Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
kde k - zatiaľ neznámy koeficient.
Keďže priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2-x 1).
Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k
do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2: 
Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ak x 1 = x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná so zvislou osou. Jeho rovnica má tvar x = x 1 .
Ak y 2 = y I, potom rovnicu priamky môžeme zapísať ako y = y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.
Rovnica priamky v segmentoch
Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar: 
tie. 
... Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, keďže čísla aab označujú, ktoré segmenty sú odrezané priamkou na súradnicových osiach.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).
Zoberme ľubovoľný bod M (x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin je nula: tj.
A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .
Vektor n = (A; B), kolmý na priamku, sa nazýva normálny normálny vektor tejto čiary .
Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ax + Wu + C = 0 , (10.9)
kde A a B sú súradnice normálového vektora, C = -Aх о - Ву о - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr. 2).
Obr. 1 Obr
Kanonické rovnice priamky
,
Kde 
- súradnice bodu, cez ktorý priamka prechádza, a 
je smerový vektor.
Kruh kriviek druhého rádu
Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.
Kanonická rovnica kruhu s polomerom
R centrovaný v bode 
:
Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto: 
Elipsa
Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom
a 
, ktoré sa nazývajú ohniská, majú konštantu 
väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami 
.
Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a počiatok súradníc v strede medzi ohniskami má tvar 
G 
de a dĺžka hlavnej poloosi; b - dĺžka vedľajšej osi (obr. 2).
Vzťah medzi parametrami elipsy
a 
vyjadrené pomerom:
(4)
Elipsa excentricitynazývaný pomer medziohniskovej vzdialenosti2ck hlavnej osi2a:
Riaditeľky
elipsy sa nazývajú priame čiary rovnobežné s osou Oy, ktoré sú vo vzdialenosti od tejto osi. Directrix rovnice: 
.
Ak v rovnici elipsy 
, potom sú ohniská elipsy na osi Oy.
takze 
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + Vy + C = 0.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (1, 2) kolmým na vektor (3, -1).
Riešenie... Pri A = 3 a B = -1 zostavíme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Pre zistenie koeficientu C dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi
Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi:
Ak sa ktorýkoľvek z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by sa mal rovnať nule. V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.
Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A (1, 2) a B (3, 4).
Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky podľa bodu a sklonu
Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + Vy + C = 0 zredukuje na tvar:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.
Rovnica priamky pozdĺž bodu a smerového vektora
Analogicky s odsekom, ktorý uvažuje rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať špecifikáciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku А α 1 + В α 2 = 0, sa nazýva smerovací vektor priamky.
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A (1, 2).
Riešenie. Rovnicu požadovanej priamky budeme hľadať v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície musia koeficienty spĺňať podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom rovnica priamky má tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0. pre x = 1, y = 2 dostaneme C / A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
Rovnica priamky v segmentoch
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, potom po delení –C dostaneme: 
alebo
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b - súradnica priesečníka priamky s osou Oy.
Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C = 1, a = -1, b = 1.
Normálna rovnica priamky
Ak sú obe strany rovnice Ax + Vy + C = 0 delené číslom 
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
normálna rovnica priamky. Znamienko ± normalizačného faktora by sa malo zvoliť tak, aby μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Príklad... Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5y - 65 = 0. Je potrebné napísať rôzne typy rovníc tejto priamky.
rovnica tejto priamky v segmentoch: 
rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)
normálna rovnica priamky:
; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.
Treba poznamenať, že nie každá čiara môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad čiary rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Príklad... Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Vytvorte priamku, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.
Riešenie. Rovnica s priamkou má tvar:, ab / 2 = 8; a = 4; -4. a = -4 sa nezhoduje s vyhlásením o probléme. Celkom: alebo x + y - 4 = 0.
Príklad... Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (-2, -3) a počiatkom.
Riešenie.
Rovnica s priamkou má tvar: 
kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Pozrime sa, ako pomocou príkladov zostaviť rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body.
Príklad 1
Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A (-3; 9) a B (2; -1).
Metóda 1 - zostavte rovnicu priamky so sklonom.
Rovnica priamky so sklonom má tvar. Dosadením súradníc bodov A a B do rovnice priamky (x = -3 a y = 9 - v prvom prípade x = 2 a y = -1 - v druhom) získame sústavu rovníc z ktorých nájdeme hodnoty k a b:
Sčítaním 1. a 2. rovnice člen po člene dostaneme: -10 = 5k, odkiaľ k = -2. Dosadením k = -2 do druhej rovnice nájdeme b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.
Teda y = -2x + 3 je požadovaná rovnica.
Metóda 2 - zostavte všeobecnú rovnicu priamky.
Všeobecná rovnica priamka má tvar. Dosadením súradníc bodov A a B do rovnice dostaneme systém:
Od množstva neznámych väčšie množstvo rovníc, systém nie je riešiteľný. Ale môžete vyjadriť všetky premenné prostredníctvom jednej. Napríklad prostredníctvom b.
Vynásobenie prvej rovnice systému číslom -1 a pridanie člena po člene k druhému:
dostaneme: 5a-10b = 0. Preto a = 2b.
Dosaďte výsledný výraz do druhej rovnice: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Dosaďte a = 2b, c = -3b do rovnice ax + za + c = 0:
2bx + by-3b = 0. Zostáva rozdeliť obe časti podľa b:
Všeobecnú rovnicu priamky možno ľahko zredukovať na rovnicu priamky so sklonom:
Metóda 3 - zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej cez 2 body.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi má:
Dosaďte do tejto rovnice súradnice bodov A (-3; 9) a B (2; -1)
(tj x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):
a zjednodušiť:
kde 2x + y-3 = 0.
V školskom kurze sa najčastejšie používa rovnica priamky so sklonom. No najjednoduchšie je odvodiť a použiť vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body.
Komentujte.
Ak pri dosadzovaní súradníc daných bodov jeden z menovateľov rovnice
sa rovná nule, potom sa požadovaná rovnica získa rovnaním nule zodpovedajúceho čitateľa.
Príklad 2
Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body C (5; -2) a D (7; -2).
Dosaďte do rovnice priamku prechádzajúcu 2 bodmi, súradnicami bodov C a D.
Vzhľadom na dva body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2)... Rovnicu priamky zapíšeme v tvare (5), kde k zatiaľ neznámy koeficient:
Od veci M 2 patrí k danej priamke, potom jej súradnice spĺňajú rovnicu (5):. Vyjadrením a dosadením do rovnice (5) dostaneme požadovanú rovnicu:
Ak 
táto rovnica môže byť prepísaná do formy vhodnejšej na zapamätanie:
(6)
Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (1.2) a M 2 (-2.3)
Riešenie. 
... Použitím vlastnosti proporcie a vykonaním potrebných transformácií získame všeobecnú rovnicu priamky:
Uhol medzi dvoma priamymi čiarami
Zvážte dva riadky l 1 a l 2:
l 1: , , a
l 2: , ,
φ je uhol medzi nimi (). Obrázok 4 zobrazuje:.
 |
Odtiaľ 
, alebo
Pomocou vzorca (7) možno určiť jeden z uhlov medzi priamkami. Druhý uhol je.
Príklad... Dve priamky sú dané rovnicami y = 2x + 3 a y = -3x + 2. nájdite uhol medzi týmito čiarami.
Riešenie... Z rovníc je zrejmé, že k 1 = 2 a k 2 = -3. dosadením týchto hodnôt do vzorca (7) nájdeme
... Uhol medzi týmito čiarami je teda rovnaký.
Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok
Ak je rovný l 1 a l 2 sú teda paralelné φ=0 a tgφ = 0... zo vzorca (7) vyplýva, že odkiaľ k2 = k1... Podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok je teda rovnosť ich sklonov.
Ak je rovný l 1 a l 2 sú teda kolmé φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. 
... Podmienkou kolmosti dvoch priamok je teda to, že ich sklony sú recipročné čo do veľkosti a opačného znamienka.
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M (x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C = 0 je určená ako
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.
Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom po vyriešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta je dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi priamkami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
ki = -3; k2 = 2 tgj =; j = p/4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.
Zistíme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda priamky sú kolmé.
Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.
Nájdeme rovnicu strany AB:; 4x = 6r - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.
k =. Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Celkom:.
Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.
Vzdialenosť od bodu k priamke je určená dĺžkou kolmice spadnutej z bodu na priamku.
Ak je priamka rovnobežná s rovinou premietania (h | | P 1), potom na určenie vzdialenosti od bodu A do rovnej h je potrebné spustiť kolmicu z bodu A na horizontále h.
Uvažujme o zložitejšom príklade, keď trvá priamka všeobecné postavenie... Nech je potrebné určiť vzdialenosť od bodu M do rovnej a všeobecné postavenie.
Úlohou určiť vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami riešený podobne ako predchádzajúci. Bod sa vezme na jednej priamke, kolmica sa z nej spustí na ďalšiu priamku. Dĺžka kolmice sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.
Krivka druhého rádu sa nazýva priamka určená rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne karteziánske súradnice. Vo všeobecnosti Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
kde A, B, C, D, E, F sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.
Kruh
Stred kruhu- to je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od bodu roviny C (a, b).
Kruh je daný nasledujúcou rovnicou:
Kde x, y sú súradnice ľubovoľného bodu kružnice, R je polomer kružnice.
Obvodová rovnica
1. Neexistuje žiadny člen s x, y
2. Rovnaké koeficienty v x 2 a y 2
Elipsa
Elipsa sa nazýva ťažisko bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny sa nazýva ohniská (konštantná hodnota).
Kanonická elipsová rovnica:
X a y patria do elipsy.
a - hlavná poloos elipsy
b - vedľajšia polovičná os elipsy
Elipsa má 2 osi symetrie OX a OY. Osami súmernosti elipsy sú jej osi, ich priesečník je stredom elipsy. Os, na ktorej sú umiestnené ohniská, sa nazýva ohnisková os... Priesečník elipsy s osami je vrcholom elipsy.
Pomer kompresie (natiahnutia): ε = s/a- excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menšia, tým menej sa bude elipsa tiahnuť pozdĺž ohniskovej osi.
Ak stredy elipsy nie sú v strede C (α, β)
Hyperbola
Hyperbola sa nazýva lokus bodov v rovine, absolútna hodnota rozdielu vzdialeností, z ktorých každý z dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota iná ako nula.
Kanonická rovnica hyperboly
Hyperbola má 2 osi symetrie:
a je skutočná poloos symetrie
b - pomyselná poloos symetrie
Assymptoty hyperboly:
Parabola
Parabola sa nazýva ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu F, nazývané ohnisko a daná priamka, nazývaná priamka.
Rovnica kanonickej paraboly:
Y 2 = 2px, kde p je vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru (parabola paraboly)
Ak je vrchol paraboly C (α, β), potom rovnica paraboly (y-β) 2 = 2p (x-α)
Ak sa ohnisková os berie ako ordináta, rovnica paraboly bude mať tvar: x 2 = 2qу
Tento článok je súčasťou tematickej rovnice priamky v rovine. Tu budeme analyzovať zo všetkých strán: začneme dôkazom vety, ktorá definuje tvar všeobecnej rovnice priamky, potom zvážime neúplnú všeobecnú rovnicu priamky, uvedieme príklady neúplných rovníc priamky riadok s grafickými ilustráciami, na záver sa zameriame na prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovnice tejto priamky a uvedieme podrobné riešenia typických úloh na zostavenie všeobecnej rovnice priamky.
Navigácia na stránke.
Všeobecná rovnica priamky - základné informácie.
Analyzujme tento algoritmus pri riešení príkladu.
Príklad.
Napíšte parametrickú rovnicu priamky, ktorá je daná všeobecnou rovnicou priamky 
.
Riešenie.
Najprv prenesieme pôvodnú všeobecnú rovnicu priamky do kanonickej rovnice priamky:
Teraz vezmeme ľavú a pravú stranu výslednej rovnice rovnú parametru. Máme 
odpoveď:
Zo všeobecnej rovnice priamky je možné získať rovnicu priamky s koeficientom sklonu len vtedy, keď. Čo musíte urobiť, aby ste prešli? Po prvé, vo všeobecnej rovnici na ľavej strane ponechajte iba člen v priamke, ostatné členy sa musia preniesť na pravú stranu s opačným znamienkom: 
... Po druhé, vydeľte obe strany výslednej rovnosti číslom B, ktoré sa líši od nuly, 
... A to je všetko.
Príklad.
Priamka v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy definuje všeobecnú rovnicu priamky. Vyrovnajte túto čiaru so sklonom.
Riešenie.
Urobme potrebné kroky:.
odpoveď:
Keď je priamka daná úplnou všeobecnou rovnicou priamky, je ľahké získať rovnicu priamky v segmentoch formulára. Za týmto účelom prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti s opačným znamienkom, obe strany výslednej rovnosti vydelíme –C a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov: 
