - мнимой частью числа z и обозначается Im(z). Числа z = х + iу и z = х - iу называются сопряженными. Два комплексных числа z 1 = х 1 + iу 1 и z 2 = х 2 + iу 2 назы­ваются равными, если равны их действительные и мнимые части. В частности i 2 =-1. Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом. 1. Сложение: z 1+ z 2 =x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2); 2.Вычитание: z 1 -z 2 =x 1 -x 2 +i(y 1 -y 2); 3.Умножение: z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1); Деление: z 1 /z 2 =((x 1 x 2 +y 1 y 2)+i(x 2 y 1 - x 1 y 2))/x 2 2 +y 2 2 . Для представления к.ч. служат точки коорди­натной плоскости Оху. Плоскость называет­ся комплексной, если каждому к.ч. z = х + iу ставит­ся в соответствие точка плоскости z(х, у), при­чем это соответствие взаимно однозначное. Оси Ох и Оу, на кото­рых расположены дей­ствительные числа z=x+0i=x и чисто мнимые числа z=0+iy=iy, называются соответсвенно действительной и мнимой осями

33. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj). Особенности тригонометрической формы: 1)первый множитель неотрицательное число, r³0; 2)записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на sinj. Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: z=re i j . Где e i j - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: z= n =r n (cosnj+isin nj), где r - модуль, а j - аргумент комплексного числа.

34. Операции над многочленами. Алгоритм Евклида. Общий вид уравнения n-ой степени: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Определяется набор коэффициентов. (а 0 ,а 1 ,…,a n -1, a n)-произвольные комплексные числа. Рассмотрим левую часть (1): a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -многочлены n-ой степени. Два многочлена f(x) и g(x) будим считать равными или тождественно равными, если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Любой многочлен определяется набором коэффициентов.

Определим операции сложения и умножения над многочленами: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i если i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 =a 0 b 0 ; d 1 =a 0 b 1 +a 0 b 1 ; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 . Степень произведения многочленов равна сумме и операции обладают свойствами: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k +b k)+c k =a k +(b k +c k); 3) . Многочлен f(x) называется обратным (x), если f(x)* (x)=1. Во множестве многочленов операция деления не возможна. В Евклидовом пространстве для многочлена существует алгоритм деления с остатком. f(x) и g(x) существуют r(x) и q(x) определены однозначно. ; ; f(x)=g(x); ; . Степень правой части £ степени g(x) , а степень левой части отсюда отсюда – мы пришли к противоречию. Доказываем первую часть теоремы: . Домножим g(x ) на такой многочлен, чтобы старшие коэффициенты умножались.

После k шагов.

; ; имеет меньшую степень q(x ). Многочлен q(x )- частное от f(x), a r(x ) –остаток от деления. Если f(x) и g(x) имеют действительные коэффициенты, то q(x) и r(x) – тоже действительные.

35.Делитель многочленов. НОД. Пусть даны два ненулевых многочлена f(x) и j(x)с комплексными коэффициентами. Если остаток равен нулю, то говорят, что f(x) делится на j(x), если j(x) является делителем f(x). Cв-ва многочлена j(x): 1)Многочлен j(x) будет делителем f(x), если существует Y(х) и f(x)= j(x)* Y(х) (1). j(x)-делитель, Y(х) -частное. Пусть Y(х) удовлетворяет (1), тогда из предыдущей теоремы Y(х) является частным, а остаток равен 0. Если(1) выполняется, то j(x)-делитель, отсюда j(x)<= степени f(x). Основные св-ва делимости многочлена: 1) ; 2 f(x) и g(x) делятся на j(х), то делятся на j(x); 3)если ; 4)если f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) если f(x):j(x), то f(x):cj(x); 7)Многочлен cf(x) и только они будут делителями многочлена j(х), имеющие такую же степень, что и f(x); 8)f(x):g(x) и g(x):f(x), то g(x)=cf(x); 9)Всякий делитель одного из f(x) и cf(x), с¹0 будет делителем для другого. Опр-ние: Наибольший общий делитель (НОД). Многочлен j(х) будем называть НОД f(x) и g(x), если он делит каждого из них. Многочлены нулевой степени всегда являются НОД и являются взаимопростыми. НОД отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется d(x), который явл. общим делителем и делится на любой другой делитель и общий этих многочленов. НОД f(x) и g(x)= (f(x):g(x)). Алгоритм нахождения НОД: Пусть степень g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-НОД. Докажем. r k (x) делитель r k -1 (x)®он делитель r k -2 (x)…®он делитель g(x)®делитель f(x). g(x)g 1 (x) делится на r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) делится на r k (x)® r 1 (x) делится на r k (x)® r 2 (x) делится на r k (x)®… q k (x): r k (x) делится на r k (x).

Пусть даны две плоскости

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому

─ условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или

А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями.

Угол между двумя плоскостями

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0

это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = =
.

Прямая в пространстве.

Векторно-параметрическое уравнение прямой.

Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).

Отложим из точки М 0 вектор . Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой.

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

х = х 0 + а 1 t,

у = у 0 +а 2 t, (4)

Канонические уравнения прямой.

Из уравнений (4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

= = (5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде

(6)

Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и .

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

cosj = =
(7)

Условие перпендикулярности прямых:

а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0.

Условие параллельности прямых:

l,

. (8)

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть даны две прямые
и
.

Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е.

= 0 (9)

Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.

Если же
¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.

Задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Прямая как пересечение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

.

Пусть, например ¹ .

Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор

= × = =
.

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение

z = z 0 и решая систему

,

получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0).

Искомое уравнение

.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

и плоскость

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение

t = t 0 = -
.

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где

х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 .

Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.

Угол между прямой и плоскостью.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Две плоскости в пространстве могут располагаться либо параллельно друг другу, либо пересекаться.

Параллельные плоскости . В проекциях с числовыми отметками признаком параллельности плоскостей на плане служит параллельность их горизонталей, равенство заложений и совпадение направлений падения плоскостей: пл. S || пл. L - h S || h L , l S = l L , пад. I. (рис.3.11).

В геологии плоское однородное тело, сложенное какой-либо породой, называют слоем. Слой ограничен двумя поверхностями, верхнюю из которых называют кровлей, а нижнюю – подошвой. В случае если слой рассматривается на сравнительно небольшой протяженности, то кровлю и подошву приравнивают к плоскостям, получая в пространстве геометрическую модель двух параллельных наклонных плоскостей.

Плоскость S - кровля, а плоскость L - подошва слоя (рис.3.12, а ). В геологии кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой называют истинной мощностью (на рис.3.12, а истинная мощность обозначена буквой H). Помимо истинной мощности, в геологии используют и другие параметры слоя горной породы: вертикальную мощность – H в, горизонтальную мощность – L, видимую мощность – H вид. Вертикальной мощностью в геологии называют расстояние от кровли до подошвы слоя, измеренное по вертикали. Горизонтальная мощность слоя есть кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой, измеренное в горизонтальном направлении. Видимая мощность – кратчайшее расстояние между видимым падением кровли и подошвы (видимым падением называют прямолинœейное направление на структурной плоскости, т. е. прямую, принадлежащую плоскости). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, видимая мощность всœегда больше истинной. Следует отметить, что у горизонтально залегающих слоев истинная мощность, вертикальная и видимая совпадают.

Рассмотрим прием построения параллельных плоскостей S и L, отстоящих друг от друга на заданном расстоянии (рис.3.12, б ).

На плане пересекающимися прямыми m и n задана плоскость S. Необходимо построить плоскость L, параллельную плоскости S и отстоящую от нее на расстоянии 12 м (т. е. истинная мощность – H = 12 м). Плоскость L расположена под плоскостью S (плоскость S - кровля слоя, плоскость L - подошва).

1) Плоскость S задают на плане проекциями горизонталей.

2) На масштабе заложений строят линию падения плоскости S - u S . На перпендикуляре к линии u S откладывают заданное расстояние 12 м (истинную мощность слоя H). Ниже линии падения плоскости S и параллельно ей проводят линию падения плоскости L - u L . Определяют расстояние между линиями падения обеих плоскостей в горизонтальном направлении, т. е. горизонтальную мощность слоя L.

3) Отложив на плане горизонтальную мощность от горизонтали h S , параллельно ей проводят горизонталь плоскости L с той же числовой отметкой h L . Следует обратить внимание на то, что если плоскость L расположена под плоскостью S, то горизонтальную мощность следует откладывать в направлении восстания плоскости S.

4) Исходя из условия параллельности двух плоскостей, на плане проводят горизонтали плоскости L.

Пересекающиеся плоскости . Признаком пересечения двух плоскостей обычно служит параллельность на плане проекций их горизонталей. Линию пересечения двух плоскостей в данном случае определяют точками пересечения двух пар одноименных (имеющих одинаковые числовые отметки) горизонталей (рис.3.13): ; . Соединив полученные точки N и M прямой m , определяют проекцию искомой линии пересечения. В случае если плоскость S (A, B, C) и L(mn) заданы на плане не горизонталями, то для построения их линии пересечения t крайне важно построить две пары горизонталей с одинаковыми числовыми отметками, которые в пересечении и определят проекции точек R и F искомой прямой t (рис.3.14). На рис.3.15 представлен случай, когда у двух пересекающихся

плоскостей S и L горизонтали параллельны. Линией пересечения таких плоскостей будет горизонтальная прямая h . Стоит сказать, что для нахождения точки A, принадлежащей этой прямой, проводят произвольную вспомогательную плоскость T, которая пересекает плоскости S и L. Плоскость T пересекает плоскость S по прямой а (C 1 D 2), а плоскость L - по прямой b (K 1 L 2).

Точка пересечения прямых а и b , принадлежащих соответственно плоскостям S и L, будет общей для этих плоскостей: =А. Отметку точки А можно определить, проинтерполировав прямые a и b . Остается провести через A горизонтальную прямую h 2,9 , которая и является линией пересечения плоскостей S и L.

Рассмотрим еще один пример (рис.3.16) построения линии пересечения наклонной плоскости S с вертикальной плоскостью Т. Искомая прямая m определяется точками A и B, в которых горизонтали h 3 и h 4 плоскости S пересекают вертикальную плоскостью T. Из чертежа видно, что проекция линии пересечения совпадает с проекцией вертикальной плоскости: m º T. В решении геологоразведочных задач сечение одной или группы плоскостей (поверхностей) вертикальной плоскостью принято называть разрезом. Построенную в рассматриваемом примере дополнительную вертикальную проекцию прямой m называют профилем разреза, выполненного плоскостью T по заданному направлению.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ." 2017, 2018.

В силу аксиомы: две плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую - возможны лишь два случая расположения плоскостей: 1) плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются; 2) плоскости не имеют ни одной общей точки, такие плоскости называют параллельными. Существование параллельных плоскостей вытекает из следующего построения. Возьмем в плоскости (рис. 331) какие-либо две пересекающиеся прямые а и b.

Через точку М, не принадлежащую плоскости X, проведем прямые а и b, соответственно параллельные данным. Покажем, что плоскость содержащая эти прямые, параллельна плоскости . Действительно, если бы эти плоскости пересекались по некоторой прямой с, то эта прямая, принадлежа плоскости , пересекалась бы по крайней мере с одной из прямых а и такая точка пересечения была бы точкой пересечения одной из этих прямых с плоскостью . Между тем обе прямые по построению параллельны плоскости . Таким образом, предположение о пересечении плоскостей ведет к противоречию. Следовательно, плоскости параллельны. Отсюда следует

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.