História vzniku goniometrických rovníc. Začnite vo vede. Stredovek: Štúdie indických učencov

Sínus, kosínus, tangenta – pri vyslovení týchto slov v prítomnosti stredoškolákov si môžete byť istý, že dve tretiny z nich stratia záujem o ďalší rozhovor. Dôvod spočíva v tom, že základy trigonometrie sa v škole vyučujú úplne izolovane od reality, a preto študenti nevidia zmysel v štúdiu vzorcov a viet.

V skutočnosti sa táto oblasť poznania pri bližšom skúmaní ukazuje ako veľmi zaujímavá, aj aplikovaná - trigonometria sa používa v astronómii, stavebníctve, fyzike, hudbe a mnohých ďalších oblastiach.

Poďme sa zoznámiť so základnými pojmami a vymenovať niekoľko dôvodov, prečo študovať tento odbor matematickej vedy.

História

Nie je známe, kedy ľudstvo začalo vytvárať budúcu trigonometriu od nuly. Je však doložené, že už v druhom tisícročí pred Kristom poznali Egypťania základy tejto vedy: archeológovia našli papyrus s úlohou, v ktorej je potrebné nájsť uhol sklonu pyramídy na dvoch známych stranách.

Vedci starovekého Babylonu dosiahli vážnejšie úspechy. Keďže sa po stáročia zaoberali astronómiou, osvojili si množstvo teorémov, zaviedli špeciálne metódy merania uhlov, ktoré, mimochodom, používame aj dnes: stupne, minúty a sekundy si európska veda požičala v grécko-rímskej kultúre, v ktorej tieto jednotky prišli od Babylončanov.

Predpokladá sa, že slávnu Pytagorovu vetu, týkajúcu sa základov trigonometrie, poznali Babylončania pred takmer štyrmi tisíckami rokov.

názov

Doslova výraz „trigonometria“ možno preložiť ako „meranie trojuholníkov“. Hlavným predmetom štúdia v rámci tejto časti vedy bol po mnoho storočí pravouhlý trojuholník, alebo skôr vzťah medzi veľkosťami uhlov a dĺžkami jeho strán (dnes sa štúdium trigonometrie začína od tejto časti od r. škrabanec). V živote nie sú nezvyčajné situácie, keď nie je možné prakticky zmerať všetky požadované parametre objektu (resp. vzdialenosť od objektu), a potom je potrebné chýbajúce údaje získať výpočtami.

Napríklad v minulosti človek nemohol merať vzdialenosť k vesmírnym objektom, ale pokusy vypočítať tieto vzdialenosti sa vyskytujú dávno pred naším letopočtom. Pri navigácii zohrávala dôležitú úlohu aj trigonometria: s určitými znalosťami mohol kapitán vždy v noci navigovať podľa hviezd a korigovať kurz.

Základné pojmy

Ak chcete zvládnuť trigonometriu od začiatku, musíte pochopiť a zapamätať si niekoľko základných pojmov.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy k prepone. Ujasnime si, že opačná noha je strana ležiaca oproti uhlu, ktorý zvažujeme. Ak je teda uhol 30 stupňov, sínus tohto uhla bude pre akúkoľvek veľkosť trojuholníka vždy rovný ½. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve (alebo ekvivalentne pomer sínusu ku kosínusu). Kotangens je jednotka delená dotyčnicou.

Za zmienku stojí známe číslo Pi (3,14 ...), čo je polovica dĺžky kružnice s polomerom jednej jednotky.

Populárne chyby

Ľudia, ktorí sa učia trigonometriu od nuly, robia množstvo chýb – väčšinou kvôli nepozornosti.

Po prvé, pri riešení úloh v geometrii je potrebné pamätať na to, že použitie sínusov a kosínusov je možné iba v pravouhlom trojuholníku. Stáva sa, že študent „na stroji“ vezme za preponu najdlhšiu stranu trojuholníka a dostane nesprávne výsledky výpočtu.

Po druhé, najprv je ľahké zamieňať hodnoty sínusu a kosínusu pre zvolený uhol: nezabudnite, že sínus 30 stupňov sa číselne rovná kosínusu 60 a naopak. Ak dosadíte nesprávne číslo, všetky ďalšie výpočty budú nesprávne.

Po tretie, kým sa problém úplne nevyrieši, neoplatí sa zaokrúhľovať žiadne hodnoty, extrahovať odmocniny, písať obyčajný zlomok ako desatinné číslo. Študenti sa často snažia získať „krásne“ číslo v úlohe trigonometrie a okamžite extrahujú odmocninu z troch, hoci presne po jednej akcii možno tento koreň zmenšiť.

Etymológia slova "sínus"

História slova „sínus“ je skutočne nezvyčajná. Faktom je, že doslovný preklad tohto slova z latinčiny znamená "dutý". Pri preklade z jedného jazyka do druhého sa totiž stratilo správne pochopenie slova.

Názvy základných goniometrických funkcií pochádzajú z Indie, kde sa pojem sínus v sanskrte označoval slovom „struna“ – faktom je, že segment spolu s oblúkom kruhu, na ktorom spočíval, vyzeral ako luk. . Počas rozkvetu arabskej civilizácie boli indické úspechy v oblasti trigonometrie prevzaté a termín prešiel do arabského jazyka vo forme prepisu. Stalo sa, že tento jazyk už mal podobné slovo pre depresiu, a ak Arabi pochopili fonetický rozdiel medzi domácim a prevzatým slovom, potom Európania, prekladajúc vedecké pojednania do latinčiny, omylom doslova preložili arabské slovo, ktoré nemal nič spoločné s pojmom sínus . Používame ich dodnes.

Tabuľky hodnôt

Existujú tabuľky, ktoré obsahujú číselné hodnoty pre sínus, kosínus a tangens všetkých možných uhlov. Nižšie uvádzame údaje pre uhly 0, 30, 45, 60 a 90 stupňov, ktoré sa musia naučiť ako povinná časť trigonometrie pre "figuríny", pretože je celkom ľahké si ich zapamätať.

Ak by sa stalo, že mi „vyletela z hlavy“ číselná hodnota sínusu alebo kosínusu uhla, existuje spôsob, ako si to odvodiť sami.

Geometrické znázornenie

Nakreslíme kružnicu, cez jej stred nakreslíme úsečku a súradnice. Os x je horizontálna, os ordinát je vertikálna. Zvyčajne sú označené ako "X" a "Y". Teraz nakreslíme priamku zo stredu kruhu tak, aby sme medzi ňou a osou X dostali potrebný uhol. Nakoniec z bodu, kde priamka pretína kružnicu, spustíme kolmicu na os X. Dĺžka výsledného segmentu sa bude rovnať číselnej hodnote sínusu nášho uhla.

Táto metóda je veľmi dôležitá, ak ste zabudli požadovanú hodnotu, napríklad pri skúške, a po ruke nie je žiadna učebnica trigonometrie. Týmto spôsobom nezískate presné číslo, ale určite uvidíte rozdiel medzi ½ a 1,73 / 2 (sínus a kosínus uhla 30 stupňov).

Aplikácia

Jedným z prvých špecialistov, ktorí používali trigonometriu, boli námorníci, ktorí na šírom mori nemali iný referenčný bod ako oblohu nad hlavou. Kapitáni lodí (lietadiel a iných druhov dopravy) dnes nehľadajú najkratšiu cestu cez hviezdy, ale aktívne siahajú po pomoci GPS navigácie, čo by bez použitia trigonometrie nebolo možné.

Takmer v každej časti fyziky nájdete výpočty pomocou sínusov a kosínusov: či už je to aplikácia sily v mechanike, výpočty dráhy objektov v kinematike, vibrácie, šírenie vĺn, lom svetla - bez základnej trigonometrie sa jednoducho nezaobídete vo vzorcoch.

Ďalšou profesiou, ktorá je nemysliteľná bez trigonometrie, je geodet. Pomocou teodolitu a vodováhy, prípadne sofistikovanejšieho prístroja – tachometra, títo ľudia merajú výškový rozdiel medzi rôznymi bodmi zemského povrchu.

Opakovateľnosť

Trigonometria sa nezaoberá len uhlami a stranami trojuholníka, hoci tu začala svoju existenciu. Vo všetkých oblastiach, kde je cyklickosť prítomná (biológia, medicína, fyzika, hudba atď.), sa stretnete s grafom, ktorého názov je vám pravdepodobne povedomý – ide o sínusoidu.

Takýto graf je kruh rozvinutý pozdĺž časovej osi a vyzerá ako vlna. Ak ste niekedy na hodine fyziky pracovali s osciloskopom, viete, o čom hovorím. Hudobný ekvalizér aj merač srdcového tepu využívajú pri svojej práci vzorce trigonometrie.

Konečne

Pri úvahách o tom, ako sa naučiť trigonometriu, ju väčšina stredoškolákov a stredoškolákov začne považovať za náročnú a nepraktickú vedu, pretože sa zoznamujú len s nudnými učebnicovými informáciami.

Čo sa týka nepraktickosti, už sme videli, že v tej či onej miere je schopnosť zvládnuť sínusy a tangenty potrebná takmer v každej oblasti činnosti. A čo sa týka zložitosti... Zamyslite sa: ak ľudia používali tieto znalosti pred viac ako dvetisíc rokmi, keď mal dospelý menej vedomostí ako dnešný stredoškolák, je naozaj možné, aby ste túto oblasť študovali osobne? \u200bsveda na základnej úrovni? Niekoľko hodín premysleného cvičenia s riešením problémov – a svoj cieľ dosiahnete štúdiom základného kurzu, takzvanej trigonometrie pre „dummy“.

História trigonometrie ako vedy

Trigonometria ako každá iná vedná disciplína vznikla z potrieb praktickej činnosti človeka. Rôzne úlohy astronómie, navigácie, geodézie a architektúry viedli k potrebe vyvinúť metódu na výpočet prvkov geometrických útvarov zo známych hodnôt ich ostatných prvkov zistených priamymi meraniami. Samotný názov „trigonometria“ je gréckeho pôvodu, znamená „meranie trojuholníkov“: (trigonon) – trojuholník, (metrein) – meranie.

Pôvod trigonometrie sa datuje do staroveku. Dávno pred novou érou boli babylonskí vedci schopní predpovedať zatmenie Slnka a Mesiaca. To nám umožňuje dospieť k záveru, že poznali niektoré z najjednoduchších informácií z trigonometrie. Postupne sa v geometrii a astronómii ustálili pojmy sínus, kosínus a tangens uhla. V podstate na nich operovali starovekí matematici, berúc do úvahy pomer segmentov v trojuholníkoch a kruhoch.

Nahromadený materiál astronomických pozorovaní si vyžadoval matematické spracovanie. Jedným zo zakladateľov trigonometrie je starogrécky astronóm Hipparchos, ktorý žil v 2. storočí pred Kristom. pred Kr. Hipparchos je autorom prvých trigonometrických tabuliek. Tieto tabuľky sa k nám nedostali, ale boli zahrnuté (v vylepšenej podobe) do diela „Veľká stavba“ (Almagest) slávneho alexandrijského astronóma Claudia Ptolemaia, ktorý žil v druhej polovici 2. storočia pred Kristom. AD Tieto tabuľky, ktoré po mnoho storočí slúžili ako prostriedok na riešenie trojuholníkov, dávali hodnoty akordov kruhu pre rôzne hodnoty zodpovedajúceho stredového uhla. Jednotkou merania tetiv bola časť polomeru.

Tieto tabuľky sú v modernom zmysle tabuľkami hodnôt zdvojnásobeného sínusu polovice zodpovedajúceho stredového uhla. Udávali hodnoty akordov pre všetky uhly (každého pol stupňa) od 00 do 1800. Treba však mať na pamäti, že v starovekom Grécku sa trigonometria nerozlišovala na samostatnú vedu, ale považovala sa za súčasť astronómie.

Významný príspevok k rozvoju trigonometrie mala indická matematika v období 5. - 12. storočia. AD Indickí matematici začali počítať nie celý akord, ako to robili Gréci, ale jeho polovicu (to znamená „sínusovú čiaru“). Líniu dutín nazývali „arhajiva“, čo doslova znamenalo „polovica tetivy“. Indiáni zostavili tabuľku sínusov, v ktorej boli uvedené hodnoty hemi-akordov merané časťami (minútami) kruhu pre všetky uhly od 00 do 900 (každý). Tieto tabuľky boli presnejšie ako tabuľky Ptolemaia. O ich vysokej presnosti svedčí skutočnosť, že pre sínusové a kosínusové hodnoty boli vypočítané, ktoré sa líšia od skutočných o menej ako.

Indickí matematici poznali pomery, ktoré sa v modernej notácii píšu takto:

V XI - XIII storočia. v prácach matematikov Strednej Ázie, Zakaukazska, Stredného východu a Indie sa začalo formovanie trigonometrie ako samostatnej vedy. A v budúcnosti potreby geografie, geodézie, vojenských záležitostí prispeli k rozvoju trigonometrie ako vedy. Trigonometria sa obzvlášť intenzívne rozvíjala v stredoveku, predovšetkým na juhovýchode: v Indii (Ariabhata, Bramagupta, Bhaskara), v Uzbekistane, Azerbajdžane a Tadžikistane (Nasirad-Din at-Tusi, al-Kashi, al-Biruni), v Arábii ( Ahmad, ibn-Abdalláh, al-Battani). Veľkú zásluhu na formovaní trigonometrie ako samostatnej vedy má azerbajdžanský vedec Nasirad-Din Muhammad at-Tusi (1201 - 1274), ktorý napísal „Pojednanie o úplnom štvoruholníku“. Práca vedcov tohto obdobia viedla k oddeleniu trigonometrie ako nového samostatného odvetvia matematiky. Ich spisy však ešte nemali potrebnú symboliku, a preto bol rozvoj trigonometrie pomalý.

Od 15. storočia a v Európe existujú práce venované otázkam trigonometrie. Nemecký vedec Johann Müller (1436 - 1476), vo vede známy pod menom Regiomontanus, vydal Päť kníh o trojuholníkoch všetkých druhov, ktoré zohrali významnú úlohu vo vývoji trigonometrie. Podáva systematickú prezentáciu trigonometrie ako samostatnej vednej disciplíny. Regiomontan zostavil tabuľky sínusov s presnosťou až. V jeho tabuľkách sa polomer kruhu bral ako násobok 60, to znamená, že sa v skutočnosti prešlo zo šesťdesiatkového systému merania na desiatkový. V roku 1595 sa objavila práca Bartolomeja Pitiscusa „Trigonometria alebo stručné prehľadové pojednanie o riešení trojuholníkov“.

V XV - XVII storočí. v Európe bolo zostavených a publikovaných niekoľko trigonometrických tabuliek. Na ich kompilácii pracovali najväčší vedci: N. Kopernik (1473 - 1543), a. Kepler (1571 - 1630), F. Viet (1540 - 1603) a i. V Rusku boli prvé trigonometrické tabuľky vydané v roku 1703 za účasti L.F. Magnitského.

Trigonometria teda vznikla na geometrickom základe, mala geometrický jazyk a uplatnila sa pri riešení geometrických úloh. Rozvoj algebraickej symboliky umožnil písať trigonometrické vzťahy vo forme vzorcov; použitie záporných čísel umožnilo uvažovať o smerovaných uhloch a oblúkoch a rozšíriť koncepciu trigonometrických čiar (určité segmenty v kruhu) pre akékoľvek uhly. V tomto období sa vytvoril základ pre štúdium goniometrických funkcií ako funkcií numerického argumentu, základ analytickej teórie goniometrických (kruhových) funkcií. Newton vyvinul analytický prístroj, ktorý umožňuje počítať hodnoty goniometrických funkcií s akoukoľvek presnosťou.

Trigonometria dostala svoju modernú podobu v dielach veľkého vedca, člena Ruskej akadémie vied L. Eulera (1707 - 1783). Euler začal považovať hodnoty goniometrických funkcií za čísla - veľkosti trigonometrických čiar v kruhu, ktorých polomer sa považuje za jednotu ("trigonometrický kruh" alebo "jednotkový kruh"). Euler dal konečné rozhodnutie o znakoch goniometrických funkcií v rôznych štvrtiach, odvodil všetky goniometrické vzorce z niekoľkých základných, stanovil niekoľko pred ním neznámych vzorcov a zaviedol jednotnú notáciu. V jeho spisoch sa prvýkrát nachádzajú záznamy. Objavil tiež spojenie medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami zložitého argumentu. Na základe prác L. Eulera boli zostavené učebnice trigonometrie, ktoré ju uvádzajú v prísnej vedeckej postupnosti.

Analytická (na geometrii nezávislá) konštrukcia teórie goniometrických funkcií, ktorú začal Euler, bola dokončená v dielach veľkého ruského vedca N.I. Lobačevského.

Moderný pohľad na goniometrické funkcie ako funkcie numerického argumentu je do značnej miery spôsobený rozvojom fyziky, mechaniky a technológie. Tieto funkcie tvorili základ matematického aparátu, pomocou ktorého sa študujú rôzne periodické procesy: oscilačné pohyby, šírenie vĺn, pohyb mechanizmov, oscilácia striedavého elektrického prúdu. Ako ukázal J. Fourier (1768 - 1830), každý periodický pohyb s ľubovoľným stupňom presnosti možno znázorniť ako súčet najjednoduchších sínusových (harmonických) kmitov. Ak na začiatku vývoja trigonometrie vzťah

vyjadroval iba závislosť medzi plochami štvorcov postavených na stranách premenného pravouhlého trojuholníka s preponou rovnou 1, neskôr sa tento pomer začal prejavovať aj sčítaním dvoch kmitavých pohybov s výslednou interferenciou.

V počiatočných fázach svojho vývoja teda trigonometria slúžila ako prostriedok na riešenie výpočtových geometrických problémov. Za jeho obsah sa považoval výpočet prvkov najjednoduchších geometrických tvarov, teda trojuholníkov. Ale v modernej trigonometrii je štúdium vlastností goniometrických funkcií nezávislé a rovnako dôležité. Toto obdobie vo vývoji trigonometrie pripravil celý priebeh vývoja mechaniky kmitavých pohybov, fyziky zvuku, svetla a elektromagnetických vĺn.

Počas tohto obdobia sa zovšeobecnili mnohé členy trigonometrie a najmä sa odvodili vzťahy pre, kde n je prirodzené číslo atď. Funkcie a sú teraz považované za súčty mocninných radov:

Zároveň sa rozvíja teória goniometrických funkcií komplexnej premennej.

Trigonometria ako predmet

História štúdia trigonometrie v škole je mimoriadne poučná pre odborníkov v oblasti vyučovania matematiky. Toto je história jednej zo sekcií matematickej vedy, len v druhej polovici 18. storočia. získal pomerne štíhly a úplný vzhľad.

Pre moderného učiteľa je už dosť ťažké nájsť materiály, ktoré odhaľujú myšlienky a štruktúru bývalých učebných programov matematiky. Zároveň v modernej škole, v podmienkach určitej akademickej slobody učiteľa, môžu byť tieto informácie užitočné pre zdôvodnenie plánovania štúdia trigonometrie, pretože ilustrujú iné prístupy k štúdiu tohto kurzu, ktoré sa líšia. z tých, ktoré sa dnes ponúkajú v mnohých učebniciach.

Pripomeňme, že v súvislosti s objavom N.I. Lobačevskij z Novej geometrie zistil, že trigonometria pozostáva z dvoch rôznych častí:

• a) prvá (zvyčajne sa nazýva goniometria) - časť matematickej analýzy, kde sa bez ohľadu na geometrické úvahy analyticky odhaľuje doktrína transcendentálnych goniometrických funkcií s ich vlastnosťami;
• b) druhá - vlastná trigonometria, kde sa kombinuje matematická analýza a geometria konkrétneho priestoru.

Goniometria nezávisí od axiómy rovnobežiek a trigonometria v správnom zmysle závisí od tejto axiómy. Pomer charakterizuje vo všeobecnom prípade operácie s príslušným radom a iba v euklidovskom priestore vyjadruje pomer medzi plochami štvorcov postavených na stranách pravouhlého trojuholníka s preponou rovnou 1.

Známy vzťah medzi stranami a uhlami trojuholníka

Trigonometrické nerovnosti

Príklad 1. Riešime nerovnicu

Riešenie. Označením prepíšeme nerovnosť (1) do tvaru

Množina riešení nerovnosti (2) je rad intervalov

preto nájdeme všetky riešenia nerovnosti (1) riešením dvojitej nerovnosti

odkiaľ sa dostaneme

to znamená, že množina riešení nerovnosti (1) pozostáva zo série intervalov

Príklad 2. Vyriešte nerovnicu

Riešenie. Prepíšme nerovnosť (3) ako

Označiť. Keďže nerovnosť má veľa riešení, riešenia nerovnosti (3) nájdeme riešením dvojitej nerovnosti.

Nerovnosť

Platí pre ľubovoľné x a množina riešení nerovnosti je rad intervalov

Je to množina riešení nerovnosti (3).

Príklad 3. Definujeme všetky, pre každý z nich nerovnosť

má aspoň jedno riešenie.

Riešenie. Vydelením nerovnosti (4) číslom dostaneme nerovnosť

čo je ekvivalentné nerovnosti (4).

Keďže, potom existuje taký uhol, že a. Prepíšme nerovnosť (5) ako

Posledná nerovnosť, a teda nerovnosť (4), má aspoň jedno riešenie pre každú takú, teda pre každú.

1.1 Etapy vývoja trigonometrie ako vedy

Trigonometria je jedným z najmladších odvetví elementárnej matematiky, ktorý svoju konečnú podobu dostal až v 18. storočí, aj keď niektoré jej myšlienky siahajú až do staroveku, do antického sveta a do matematických prác hinduistov (K. Ptolemaios, 2. storočie, Al Battani, 9. storočie atď.). Európski matematici dosiahli vysoký stupeň dokonalosti vo výpočtoch tabuliek prirodzených sínusov a dotyčníc (Regiomontanus, XV. storočie, Rheticus a Pitiscus, XVI. storočie atď.).

Samotný názov "trigonometria" je gréckeho pôvodu, označuje "meranie trojuholníkov": (trigonon) - trojuholník, (metrein) - meranie.

Vedecký rozvoj trigonometrie uskutočnil L. Euler vo svojom diele „Jntroductio in analysis infinitorum“ (1748). Vytvoril trigonometriu ako vedu o funkciách, dal jej analytickú prezentáciu a odvodil celú množinu vzorcov z niekoľkých základných vzorcov. Označenie strán malými písmenami a protiľahlých rohov zodpovedajúcimi veľkými písmenami mu umožnilo zjednodušiť všetky vzorce, vniesť do nich jasnosť a harmóniu. Euler prišiel s myšlienkou považovať trigonometrické funkcie za pomery zodpovedajúcich čiar k polomeru kruhu, t. j. ako čísla, a za jednotu považoval polomer kruhu ako „úplný sínus“. Euler získal množstvo nových vzťahov, vytvoril spojenie medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami, dal pravidlo pre znamienka funkcií pre všetky štvrtiny, získal zovšeobecnený redukčný vzorec a oslobodil trigonometriu od mnohých chýb, ktoré sa robili takmer vo všetkých európskych učebniciach matematiky. .

Práca L. Eulera neskôr slúžila ako základ pre učebnice trigonometrie. Jedna z prvých príručiek, „Abbreviated Mathematics“ od S. Rumovského (1760), časť „Počiatočné základy rovinnej trigonometrie“, začína prezentáciu nasledovne: „Rovinná trigonometria je znalosť pomocou aritmetických výpočtov hľadať trojuholníky, ktoré geometriu nachádza kresbou.“ Celá prezentácia je zredukovaná na riešenie trojuholníkov (najjednoduchšie prípady), výpočty prebiehajú veľmi komplikovane a chýba tu teória funkcií.

Trigonometria teda vznikla na geometrickom základe, mala geometrický jazyk a uplatnila sa pri riešení geometrických úloh. Rozvoj algebraickej symboliky umožnil písať trigonometrické vzťahy vo forme vzorcov; použitie záporných čísel umožnilo uvažovať o smerovaných uhloch a oblúkoch a rozšíriť koncepciu trigonometrických čiar (určité segmenty v kruhu) pre akékoľvek uhly. V tomto období sa vytvoril základ pre štúdium goniometrických funkcií ako funkcií numerického argumentu, základ analytickej teórie goniometrických (kruhových) funkcií. Newton vyvinul analytický prístroj, ktorý umožňuje počítať hodnoty goniometrických funkcií s akoukoľvek presnosťou.

Trigonometria dostala svoju modernú podobu v dielach veľkého vedca, člena Ruskej akadémie vied L. Eulera (1707 - 1783). Euler začal považovať hodnoty goniometrických funkcií za čísla - veľkosť trigonometrických čiar v kruhu, ktorých polomer sa považuje za jednotu ("trigonometrický kruh" alebo "jednotkový kruh"). Euler dal konečné rozhodnutie o znakoch goniometrických funkcií v rôznych štvrtiach, odvodil všetky goniometrické vzorce z niekoľkých základných, stanovil niekoľko pred ním neznámych vzorcov a zaviedol jednotnú notáciu. V jeho spisoch sa prvýkrát nachádzajú záznamy. Objavil tiež spojenie medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami zložitého argumentu. Na základe prác L. Eulera boli zostavené učebnice trigonometrie, ktoré ju uvádzajú v prísnej vedeckej postupnosti.

Analytická (na geometrii nezávislá) konštrukcia teórie goniometrických funkcií, ktorú začal Euler, bola dokončená v dielach veľkého ruského vedca N.I. Lobačevského.

Moderný pohľad na goniometrické funkcie ako funkcie numerického argumentu je do značnej miery spôsobený rozvojom fyziky, mechaniky a technológie. Tieto funkcie tvorili základ matematického aparátu, pomocou ktorého sa študujú rôzne periodické procesy: oscilačné pohyby, šírenie vĺn, pohyb mechanizmov, oscilácia striedavého elektrického prúdu. Ako ukázal J. Fourier (1768 - 1830), každý periodický pohyb s ľubovoľným stupňom presnosti možno znázorniť ako súčet najjednoduchších sínusových (harmonických) kmitov. Ak na začiatku vývoja trigonometrie vzťah vyjadroval iba závislosť medzi plochami štvorcov postavených na stranách premenného pravouhlého trojuholníka s preponou rovnou 1, neskôr sa tento pomer začal prejavovať aj sčítaním dvoch kmitavých pohybov s výslednou interferenciou.

V počiatočných fázach svojho vývoja teda trigonometria slúžila ako prostriedok na riešenie výpočtových geometrických problémov. Za jeho obsah sa považoval výpočet prvkov najjednoduchších geometrických tvarov, teda trojuholníkov. Ale v modernej trigonometrii je štúdium vlastností goniometrických funkcií nezávislé a rovnako dôležité. Toto obdobie vo vývoji trigonometrie pripravil celý priebeh vývoja mechaniky kmitavých pohybov, fyziky zvuku, svetla a elektromagnetických vĺn.

Počas tohto obdobia boli zovšeobecnené mnohé členy trigonometrie a najmä boli odvodené vzťahy pre , kde n je prirodzené číslo atď. Funkcie a sú teraz považované za súčty mocninných radov:

Učebnica V. Nikitina a P. Suvorova je takmer rovnaká.
Úplne vedeckú prezentáciu trigonometrie podáva akad. M. E. Golovin vo svojej učebnici „Rovinná a sférická trigonometria s algebraickými dôkazmi“, 1789. V tejto knihe nájdete všetky najdôležitejšie vzorce trigonometrie takmer v podobe, v akej ich bolo zvykom prezentovať v 19. storočí. (s výnimkou inverzných goniometrických funkcií). Autor nepovažoval za potrebné zapratať prezentáciu zavedením sekantu a kosekansu, keďže tieto funkcie sa v praxi využívajú len zriedka.
V roku 1804 vyšla učebnica N. Fussa. Kniha je určená pre stredné školy. „Plochá trigonometria,“ hovorí autor, „je veda, ktorej predmetom sú tri údaje a čísla zobrazených častí priamočiareho trojuholníka na určenie jeho ďalších troch častí.“ Učebnica sa skladá zo 4 rovnakých častí. Všeobecné pojmy, riešenie trojuholníkov, aplikácia trigonometrie v praktickej geometrii a geodézii a napokon veta o sčítaní. Učebnica N. Fussa sa oddeľuje od sférickej trigonometrie.

Akademik MV Ostrogradsky robí krok vpred v roku 1851. Vo svojom zhrnutí trigonometrie pre vedenie vo vojenských vzdelávacích inštitúciách vystupuje ako zástanca definície goniometrických funkcií v prvej fáze ich štúdia ako pomer strán v pravouhlý trojuholník, po ktorom nasleduje zovšeobecnenie ich definície a jej rozšírenie na uhly ľubovoľnej veľkosti.

Set upravil A.G. Mordkoviča, hoci netreba ignorovať ani iné učebnice. § 3. Metódy výučby témy "Tigonometrické funkcie" v kurze algebry a začiatok analýzy Pri štúdiu goniometrických funkcií v škole možno rozlíšiť dve hlavné etapy: ü Počiatočné oboznámenie sa s goniometrickými funkciami ...

Študenti, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni asimilácie tohto konceptu. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu vytvárania pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I štádium. Rozhovor bol realizovaný s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor prebehol po nejakom čase...

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

stredná škola №10

s hĺbkovým štúdiom jednotlivých predmetov

Projekt dokončili:

Pavlov Roman

Žiak 10b ročníka

vedúci:

učiteľ matematiky

ALE

Yelets, 2012

1. Úvod.

3. Svet trigonometrie.

· Trigonometria vo fyzike.

· Trigonometria v planimetrii.

· Trigonometria v umení a architektúre.

· Trigonometria v medicíne a biológii.

3.2 Grafické znázornenia transformácie "málo zaujímavých" goniometrických funkcií do originálnych kriviek (pomocou počítačového programu "Functions and Graphs").

· Krivky v polárnych súradniciach (rozety).

· Krivky v karteziánskych súradniciach (Lissajousove krivky).

· Matematické ozdoby.

4. Záver.

5. Zoznam referencií.

Cieľ projektu - rozvoj záujmu o štúdium témy "Trigonometria" v rámci algebry a začiatok analýzy cez prizmu aplikovanej hodnoty študovaného materiálu; rozšírenie grafických zobrazení obsahujúcich goniometrické funkcie; aplikácia trigonometrie v takých vedách ako fyzika, biológia. Hrá dôležitú úlohu v medicíne a čo je najzaujímavejšie, nezaobišli sa bez nej ani hudba a architektúra.

Predmet štúdia - trigonometria

Predmet štúdia - aplikovaná orientácia trigonometrie; grafy niektorých funkcií pomocou goniometrických vzorcov.

Ciele výskumu:

1. Zvážte históriu vzniku a vývoja trigonometrie.

2. Ukázať praktické aplikácie trigonometrie v rôznych vedách na konkrétnych príkladoch.

3.Vysvetlite na konkrétnych príkladoch možnosti využitia goniometrických funkcií, ktoré umožňujú premeniť „málo zaujímavé“ funkcie na funkcie, ktorých grafy majú veľmi originálny vzhľad.

Hypotéza – predpoklady: Prepojenie trigonometrie s vonkajším svetom, význam trigonometrie pri riešení mnohých praktických problémov, grafické možnosti goniometrických funkcií umožňujú „zhmotniť“ vedomosti školákov. To vám umožňuje lepšie pochopiť životne dôležitú potrebu vedomostí získaných štúdiom trigonometrie, zvyšuje záujem o štúdium tejto témy.

Výskumné metódy - analýza matematickej literatúry na danú tému; výber konkrétnych úloh aplikovaného charakteru na túto tému; počítačová simulácia založená na počítačovom programe. Otvorte Matematiku "Funkcie a grafy" (Fyzika).

1. Úvod

„Jedna vec zostáva jasná, že svet je usporiadaný

hrozné a úžasné."

N. Rubcov

Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré študuje vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán trojuholníkov, ako aj algebraické identity goniometrických funkcií. Je ťažké si to predstaviť, ale s touto vedou sa stretávame nielen na hodinách matematiky, ale aj v každodennom živote. Možno ste si to neuvedomovali, ale trigonometria sa nachádza v takých vedách, ako je fyzika, biológia, hrá dôležitú úlohu v medicíne a čo je najzaujímavejšie, ani hudba a architektúra sa bez nej nezaobídu. Problémy s praktickým obsahom zohrávajú významnú úlohu pri rozvíjaní zručností aplikovať teoretické poznatky získané štúdiom matematiky v praxi. Každého študenta matematiky zaujíma, ako a kde sa získané poznatky uplatňujú. Táto práca dáva odpoveď na túto otázku.

2.História vývoja trigonometrie.

Slovo trigonometria bol zložený z dvoch gréckych slov: τρίγονον (trigonón-trojuholník) a a μετρειν (meter - merať) v doslovnom preklade znamená meranie trojuholníka.

Práve táto úloha - meranie trojuholníkov alebo, ako sa teraz hovorí, riešenie trojuholníkov, to znamená určenie všetkých strán a uhlov trojuholníka podľa jeho troch známych prvkov (strana a dva uhly, dve strany a uhol alebo tri strany) - od staroveku bol základom praktických aplikácií trigonometrie.

Ako každá iná veda, aj trigonometria vyrástla z ľudskej praxe, v procese riešenia konkrétnych praktických problémov. Prvé etapy vývoja trigonometrie úzko súvisia s rozvojom astronómie. Veľký vplyv na rozvoj astronómie a s ňou úzko súvisiacej trigonometrie mali potreby rozvoja navigácie, ktorá si vyžadovala schopnosť správne určiť kurz lode na šírom mori podľa polohy nebeských telies. Významnú úlohu v rozvoji trigonometrie zohrala potreba zostavovania geografických máp a s tým úzko súvisiaca potreba správneho určovania veľkých vzdialeností na zemskom povrchu.

Diela starogréckeho astronóma mali zásadný význam pre rozvoj trigonometrie v ére jej vzniku. Hipparchos(polovica 2. storočia pred Kristom). Trigonometria ako veda v modernom zmysle slova chýbala nielen Hipparchovi, ale aj iným vedcom staroveku, keďže ešte nemali ani poňatia o funkciách uhlov a ani si nekladli otázku o vzťahu medzi uhly a strany trojuholníka vo všeobecnom tvare. Ale v podstate pomocou im známych prostriedkov elementárnej geometrie vyriešili problémy, ktorými sa trigonometria zaoberá. Hlavným prostriedkom na získanie požadovaných výsledkov bola zároveň schopnosť vypočítať dĺžky kruhových tetiv na základe známych vzťahov medzi stranami pravidelného troj-, štvor-, päť- a desaťuholníka a polomerom opísanej tetivy. kruh.

Hipparchos zostavil prvé tabuľky akordov, teda tabuľky vyjadrujúce dĺžku akordu pre rôzne stredové uhly v kruhu s konštantným polomerom. Boli to v podstate tabuľky dvojitých sínusov s polovičným stredovým uhlom. Pôvodné Hipparchove tabuľky (ako takmer všetko, čo napísal) sa k nám však nedostali a môžeme si o nich urobiť predstavu najmä zo skladby „Veľká stavba“ alebo (v arabskom preklade) „Almagest “ od slávneho astronóma Claudius Ptolemaios ktorý žil v polovici 2. storočia nášho letopočtu. e.

Ptolemaios rozdelil obvod na 360 stupňov a priemer na 120 častí. Polomer považoval za 60 častí (60¢¢). Každú časť rozdelil na 60¢, každú minútu na 60¢¢, každú sekundu na 60 tretín (60¢¢¢) atď., pomocou naznačeného delenia Ptolemaios vyjadril stranu pravidelného vpísaného šesťuholníka alebo odčítaním akordu. oblúk 60° v tvare 60 častí polomeru (60h) a stranu vpísaného štvorca alebo tetivy 90° prirovnal k číslu 84h51¢10². , čo sa rovná priemeru kruhu, napísal na základe Pytagorovej vety: (akord a) 2 + (akord | 180-a |) 2 \u003d (priemer) 2, čo zodpovedá modernému vzorcu sin2a + cos2a \u003d 1.

Almagest obsahuje tabuľku akordov po pol stupni od 0° do 180°, čo z nášho moderného pohľadu predstavuje tabuľku sínusov pre uhly od 0° do 90° každých štvrť stupňa.

Základom všetkých trigonometrických výpočtov medzi Grékmi bola Ptolemaiova veta známa Hipparchovi: "obdĺžnik postavený na uhlopriečkach štvoruholníka vpísaného do kruhu sa rovná súčtu obdĺžnikov postavených na opačných stranách" (t.j. súčin uhlopriečok sa rovná súčtu súčinov protiľahlých strán). Pomocou tejto vety dokázali Gréci (pomocou Pytagorovej vety) vypočítať tetivu súčtu (alebo tetivu rozdielu) týchto uhlov alebo tetivu polovice daného uhla z tetivy dvoch uhlov, tj. boli schopní získať výsledky, ktoré teraz získame pomocou vzorcov pre sínus súčtu (alebo rozdielu) dvoch uhlov alebo polovice uhla.

Nové kroky vo vývoji trigonometrie sú spojené s rozvojom matematickej kultúry národov India, Stredná Ázia a Európa (V-XII).

Dôležitý krok vpred v období od 5. do 12. storočia urobili hinduisti, ktorí na rozdiel od Grékov začali pri výpočtoch uvažovať a používať nie celú tetivu MM¢ (pozri nákres) príslušného stredového uhla, ale iba jeho polovicu MP, teda to, čo teraz nazývame priamkou sínusu a-polovice stredového uhla.

Spolu so sínusom zaviedli Indiáni do trigonometrie aj kosínus, presnejšie začali pri výpočtoch používať kosínusovú čiaru. (Samotný pojem kosínus sa v prácach európskych vedcov objavil oveľa neskôr až koncom 16. storočia od tzv. „komplementového sínusu“, teda sínusu uhla, ktorý dopĺňa daný uhol až do 90° „Sínus komplementu“ alebo (latinsky) sinus komplementi sa začalo skracovať ako sinus co alebo co-sinus).

Poznali aj pomery cosa=sin(90°-a) a sin2a+cos2a=r2 , ako aj vzorce pre sínus súčtu a rozdielu dvoch uhlov.

Ďalšia etapa vo vývoji trigonometrie je spojená s krajinami

Stredná Ázia, Stredný východ, Zakaukazsko (VII-15. storočie)

Stredoázijská matematika, ktorá sa rozvíjala v úzkom spojení s astronómiou a geografiou, mala výrazný „výpočtový charakter“ a bola zameraná na riešenie aplikovaných problémov merania geometrie a trigonometrie, pričom z trigonometrie sa stala špeciálna matematická disciplína do značnej miery práve v prácach r. Stredoázijskí vedci. Z najdôležitejších úspechov, ktoré dosiahli, by sme si v prvom rade mali všimnúť zavedenie všetkých šiestich trigonometrických čiar: sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekanta a kosekans, z ktorých Grékom a Hindom poznali iba prvé dve.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj tyče určitej dĺžky (a=12) pre j= 1°,2°,3°……

Abu-l-Wafa z Khorasana, ktorý žil v 10. storočí (940-998), zostavil podobnú „tabuľku dotyčníc“, teda vypočítal dĺžku tieňa b=a×=a×tgj vrhaného vodorovným pólom určitej dĺžky (a =60) na zvislej stene (pozri nákres).

Treba poznamenať, že samotné výrazy "tangens" (v doslovnom preklade - "dotýkajúce sa") a "kotangens" pochádzajú z latinského jazyka a objavili sa v Európe oveľa neskôr (XVI-XVII storočia). Vedci zo Strednej Ázie nazvali zodpovedajúce čiary "tiene": kotangens - "prvý tieň", dotyčnica - "druhý tieň".

Abu-l-Wafa dal absolútne presnú geometrickú definíciu dotyčnice v trigonometrickom kruhu a pridal čiary sečnice a kosekansu k čiaram dotyčnice a kotangens. Vyjadril tiež (slovne) algebraické vzťahy medzi všetkými goniometrickými funkciami a najmä pre prípad, keď sa polomer kruhu rovná jednej. Týmto mimoriadne dôležitým prípadom sa európski vedci zaoberali o 300 rokov neskôr. Nakoniec Abu-l-Wafa zostavil tabuľku sínusov každých 10 ¢.

V prácach stredoázijských vedcov sa trigonometria zmenila z vedy slúžiacej astronómii na špeciálnu matematickú disciplínu nezávislého záujmu.

Trigonometria sa oddeľuje od astronómie a stáva sa samostatnou vedou. Táto vetva sa zvyčajne spája s menom azerbajdžanského matematika Nasiraddin Tusi ().

Prvýkrát v európskej vede je harmonická prezentácia trigonometrie uvedená v knihe „O trojuholníkoch rôznych druhov“, ktorú napísal Johann Müller, v matematike známejší ako Regiomontana(). Zovšeobecňuje v ňom metódy riešenia pravouhlých trojuholníkov a dáva tabuľky sínusov s presnosťou 0,0000001. Zároveň je pozoruhodné, že predpokladal, že polomer kruhu je rovnaký, t. j. hodnoty goniometrických funkcií vyjadril v desatinných zlomkoch, pričom v skutočnosti prešiel zo šesťdesiatkovej číselnej sústavy k desiatkovej.

Anglický učenec 14. storočia Bradwardine() ako prvý v Európe zaviedol do trigonometrických výpočtov kotangens nazývaný „priamy tieň“ a tangens nazývaný „obrátený tieň“.

Na prahu XVII storočia. Vo vývoji trigonometrie je načrtnutý nový smer - analytický. Ak sa predtým za hlavný cieľ trigonometrie považovalo riešenie trojuholníkov, výpočet prvkov geometrických útvarov a doktrína goniometrických funkcií boli postavené na geometrickom základe, potom v XVII-XIX storočí. trigonometria sa postupne stáva jednou z kapitol matematickej analýzy. Vedel som aj o vlastnostiach periodicity goniometrických funkcií viet, ktorého prvé matematické štúdie súviseli s trigonometriou.

Švajčiarsky matematik Johann Bernoulli () už používali symboly goniometrických funkcií.

V prvej polovici XIX storočia. Francúzsky vedec J. Fourier dokázal, že každý periodický pohyb možno znázorniť ako súčet jednoduchých harmonických kmitov.

Veľký význam v histórii trigonometrie mala práca slávneho petrohradského akademika Leonhard Euler(), dal celej trigonometrii moderný vzhľad.

Euler vo svojom diele „Úvod do analýzy“ (1748) rozvinul trigonometriu ako vedu o goniometrických funkciách, dal jej analytickú prezentáciu, pričom z niekoľkých základných vzorcov odvodil celý súbor goniometrických vzorcov.

Euler vlastní konečné riešenie otázky znamienok goniometrických funkcií vo všetkých štvrtinách kruhu, odvodenie redukčných vzorcov pre všeobecné prípady.

Po zavedení nových funkcií do matematiky - goniometrických funkcií sa stalo účelným položiť otázku rozšírenia týchto funkcií do nekonečného radu. Ukazuje sa, že takéto rozšírenia sú možné:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Tieto rady značne uľahčujú zostavovanie tabuliek goniometrických veličín a ich vyhľadávanie s akoukoľvek mierou presnosti.

Analytická konštrukcia teórie goniometrických funkcií, ktorú začal Euler, bola dokončená v prácach , Gauss, Cauchy, Fourier a ďalší.

„Geometrické úvahy,“ píše Lobačevskij, „sú potrebné až do začiatku trigonometrie, kým neslúžia na objavenie charakteristických vlastností goniometrických funkcií... Preto sa trigonometria stáva úplne nezávislou od geometrie a má všetky výhody analýzy.“

V súčasnosti sa už trigonometria nepovažuje za samostatný odbor matematiky. Jej najdôležitejšia časť, náuka o goniometrických funkciách, je súčasťou všeobecnejšej teórie, postavenej z jednotného hľadiska, doktríny funkcií študovanej v matematickej analýze; druhá časť - riešenie trojuholníkov - sa považuje za hlavu geometrie.

3. Svet trigonometrie.

3.1 Aplikácia trigonometrie v rôznych vedách.

Trigonometrické výpočty sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva.

Veľký význam má triangulačná technika, ktorá umožňuje merať vzdialenosti k blízkym hviezdam v astronómii, medzi orientačnými bodmi v geografii a ovládať satelitné navigačné systémy. Treba si uvedomiť využitie trigonometrie v nasledujúcich oblastiach: navigačná technika, hudobná teória, akustika, optika, analýza finančného trhu, elektronika, teória pravdepodobnosti, štatistika, biológia, medicína (vrátane ultrazvuku), počítačová tomografia, farmácia, chémia, čísla teória, seizmológia, meteorológia, oceánológia, kartografia, mnohé odvetvia fyziky, topografia, geodézia, architektúra, fonetika, ekonómia, elektronické inžinierstvo, strojárstvo, počítačová grafika, kryštalografia.

Trigonometria vo fyzike.

Harmonické vibrácie.

Keď sa bod pohybuje po priamke striedavo jedným alebo druhým smerom, potom hovoria, že bod robí výkyvy.

Jedným z najjednoduchších typov kmitov je pohyb pozdĺž osi premietania bodu M, ktorý sa rovnomerne otáča po obvode. Zákon týchto kmitov má tvar x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Zvyčajne sa namiesto tejto frekvencie uvažuje cyklická frekvenciaw=, označujúci uhlovú rýchlosť otáčania vyjadrenú v radiánoch za sekundu. V týchto zápisoch máme: x=Rcos(wt+a). (2)

číslo a volal počiatočná fáza oscilácie.

Štúdium kmitov akéhokoľvek druhu je dôležité už len z toho dôvodu, že s oscilačnými pohybmi alebo vlnami sa vo svete okolo nás stretávame veľmi často a s veľkým úspechom ich využívame (zvukové vlny, elektromagnetické vlny).

Mechanické vibrácie.

Mechanické kmity sú pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Príklady jednoduchých oscilačných systémov sú závažie na pružine alebo kyvadlo. Vezmite napríklad závažie zavesené na pružine (pozri obr.) a zatlačte ho nadol. Kettlebell začne kmitať hore a dole..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Graf výkyvu (2) sa získa z grafu výkyvu (1) posunutím doľava

na . Číslo a sa nazýva počiatočná fáza.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), kde l je dĺžka kyvadla a j0 je počiatočný uhol vychýlenia. Čím dlhšie je kyvadlo, tým pomalšie sa kýva (jasne je to vidieť na obr. 1-7, príloha VIII). Obrázok 8-16, Príloha VIII jasne ukazuje, ako zmena počiatočnej odchýlky ovplyvňuje amplitúdu kmitov kyvadla, pričom perióda sa nemení. Meraním periódy kmitania kyvadla známej dĺžky možno vypočítať zrýchlenie zemskej príťažlivosti g v rôznych bodoch zemského povrchu.

Vybitie kondenzátora.

Nielen mnohé mechanické vibrácie sa vyskytujú podľa sínusového zákona. A v elektrických obvodoch sa vyskytujú sínusové oscilácie. Takže v obvode zobrazenom v pravom hornom rohu modelu sa náboj na doskách kondenzátora mení podľa zákona q \u003d CU + (q0 - CU) cos ωt, kde C je kapacita kondenzátora, U je napätie na zdroji prúdu, L je indukčnosť cievky, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src= ">Vďaka modelu kondenzátora dostupnému v programe Funkcie a grafy môžete nastaviť parametre oscilačného obvodu a zostaviť zodpovedajúce grafy g (t) a I (t) V grafoch 1-4 môžete jasne vidieť, ako napätie ovplyvňuje zmenu sily prúdu a náboja kondenzátora, pričom je zrejmé, že pri kladnom napätí nadobúda náboj aj kladné hodnoty Obrázok 5-8 prílohy IX ukazuje, že pri zmene kapacity kondenzátora (keď indukčnosť cievky sa mení na obrázku 9-14 Prílohy IX) a zostávajúce parametre zostávajú nezmenené, mení sa perióda kmitov, tj mení sa frekvencia prúdových kmitov v obvode a mení sa frekvencia nabíjania kondenzátora.. (viď. pripojený tj IX).

Ako spojiť dve potrubia.

Uvedené príklady môžu vzbudzovať dojem, že sínusoidy sa vyskytujú len v súvislosti s kmitaním. Avšak nie je. Napríklad sínusoidy sa používajú pri spájaní dvoch valcových rúr pod uhlom. Ak chcete spojiť dve rúry týmto spôsobom, musíte ich šikmo odrezať.

Ak rozložíte šikmo rezané potrubie, bude zhora ohraničené sínusoidou. Dá sa to overiť tak, že sviečku obalíte papierom, šikmo nastrihnete a papier rozložíte. Preto, aby ste dosiahli rovnomerný rez potrubia, môžete najskôr odrezať plech zhora pozdĺž sínusoidy a zvinúť ho do potrubia.

dúhová teória.

Prvýkrát bola uvedená teória dúhy 1637 René Descartes. Dúhu vysvetlil ako jav spojený s odrazom a lomom svetla v kvapkách dažďa.

Dúha vzniká v dôsledku skutočnosti, že slnečné svetlo sa láme v kvapkách vody zavesených vo vzduchu podľa zákona lomu:

kde n1=1, n2≈1,33 sú indexy lomu vzduchu a vody, α je uhol dopadu a β je uhol lomu svetla.

Severné svetlá

Prienik nabitých častíc slnečného vetra do hornej atmosféry planét je určený interakciou magnetického poľa planéty so slnečným vetrom.

Sila pôsobiaca na nabitú časticu pohybujúcu sa v magnetickom poli sa nazýva sila Lorenz. Je úmerná náboju častice a vektorovému súčinu poľa a rýchlosti častice

Problémy z trigonometrie s praktickým obsahom.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Stanovenie koeficientu trenia.

Teleso závažia P sa umiestni na naklonenú rovinu s uhlom sklonu a. Teleso pod vplyvom vlastnej hmotnosti zrýchlilo dráhu S za t sekúnd. Určte koeficient trenia k.

Tlaková sila tela na naklonenej rovine = kPcosa.

Sila, ktorá ťahá telo dole, je F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Ak sa teleso pohybuje po naklonenej rovine, potom zrýchlenie je a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; preto 2)

Z rovnosti (1) a (2) vyplýva, že g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Trigonometria v planimetrii.

Základné vzorce na riešenie úloh v geometrii pomocou trigonometrie:

sin2a=1/(1+ctg2a)=tg2a/(1+tg2a); cos2a=1/(1+tg2a)=ctg2a/(1+ctg2a);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Pomer strán a uhlov v pravouhlom trojuholníku:

1) Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu druhého ramena a dotyčnice opačného uhla.

2) Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu prepony a sínusu uzavretého uhla.

3) Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu prepony a kosínusu uzavretého uhla.

4) Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu druhého ramena a kotangens zahrnutého uhla.

Úloha 1:Na stranách AB a CD rovnoramenný lichobežníkABCD body M aN takým spôsobom, že riadokMN je rovnobežná so základňami lichobežníka. Je známe, že v každom z vytvorených malých lichobežníkovMBCN aAMND je možné vpísať kružnicu, pričom polomery týchto kružníc sú rovnakér aR resp. Nájdite dôvodyAD apred Kr.

Vzhľadom na to: ABCD-lichobežník, AB=CD, MєAB, NєCD, ​​​​MN||AD, do lichobežníkov MBCN a AMND možno vpísať kružnicu s polomerom r a R.

Nájsť: po Kr. a pred Kr.

Riešenie:

Nech O1 a O2 sú stredy kružníc vpísaných do malých lichobežníkov. Priame O1K||CD.

V ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Pretože ∆O2FD je pravouhlý, potom O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Pretože AD=2DF=2R*ctg(α/2),

podobne BC = 2r*tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (Rr)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), potom AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), nájdeme odpoveď.

Odpoveď : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Úloha2:V trojuholníku ABC známe strany b, c a uhol medzi mediánom a výškou vychádzajúcou z vrcholu A. Vypočítajte obsah trojuholníka ABC.

Vzhľadom na to: ∆ ABC, AD-výška, AE-medián, DAE=α, AB=c, AC=b.

Nájsť: S∆ABC.

Riešenie:

Nech CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Podľa zákona kosínusov v ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); a v ∆ACE pomocou kosínusovej vety c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Odčítaním rovnosti 2 od 1 dostaneme c²-b²=4xy*cosγ(3).

Keďže S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), vydelením 3 rovnosti 4 dostaneme: (c²-b²)/S=4*ctgγ, ale ctgγ=tgαb, teda S∆ABC= ( c²- b²)/4*tgα.

Odpoveď: (s²- b² )/4*tg α .

Trigonometria v umení a architektúre.

Architektúra nie je jedinou vednou oblasťou, v ktorej sa používajú trigonometrické vzorce. Väčšina kompozičných rozhodnutí a konštrukcie kresieb prebiehala práve pomocou geometrie. Ale teoretické údaje znamenajú málo. Chcem uviesť príklad stavby jednej sochy od francúzskeho majstra Zlatého veku umenia.

Proporčný pomer pri konštrukcii sochy bol dokonalý. Keď však sochu postavili na vysoký podstavec, vyzerala škaredo. Sochár nepočítal s tým, že mnohé detaily sú v perspektíve smerom k horizontu zmenšené a pri pohľade zdola nahor už nevzniká dojem jeho ideálnosti. Uskutočnilo sa veľa výpočtov, aby postava z veľkej výšky vyzerala proporcionálne. V podstate boli založené na metóde pozorovania, teda približného merania, okom. Koeficient rozdielu určitých proporcií však umožnil priblížiť postavu k ideálu. Keď teda poznáme približnú vzdialenosť od sochy k pohľadu, konkrétne od vrchu sochy k očiam osoby a výšku sochy, môžeme vypočítať sínus uhla dopadu pohľadu pomocou tabuľky (to isté môžeme urobiť aj so spodným uhlom pohľadu), čím nájdeme bodové videnie (obr. 1)

Situácia sa mení (obr. 2), keďže socha je zdvihnutá do výšky AC a HC nárast, vieme vypočítať kosínus uhla C, pomocou tabuľky zistíme uhol dopadu pohľadu. V tomto procese môžete vypočítať AH, ako aj sínus uhla C, čo vám umožní skontrolovať výsledky pomocou základnej trigonometrickej identity pretože 2a+hriech 2a = 1.

Porovnaním meraní AH v prvom a druhom prípade je možné nájsť koeficient proporcionality. Následne dostaneme kresbu a následne sochu, keď sa zdvihne, postava sa bude vizuálne približovať k ideálu.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trigonometria v medicíne a biológii.

Model biorytmu

Model biorytmov je možné zostaviť pomocou goniometrických funkcií. Ak chcete vytvoriť model biorytmov, musíte zadať dátum narodenia osoby, referenčný dátum (deň, mesiac, rok) a trvanie predpovede (počet dní).

Pohyb rýb vo vode nastáva podľa zákona sínusu alebo kosínusu, ak zafixujete bod na chvoste a potom zvážite trajektóriu pohybu. Pri plávaní má telo ryby tvar krivky, ktorá pripomína graf funkcie y=tgx.

Srdcový vzorec

Vyplýva to zo štúdie, ktorú uskutočnil iránsky univerzitný študent Shiraz Wahid-Reza Abbasi, po prvýkrát sa lekárom podarilo zefektívniť informácie súvisiace s elektrickou aktivitou srdca, alebo inými slovami, elektrokardiografiou.
Vzorec s názvom Teherán bol predstavený širokej vedeckej komunite na 14. konferencii geografickej medicíny a následne na 28. konferencii o aplikácii výpočtovej techniky v kardiológii, ktorá sa konala v Holandsku. Tento vzorec je komplexnou algebraicko-trigonometrickou rovnicou, ktorá pozostáva z 8 výrazov, 32 koeficientov a 33 hlavných parametrov, vrátane niekoľkých dodatočných na výpočty v prípadoch arytmie. Tento vzorec podľa lekárov výrazne uľahčuje proces popisu hlavných parametrov činnosti srdca, čím urýchľuje diagnostiku a začiatok samotnej liečby.

Trigonometria pomáha nášmu mozgu určiť vzdialenosti od objektov.

Americkí vedci tvrdia, že mozog odhaduje vzdialenosť objektov meraním uhla medzi základnou rovinou a rovinou pohľadu. Presne povedané, myšlienka „merania uhlov“ nie je nová. Dokonca aj umelci zo starovekej Číny maľovali vzdialené predmety vyššie v zornom poli, trochu zanedbávajúc zákony perspektívy. Alhazen, arabský vedec z 11. storočia, sformuloval teóriu určovania vzdialenosti odhadom uhlov. Po dlhom zabudnutí v polovici minulého storočia túto myšlienku oživil psychológ James Gibson (James Gibson), ktorý svoje závery postavil na základe skúseností s vojenskými pilotmi. Avšak po rozhovore o teórii

opäť zabudnutý.

Výsledky novej štúdie, ako sa dalo očakávať, budú zaujímať inžinierov navrhujúcich navigačné systémy pre roboty, ako aj špecialistov, ktorí pracujú na vytváraní čo najrealistickejších virtuálnych modelov. Aplikácie sú možné aj v oblasti medicíny, pri rehabilitácii pacientov s poškodením niektorých oblastí mozgu.

3.2 Grafické znázornenia transformácie „málo zaujímavých“ goniometrických funkcií do originálnych kriviek.

Krivky v polárnych súradniciach.

od. 16is. 19 Zásuvky.

V polárnych súradniciach je vybraný jeden segment e, pól O a polárna os Ox. Poloha ľubovoľného bodu M je určená polárnym polomerom OM a polárnym uhlom j, ktorý zviera lúč OM a lúč Ox. Číslo r vyjadrujúce dĺžku OM v zmysle e(OM=re) a číselná hodnota uhla j vyjadrená v stupňoch alebo v radiánoch sa nazývajú polárne súradnice bodu M.

Pre akýkoľvek iný bod ako O môžeme predpokladať 0≤j<2p и r>0. Pri konštrukcii kriviek zodpovedajúcich rovniciam v tvare r=f(j) je však prirodzené priradiť premennej j akékoľvek hodnoty (vrátane záporných a tých, ktoré presahujú 2p), a r sa môže ukázať ako pozitívne aj negatívne.

Aby sme našli bod (j, r), nakreslíme lúč z bodu O, ktorý zviera s osou Ox uhol j, a nakreslíme naň (pre r>0) alebo na jeho pokračovanie v opačnom smere (napr. r>0) segment ½ r ½e.

Všetko sa výrazne zjednoduší, ak najprv zostavíte súradnicovú mriežku pozostávajúcu zo sústredných kružníc s polomermi e, 2e, 3e atď. (so stredom na pól O) a lúčov, pre ktoré j = 0 °, 10 °, 20 °, .. 340°, 350°; tieto lúče budú vhodné aj pre j<0°, и при j>360°; napríklad pri j=740° a pri j=-340° narazíme na lúč, pre ktorý je j=20°.

Štúdium týchto grafov pomáha počítačový program Funkcie a grafy. Pomocou možností tohto programu preskúmame niekoľko zaujímavých grafov goniometrických funkcií.

1 .Uvážte krivky dané rovnicami:r=a+hriech3j

I. r=sin3j (ďatelina ) (obr. 1)

II. r=1/2+sin3j (obr. 2), III. r=1+ sin3j (obr.3), r=3/2+ sin3j (obr.4) .

Krivka IV má najmenšiu hodnotu r=0,5 a okvetné lístky majú nedokončený vzhľad. Ak je teda a > 1, okvetné lístky trojlístka majú nedokončený vzhľad.

2. Zvážte krivkykeď a=0; 1/2; 1;3/2

Pri a=0 (obr. 1), pri a=1/2 (obr. 2), pri a=1 (obr. 3) sú okvetné lístky hotové, pri a=3/2 bude päť nedokončených okvetných lístkov., (obr. .4).

3. Vo všeobecnosti krivkar=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), pretože v tomto sektore je 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> jeden okvetný lístok by vyžadoval "sektor" väčší ako 360°.

Obrázok 1-4 zobrazuje vzhľad okvetných lístkov s =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" height="41 src=">.

4. Rovnice nájdené nemeckým prírodovedeckým matematikom Habenicht pre geometrické tvary nachádzajúce sa vo svete rastlín. Napríklad rovnice r=4(1+cos3j) a r=4(1+cos3j)+4sin23j zodpovedajú krivkám znázorneným na obrázku 1.2.

Krivky v karteziánskych súradniciach.

Lissajousove krivky.

Mnoho zaujímavých kriviek sa dá zostrojiť aj v karteziánskych súradniciach. Obzvlášť zaujímavé sú krivky, ktorých rovnice sú uvedené v parametrickom tvare:

Kde t je pomocná premenná (parameter). Zvážte napríklad Lissajousove krivky, charakterizované vo všeobecnom prípade rovnicami:

Ak zoberieme čas ako parameter t, tak Lissajousove čísla budú výsledkom sčítania dvoch harmonických oscilačných pohybov vykonávaných vo vzájomne kolmých smeroch. Vo všeobecnom prípade je krivka umiestnená vo vnútri obdĺžnika so stranami 2a a 2c.

Pozrime sa na nasledujúce príklady

I.x=sin3t; y=sin 5t (obr.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (obr.2)

III. x=sin3t; y=sin 4t (obr. 3)

Krivky môžu byť zatvorené alebo otvorené.

Napríklad nahradenie rovníc I rovnicami: x=sin 3t; y=sin5(t+3) premení otvorenú krivku na uzavretú krivku (obr. 4)

Zaujímavé a zvláštne sú čiary zodpovedajúce rovnicam formulára

pri=arcsin(sin k(x-a)).

Z rovnice y=arcsin(sinx) vyplýva:

1) a 2) siny=sinx.

Za týchto dvoch podmienok funkcia y=x spĺňa. Nakreslite si to do grafu v intervale (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> budeme mať y=p-x, keďže sin( px )=sinx a v tomto intervale

. Tu bude graf reprezentovaný segmentom BC.

Keďže sinx je periodická funkcia s periódou 2p, prerušovaná čiara ABC zostrojená v intervale (,) sa bude opakovať v ďalších častiach.

Rovnica y=arcsin(sinkx) bude zodpovedať prerušovanej čiare s bodkou https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

vyhovovať súradniciam bodov, ktoré ležia súčasne nad sínusoidou (pre ne y>sinx) a pod krivkou y=-sinx, čiže „doménu riešení“ sústavy budú tvoriť oblasti vytieňované na obr. .

2. Zvážte nerovnosti

1) (y-sinx) (y+sinx)<0.

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, najprv zostavíme grafy funkcií: y=sinx; y=-sinx.

Potom pretrieme miesta, kde y>sinx a zároveň y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Táto nerovnosť vyhovie oblastiam vytieňovaným na obr

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Prejdime k ďalšej nerovnosti:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, najprv vytvoríme funkčné grafy: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Urobme si tabuľku možných riešení.

Potom zvážime a pretrieme riešenia nasledujúcich systémov.

)| a |y|>|sin(x-)|.

2) Druhý násobiteľ je menší ako nula, t.j. gif" width="17" height="41">)|.

3) Tretí faktor je menší ako nula, t.j. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| a |y|>|sin(x+Akademické disciplíny" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademické disciplíny, technika, každodenný život.

Použitie modelovacieho programu „Funkcie a grafy“ výrazne rozšírilo možnosti vykonávania výskumu, umožnilo zhmotniť poznatky pri zvažovaní aplikácií trigonometrie vo fyzike. Vďaka tomuto programu boli uskutočnené laboratórne počítačové štúdie mechanických kmitov na príklade kmitov kyvadla a boli uvažované kmity v elektrickom obvode. Využitie počítačového programu umožnilo preskúmať zaujímavé matematické krivky definované pomocou goniometrických rovníc a vynesené v polárnych a karteziánskych súradniciach. Grafické riešenie trigonometrických nerovností viedlo k úvahám o zaujímavých matematických ornamentoch.

5. Zoznam použitej literatúry.

1. ., Atanasov matematických problémov s praktickým obsahom: Kniha. pre učiteľa.-M.: Školstvo, s.

2. .Vilenkin v prírode a technike: Kniha. pre mimoškolské čítanie IX-X bunky - M .: Vzdelávanie, 5s (World of Knowledge).

3. Domáce hry a zábava. Štát. vyd. fyzika a matematika lit. M, 9str.

4. .Kožurovova trigonometria pre technické školy. Štát. vyd. technicko-teoretická lit. M., 1956

5. Kniha. pre mimoškolské čítanie z matematiky na strednej škole. Štát. výchovno-ped. vyd. Min. Prosv. RF, M., s.

6. Tarakanovova trigonometria. 10 buniek ..-M .: Drop drop, s.

7. O trigonometrii a nielen o nej: príručka pre žiakov 9. – 11. ročníka -M .: Vzdelávanie, 96. – 80. roky.

8. Shapiro problémy s praktickým obsahom vo vyučovaní matematiky. Kniha. pre učiteľa.-M.: Školstvo, 1990-96.

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

Relevantnosť: zoznámenie sa s novým predmetom - trigonometriou.

Cieľ: Rozšíriť poznatky o histórii vývoja trigonometrie.

1. Čo uviedlo do života vedu o trigonometrii

2. Aplikácia trigonometrie v astronómii, fyzike, biológii a medicíne.

Predmet: trigonometria, história vzniku a vývoja trigonometrie.

Hypotéza: pomocou trigonometrie možno opísať mnohé fyzikálne javy prírody.

Novinka: znalosť trigonometrie.

Metodológie výskumu. Štúdium literatúry na túto tému, informácie z internetových zdrojov. Zovšeobecnenie nájdeného materiálu.

Výstup: Brožúra „História trigonometrie“ (Príloha 2).

Praktický význam: tento materiál je možné použiť na hodinách geometrie a trigonometrie na ďalšie vzdelávanie. Každý študent môže prostredníctvom tohto materiálu rozvinúť záujem o vedu o trigonometrii.

Vznik trigonometrie

Historicky sa trigonometria vyvinula z problémov na riešenie plochých a sférických trojuholníkov.

Ako každá iná veda, aj trigonometria vznikla ako výsledok ľudskej praxe v procese riešenia konkrétnych praktických problémov.

Vznik trigonometrie je úzko spätý s rozvojom jednej z najstarších vied – astronómie. Patrí jej hlavná úloha pri formovaní a rozvoji sférickej trigonometrie. Od čias starovekého Babylonu až po časy Eulera a Laplacea bola astronómia vedúcou a inšpirujúcou silou za najpozoruhodnejšími matematickými objavmi.

Rozvoj astronómie je spôsobený predovšetkým potrebou zostaviť správny kalendár, ktorý bol dôležitý pre poľnohospodársku ekonomiku staroveku. Farmár potreboval poznať zmenu ročných období, aby mohol včas vykonávať potrebné poľnohospodárske práce. Kalendár bol potrebný aj pre duchovných, vykonávajúcich náboženské obrady, na určovanie dní sviatku a pre mnohých ďalších ľudí.

Veľký vplyv na rozvoj astronómie mal rozvoj obchodu spojený s potrebou pohybu po súši aj po vode: bolo potrebné vedieť správne určiť kurz lode na šírom mori.

Významnú úlohu v rozvoji astronómie a súvisiacej trigonometrie nepochybne zohrala potreba zostavovať presné geografické mapy, čo si vyžadovalo správne určovanie veľkých vzdialeností na zemskom povrchu.

Úroveň rozvoja matematiky medzi starovekými národmi Mezopotámie bola vyššia ako u iných východných národov. Staroveké národy Mezopotámie vyvinuli špeciálne astronomické pozorovania. V dôsledku toho mali niektoré z najjednoduchších informácií z trigonometrie. Už 2-3 tisíc rokov pred naším letopočtom starí Egypťania prakticky využívali astronomické pozorovania pri svojej práci na poľnohospodárstve. Záplavy Nílu boli dôležitým faktorom rozvoja poľnohospodárstva.

V klasickom čínskom pojednaní „Matematika v deviatich knihách“, zostavenom v 2. – 1. storočí nášho letopočtu podľa skorších zdrojov, kniha IX pojednania obsahuje množstvo úloh na použitie pravouhlých trojuholníkov, kde sú úlohy na určenie vzdialenosti k neprístupným predmetom. Starovekí Mayovia dosiahli veľký úspech v astronómii, vytvorili pomerne presný kalendár (kalendárno-chronologický systém).

Trigonometria v starovekom Grécku

Oveľa neskôr vstúpila trigonometria do ďalšej fázy svojho vývoja v starovekom Grécku, ako súčasť astronómie. V súvislosti s potrebami astronómie a geodézie mali prvoradý význam výpočtové problémy sférickej trigonometrie. Táles z Milétu (640 - 548 pred Kristom - starogrécky matematik a astronóm (Príloha 1); v prvej polovici 3. storočia pred Kristom starogrécky astronóm a matematik Aristarchos zo Samosu (310 - 230 pred Kr.); Archimedes (Príloha 1) , vyslovil odvážnu hypotézu, že Zem sa pohybuje v kruhu okolo Slnka (za to bol obvinený z bezbožnosti a vyhnaný z Atén).

Už v polovici 1. tisícročia pred Kr. starovekí grécki vedci vedeli, že Zem má tvar gule, najmä dĺžku jej obvodu. Na vyriešenie tohto problému bolo vyvinutých niekoľko metód. Prvé meranie oblúka poludníka a polomeru Zeme patrí Eratosthenovi z Kyrény (asi 276 - 194 pred Kr.) - starogréckemu matematikovi, geografovi, historikovi, filozofovi, básnikovi (Príloha 1).

No zásadný význam pre rozvoj trigonometrie v ére jej vzniku mali práce starogréckeho vedca Hipparcha (asi 180 - 125 pred Kr.) (Príloha 1) - zakladateľa vedeckej astronómie.

Hipparchos zostavil katalóg hviezd, aby budúci astronómovia mohli sledovať objavenie sa nových hviezd a miznutie starých. Do katalógu bola zapísaná poloha viac ako 1000 hviezd na oblohe, ktorú rozdelil podľa jasnosti na 6 magnitúd a určil jasnosť na 6 magnitúd a určil na tú dobu veľmi presne. Hipparchos bol zakladateľom matematickej geografie. Zaviedol definíciu bodov na zemskom povrchu pomocou zemepisných súradníc – zemepisnej šírky a dĺžky.

Je dôležité poznamenať, že ani Hipparchos, ani iní vedci staroveku nemali trigonometriu ako vedu v modernom zmysle slova. Ale pomocou ustanovení elementárnej geometrie, ktoré sú im známe, vyriešili tie problémy, ktoré sa teraz týkajú trigonometrie. Základom všetkých trigonometrických výpočtov u Grékov bola Hipparchovi známa Ptolemaiova veta, ktorú možno sformulovať takto: „Súčin uhlopriečok štvoruholníka vpísaného do kruhu sa rovná súčtu súčinov protiľahlých strán.“

Trigonometria v Indii

Ďalší krok vo vývoji trigonometrie je spojený s rozvojom matematickej kultúry národov Indie od 4. do 12. storočia. Spolu so „sínusom“ zaviedli Indiáni do trigonometrie aj „kosínus“, presnejšie začali pri výpočtoch používať kosínusovú čiaru. Samotný pojem "kosínus" sa objavil oveľa neskôr v prácach európskych vedcov, rakúskeho matematika Peirbacha alebo Purbacha (1423 - 1461) a nemeckého matematika Regiomontana (1436 - 1476). (Príloha 1).

Indovia tiež poznali pomer sin 2 a + cos 2 a \u003d r 2, ako aj vzorce pre sínus polovičného uhla a sínus súčtu a rozdielu dvoch uhlov. Indiáni tak položili základ trigonometrii ako náuke o trigonometrických veličinách, hoci riešeniu trojuholníkov venovali malú pozornosť. Na meranie výšok a vzdialeností bolo vyvinutých niekoľko pravidiel založených na zmene tieňa zvislého pólu - gnómonu a na podobnosti trojuholníkov. Toto všetko predpokladalo zavedenie tangenty a kotangens.

Trigonometria v krajinách Arabského kalifátu

Ďalšia etapa vo vývoji trigonometrie je spojená s rozkvetom kultúry krajín arabského kalifátu. Tak sa nazývalo združenie rôznych krajín a národov podmanených Arabmi v 7. - 8. storočí. zahŕňali Tadžikov, Uzbekov, Peržanov, Azerbajdžancov, Egypťanov, Sýrčanov a iné národy. Mnohé z týchto národov boli na vyššej úrovni sociálneho a kultúrneho rozvoja ako samotní Arabi. Potrebné informácie o astronómii spolu s trigonometriou, algebrou a aritmetikou boli prvýkrát požičané z Indie. A hoci indická matematika dala podnet k rozvoju arabskej matematiky, grécka geometria a astronómia zaujímali dominantné postavenie vo vznikajúcej vede u Arabov vďaka prekladom všetkých diel Euklida, Apolónia, Archimeda, Ptolemaia a ich neskorších diel. komentátorov. Príspevok arabsky hovoriacich národov k matematike je obzvlášť veľký. Ide predovšetkým o desatinný číselný systém, ktorý si Arabi požičali od Indov a neskôr sa vďaka prácam arabsky hovoriacich vedcov rozšíril aj v Európe. Pokroky v matematike, najmä v trigonometrii, vytvorili základ pre úspechy v astronómii a niektorých ďalších vedách.

Trigonometria sa tu tiež rozvíjala v úzkom spojení s astronómiou a geografiou a mala výrazný „výpočtový“ charakter.

V Bagdade v rôznych časoch vedci ako al-Khorezmi (783-830), al-Khabash (764-874), Ibn Kora (836-901), Ibn Irak (965-1035), al-Biruni (973 - 1050) (príloha 1).)

Al - Khorezmi výrazne prispel k rozvoju matematiky, astronómie a matematickej geografie. Jeho diela mali silný vplyv na vedcov na východe i na západe na niekoľko storočí a slúžili dlho ako vzor pre písanie učebníc matematiky. Dve z jeho pojednaní o aritmetike a algebre zohrali dôležitú úlohu vo vývoji matematiky.

Trigonometria v Európe

V 12. storočí vznikla v Európe mestská kultúra a v rámci feudálneho ekonomického systému sa rozvíjali komoditno-peňažné vzťahy. Uľahčili to aj obchodné cesty a križiacke výpravy, ktoré umožnili čiastočne sa zoznámiť nielen s pohybmi východnej kultúry, ale aj s kultúrou starovekého Grécka. Začína sa nezávislá práca európskych vedcov. Museli znovu objaviť veľa z toho, čo bolo objavené dávno pred nimi. Ich prvé úspechy sa týkajú konkrétne trigonometrie. Táto veda sa šírila najmä na základe úspechov starých Grékov. Objavili sa preklady niektorých „arabských“ diel o trigonometrii. Na základe týchto prác v Anglicku napísali práce o trigonometrii R. Walligrford (asi 1292 - 1335) a jeho súčasník D. Modyukt. Anglický vedec Thomas Bradwardine (asi 1290 - 1349) (príloha 1). Prvýkrát v Európe navrhol jednotkový polomer trigonometrickej kružnice, do trigonometrických výpočtov zaviedol kotangens pod označením „priamy tieň“ a tangentu pod názvom „obrátený tieň“. Počas tohto obdobia sa zostavujú tabuľky sínusov.

Regiomontanus nezávisle od Arabov (ktorí boli o 400 rokov pred ním) a T. Brodwardin zaviedli do židovskej vedy funkciu tangens, zostavili tabuľku sínusov cez 1 'a tabuľku dotyčníc cez 1 o. zostavil aj tabuľku na výpočet ramena pravouhlého trojuholníka (guľového) podľa uhla A ležiaceho oproti nemu a pozdĺž prepony C podľa vzorca sina - sinCsinA, nazval ju "dvojitá" tabuľka. Táto práca Regiomontana (Príloha 1) zohrala veľmi dôležitú úlohu v ďalšom rozvoji trigonometrie.

Významne prispel k rozvoju trigonometrie poľský astronóm Mikuláš Koperník (1473 - 1543) (Príloha 1), tvorca heliocentrickej sústavy sveta, reformátor astronómie. Kopernik, ktorý nie je oboznámený s dielami Regiomontana, nezávisle zdôvodnil niektoré základné ustanovenia sférickej trigonometrie; prvýkrát redukuje celú záležitosť na trojsten, ktorý zo stredu vyčnieva trojuholník. Sám Koperník sa zaoberal zostavovaním trigonometrických tabuliek. Nemecký matematik Peter Krüger (1480 - 1532) bol prvým európskym matematikom, ktorý zostavil samostatné tabuľky logaritmov goniometrických funkcií a tabuľky logaritmov čísel. Dánsky matematik Thomas Fink (1561 - 1656) (Príloha 1) vo svojom diele „Geometria kola“ (1583) po prvý raz uvádza pojmy „sínus“, „tangens“ a „sekant“.

Anglický matematik Abraham Moivre (1667 - 1754) (príloha 1), pôvodom Francúz, našiel pravidlo na zvýšenie komplexného čísla v goniometrickom tvare, ktoré sa bežne používa v trigonometrii a algebre pri riešení dvojčlenných rovníc a v súčasnosti sa používa známy ako "Moivreov vzorec".

V súčasnosti trigonometria ako samostatná veda prestala existovať a rozdelila sa na dve časti. Jednou z týchto častí je doktrína goniometrických funkcií a druhou je výpočet prvkov goniometrických útvarov.

Prvá časť, ako sme uviedli vyššie, je súčasťou matematickej analýzy, ktorá má všeobecné metódy na štúdium funkcií, a druhá časť sa týka geometrie a hrá v nej pomocnú úlohu.

„Geometrická“ časť trigonometrie je zasa rozdelená na dve časti – „priamočiara trigonometria“ a „sférická trigonometria“. Hlavným obsahom prvej časti je výpočet prvkov plochých trojuholníkov a druhej časti je výpočet prvkov guľového trojuholníka.

Aplikácia trigonometrie

V pokračovaní témy trigonometrie je dôležité poznamenať, že trigonometrické výpočty sa používajú takmer vo všetkých oblastiach ľudského života: astronómia, fyzika, príroda, hudba, medicína, biológia a mnoho ďalších.

2.1. Trigonometria v astronómii

V astronómii teda vznikla potreba „riešenia trojuholníkov“.

Hipparchom zostavené tabuľky polôh Slnka a Mesiaca umožnili predpovedať okamihy začiatku zatmenia (s chybou 1-2 hodiny). Hipparchos ako prvý použil v astronómii metódy sférickej trigonometrie.

2.2. Trigonometria vo fyzike

Vo svete okolo nás sa musíme potýkať s periodickými procesmi, ktoré sa opakujú v pravidelných intervaloch. Tieto procesy sa nazývajú oscilačné. Oscilačné javy rôzneho fyzikálneho charakteru sa riadia bežnými zákonmi a sú opísané rovnakými rovnicami. Existujú rôzne typy oscilačných javov.

Mechanické vibrácie. Mechanické vibrácie sú pohyby telies, ktoré sa presne opakujú v pravidelných intervaloch. Grafické znázornenie tejto funkcie dáva vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase. Príklady jednoduchých mechanických oscilačných systémov sú závažie na pružine alebo matematické kyvadlo.

2.3 Trigonometria v prírode

Teóriu dúhy prvýkrát uviedol v roku 1637 René Descartes. Dúhu vysvetlil ako jav spojený s odrazom a lomom svetla v kvapkách dažďa.

Polárna žiara Prienik nabitých častíc slnečného vetra do hornej atmosféry planét je určený interakciou magnetického poľa planéty so slnečným vetrom.

Sila pôsobiaca na nabitú časticu pohybujúcu sa v magnetickom poli sa nazýva Lorentzova sila. Je úmerná náboju častice a vektorovému súčinu poľa a rýchlosti častice.

2.4. Trigonometria v medicíne

Vedci tvrdia, že mozog odhaduje vzdialenosť objektov meraním uhla medzi základnou rovinou a rovinou pohľadu.

Okrem toho biológia používa taký koncept ako karotický sínus, karotický sínus a venózny alebo kavernózny sínus.

2.5. Trigonometria a goniometrické funkcie v medicíne a biológii, hudba

Jednou zo základných vlastností živej prírody je cyklickosť väčšiny procesov v nej prebiehajúcich. Biologické rytmy, biorytmy sú viac-menej pravidelné zmeny charakteru a intenzity biologických procesov. Hlavný pozemský rytmus je denný. Model biorytmov je možné zostaviť pomocou goniometrických funkcií.

V medicíne hrá dôležitú úlohu trigonometria. S jeho pomocou iránski vedci objavili vzorec srdca - komplexnú algebraicko-trigonometrickú rovnosť, pozostávajúcu z 8 výrazov, 32 koeficientov a 33 hlavných parametrov, vrátane niekoľkých ďalších na výpočty v prípade arytmie.

Biologické rytmy, biorytmy sú spojené s trigonometriou. Model biorytmov možno zostaviť pomocou grafov goniometrických funkcií. Ak to chcete urobiť, musíte zadať dátum narodenia osoby (deň, mesiac, rok) a trvanie prognózy.

Pohyb rýb vo vode nastáva podľa zákona sínusu alebo kosínusu, ak zafixujete bod na chvoste a potom zvážite trajektóriu pohybu.

Počas letu vtáka tvorí trajektória klapky krídel sínusoidu.

Frekvencie zodpovedajúce rovnakej note v prvej, druhej atď. oktávy súvisia ako 1:2:4:8...

diatonická mierka 2:3:5

Záver

V priebehu výskumných prác sa rozšírili poznatky z trigonometrie, študovali sa materiály o histórii trigonometrie a dospelo sa k záveru, že trigonometria bola oživená potrebou merania uhlov, ale postupom času sa vyvinula do vedy o trigonometrii. funkcie.

Zistili sme, že trigonometria je historicky etablovaná veda. K životu ju priviedla potreba merania uhlov, no postupom času sa z nej vyvinula veda o goniometrických funkciách.

Boli sme presvedčení, že trigonometria prestala existovať ako samostatná veda, pretože sa rozdelila na dve časti.

Myslíme si, že trigonometria nenašla svoje uplatnenie len v živote človeka, že sa jej záber bude rozširovať.

Zoznam použitých prameňov a literatúry

Internetové zdroje

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://www.ucheba.ru/

http://www.math.ru/ knižnica

https://sites.google.com/site/trigonometry históriu trigonometrie

http://fb.ru história trigonometrie

Literatúra

Vološinov. Matematika a umenie // Moskva, 1992. Noviny

Dejiny matematiky od najstarších čias do začiatku 19. storočia v 3 zväzkoch / / vyd. A.P. Juškevič. Moskva, 1970 - Zväzok 1-3 E. T. Bell Creators of Mathematics.

Maslova T.N. "Príručka pre školákov z matematiky" M .: Vydavateľstvo Oniks LLC: Vydavateľstvo Mir a vzdelávanie LLC, 2008. - 672 s.

Matematika. Dodatok novín zo dňa 1.09.98.

Predchodcovia modernej matematiky// vyd. S. N. Niro. Moskva, 1983 A. N. Tichonov, D. P. Kostomarov.

Príbehy aplikovanej matematiky//Moskva, 1979. A.V.

Príloha 1

Vedci, ktorí prispeli k rozvoju trigonometrie

Táles z Milétu

Aristarchos zo Samosu

Eratosthenes z Kyrény

Regiomontana

Thomas Bradwardine

al-Biruni

Mikuláš Kopernik

Thomas Fincke

Abraham Moivre

príloha 2