География, биология, химия, алгебра, геометрия... Учениците трябва да се справят с много информация от голямо разнообразие от науки. Има обаче области на знанието, в които е доста лесно да се разбере, след като сте се запознали с основните им закони. Геометрията е една от тях. За да знаете всички тънкости на тази наука, определено трябва да се запознаете с нейните основи, аксиоми. В края на краищата, без основите на геометрията, никъде.
Дефиниция на правоъгълник
Правоъгълникът е геометрична фигура с четири прави ъгъла. Определението е доста просто, но не трябва да мислите, че студентът няма да има проблеми с изучаването на такава тема, защото тук има редица характеристики. Размерите на правоъгълника зависят от дължината на страните му, които най-често се означават с латинските букви a и b.
Свойства на правоъгълник
- страните, разположени една срещу друга, са равни и успоредни;
- диагоналите на фигурата са равни;
- пресечната точка на диагоналите ги разполовява;
- правоъгълник може да бъде разделен на две равни
Характеристики на правоъгълник
Има само три характеристики, които има правоъгълникът. Ето ги и тях:
- успоредник с равни диагонали е правоъгълник;
- успоредник с един прав ъгъл е правоъгълник;
- четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.
Малко по-интересно
И така, какво е правоъгълникът вече е ясно, но каква роля играе в геометричните проблеми и в практическите измервания, все още не е разбрано. Така че, на първо място, трябва да се каже, че това е най-удобната геометрична фигура, с която можете да разделите района на секции както на открити площи, така и на закрито.
Какво е правоъгълник? Както знаете, това е четириъгълник. Има много разновидности на последния, сред които може да се назове трапец (само две страни са равни), успоредник (противоположните страни са успоредни), квадрат (всички ъгли и страни са еднакви), ромб (паралелограм с равни страни) и други. Специален случай на правоъгълник е квадрат, в който всички ъгли са прави, а страните са равни.
Невъзможно е да се говори за това какво е правоъгълник, без да се спомене как да се определят неговите размери. Тази площ се счита за произведение от нейната ширина и дължина, а периметърът, като този на всяка фигура, е равен на сбора от дължините на всички страни. В този случай той също е равен на удвоената сума от дължината и ширината, тъй като противоположните страни на правоъгълника са равни. Сега знаете какво е правоъгълник и какво да правите с него, решавайки проблеми и разбирайки тайните на такава мистериозна и мистериозна наука като геометрията.
Определение.
ПравоъгълникТова е четириъгълник с две противоположни страни и четири ъгъла.Правоъгълниците се различават един от друг само по съотношението на дългата към късата страна, но и четирите са прави, тоест по 90 градуса всеки.
Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, и късата ширина на правоъгълник.
Страните на правоъгълника са и неговите височини.
Основни свойства на правоъгълника
Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.
1. Противоположните страни на правоъгълник имат еднаква дължина, тоест те са равни:
AB=CD, BC=AD
2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:
3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:
7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.
9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане:
| AO=BO=CO=DO= | д | ||
| 2 |
10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност
11. Диагоналът на правоъгълника е диаметърът на описаната окръжност
12. Винаги може да се опише кръг около правоъгълник, тъй като сборът от противоположните ъгли е 180 градуса:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат).
Страни на правоъгълник
Определение.
Дължина на правоъгълникнаричаме дължината на по-дългата двойка страни. Ширина на правоъгълникназовете дължината на по-късата двойка страни.Формули за определяне дължините на страните на правоъгълник
1. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на диагонала и другата страна:
а = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на площта и другата страна:
| b = dcos | β |
| 2 |
Правоъгълник Диагонал
Определение.
Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.Формули за определяне дължината на диагонала на правоъгълник
1. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):
d = √ a 2 + b 2
2. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:
4. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:
d=2R
5. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:
d = D o
6. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:
8. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на остър ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника
d = √2S: sinβ
Периметър на правоъгълник
Определение.
Периметърът на правоъгълнике сумата от дължините на всички страни на правоъгълника.Формули за определяне дължината на периметъра на правоъгълник
1. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника:
P = 2a + 2b
P = 2(a+b)
2. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| а | b |
3. Формула за периметъра на правоъгълник по отношение на диагонала и всяка страна:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност и всяка страна:
P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)
5. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:
P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)
Правоъгълна площ
Определение.
Правоъгълна площнаречено пространството, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в рамките на периметъра на правоъгълника.Формули за определяне на площта на правоъгълник
1. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на две страни:
S = a b
2. Формулата за площта на правоъгълник през периметъра и всяка страна:
5. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на радиуса на описания кръг и всяка страна:
S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2
6. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на диаметъра на описания кръг и всяка страна:
S \u003d a √ D o 2 - а 2= b √ D o 2 - б 2
Окръжност, описана около правоъгълник
Определение.
Окръжност, описана около правоъгълникОкръжност се нарича окръжност, минаваща през четири върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник
1. Формулата за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:
Правоъгълникът е уникален в своята простота. Въз основа на тази фигура учениците започват да изучават основите на геометрията. Следователно в старшите класове те се губят, не познавайки основните свойства и характеристики на правоъгълника, напразно смятайки тази фигура за твърде проста.
Правоъгълник
Дефиницията на правоъгълник е известна от основно училище: Това е успоредник с всички ъгли, равни на 90 градуса. Възниква въпросът: какво е успоредник?
Въпреки закачливото име, тази форма е проста като правоъгълник. Паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, чиито страни са равни и успоредни по две.
Задължително е да се подчертае думата изпъкнал в определението. Тъй като изпъкналите и неизпъкналите четириъгълници са ясно разделени в геометрията. Освен това неизпъкналите фигури изобщо не се изучават в училищния курс по математика, тъй като те са много по-непредсказуеми в своите свойства.
Ориз. 1. Изпъкнали четириъгълници
Правоъгълникът е специален случай на успоредник. В същото време има и други специални случаи на паралелограм, например ромб; и други частни случаи на правоъгълник - квадрат. Следователно, преди да се докаже, че една фигура е правоъгълник, е необходимо да се докаже, че тя е успоредник.
Свойства на правоъгълник
Свойствата на правоъгълника могат да бъдат разделени на две групи: свойства на успоредник и свойства на правоъгълник.
Свойства на паралелограма:
- Противоположните страни са по двойки равни и успоредни.
- Противоположните ъгли са равни.
Ориз. 2. Свойства на успоредник
Свойства на правоъгълника:
- Всички ъгли са 90 градуса, което произтича от дефиницията на фигурата.
- Диагоналът на правоъгълника разделя фигурата на два малки равни правоъгълни триъгълника. Това свойство се доказва лесно. Триъгълниците ще бъдат правоъгълни, тъй като ще включват един ъгъл от 90 градуса. В този случай диагоналът ще бъде общата страна, а краката ще бъдат равни, тъй като противоположните страни на правоъгълника са по двойки равни и успоредни.
- Диагоналите на правоъгълник са равни.
Ориз. 3. Греда
Характеристики на правоъгълник
Правоъгълникът има само три основни характеристики:
- До ъгъла. Ако един от ъглите на успоредник е 90 градуса, тогава успоредникът е правоъгълник.
- Ако три ъгъла на четириъгълник са 90 градуса, тогава четириъгълникът е правоъгълник. Моля, обърнете внимание, че в този случай няма нужда да доказваме, че имаме успоредник. Достатъчно е да знаете стойностите на ъглите на четириъгълника.
- По диагонал: Ако диагоналите на успоредник са равни, тогава успоредникът е правоъгълник.
Обърнете внимание на коя фигура е поставен знакът, това има значение при доказателството.
Каква е разликата между черта и свойство? Знакът е разликата, по която една фигура може да бъде разграничена от другите. Като име на човек. Виждаш приятел, помниш името му и веднага знаеш какво да очакваш от него. Но очакванията от човек вече са свойства. Свойствата могат да се прилагат само след като сте доказали, че тази или онази фигура е пред вас. И за това доказателство са ни нужни знаци.
Какво научихме?
Научихме какво е успоредник. Говорихме за специални случаи на успоредник, включително най-често срещания - правоъгълник. Избра свойствата и характеристиките на правоъгълника. Обърнахме внимание на факта, че някои от характеристиките са валидни за всеки четириъгълник, а някои са валидни само за успоредник.
Тематическа викторина
Рейтинг на статията
Среден рейтинг: 4.1. Общо получени оценки: 268.
Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав ъгъл.
Доказателство
Свойството се обяснява с действието на функция 3 на успоредника (т.е. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположните страни са равни.
AB = CD,\enинтервал BC = AD
3. Противоположните страни са успоредни.
AB \успоредно CD,\enинтервал BC \успоредно AD
4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагоналите на правоъгълника са равни.
AC=BD
Доказателство
Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава AB = CD.
Следователно \триъгълник ABD = \триъгълник DCA по два катета (AB = CD и AD - става).
Ако и двете фигури - ABC и DCA са еднакви, то техните хипотенузи BD и AC също са еднакви.
Така че AC = BD.
Само правоъгълник от всички фигури (само от успоредници!) Има равни диагонали.
Нека докажем и това.
ABCD е успоредник \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условие. \Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCAвече от три страни.
Оказва се, че \ъгъл A = \ъгъл D (като ъглите на успоредник). И \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .
Ние извеждаме това \ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D. Всички те са 90^(\circ) . Общата сума е 360^(\circ) .
Доказано!
6. Квадратът на диагонала е равен на сбора от квадратите на двете му съседни страни.
Това свойство е валидно по силата на Питагоровата теорема.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.
\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD
8. Пресечната точка на диагоналите ги разполовява.
AO=BO=CO=DO
.png)
9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.
10. Сумата от всички ъгли е 360 градуса.
\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)
11. Всички ъгли на правоъгълника са прави.
\ъгъл ABC = \ъгъл BCD = \ъгъл CDA = \ъгъл DAB = 90^(\circ)
12. Диаметърът на описаната окръжност около правоъгълника е равен на диагонала на правоъгълника.
13. Винаги може да се опише окръжност около правоъгълник.
Това свойство е валидно поради факта, че сумата от противоположните ъгли на правоъгълник е 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Правоъгълник може да съдържа вписан кръг и само един, ако има еднакви дължини на страните (той е квадрат).
Правоъгълникът е преди всичкогеометрична плоска фигура. Състои се от четири точки, които са свързани помежду си с две двойки равни отсечки, които се пресичат перпендикулярно само в тези точки.
Правоъгълникът се определя чрез успоредник. С други думи, правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави, тоест равни на 90 градуса. В евклидовата геометрия, ако една геометрична фигура има 3 от 4 ъгъла, равни на 90 градуса, тогава четвъртият ъгъл автоматично е равен на 90 градуса и такава фигура може да се нарече правоъгълник. От дефиницията на успоредник става ясно, че правоъгълникът е набор от разновидности на тази фигура в равнина. От това следва, че свойствата на успоредник се отнасят и за правоъгълник. Например: в правоъгълник срещуположните страни са равни по дължина. Когато конструирате диагонал в правоъгълник, той ще раздели фигурата на два еднакви триъгълника. На това се основава Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на неговите катети. Ако всички страни на правилен правоъгълник са равни, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат. Квадрат се определя и като ромб, в който всичките му страни са равни една на друга и всички ъгли са прави.
