Všetky prirodzené čísla. čísla. Celé čísla. Dvojciferné a trojciferné prirodzené čísla

Navigácia na stránke:

Definícia. Celé čísla sú čísla, ktoré sa používajú na počítanie: 1, 2, 3, ..., n, ...

Množina prirodzených čísel sa zvyčajne označuje symbolom N(z lat. naturalis- prírodný).

Prirodzené čísla v desiatkovom zápise sa píšu pomocou desiatich číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Množina prirodzených čísel je objednaná sada, t.j. pre ľubovoľné prirodzené čísla m a n platí jeden z nasledujúcich vzťahov:

• alebo m = n (m je n),
• alebo m> n (m je väčšie ako n),
• alebo m< n (m меньше n ).

• Najmenší prírodnýčíslo - jedna (1)
• Najväčšie prirodzené číslo neexistuje.
• Nula (0) nie je prirodzené číslo.

Zo susedných prirodzených čísel sa volá číslo naľavo od čísla n predchádzajúce číslo n a zavolá sa číslo napravo nasledujúce n.

Operácie s prirodzenými číslami

Uzavreté operácie s prirodzenými číslami (operácie, ktorých výsledkom sú prirodzené čísla) zahŕňajú nasledujúce aritmetické operácie:

• Doplnenie
• Násobenie
• Umocňovanie a b, kde a je základ exponentu a b je exponent. Ak sú základ a exponent prirodzené čísla, výsledkom bude tiež prirodzené číslo.

Okrem toho sa uvažuje o dvoch ďalších operáciách. Z formálneho hľadiska nejde o operácie s prirodzenými číslami, keďže ich výsledkom nebude vždy prirodzené číslo.

• Odčítanie(V tomto prípade musí byť zníženie väčšie ako odpočítané)
• divízie

Triedy a hodnosti

Číslica - pozícia (pozícia) číslice v číselnom zázname.

Najnižšia pozícia je tá pravá. Najstaršia kategória je ľavá.

Príklad:

5 - jednotky, 0 - desiatky, 7 - stovky,
2 - tisíce, 4 - desaťtisíce, 8 - státisíce,
3 - milióny, 5 - desiatky miliónov, 1 - sto miliónov

Pre uľahčenie čítania sú prirodzené čísla rozdelené do skupín po troch čísliciach, počínajúc sprava.

Trieda- skupina troch číslic, na ktorú sa delí číslo, začínajúc sprava. Posledná trieda môže mať tri, dve alebo jednomiestne číslo.

• Prvá trieda - trieda jednotiek;
• Druhá trieda je trieda tisícov;
• Tretia trieda je trieda miliónov;
• Štvrtá trieda je trieda miliárd;
• Piata trieda je biliónová trieda;
• Šiesty ročník - kvadriliónová (kvadriliónová) trieda;
• Siedma trieda je kvintiliónová (kvintiliónová) trieda;
• Ôsmy ročník - trieda sextillon;
• Deviaty ročník je trieda septillion;

Príklad:

34 - miliardy 456 miliónov 196 tisíc 45

Porovnanie prirodzených čísel

1. Porovnanie prirodzených čísel s rôznym počtom číslic

   Medzi prirodzenými číslami je väčšie to, ktoré má viac číslic.

2. Porovnanie prirodzených čísel s rovnakým počtom číslic

   Porovnajte čísla bit po bite, počnúc najvýznamnejším bitom. Viac je ten s viacerými jednotkami v najvyššej kategórii rovnakého mena

Príklad:

3466 & gt 346 - pretože 3466 má 4 číslice a 346 má 3 číslice.

34666 & lt 245784 – pretože 34666 má 5 číslic a 245784 má 6 číslic.

Príklad:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Druhé z prirodzených čísel s rovnakým počtom číslic je väčšie, pretože 6> 2.

Matematika vznikla zo všeobecnej filozofie okolo šiesteho storočia pred Kristom. e., a od tej chvíle začala svoje víťazné ťaženie po celom svete. Každá etapa vývoja priniesla niečo nové – elementárne počítanie sa vyvinulo, pretransformovalo na diferenciálny a integrálny počet, storočia sa menili, vzorce sa stali mätúcimi a prišiel moment, keď „začala najzložitejšia matematika – zmizli z nej všetky čísla“. Čo však bolo základom?

Začiatok času

Prirodzené čísla sa objavili na rovnakej úrovni ako prvé matematické operácie. Jedna chrbtica, dve chrbtice, tri chrbtice ... Objavili sa vďaka indickým vedcom, ktorí vyniesli prvé pozičné

Slovo „polohovosť“ znamená, že umiestnenie každej číslice v čísle je presne definované a zodpovedá jej kategórii. Napríklad čísla 784 a 487 sú rovnaké čísla, ale čísla nie sú ekvivalentné, pretože prvé obsahuje 7 stoviek, zatiaľ čo druhé - iba 4. Inováciu Indov prevzali Arabi, ktorí priniesli čísla do podoby, ktorú poznáme teraz.

V dávnych dobách dostávali čísla mystický význam, Pytagoras veril, že číslo je základom stvorenia sveta spolu s hlavnými prvkami - ohňom, vodou, zemou, vzduchom. Ak všetko zvážime len z matematickej stránky, čo je potom prirodzené číslo? Pole prirodzených čísel je označené ako N a je to nekonečný rad celých a kladných čísel: 1, 2, 3,… + ∞. Nula je vylúčená. Používa sa predovšetkým na počítanie položiek a označenie poradia.

čo je matematika? Peanove axiómy

Pole N je základné, na ktorom je založená elementárna matematika. Postupom času sa polia celkov, racionálne,

Diela talianskeho matematika Giuseppe Peana umožnili ďalšie štruktúrovanie aritmetiky, dosiahli jej formálnosť a vydláždili cestu pre ďalšie závery, ktoré presahovali oblasť N.

Čo je prirodzené číslo, to bolo objasnené skôr v jednoduchom jazyku, nižšie budeme uvažovať o matematickej definícii založenej na Peanových axiómach.

• Jednotka sa považuje za prirodzené číslo.
• Číslo, ktoré nasleduje za prirodzeným číslom, je prirodzené.
• Pred jednotkou nie je prirodzené číslo.
• Ak číslo b nasleduje po čísle c aj po čísle d, potom c = d.
• Indukčná axióma, ktorá zase ukazuje, čo je prirodzené číslo: ak nejaký výrok, ktorý závisí od parametra, platí pre číslo 1, potom predpokladáme, že funguje pre číslo n z poľa prirodzených čísel N. Potom výrok platí aj pre n = 1 z oboru prirodzených čísel N.

Základné operácie pre obor prirodzených čísel

Keďže pole N sa stalo prvým pre matematické výpočty, patria k nemu domény definície aj rozsahy hodnôt niekoľkých operácií. Sú uzavreté a nie. Hlavný rozdiel je v tom, že uzavreté operácie zaručene udržia výsledok v rámci množiny N bez ohľadu na to, o aké čísla ide. Stačí, že sú prirodzené. Výsledok zostávajúcich číselných interakcií už nie je taký jednoznačný a priamo závisí od toho, aké čísla sú zahrnuté vo výraze, pretože to môže odporovať základnej definícii. Takže uzavreté operácie:

• sčítanie - x + y = z, kde x, y, z sú zahrnuté v poli N;
• násobenie - x * y = z, kde x, y, z sú zahrnuté v poli N;
• umocnenie - x y, kde x, y sú zahrnuté v poli N.

Ostatné operácie, ktorých výsledok nemusí existovať v kontexte definície „čo je prirodzené číslo“, sú nasledovné:

Vlastnosti čísel patriacich do poľa N

Všetky ďalšie matematické úvahy budú založené na nasledujúcich vlastnostiach, najtriviálnejších, ale nemenej dôležitých.

• Pohyblivá vlastnosť sčítania je x + y = y + x, kde čísla x, y sú zahrnuté v poli N. Alebo známe „súčet sa zmenou miest pojmov nemení“.
• Pohyblivá vlastnosť násobenia je x * y = y * x, kde čísla x, y sú zahrnuté v poli N.
• Kombinačná vlastnosť sčítania - (x + y) + z = x + (y + z), kde x, y, z sú zahrnuté v poli N.
• Kombinačná vlastnosť násobenia - (x * y) * z = x * (y * z), kde čísla x, y, z sú zahrnuté v poli N.
• distribučná vlastnosť - x (y + z) = x * y + x * z, kde čísla x, y, z sú zahrnuté v poli N.

Pytagoras stôl

Jedným z prvých krokov k poznaniu celej štruktúry elementárnej matematiky u školákov po tom, čo sami prišli na to, ktoré čísla sa nazývajú prirodzené, je Pytagorova tabuľka. Dá sa naň pozerať nielen z hľadiska vedy, ale aj ako na cennú vedeckú pamiatku.

Táto multiplikačná tabuľka prešla postupom času mnohými zmenami: bola z nej odstránená nula a čísla od 1 do 10 označujú samy seba, bez ohľadu na objednávky (stovky, tisíce ...). Je to tabuľka, v ktorej sú nadpisy riadkov a stĺpcov čísla a obsah buniek ich priesečníka sa rovná ich súčinu.

V praxi vyučovania v posledných desaťročiach vznikla potreba zapamätať si Pytagorovu tabuľku „po poriadku“, teda najprv došlo k memorovaniu. Násobenie 1 bolo vylúčené, pretože výsledok bol 1 alebo viac. Medzitým môžete v tabuľke voľným okom vidieť vzor: súčin čísel rastie o jeden krok, ktorý sa rovná názvu riadku. Druhý faktor nám teda ukazuje, koľkokrát musíme vziať prvý, aby sme získali požadovaný produkt. Tento systém je oveľa pohodlnejší ako ten, ktorý sa praktizoval v stredoveku: aj keď ľudia pochopili, čo je prirodzené číslo a aké triviálne je, dokázali si skomplikovať každodenné počítanie pomocou systému založeného na mocninách dvoch.

Podmnožina ako kolíska matematiky

V súčasnosti sa pole prirodzených čísel N považuje len za jednu z podmnožín komplexných čísel, ale to neznamená, že sú vo vede menej cenné. Prirodzené číslo je prvá vec, ktorú sa dieťa naučí, keď študuje seba a svet okolo seba. Jeden prst, dva prsty ... Vďaka nemu človek rozvíja logické myslenie, ako aj schopnosť určiť príčinu a odvodiť následok, čím si pripraví pôdu pre veľké objavy.

História prirodzených čísel siaha až do primitívnych čias. Od staroveku ľudia počítali predmety. Napríklad v obchode ste potrebovali tovarový účet alebo v stavebníctve materiálový účet. Áno, aj v bežnom živote som musel počítať aj veci, jedlo, hospodárske zvieratá. Najprv čísla slúžili len na počítanie v živote, v praxi, no neskôr, s rozvojom matematiky, sa stali súčasťou vedy.

Celé čísla Sú čísla, ktoré používame pri počítaní položiek.

Napríklad: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,….

Nula neplatí pre prirodzené čísla.

Všetky prirodzené čísla alebo nazvime množinu prirodzených čísel označujeme symbolom N.

Tabuľka prirodzených čísel.

Prirodzený rozsah.

Prirodzené čísla zapísané v rade vzostupne prirodzený rad alebo rad prirodzených čísel.

Vlastnosti prirodzeného rozsahu:

• Najmenšie prirodzené číslo je jedna.
• Prirodzený rad má ďalšie číslo o jedno väčšie ako predchádzajúce. (1, 2, 3, ...) Ak nie je možné dokončiť postupnosť čísel, umiestnia sa tri bodky alebo elipsy.
• Prirodzený areál nemá najväčší počet, je nekonečný.

Príklad č. 1:
Napíšte prvých 5 prirodzených čísel.
Riešenie:
Prirodzené čísla začínajú jednotkou.
1, 2, 3, 4, 5

Príklad č. 2:
Je nula prirodzené číslo?
Odpoveď je nie.

Príklad č. 3:
Aké je prvé číslo v prirodzenom rade?
Odpoveď: prirodzený rozsah začína od jednej.

Príklad č. 4:
Aké je posledné číslo v prirodzenom rade? Aké je najväčšie prirodzené číslo?
Odpoveď: Prirodzený rozsah začína od jednotky. Každé ďalšie číslo je o jedno väčšie ako predchádzajúce, takže posledné číslo neexistuje. Neexistuje žiadny najväčší počet.

Príklad č. 5:
Má jednotka v prirodzenom rade predchádzajúce číslo?
Odpoveď je nie, pretože jednotka je prvé číslo v prirodzenej postupnosti.

Príklad č. 6:
Aké je nasledujúce číslo v prirodzenom poradí za číslami: a) 5, b) 67, c) 9998.
Odpoveď: a) 6, b) 68, c) 9999.

Príklad č. 7:
Koľko čísel je v prirodzenom rade medzi číslami: a) 1 a 5, b) 14 a 19.
Riešenie:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - tri čísla sú medzi 1 a 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - štyri čísla sú medzi 14 a 19.

Príklad č. 8:
Aké je predchádzajúce číslo za číslom 11.
odpoveď: 10.

Príklad č. 9:
Aké čísla sa používajú na počítanie položiek?
Odpoveď: prirodzené čísla.

Prirodzené čísla sú jedným z najstarších matematických pojmov.

V dávnejšej minulosti ľudia nepoznali čísla a keď potrebovali spočítať predmety (zvieratá, ryby atď.), robili to inak ako my teraz.

Počet predmetov sa porovnával s časťami tela, napríklad s prstami na ruke a povedali: "Mám toľko orechov, koľko je prstov na mojej ruke."

Postupom času si ľudia uvedomili, že päť orieškov, päť kôz a päť zajacov majú spoločnú vlastnosť – ich počet sa rovná piatim.

Pamätajte!

Celé čísla- sú to čísla začínajúce 1, získané počítaním položiek.

1, 2, 3, 4, 5…

Najmenej prirodzené číslo — 1 .

Najväčšie prirodzené číslo neexistuje.

Číslo nula sa na počítanie nepoužíva. Preto sa nula nepovažuje za prirodzené číslo.

Ľudia sa naučili písať čísla oveľa neskôr ako počítať. Najprv začali zobrazovať jednotku s jednou palicou, potom s dvoma palicami - číslom 2, s tromi - číslom 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Potom existovali aj špeciálne znaky na označovanie čísel - predchodcovia moderných čísel. Čísla, ktoré používame na písanie čísel, sa zrodili v Indii asi pred 1500 rokmi. Arabi ich priniesli do Európy, tak sa im hovorí arabské číslice.

Celkovo je desať číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pomocou týchto čísel možno zapísať akékoľvek prirodzené číslo.

Pamätajte!

Prirodzený rozsah Je to postupnosť všetkých prirodzených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V prirodzenom rade je každé číslo väčšie ako predchádzajúce o 1.

Prirodzené číslo je nekonečné, najväčšie prirodzené číslo v ňom neexistuje.

Systém počítania, ktorý používame, je tzv desatinné pozičné.

Desatinné, pretože 10 jednotiek každej číslice tvorí 1 jednotku najvýznamnejšej číslice. Pozičné preto, lebo hodnota číslice závisí od jej miesta v číselnom zázname, teda od číslice, ktorou je zapísaná.

Dôležité!

Triedy nasledujúce po miliarde sú pomenované podľa latinských názvov čísel. Každá ďalšia jednotka obsahuje tisícku predchádzajúcich.

• 1 000 miliárd = 1 000 000 000 000 = 1 bilión („tri“ je latinčina pre „tri“)
• 1 000 biliónov = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrilión (quadra znamená po latinsky štyri)
• 1 000 kvadriliónov = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintilión („quint“ je latinsky „päť“)

Fyzici však našli číslo, ktoré prevyšuje počet všetkých atómov (najmenších častíc hmoty) v celom vesmíre.

Toto číslo dostalo špeciálny názov - googol... Googol je číslo so 100 nulami.

V matematike existuje niekoľko rôznych množín čísel: reálne, komplexné, celé, racionálne, iracionálne, ... V našom Každodenný život najčastejšie používame prirodzené čísla, keďže sa s nimi stretávame pri počítaní a pri hľadaní, označovaní počtu predmetov.

V kontakte s

Aké čísla sa nazývajú prirodzené

Z desiatich číslic si môžete zapísať absolútne akýkoľvek existujúci súčet tried a kategórií. To sú prírodné hodnoty ktoré sa používajú:

• Pri počítaní ľubovoľných položiek (prvá, druhá, tretia, ... piata, ... desiata).
• Pri uvádzaní počtu položiek (jeden, dva, tri ...)

Hodnoty N sú vždy úplné a pozitívne. Neexistuje žiadne najväčšie N, pretože množina celočíselných hodnôt nie je obmedzená.

Pozor! Prirodzené čísla sa získavajú počítaním položiek alebo uvedením ich počtu.

Absolútne akékoľvek číslo možno rozšíriť a reprezentovať ako bitové pojmy, napríklad: 8 346 809 = 8 miliónov + 346 tisíc + 809 jednotiek.

Set N

Množina N je v množine skutočné, celistvé a pozitívne... Na množinovom diagrame by boli v sebe, keďže množina prírodnín je ich súčasťou.

Množinu prirodzených čísel označujeme písmenom N. Táto množina má začiatok, ale nemá koniec.

Existuje aj rozšírená množina N, kde je zahrnutá nula.

Najmenej prirodzené číslo

Vo väčšine matematických škôl je najmenšia hodnota N jednotka sa zvažuje, keďže absencia predmetov sa považuje za prázdnotu.

Ale na zahraničných matematických školách, napríklad vo francúzštine, sa to považuje za prirodzené. Prítomnosť nuly v rade uľahčuje dôkaz niektoré vety.

Séria hodnôt N vrátane nuly sa nazýva rozšírená a označuje sa symbolom N0 (nulový index).

Rad prirodzených čísel

N riadok je postupnosť všetkých N množín čísel. Táto sekvencia nemá konca.

Zvláštnosťou prirodzeného radu je, že nasledujúce číslo sa bude líšiť o jeden od predchádzajúceho, to znamená zvýšenie. Ale hodnoty nemôže byť negatívny.

Pozor! Pre pohodlie počítania existujú triedy a kategórie:

• Jednotky (1, 2, 3),
• Desiatky (10, 20, 30),
• stovky (100, 200, 300),
• Tisíce (1 000, 2 000, 3 000),
• Desiatky tisíc (30 000),
• Státisíce (800 000),
• Milióny (4 000 000) atď.

Všetky N

Všetky N sú v množine reálnych, celých, nezáporných hodnôt. Sú ich časť.

Tieto hodnoty idú do nekonečna, môžu patriť do tried miliónov, miliárd, kvintiliónov atď.

Napríklad:

• Päť jabĺk, tri mačiatka
• Desať rubľov, tridsať ceruziek,
• Sto kilogramov, tristo kníh,
• Milión hviezd, tri milióny ľudí atď.

Sekvencia v N

V rôznych matematických školách môžete nájsť dva intervaly, do ktorých patrí postupnosť N:

od nuly do plus nekonečna vrátane koncov a od jednej do plus nekonečna vrátane koncov, teda všetko kladné celé odpovede.

N množín číslic môže byť párne alebo nepárne. Uvažujme o koncepte zvláštnosti.

Nepárne (akékoľvek nepárne končia číslami 1, 3, 5, 7, 9.) s dvomi majú zvyšok. Napríklad 7: 2 = 3,5, 11: 2 = 5,5, 23: 2 = 11,5.

Čo znamená aj N

Akékoľvek párne súčty tried končia číslicami: 0, 2, 4, 6, 8. Pri delení párneho N číslom 2 nezostane žiadny zvyšok, to znamená, že výsledkom je celá odpoveď. Napríklad 50:2 = 25, 100:2 = 50, 3456:2 = 1728.

Dôležité!Číselný rad N nemôže pozostávať len z párnych alebo nepárnych hodnôt, pretože sa musia striedať: párny vždy nasleduje párny, nasleduje párny atď.

Vlastnosti N

Ako všetky ostatné množiny, aj N má svoje špeciálne vlastnosti. Zvážte vlastnosti radu N (nerozšírené).

• Hodnota, ktorá je najmenšia a nenasleduje po inej, je jedna.
• N predstavuje postupnosť, to znamená jednu prirodzenú hodnotu nasleduje ďalší(okrem jedného - je prvý).
• Keď vykonávame výpočtové operácie na N súčtoch číslic a tried (sčítanie, násobenie), potom v odpovedi vždy to vyjde prirodzene význam.
• Vo výpočtoch možno použiť permutáciu a kombináciu.
• Každá nasledujúca hodnota nemôže byť menšia ako predchádzajúca. Aj v sérii N bude platiť nasledujúci zákon: ak je číslo A menšie ako B, potom v číselnom rade je vždy C, pre ktoré platí rovnosť: A + C = B.
• Ak vezmeme dva prirodzené výrazy, napríklad A a B, bude pre ne platiť jeden z výrazov: A = B, A je viac ako B, A je menej ako B.
• Ak je A menšie ako B a B je menšie ako C, z toho vyplýva že A je menšie ako C.
• Ak je A menšie ako B, potom z toho vyplýva, že: ak k nim pridáte rovnaký výraz (C), potom A + C je menšie ako B + C. Je tiež pravda, že ak sa tieto hodnoty vynásobia C, potom je AC menšia ako AB.
• Ak je B väčšie ako A, ale menšie ako C, potom platí: B-A je menšie ako C-A.

Pozor! Všetky vyššie uvedené nerovnosti platia v opačnom smere.

Aké sú zložky násobenia

V mnohých jednoduchých a dokonca zložitých problémoch závisí hľadanie odpovede od zručnosti študentov.

Aby ste mohli rýchlo a správne násobiť a byť schopní riešiť inverzné úlohy, musíte poznať zložky násobenia.

15. 10 = 150. V tomto výraze 15 a 10 sú multiplikátory a 150 je produkt.

Násobenie má vlastnosti, ktoré sú potrebné pri riešení problémov, rovníc a nerovníc:

• Preskupenie faktorov nezmení konečný produkt.
• Na nájdenie neznámeho faktora je potrebné rozdeliť produkt známym faktorom (platí pre všetky faktory).

Napríklad: 15 . X = 150. Rozdeľme produkt známym faktorom. 150 : 15 = 10. Skontrolujme to. 15 . 10 = 150. Podľa tohto princípu dokonca komplexné lineárne rovnice(pre ich zjednodušenie).

Dôležité! Produkt nemusí pozostávať len z dvoch faktorov. Napríklad: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Čo sú prirodzené čísla v matematike?

Číslice a triedy prirodzených čísel

Výkon

Poďme si to zhrnúť. N sa používajú pri počítaní alebo uvádzaní počtu položiek. Počet prirodzených agregátov čísel je nekonečný, ale zahŕňa iba celé a kladné súčty číslic a tried. Násobenie je tiež potrebné pre počítať položky, ako aj na riešenie úloh, rovníc a rôznych nerovníc.