Doteraz sme uvažovali rovnicu plochy v priestore so súradnicovými osami X, Y, Z v explicitnom alebo implicitnom tvare
Je možné písať rovnice povrchu v parametrickom tvare, vyjadrujúce súradnice jeho bodov vo forme funkcií dvoch nezávislých premenných parametrov a
Budeme predpokladať, že tieto funkcie sú jednohodnotové, spojité a majú spojité derivácie až do druhého rádu v určitom rozsahu parametrov.
Ak dosadíme tieto súradnicové výrazy v termínoch u a v do ľavej strany rovnice (37), potom musíme získať identitu vzhľadom na u a V. Diferencovaním tejto identity vzhľadom na nezávislé premenné u a v, budeme mať
Ak vezmeme tieto rovnice do úvahy ako dve homogénne rovnice s ohľadom na algebraickú lemu uvedenú v článku a použijeme ju, získame
kde k je nejaký koeficient úmernosti.
Veríme, že faktor k a aspoň jeden z rozdielov na pravej strane posledných vzorcov sú nenulové.
Pre stručnosť označujeme tri rozdiely napísané takto:
Ako je známe, rovnicu dotykovej roviny k nášmu povrchu v určitom bode (x, y, z) možno zapísať v tvare
alebo nahradením proporcionálnych veličín môžeme prepísať rovnicu dotyčnicovej roviny takto:
Je známe, že koeficienty v tejto rovnici sú úmerné smeru kosínusov normály k povrchu.
Poloha premenného bodu M na povrchu je charakterizovaná hodnotami parametrov u a v a tieto parametre sa zvyčajne nazývajú súradnice bodov povrchu alebo súradnicové parametre.
Zadaním konštantných hodnôt parametrom aav získame dve rodiny čiar na povrchu, ktoré budeme nazývať súradnicové čiary povrchu: súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa mení iba v, a súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa a zmeniť. Tieto dve rodiny súradnicových čiar poskytujú súradnicovú mriežku na povrchu.
Ako príklad uvažujme guľu so stredom v počiatku a polomerom R. Parametrické rovnice takejto gule možno zapísať v tvare
Súradnicové čiary v tomto prípade samozrejme predstavujú rovnobežky a poludníky našej sféry.
Odklonením od súradnicových osí môžeme povrch charakterizovať vektorom s premenlivým polomerom idúcim z konštantného bodu O do premenlivého bodu M nášho povrchu. Čiastočné derivácie tohto polomerového vektora s ohľadom na parametre budú samozrejme dávať vektory nasmerované pozdĺž dotyčníc k súradnicovým čiaram. Komponenty týchto vektorov pozdĺž osí
bude podľa a odtiaľ vidieť, že koeficienty v rovnici dotyčnicovej roviny (39) sú zložkami vektorového súčinu Tento vektorový súčin je vektor kolmý na dotyčnice, tj vektor smerujúci pozdĺž normály. na povrch. Druhá mocnina dĺžky tohto vektora je zjavne vyjadrená skalárnym súčinom samotného vektora, teda jednoduchšie druhou mocninou tohto vektora 1). V budúcnosti bude hrať zásadnú úlohu jednotkový normálový vektor k ploche, ktorý samozrejme môžeme zapísať vo forme
Zmenou poradia faktorov v zapísanom vektorovom súčine dostaneme opačný smer pre vektor (40). V nasledujúcom texte zafixujeme určitým spôsobom poradie faktorov, to znamená, že určitým spôsobom zafixujeme smer normály k povrchu.
Zoberieme na plochu nejaký bod M a nakreslíme cez tento bod nejakú krivku (L) ležiacu na ploche. Táto krivka, všeobecne povedané, nie je súradnicová čiara a Well aj v sa budú pozdĺž nej meniť. Smer dotyčnice k tejto krivke určí vektor, ak predpokladáme, že pozdĺž (L) v blízkosti bodu je parameter v funkciou ktorého má deriváciu. Z toho je vidieť, že smer dotyčnice ku krivke nakreslenej na povrchu v ktoromkoľvek bode M tejto krivky je plne charakterizovaný hodnotou v tomto bode. Pri určovaní dotykovej roviny a odvodení jej rovnice (39) sme predpokladali, že funkcie (38) v uvažovanom bode a jeho okolí majú spojité parciálne derivácie a že aspoň jeden z koeficientov rovnice (39) je v bode nenulový. do úvahy.
- všeobecná rovnica roviny v priestore
Normálny vektor roviny
Normálny vektor roviny je nenulový vektor ortogonálny ku každému vektoru ležiacemu v rovine.
Rovnica roviny prechádzajúcej bodom s daným normálovým vektorom
Je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M0 s daným normálovým vektorom
Smerové vektory roviny
Dva nekolineárne vektory rovnobežné s rovinou sa nazývajú smerové vektory roviny
Parametrické rovinné rovnice
- parametrická rovnica roviny vo vektorovom tvare
- parametrická rovnica roviny v súradniciach
Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom a dvoma smerovými vektormi
-Pevný bod
- len bod lol
- koplanárne, takže ich zmiešaný súčin sa rovná 0.
Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi
- rovnica roviny cez tri body
Rovnica roviny v úsečkách
- rovnica roviny v segmentoch
Dôkaz
Na dôkaz použijeme fakt, že naša rovina prechádza cez A, B, C a normálový vektor
Dosadíme súradnice bodu a vektora n do rovnice roviny s normálovým vektorom
Rozdeľte všetko a získajte
Tak to ide.
Normálna rovnica roviny
- uhol medzi ox a normálovým vektorom k rovine, vychádzajúcej z O.
- uhol medzi oy a normálovým vektorom k rovine, vychádzajúcej z O.
Je uhol medzi oz a normálovým vektorom k rovine vychádzajúcej z O.
Je vzdialenosť od začiatku k rovine.
Dôkaz alebo nejaká taká hovadina
Oproti D.
Podobne pre zvyšok kosínusov. Koniec.
Vzdialenosť od bodu k rovine
Bod S, rovina
- orientovaná vzdialenosť od bodu S k rovine
Ak, potom S a O ležia na opačných stranách roviny
Ak, potom S a O ležia na tej istej strane
Vynásobte číslom n 
Relatívna poloha dvoch priamok v priestore
Uhol medzi rovinami
Pri krížení sa vytvoria dva páry vertikálnych dihedrálnych uhlov, najmenší sa nazýva uhol medzi rovinami
Priamo vo vesmíre
Rovná čiara v priestore môže byť špecifikovaná ako
Priesečník dvoch rovín:
Parametrické rovnice priamky
- parametrická rovnica priamky vo vektorovom tvare
- parametrická rovnica priamky v súradniciach
Kanonická rovnica
- kanonická rovnica priamky.
Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body
- kanonická rovnica priamky vo vektorovom tvare;
Relatívna poloha dvoch priamok v priestore
Vzájomná poloha priamky a roviny v priestore
Uhol medzi čiarou a rovinou
Vzdialenosť od bodu k čiare v priestore
a je smerový vektor našej priamky.
- ľubovoľný bod patriaci danej priamke
- bod, ku ktorému hľadáme vzdialenosť.
Vzdialenosť medzi dvoma prekríženými čiarami
Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými priamkami
М1 - bod patriaci do prvej priamky
М2 - bod patriaci do druhej priamky
Krivky a plochy druhého rádu
Elipsa je množina bodov roviny, súčet vzdialeností, z ktorých do dvoch stanovené body(ohniská) je konštantná hodnota.
Kanonická elipsová rovnica
Nahradiť s
Rozdeliť medzi
Vlastnosti elipsy
Priesečník so súradnicovými osami
Pôvod súradníc
Relatívna symetria
Elipsa je krivka, ktorá leží v obmedzenej časti roviny
Elipsu možno získať z kruhu jeho natiahnutím alebo stlačením.
Parametrická rovnica elipsy:
- režiséri
Hyperbola
Hyperbola je množina bodov roviny, pre ktoré je modul rozdielu vzdialeností k 2 daným bodom (ohniská) konštantnou hodnotou (2a)
Všetko robíme rovnako ako s elipsou, dostaneme
Nahradiť s
Deliť podľa
Vlastnosti hyperboly
;
- režiséri
Asymptota
Asymptota je priamka, ku ktorej sa krivka nekonečne približuje a vzďaľuje sa k nekonečnu.
Parabola
Vlastnosti Parabot
Vzťah medzi elipsou, hyperbolou a parabolou.
Vzťah medzi týmito krivkami má algebraické vysvetlenie: všetky sú dané rovnicami druhého stupňa. V ľubovoľnom súradnicovom systéme majú rovnice týchto kriviek tvar: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla
Prevod pravouhlých kartézskych súradnicových systémov
Prenos paralelného súradnicového systému
-O 'v starom súradnicovom systéme
–Súradnice bodu v starom súradnicovom systéme
– Súradnice bodu v nový systém súradnice
Súradnice bodu v novom súradnicovom systéme.
Rotácia v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme
– Nový súradnicový systém
Matica prechodu od starého základu k novému
- (pod prvým stĺpcom ja’
, pod druhým - j’
) prechodová matica zo zákl ja,j do základne ja’
,j’
Všeobecný prípad
Otáčanie súradnicového systému
Otáčanie súradnicového systému
Paralelný preklad pôvodu
možnosť 1
Možnosť 2
Všeobecná rovnica priamok druhého rádu a jej redukcia na kanonickú formu
- všeobecný tvar rovníc krivky druhého rádu
Klasifikácia kriviek druhého rádu
elipsoidný
Elipsoidné rezy
- elipsa
- elipsa
Elipsoidy revolúcie
Revolučné elipsoidy sú buď sploštené alebo predĺžené sféroidy, v závislosti od toho, okolo čoho rotujeme.
Jednopásmový hyperboloid
Úseky jednopruhového hyperboloidu
- hyperbola so skutočnou osou y
- hyperbola so skutočnou osou oh
Ukazuje sa elipsa pre ľubovoľné h. Tak to ide.
Jednopásové rotačné hyperboloidy
Rotačný hyperboloid s jedným listom možno získať otáčaním hyperboly okolo jej imaginárnej osi.
Dvojvrstvový hyperboloid
Úseky dvojlistového hyperboloidu 
- hyperbola s akciou. Axisoz
- hyperbola so skutočnou osou oz
Kužeľ 
- dvojica pretínajúcich sa priamok
- dvojica pretínajúcich sa priamok
Eliptický paraboloid 
- parabola
- parabola
Rotácie
Ak, potom je eliptický paraboloid rotačnou plochou vytvorenou rotáciou paraboly okolo jej osi symetrie.
Hyperbolický paraboloid
Parabola
- parabola
h> 0 hyperbola so skutočnou osou rovnobežnou s oh
h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Valcom rozumieme povrch, ktorý vznikne, keď sa v priestore pohybuje priamka, ktorá nemení svoj smer, ak sa priamka pohybuje vzhľadom na oz, potom rovnica valca je rovnica rezu xoy lietadlo.
Eliptický valec
Hyperbolický valec
Parabolický valec
Priamočiare generátory plôch druhého rádu
Priame čiary úplne ležiace na povrchu sa nazývajú priamočiare tvoriace priamky povrchu.
Povrchy revolúcie
Do riti hlupák
Displej
Zobrazovaním nazvime pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny A spojený s jedným alebo viacerými prvkami množiny B. Ak je každému priradený jedinečný prvok množiny B, potom sa zavolá mapovanie jednoznačné, inak nejednoznačný.
Transformácia množina je mapovanie množiny jedna k jednej
Injekcia
Injekcia alebo mapovanie jedna k jednej množiny A do množiny B
(rôzne prvky a zodpovedajú rôznym prvkom B), napríklad y = x ^ 2
Surjekcia
Podriadenie alebo zobrazenie množiny A na množinu B
Pre každé B existuje aspoň jedno A (napríklad sínus)
Každý prvok množiny B zodpovedá len jednému prvku množiny A. (napríklad y = x)
Ľubovoľná rovnica prvého stupňa vzhľadom na súradnice x, y, z
Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)
definuje rovinu a naopak: ľubovoľnú rovinu možno znázorniť rovnicou (3.1), ktorá je tzv rovnica roviny.
Vektor n(A, B, C) kolmá na rovinu sa nazýva normálny vektor lietadlo. V rovnici (3.1) nie sú koeficienty A, B, C súčasne rovné 0.
Špeciálne prípady rovnice (3.1):
1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - rovina prechádza počiatkom.
2. C = 0, Ax + By + D = 0 - rovina je rovnobežná s osou Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - rovina prechádza osou Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - rovina je rovnobežná s rovinou Oyz.
Rovnice súradnicových rovín: x = 0, y = 0, z = 0.
Rovná čiara v priestore môže byť špecifikovaná:
1) ako priesečník dvoch rovín, t.j. sústava rovníc:
Aix + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)
2) svojimi dvoma bodmi M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom je priamka, ktorá nimi prechádza, daná rovnicami:
3) bod M 1 (x 1, y 1, z 1), ktorý k nemu patrí, a vektor a(m, n, p), kolineárne k nemu. Potom je priamka určená rovnicami:
Nazývajú sa rovnice (3.4). kanonické rovnice priamky.
Vektor a volal smerový vektor priamky.
Parametrické rovnice priamky dostaneme prirovnaním každého zo vzťahov (3.4) k parametru t:
x = xi + mt, y = yi + nt, z = zi + рt. (3.5)
Riešiteľská sústava (3.2) ako sústava lineárnych rovníc vzhľadom na neznáme X a r, dospejeme k rovniciam priamky v projekcie alebo k redukované rovnice priamky :
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Od rovníc (3.6) je možné prejsť ku kanonickým rovniciam nájdením z z každej rovnice a prirovnanie získaných hodnôt:
Zo všeobecných rovníc (3.2) možno prejsť ku kanonickej a iným spôsobom, ak nájdeme nejaký bod tejto priamky a jej smerový vektor n= [n 1 , n 2], kde n 1 (A1, B1, C1) a n 2 (A 2, B 2, C 2) - normálové vektory daných rovín. Ak jeden z menovateľov m, n alebo R v rovniciach (3.4) sa rovná nule, potom musí byť čitateľ príslušného zlomku nastavený na nulu, t.j. systém
je ekvivalentný systému; taká priamka je kolmá na os Ox.
Systém je ekvivalentný systému x = x 1, y = y 1; priamka je rovnobežná s osou Oz.
Príklad 1.15... Vyrovnajte rovinu s vedomím, že bod A (1, -1.3) je základňou kolmice vedenej z počiatku k tejto rovine.
Riešenie. Podľa stavu problému, vektora OA(1, -1,3) je normálový vektor roviny, potom jeho rovnicu možno zapísať ako
x-y + 3z + D = 0. Dosadením súradníc bodu A (1, -1,3) prislúchajúceho rovine nájdeme D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Takže x-y + 3z-11 = 0.
Príklad 1.16... Vytvorte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu osou Oz a zvierajúcu s rovinou uhol 60° 2x + y- z-7 = 0.
Riešenie. Rovina prechádzajúca osou Oz je daná rovnicou Ax + By = 0, kde A a B súčasne nezanikajú. Nech B nie
rovná sa 0, A / Bx + y = 0. Podľa vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma rovinami
Riešením kvadratickej rovnice 3m 2 + 8m - 3 = 0 nájdeme jej korene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, čím získame dve roviny 1 / 3x + y = 0 a -3x + y = 0.
Príklad 1.17. Vytvorte kanonické rovnice priamky:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Riešenie. Kanonické rovnice priamky sú:
kde m, n, str- súradnice smerového vektora priamky, x 1, y 1, z 1- súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho k priamke. Priamka je určená ako priesečník dvoch rovín. Na nájdenie bodu prislúchajúceho priamke sa zafixuje jedna zo súradníc (najjednoduchšie je zadať napr. x = 0) a výsledná sústava sa rieši ako sústava lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Takže nech x = 0, potom y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, odkiaľ y = -1, z = 1. Súradnice bodu M (x 1, y 1, z 1), prislúchajúceho tejto priamke, sme zistili: M (0, -1,1). Smerový vektor priamky je ľahké nájsť, ak poznáme normálové vektory pôvodných rovín n 1 (5,1,1) a n 2 (2,3, -2). Potom
Kanonické rovnice priamky sú: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (z - 1) / 13.
Vektorové a parametrické rovnice roviny. Nech r 0 a r sú vektory polomerov bodov М 0 a M. Potom M 0 M = r - r 0 a podmienka (5.1), že bod M patrí do roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo nenulový vektor n (obr.5.2, a), možno zapísať pomocou skalárny súčin ako pomer
n (r - r 0) = 0, (5,4)
ktorá sa volá vektorová rovnica roviny.
Pevnej rovine v priestore zodpovedá množina vektorov s ňou rovnobežných, t.j. priestor V 2. Vyberme si v tomto priestore základ e 1, e 2, t.j. dvojica nekolineárnych vektorov rovnobežných s uvažovanou rovinou a bod M 0 v rovine. Ak bod M patrí do roviny, potom je to ekvivalentné tomu, že vektor M 0 M je s ním rovnobežný (obr. 5.2, b), t.j. patrí do označeného priestoru V 2. To znamená, že existuje expanzia vektora M 0 M v zákl e 1, e 2, t.j. existujú čísla t 1 a t 2, pre ktoré M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2. Zápisom ľavej strany tejto rovnice cez polomerové vektory r 0 a r body M 0 a M, v tomto poradí, dostaneme vektorová parametrická rovinná rovnica
r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)
Prejsť od rovnosti vektorov v (5.5) k rovnosti ich súradnice, označujeme (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) súradnice bodu M 0, M a cez (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) súradnice vektorov e 1, e 2. Vyrovnaním rovnakých súradníc vektorov r a r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 dostaneme parametrické rovinné rovnice
Rovina prechádzajúca tromi bodmi. Predpokladajme, že tri body M 1, M 2 a M 3 neležia na jednej priamke. Potom existuje jedinečná rovina π, do ktorej tieto body patria. Nájdite rovnicu tejto roviny, formulujúcu kritérium pre príslušnosť ľubovoľného bodu M v danej rovine π. Potom toto kritérium zapíšeme cez súradnice bodov. Špecifikovaným kritériom je popis roviny π ako množiny tých bodov M, pre ktoré sú vektory M 1 M 2, M 1 M 3 a M 1 M koplanárny... Kritériom koplanarity troch vektorov je ich nulová rovnosť. zmiešaná práca(pozri 3.2). Zmiešaný produkt sa vypočíta pomocou determinant tretieho rádu, ktorého čiary sú súradnicami vektorov v ortonormálny základ... Ak teda (xi; yx i; Zx i) sú súradnice bodov Mx i, i = 1, 2, 3 a (x; y; z) sú súradnice bodu M, potom M 1 M = (х-x 1; yy 1; zz 1), M1M2 = (x2-x1; y2 y1; z2-z1), M1M3 = (x3-x 1; y 3 - y 1; z 3 - z 1) a podmienka zániku zmiešaného produktu týchto vektorov má tvar
Výpočtom determinantu dostaneme lineárne vzhľadom na x, y, z rovnica bytie všeobecná rovnica požadovanej roviny... Napríklad ak rozviňte determinant na 1. riadku, potom dostaneme
Táto rovnosť sa po výpočte determinantov a rozšírení zátvoriek prevedie na všeobecnú rovnicu roviny.
Všimnite si, že koeficienty premenných v poslednej rovnici sa zhodujú so súradnicami vektorový produkt M 1 M 2 × M 1 M 3. Tento krížový súčin, ktorý je súčinom dvoch nekolineárnych vektorov rovnobežných s rovinou π, dáva nenulový vektor kolmý na π, t.j. jej normálny vektor... Takže vzhľad súradníc vektorového súčinu ako koeficientov všeobecnej rovnice roviny je celkom prirodzený.
Zvážte nasledujúci špeciálny prípad roviny prechádzajúcej tromi bodmi. Body M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, neležia na jednej priamke a vymedzujú rovinu, ktorá oddeľuje segmenty na súradnicových osiach nenulovej dĺžky (obr. 5.3). Tu „dĺžky segmentov“ znamenajú hodnotu nenulových súradníc polomerových vektorov bodov M i, i = 1,2,3.
Keďže M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), potom rovnica (5.7) nadobúda tvar
Po vypočítaní determinantu nájdeme bc (x - a) + acy + abz = 0, vydelíme výslednú rovnicu abc a prenesieme voľný člen na pravú stranu,
x/a + y/b + z/c = 1.
Táto rovnica sa nazýva rovnica roviny v úsečkách.
Príklad 5.2. Nájdite všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom so súradnicami (1; 1; 2) a odrezáva zo súradnicových osí rovnako dlhé segmenty.
Rovnica roviny v segmentoch za predpokladu, že oddeľuje segmenty rovnakej dĺžky od súradnicových osí, povedzme a ≠ 0, má tvar x / a + y / b + z / c = 1. Táto rovnica musí byť splnená súradnice (1; 1; 2) známeho bodu v rovine, t.j. platí rovnosť 4 / a = 1. Preto a = 4 a požadovaná rovnica je x + y + z - 4 = 0.
Normálna rovnica roviny. Uvažujme nejakú rovinu π v priestore. Opravujeme pre ňu jednotka normálne vektor n smeroval z pôvodu"smerom k rovine" a označíme p vzdialenosť od začiatku O súradnicového systému k rovine π (obr. 5.4). Ak rovina prechádza počiatkom súradnicového systému, potom p = 0 a ako smer normálového vektora n možno zvoliť ktorýkoľvek z dvoch možných.
Ak bod M patrí do roviny π, potom je to ekvivalentné tomu, že vektorová ortografická projekcia OM podľa smeru vektor n sa rovná p, t.j. podmienka nOM = pr n OM = p je splnená, keďže vektorová dĺžka n sa rovná jednej.
Súradnice bodu M označíme (x; y; z) a nech n = (cosα; cosβ; cosγ) (pripomeňme, že pre jednotkový vektor n je jeho smerové kosínusy cosα, cosβ, cosγ sú súčasne jeho súradnice). Zápisom skalárneho súčinu v rovnosti nOM = p v súradnicovom tvare dostaneme rovnica normálnej roviny
xcosa + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.
Podobne ako v prípade priamky na rovine možno všeobecnú rovnicu roviny v priestore previesť na jej normálnu rovnicu delením normalizačným faktorom.
Pre rovinnú rovnicu Ax + By + Cz + D = 0 je normalizačným faktorom číslo ± √ (A 2 + B 2 + C 2), ktorého znamienko je zvolené opačné ako znamienko D. V absolútnej hodnote, normalizačným faktorom je dĺžka roviny normálového vektora (A; B ; C) a znamienko zodpovedá požadovanému smeru jednotkového normálového vektora roviny. Ak rovina prechádza počiatkom súradnicového systému, t.j. D = 0, potom je možné zvoliť ľubovoľné znamienko normalizačného faktora.
Jednou z podpoložiek témy „Rovnica priamky na rovine“ je otázka zostavenia parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Nasledujúci článok pojednáva o princípe zostavovania takýchto rovníc s určitými známymi údajmi. Ukážme si, ako prejsť od parametrických rovníc k rovniciam iného druhu; Poďme analyzovať riešenie typických úloh.
Konkrétnu čiaru je možné určiť zadaním bodu, ktorý patrí tejto čiare a smerového vektora čiary.
Povedzme, že máme obdĺžnikový súradnicový systém O x y. A tiež priamka a s vyznačením bodu M 1 (x 1, y 1), ktorý na nej leží a smerovým vektorom danej priamky. a → = (a x, a y) . Uveďme popis danej priamky a pomocou rovníc.
Použijeme ľubovoľný bod M (x, y) a získame vektor M1M ->; vypočítajte jeho súradnice súradnicami začiatočného a koncového bodu: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Popíšme výsledok: priamka je daná množinou bodov M (x, y), prechádza bodom M 1 (x 1, y 1) a má smerový vektor a → = (a x, a y) . Uvedená množina definuje priamku iba vtedy, ak vektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) a a → = (a x, a y) sú kolineárne.
Pre vektory je nutná a postačujúca podmienka kolinearita, ktorú v tomto prípade pre vektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) a a → = (ax, ay) môžeme zapísať v tvare rovnica:
M 1 M → = λ · a →, kde λ je nejaké reálne číslo.
Definícia 1
Rovnica M 1 M → = λ · a → sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.
V súradnicovom tvare má tvar:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Rovnice výslednej sústavy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sa nazývajú parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave. Podstata názvu je nasledovná: súradnice všetkých bodov priamky sa dajú určiť parametrickými rovnicami na rovine tvaru x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ pri iterácii cez všetky reálne hodnoty. parametra λ
Podľa vyššie uvedeného parametrické rovnice priamky v rovine x = x 1 + ax vektor a → = (a x, a y) . Ak sú teda uvedené súradnice niektorého bodu priamky a súradnice jej smerového vektora, potom je možné okamžite zapísať parametrické rovnice danej priamky.
Príklad 1
Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme, ak je daný k nej patriaci bod M 1 (2, 3) a jeho smerový vektor. a → = (3, 1).
Riešenie
Na základe počiatočných údajov dostaneme: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametrické rovnice budú vyzerať takto:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Jasne si to ilustrujme:
Odpoveď: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Treba poznamenať: ak vektor a → = (a x, a y) slúži ako smerový vektor priamky a a do tejto priamky patria body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), potom ju možno určiť zadaním parametrických rovníc tvar: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ, ako aj túto možnosť: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ.
Napríklad dostaneme smerový vektor priamky a → = (2, - 1), ako aj body М 1 (1, - 2) a М 2 (3, - 3), patriace do tejto čiary. Potom je priamka určená parametrickými rovnicami: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ alebo x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.
Je potrebné venovať pozornosť nasledujúcej skutočnosti: ak a → = (a x, a y) je smerový vektor priamky a, potom jej smerový vektor bude ktorýkoľvek z vektorov μ a → = (μ a x, μ a y), kde μ ϵ R, μ ≠ 0.
Teda priamku a v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme je možné určiť pomocou parametrických rovníc: x = x 1 + μax λ y = y 1 + μ a y λ pre akúkoľvek hodnotu μ inú ako nulu.
Predpokladajme, že priamka a je daná parametrickými rovnicami x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Potom a → = (2, - 5) - smerový vektor tejto čiary. A tiež ktorýkoľvek z vektorov μ a → = (μ 2, μ - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 sa stane smerovým vektorom pre danú čiaru. Pre prehľadnosť zvážte konkrétny vektor - 2 a → = (- 4, 10), zodpovedá hodnote μ = - 2. V tomto prípade možno danú priamku určiť aj parametrickými rovnicami x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.
Prechod z parametrických rovníc priamky na rovine k iným rovniciach danej priamky a naopak
Pri riešení niektorých problémov nie je použitie parametrických rovníc najoptimálnejšou možnosťou, potom je potrebné preložiť parametrické rovnice priamky na rovnice priamky iného druhu. Pozrime sa, ako to urobiť.
Parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ budú zodpovedať kanonickej rovnici priamky v rovine x - x 1 ax = y - y 1 a y .
Vyriešme každú z parametrických rovníc vzhľadom na parameter λ, vyrovnáme pravé strany získaných rovníc a získajme kanonickú rovnicu danej priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
V tomto prípade by nemalo byť trápne, ak sa x alebo a y rovnajú nule.
Príklad 2
Je potrebné urobiť prechod z parametrických rovníc priamky x = 3 y = - 2 - 4 · λ ku kanonickej rovnici.
Riešenie
Uvedené parametrické rovnice zapíšeme v tomto tvare: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
Vyjadrime parameter λ v každej z rovníc: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Dajme rovnítko medzi pravé strany sústavy rovníc a získajme požadovanú kanonickú rovnicu priamky v rovine:
x - 30 = y + 2 - 4
odpoveď: x - 30 = y + 2 - 4
V prípade, že je potrebné zapísať rovnicu priamky v tvare A x + B y + C = 0, pričom sú dané parametrické rovnice priamky v rovine, je potrebné najskôr urobiť prechod na kanonickú rovnicu a potom na všeobecnú rovnicu priamky. Zapíšme si celú postupnosť akcií:
x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
Príklad 3
Všeobecnú rovnicu priamky je potrebné zapísať, ak sú dané parametrické rovnice, ktoré ju definujú: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
Riešenie
Najprv urobme prechod na kanonickú rovnicu:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Výsledný podiel je zhodný s rovnosťou - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorme zátvorky a získame všeobecnú rovnicu priamky: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.
Odpoveď: 3 x + 2 y + 3 = 0
Podľa vyššie uvedenej logiky činností, aby sa získala rovnica priamky so sklonom, rovnica priamky v segmentoch alebo normálna rovnica priamky, je potrebné získať všeobecnú rovnicu priamky. a z nej vykonať ďalší prechod.
Teraz zvážime opačnú akciu: písanie parametrických rovníc priamky pre iný daný tvar rovníc tejto priamky.
Najjednoduchší prechod: od kanonickej rovnice k parametrickej. Nech je daná kanonická rovnica v tvare: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Každý zo vzťahov tejto rovnosti považujeme za rovný parametru λ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Vyriešme získané rovnice pre premenné x a y:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Príklad 4
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať, ak je známa kanonická rovnica priamky v rovine: x - 2 5 = y - 2 2
Riešenie
Prirovnajte časti známej rovnice k parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Zo získanej rovnosti získame parametrické rovnice priamky: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Odpoveď: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Keď je potrebné z danej všeobecnej rovnice priamky, rovnice priamky so sklonom alebo rovnice priamky v segmentoch prejsť na parametrické rovnice, je potrebné pôvodnú rovnicu zredukovať na kanonickej a potom vykonať prechod na parametrické rovnice.
Príklad 5
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať známou všeobecnou rovnicou tejto priamky: 4 x - 3 y - 3 = 0.
Riešenie
Danú všeobecnú rovnicu transformujeme na rovnicu kanonického tvaru:
4 x - 3 r - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 r + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 r + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Prirovnajme obe strany rovnosti k parametru λ a získajme požadované parametrické rovnice priamky:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Príklady a úlohy s parametrickými rovnicami priamky v rovine
Zvážte najbežnejšie typy problémov pomocou parametrických rovníc priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme.
- V úlohách prvého typu sú uvedené súradnice bodov, či už patria alebo nepatria k priamke opísanej parametrickými rovnicami.
Riešenie takýchto úloh je založené na nasledovnom fakte: čísla (x, y) určené z parametrických rovníc x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ pre nejakú reálnu hodnotu λ sú súradnicami bodu patriacemu. na priamku opísanú tieto parametrické rovnice.
Príklad 6
Je potrebné určiť súradnice bodu, ktorý leží na priamke definovanej parametrickými rovnicami x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pri λ = 3.
Riešenie
Dosaďte známu hodnotu λ = 3 do daných parametrických rovníc a vypočítajte požadované súradnice: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
odpoveď: 1 1 2 , 5
Možný je aj nasledujúci problém: nech je daný nejaký bod M 0 (x 0, y 0) na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave a je potrebné určiť, či tento bod patrí do priamky opísanej parametrickými rovnicami x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ.
Na vyriešenie podobného problému je potrebné dosadiť súradnice daného bodu do známych parametrických rovníc priamky. Ak sa zistí, že je možná taká hodnota parametra λ = λ 0, pri ktorej platia obe parametrické rovnice, potom daný bod patrí danej priamke.
Príklad 7
Nastavia sa body M 0 (4, - 2) a N 0 (- 2, 1). Je potrebné určiť, či patria do priamky definovanej parametrickými rovnicami x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ.
Riešenie
Dosaďte súradnice bodu М 0 (4, - 2) do daných parametrických rovníc:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Dospeli sme k záveru, že bod М 0 patrí danej priamke, keďže zodpovedá hodnote λ = 2.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Je zrejmé, že neexistuje taký parameter λ, ktorému bude zodpovedať bod N 0. Inými slovami, daná čiara neprechádza bodom N 0 (- 2, 1).
odpoveď: bod М 0 patrí danej priamke; bod N 0 nepatrí do danej priamky.
- V úlohách druhého typu sa vyžaduje zostavenie parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Najjednoduchší príklad takéhoto problému (so známymi súradnicami bodu priamky a smerového vektora) bol uvažovaný vyššie. Teraz sa pozrime na príklady, v ktorých musíte najskôr nájsť súradnice smerového vektora a potom zapísať parametrické rovnice.
Bod M 1 1 2, 2 3 je špecifikovaný. Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom a rovnobežnej s priamkou x 2 = y - 3 - 1.
Riešenie
Podľa podmienky úlohy je priamka, ktorej rovnicu musíme predbehnúť, rovnobežná s priamkou x 2 = y - 3 - 1. Potom ako smerový vektor priamky prechádzajúcej daným bodom je možné použiť smerovací vektor priamky x 2 = y - 3 - 1, ktorý zapíšeme v tvare: a → = (2, - 1). Teraz poznáme všetky potrebné údaje, aby sme mohli zostaviť požadované parametrické rovnice:
x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ
odpoveď: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.
Príklad 9
Bod M 1 (0, - 7) je nastavený. Je potrebné zapísať parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom kolmo na priamku 3 x - 2 y - 5 = 0.
Riešenie
Ako smerový vektor priamky, ktorej rovnicu treba zostaviť, je možné vziať normálový vektor priamky 3 x - 2 y - 5 = 0. Jeho súradnice sú (3, - 2). Zapíšme si požadované parametrické rovnice priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- V úlohách tretieho typu sa vyžaduje prechod od parametrických rovníc danej priamky k iným typom rovníc, ktoré ju určujú. Riešenie takýchto príkladov sme zvážili vyššie, dáme ešte jeden.
Je daná priamka na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme, určená parametrickými rovnicami x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Je potrebné nájsť súradnice ľubovoľného normálového vektora tejto priamky.
Riešenie
Na určenie požadovaných súradníc normálového vektora vykonáme prechod z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
Koeficienty premenných x a y nám dávajú požadované súradnice normálového vektora. Normálový vektor priamky x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ má teda súradnice 1, 3 4.
odpoveď: 1 , 3 4 .
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
