Представете число в тригонометрична форма онлайн. Лекция на тема: "Тригонометрична форма на комплексно число". Комплексни числа в тригонометрична форма

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека векторът е даден на комплексната равнина от числото .

Означете с φ ъгъла между положителната полуос Ox и вектора (ъгълът φ се счита за положителен, ако се брои обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен в противен случай).

Означете дължината на вектора с r. Тогава . Ние също така означаваме

Записване на ненулево комплексно число z като

се нарича тригонометрична форма на комплексното число z. Числото r се нарича модул на комплексното число z, а числото φ се нарича аргумент на това комплексно число и се означава с Arg z.

Тригонометричната форма на запис на комплексно число - (формулата на Ойлер) - експоненциална форма на запис на комплексно число:

Комплексното число z има безкрайно много аргументи: ако φ0 е всеки аргумент на числото z, тогава всички останали могат да бъдат намерени по формулата

За комплексно число аргументът и тригонометричната форма не са дефинирани.

По този начин аргументът на ненулево комплексно число е всяко решение на системата от уравнения:

(3)

Стойността φ на аргумента на комплексно число z, което удовлетворява неравенствата, се нарича основна стойност и се обозначава с arg z.

Аргументите Arg z и arg z са свързани с равенство

, (4)

Формула (5) е следствие от система (3), така че всички аргументи на комплексното число удовлетворяват равенство (5), но не всички решения φ на уравнение (5) са аргументи на числото z.

Основната стойност на аргумента на ненулево комплексно число се намира по формулите:

Формулите за умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид са както следва:

. (7)

При издигане на комплексно число в естествена степен се използва формулата на дьо Моавр:

При извличане на корен от комплексно число се използва формулата:

, (9)

където k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Изчислете , където .

Нека представим решението на този израз в експоненциална форма на запис на комплексно число: .

Ако , тогава .

Тогава , . Следователно, тогава и , където .

Отговор: , при .

Задача 55. Запишете комплексни числа в тригонометричен вид:

а) ; б) ; v) ; Ж) ; д) ; д) ; ж).

Тъй като тригонометричната форма на комплексно число е , тогава:

а) В комплексно число: .

Така

б) , където ,

ж) , където ,

д) .

ж) , а , тогава .

Така

Отговор: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Намерете тригонометричната форма на комплексно число

Позволявам , .

Тогава , , .

Защото и , , след това и

Следователно, следователно

Отговор: , където .

Задача 57. Използвайки тригонометричната форма на комплексно число, извършете следните действия: .

Представете си числа и в тригонометричен вид.

1), къде тогава

Намиране на стойността на главния аргумент:

Заместете стойностите и в израза получаваме

2) къде тогава

Тогава

3) Намерете коефициента

Ако приемем k=0, 1, 2, получаваме три различни стойности на желания корен:

Ако, тогава

ако , тогава

ако , тогава .

Отговор: :

: .

Задача 58. Нека , , , са различни комплексни числа и . Докажи това

номер е реално положително число;

б) се осъществява равенството:

а) Нека представим тези комплексни числа в тригонометричен вид:

Защото .

Да се преструваме, че. Тогава

Последният израз е положително число, тъй като има числа от интервала под знаците на синусите.

защото номерът истински и положителни. Всъщност, ако a и b са комплексни числа и са реални и по-големи от нула, тогава .

Освен това,

следователно необходимото равенство е доказано.

Задача 59. Запишете числото в алгебрична форма .

Представяме числото в тригонометрична форма и след това намираме алгебричната му форма. Ние имаме . За получаваме системата:

От това следва равенството: .

Прилагане на формулата на De Moivre:

получаваме

Открива се тригонометричната форма на даденото число.

Сега записваме това число в алгебрична форма:

Отговор: .

Задача 60. Намерете сумата , ,

Помислете за сумата

Прилагайки формулата De Moivre, намираме

Тази сума е сумата от n члена на геометрична прогресия със знаменател и първи член .

Прилагайки формулата за сбора от членовете на такава прогресия, имаме

Разделяйки въображаемата част в последния израз, намираме

Отделяйки реалната част, получаваме и следната формула: , , .

Задача 61. Намерете сбора:

а) ; б) .

Според формулата на Нютон за издигане на степен имаме

Според формулата на De Moivre намираме:

Приравнявайки реалните и въображаемите части на получените изрази за , имаме:

и .

Тези формули могат да бъдат записани в компактна форма, както следва:

, където е цялата част от числото a.

Задача 62. Намерете всички, за които .

Дотолкова доколкото , след това, прилагайки формулата

, За да извлечем корените, получаваме ,

следователно, , ,

, .

Точките, съответстващи на числата, са разположени във върховете на квадрат, вписан в окръжност с радиус 2 с център в точката (0;0) (фиг. 30).

Отговор: , ,

, .

Задача 63. Решете уравнението , .

По условие; следователно това уравнение няма корен и следователно е еквивалентно на уравнението.

За да може числото z да бъде корен на това уравнение, числото трябва да бъде корен n-ти от числото 1.

Оттук заключаваме, че първоначалното уравнение има корени, определени от равенствата

По този начин,

т.е. ,

Отговор: .

Задача 64. Решете уравнението в множеството от комплексни числа.

Тъй като числото не е корен на това уравнение, то за това уравнение е еквивалентно на уравнението

Тоест уравнението.

Всички корени на това уравнение се получават от формулата (вижте задача 62):

; ; ; ; .

Задача 65. Начертайте върху комплексната равнина набор от точки, които отговарят на неравенствата: . (2-ри начин за решаване на проблем 45)

Позволявам .

Комплексни числа със същите модули съответстват на точки от равнината, лежащи върху окръжност с център в началото, така че неравенството удовлетворяват всички точки от отворен пръстен, ограничен от окръжности с общ център в началото и радиуси и (фиг. 31). Нека някоя точка от комплексната равнина съответства на числото w0. номер , има модул, пъти по-малък от модула w0, аргумент, който е по-голям от аргумента w0. От геометрична гледна точка, точката, съответстваща на w1, може да бъде получена с помощта на хомотетия, центрирана в началото и коефициента , както и завъртане обратно на часовниковата стрелка спрямо началото. В резултат на прилагането на тези две трансформации към точките на пръстена (фиг. 31), последният ще се превърне в пръстен, ограничен от окръжности със същия център и радиуси 1 и 2 (фиг. 32).

трансформация се реализира с помощта на паралелна транслация на вектора. Прехвърляйки пръстена, центриран в точка, към посочения вектор, получаваме пръстен със същия размер, центриран в точка (фиг. 22).

Предложеният метод, който използва идеята за геометрични трансформации на равнината, вероятно е по-малко удобен за описание, но е много елегантен и ефективен.

Задача 66. Намерете дали .

Нека , тогава и . Оригиналното равенство ще приеме формата . От условието за равенство на две комплексни числа, получаваме , , Откъдето , . По този начин, .

Нека напишем числото z в тригонометричен вид:

, където , . Според формулата на De Moivre намираме .

Отговор: - 64.

Задача 67. За комплексно число, намерете всички комплексни числа, така че , И .

Нека представим числото в тригонометричен вид:

. Следователно , . За число, което получаваме, може да бъде равно на едно от двете.

В първия случай , във втория

Отговор: , .

Задача 68. Намерете сумата от числа, така че . Посочете едно от тези числа.

Забележете, че още от самата формулировка на задачата може да се разбере, че сумата от корените на уравнението може да се намери без да се изчисляват самите корени. Всъщност сумата от корените на уравнението е коефициентът на , взет с противоположен знак (обобщената теорема на Виета), т.е.

Учениците, училищна документация, правят заключения за степента на усвояване на това понятие. Обобщете изучаването на особеностите на математическото мислене и процеса на формиране на понятието за комплексно число. Описание на методите. Диагностика: I етап. Интервюто е проведено с учител по математика, който преподава алгебра и геометрия в 10. клас. Разговорът се проведе след известно време...

Резонанс "(!)), който включва и оценка на собственото поведение. 4. Критична оценка на разбирането на ситуацията (съмнения). 5. И накрая, използването на препоръките на юридическата психология (отчитане на психологическите аспекти на професионалните действия, извършени от адвоката - професионална психологическа готовност). Нека сега разгледаме психологическия анализ на юридическите факти. ...

Математика на тригонометричното заместване и проверка на ефективността на разработената методика на обучение. Етапи на работа: 1. Разработване на курс по избор на тема: „Прилагане на тригонометрично заместване за решаване на алгебрични задачи” с ученици в часовете със задълбочено изучаване на математика. 2. Провеждане на разработен факултативен курс. 3. Извършване на диагностичен контрол...

Когнитивните задачи имат за цел само да допълват съществуващите учебни пособия и трябва да бъдат в подходяща комбинация с всички традиционни средства и елементи на учебния процес. Разликата между образователните проблеми при преподаването на хуманитарни науки от точните, математически задачи е само в това, че в историческите задачи няма формули, твърди алгоритми и т.н., което затруднява тяхното решаване. ...

3.1. Полярни координати

Често се използва в самолета полярна координатна система . Дефинира се, ако е дадена точка O, наречена полюс, и лъч, излизащ от полюса (за нас това е оста Ox) е полярната ос.Позицията на точка M се фиксира с две числа: радиус (или радиус вектор) и ъгълът φ между полярната ос и вектора .Ъгълът φ се нарича полярен ъгъл; Измерва се в радиани и се брои обратно на часовниковата стрелка от полярната ос.

Позицията на точка в полярната координатна система се дава от подредена двойка числа (r; φ). На полюса r = 0и φ не е дефинирано. За всички останали точки r > 0и φ е дефинирано до кратно на 2π. В този случай на двойките числа (r; φ) и (r 1 ; φ 1) се приписва една и съща точка, ако .

За правоъгълна координатна система xOyдекартовите координати на точка се изразяват лесно чрез нейните полярни координати, както следва:

3.2. Геометрична интерпретация на комплексно число

Да разгледаме на равнината декартовата правоъгълна координатна система xOy.

На всяко комплексно число z=(a, b) се приписва точка от равнината с координати ( x, y), където координата x = a, т.е. реалната част на комплексното число, а координатата y = bi е въображаемата част.

Равнина, чиито точки са комплексни числа, е комплексна равнина.

На фигурата комплексното число z = (a, b)мач точка M(x, y).

Упражнение.Начертайте комплексни числа в координатната равнина:

3.3. Тригонометрична форма на комплексно число

Комплексно число в равнината има координатите на точка M(x; y). при което:

Писане на комплексно число - тригонометрична форма на комплексно число.

Извиква се числото r модул комплексно число zи се обозначава. Модулът е неотрицателно реално число. За .

Модулът е нула тогава и само ако z = 0, т.е. a=b=0.

Извиква се числото φ аргумент z и означени. Аргументът z се дефинира двусмислено, подобно на полярния ъгъл в полярната координатна система, а именно до кратно на 2π.

Тогава приемаме: , където φ е най-малката стойност на аргумента. Очевидно е, че

При по-задълбочено изследване на темата се въвежда спомагателен аргумент φ*, така че

Пример 1. Намерете тригонометричната форма на комплексно число.

Решение. 1) разглеждаме модула: ;

2) търси φ: ;

3) тригонометрична форма:

Пример 2Намерете алгебричната форма на комплексно число .

Тук е достатъчно да замените стойностите на тригонометричните функции и да трансформирате израза:

Пример 3Намерете модула и аргумента на комплексно число;

1) ;

2) ; φ - в 4 тримесечия:

3.4. Операции с комплексни числа в тригонометрична форма

· Събиране и изважданепо-удобно е да се изпълнява с комплексни числа в алгебрична форма:

· Умножение– с помощта на прости тригонометрични трансформации може да се покаже, че при умножение модулите на числата се умножават и се добавят аргументите: ;

В този раздел ще се съсредоточим повече върху тригонометричната форма на комплексно число. Експоненциалната форма в практическите задачи се среща много по-рядко. Моля, изтеглете и отпечатайте, ако е възможно. тригонометрични таблици, методически материал можете да намерите на страницата Математически формули и таблици. Без маси не можеш да стигнеш далеч.

Всяко комплексно число (освен нула) може да бъде записано в тригонометрична форма:

Къде е модул на комплексното число, а - аргумент за комплексно число.

Начертайте число на комплексната равнина. За определеност и простота на обясненията ще го поставим в първата координатна четвърт, т.е. вярваме, че:

Модулът на комплексно числое разстоянието от началото на координатите до съответната точка на комплексната равнина. Просто казано, модулът е дължинатарадиус вектор, който е маркиран в червено на чертежа.

Модулът на комплексно число обикновено се означава с: или

С помощта на питагоровата теорема е лесно да се изведе формула за намиране на модула на комплексно число: . Тази формула е валидна за всякаквизначения "а" и "бъде".

Забележка : модулът на комплексно число е обобщение на понятието модул на реално число, като разстоянието от точката до началото.

Аргументът на комплексно числоНаречен инжекциямежду положителна осреалната ос и радиус вектора, изтеглени от началото до съответната точка. Аргументът не е дефиниран за единствено число:.

Разглежданият принцип всъщност е подобен на полярните координати, където полярният радиус и полярният ъгъл определят еднозначно точка.

Аргументът на комплексно число обикновено се означава с: или

От геометрични съображения се получава следната формула за намиране на аргумента:

. Внимание!Тази формула работи само в дясната полуравнина! Ако комплексното число не се намира в 1-ви или 4-ти координатен квадрант, тогава формулата ще бъде малко по-различна. Ще разгледаме и тези случаи.

Но първо, разгледайте най-простите примери, когато комплексните числа са разположени върху координатните оси.

Пример 7

Изразете комплексни числа в тригонометричен вид: ,,,. Нека изпълним чертежа:

Всъщност задачата е устна. За по-голяма яснота ще пренапиша тригонометричната форма на комплексно число:

Нека помним, модулът - дължина(което винаги е неотрицателен), аргументът е инжекция

1) Нека представим числото в тригонометричен вид. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата:. Очевидно е, че (числото лежи директно върху реалната положителна полуос). Значи числото в тригонометричен вид е:

Ясно като ден, действие за обратна проверка:

2) Нека представим числото в тригонометричен вид. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата:. Очевидно (или 90 градуса). На чертежа ъгълът е маркиран в червено. Значи числото в тригонометричен вид е: .

Използвайки , лесно е да се върне алгебричната форма на числото (в същото време чрез проверка):

3) Нека представим числото в тригонометричен вид. Намерете неговия модул и

аргумент. Очевидно е, че . Официално изчисление по формулата:

Очевидно (или 180 градуса). На чертежа ъгълът е обозначен в синьо. Значи числото в тригонометричен вид е:

Преглед:

4) И четвъртият интересен случай. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата:.

Аргументът може да бъде написан по два начина: Първи начин: (270 градуса) и съответно: . Преглед:

Следното правило обаче е по-стандартно: Ако ъгълът е по-голям от 180 градуса, тогава се изписва със знак минус и противоположната ориентация („превъртане“) на ъгъла: (минус 90 градуса), на чертежа ъгълът е маркиран в зелено. Лесно се вижда

който е същият ъгъл.

Така записът става:

Внимание!В никакъв случай не трябва да използвате равномерността на косинуса, нечетността на синуса и да извършвате допълнително "опростяване" на записа:

Между другото, полезно е да запомните външния вид и свойствата на тригонометричните и обратните тригонометрични функции, справочните материали са в последните параграфи на страницата Графики и свойства на основните елементарни функции. А комплексните числа са много по-лесни за научаване!

В дизайна на най-простите примери това трябва да бъде написано : "Очевидно модулът е... очевидно аргументът е...". Това е наистина очевидно и лесно се решава устно.

Нека да преминем към по-често срещаните случаи. Няма проблеми с модула, винаги трябва да използвате формулата. Но формулите за намиране на аргумента ще бъдат различни, зависи в коя координатна четвъртина се намира числото. В този случай са възможни три варианта (полезно е да ги пренапишете):

1) Ако (първата и четвъртата координатна четвъртина, или дясната полуравнина), тогава аргументът трябва да бъде намерен по формулата.

2) Ако (2-ра координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен по формулата .

3) Ако (3-та координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен по формулата .

Пример 8

Изразете комплексни числа в тригонометричен вид: ,,,.

Веднага след като има готови формули, чертежът не е необходим. Но има един момент: когато бъдете помолени да представите число в тригонометрична форма, тогава рисуването е по-добре да се направи така или иначе. Факт е, че учителите често отхвърлят решение без чертеж, липсата на чертеж е сериозна причина за минус и провал.

Представяме числата и в сложна форма, първото и третото число ще бъдат за самостоятелно решение.

Нека представим числото в тригонометричен вид. Намерете неговия модул и аргумент.

Тъй като (случай 2), тогава

- тук трябва да използвате нечетността на допирателната на дъгата. За съжаление в таблицата няма стойност, така че в такива случаи аргументът трябва да бъде оставен в тромава форма: - числа в тригонометричен вид.

Нека представим числото в тригонометричен вид. Намерете неговия модул и аргумент.

Тъй като (случай 1), тогава (минус 60 градуса).

По този начин:

е число в тригонометрична форма.

И тук, както вече беше отбелязано, минусите не докосвайте.

В допълнение към забавния графичен метод за проверка има и аналитична проверка, която вече е извършена в Пример 7. Използваме таблица със стойности на тригонометричните функции, като се има предвид, че ъгълът е точно табличният ъгъл (или 300 градуса): - числа в оригиналната алгебрична форма.

Числата и представяйте в тригонометрична форма сами. Кратко решение и отговор в края на урока.

В края на раздела накратко за експоненциалната форма на комплексно число.

Всяко комплексно число (освен нула) може да бъде записано в експоненциална форма:

Където е модулът на комплексното число и е аргументът на комплексното число.

Какво трябва да се направи, за да се представи комплексно число в експоненциална форма? Почти същото: изпълнете чертежа, намерете модула и аргумента. И напишете числото като .

Например, за номера на предишния пример намерихме модула и аргумента:,. Тогава това число в експоненциална форма ще бъде записано, както следва:

Числото в експоненциална форма би изглеждало така:

номер - Така:

Единственият съвет е не докосвайте индикатораекспоненти, няма нужда от пренареждане на фактори, отваряне на скоби и т.н. Записва се комплексно число в експоненциална форма строгоинформирам.

Действия върху комплексни числа, записани в алгебрична форма

Алгебричната форма на комплексното число z =(а,б) се нарича алгебричен израз на формата

z = а + би.

Аритметични операции върху комплексни числа z 1 = а 1 +b 1 ии z 2 = а 2 +b 2 и, написани в алгебрична форма, се извършват по следния начин.

1. Сбор (разлика) от комплексни числа

z 1 ±z 2 = (а 1 ± а 2) + (б 1 ±b 2)∙i,

тези. събирането (изваждането) се извършва по правилото за събиране на полиноми с редукция на подобни членове.

2. Произведение на комплексни числа

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙а 2 -б 1 ∙б 2) + (а 1 ∙б 2 + а 2 ∙б 1)∙i,

тези. умножението се извършва съгласно обичайното правило за умножение на полиноми, като се има предвид факта, че и 2 = 1.

3. Разделянето на две комплексни числа се извършва по следното правило:

, (z 2 ≠ 0),

тези. деленето се извършва чрез умножаване на делителя и делителя по спрегнатото на делителя.

Възлагането в степен на комплексни числа се дефинира, както следва:

Лесно е да се покаже това

Примери.

1. Намерете сбора от комплексни числа z 1 = 2 – ии z 2 = – 4 + 3и

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3и) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) и = –2+2и

2. Намерете произведението на комплексните числа z 1 = 2 – 3ии z 2 = –4 + 5и

= (2 – 3и) ∙ (–4 + 5и) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3и)+ 2∙5и– 3и∙ 5i = 7+22и

3. Намерете лични zот разделение z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – и

z= .

4. Решете уравнението:, хи г Î Р.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3и

По силата на равенството на комплексните числа имаме:

където x=–1 , г= 4.

5. Изчислете: и 2 ,и 3 ,и 4 ,и 5 ,и 6 ,и -1 , i -2 .

6. Изчислете ако .

7. Изчислете обратното на число z=3-i.

Комплексни числа в тригонометрична форма

сложна равнинасе нарича равнина с декартови координати ( x, y), ако всяка точка с координати ( а, б) се присвоява комплексно число z = a + bi. В този случай се нарича оста на абсцисата реална ос, а оста y е въображаем. След това всяко комплексно число a+biгеометрично представена на равнина като точка А (а, б) или вектор.

Следователно, позицията на точката А(и оттам комплексното число z) може да се зададе от дължината на вектора | | = rи ъгъл jобразувано от вектора | | с положителната посока на реалната ос. Дължината на вектор се нарича модул на комплексното числои се обозначава с | z|=r, и ъгълът jНаречен аргумент за комплексно числои означени j = argz.

Ясно е, че | z| ³ 0 и | z | = 0 Û z= 0.

От фиг. 2 показва, че.

Аргументът на комплексно число се дефинира нееднозначно и до 2 пк, кÎ З.

От фиг. 2 също така показва, че ако z=a+biи j=argz,тогава

cos j =, грях j =, tg j = .

Ако zОРи z > 0 тогава argz = 0 +2п.к;

ако z ОРи z< 0 тогава argz = p + 2п.к;

ако z= 0,argzнеопределено.

Основната стойност на аргумента се определя на интервала 0 £argz£2 п,

или -стр£ arg z £ p.

Примери:

1. Намерете модула на комплексните числа z 1 = 4 – 3ии z 2 = –2–2и

2. Определете на комплексната равнина площите, определени от условията:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+и) | £3; 4) £6 | z – и| £7.

Решения и отговори:

1) | z| = 5 Û Û е уравнението на окръжност с радиус 5 и центрирана в началото.

2) Кръг с радиус 6, центриран в началото.

3) Кръг с радиус 3, центриран в точка z0 = 2 + и.

4) Пръстен, ограничен от окръжности с радиуси 6 и 7, центрирани в точка z 0 = и.

3. Намерете модула и аргумента на числата: 1) ; 2).

1) ; а = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2и; а =–2, b=-2 Þ ,

Забележка: Когато дефинирате главния аргумент, използвайте комплексната равнина.

По този начин: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

Лекция

Тригонометрична форма на комплексно число

Планирайте

1.Геометрично представяне на комплексни числа.

2.Тригонометрично записване на комплексни числа.

3. Действия върху комплексни числа в тригонометрична форма.

Геометрично представяне на комплексни числа.

а) Комплексните числа се представят от точки от равнината съгласно следното правило: а + би = М ( а ; б ) (Фиг. 1).

Снимка 1

б) Комплексно число може да бъде представено като вектор, който започва от точкатаО и завършват в дадена точка (фиг. 2).

Фигура 2

Пример 7. Начертайте точки, представляващи комплексни числа:1; - и ; - 1 + и ; 2 – 3 и (фиг. 3).

Фигура 3

Тригонометрично записване на комплексни числа.

Комплексно числоz = а + би може да се зададе с помощта на радиус - вектор с координати( а ; б ) (фиг. 4).

Фигура 4

Определение . Дължина на вектора представляващи комплексното числоz , се нарича модул на това число и се обозначава илиr .

За всяко комплексно числоz неговия модулr = | z | се определя еднозначно от формулата .

Определение . Стойността на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора представляващ комплексно число се нарича аргумент на това комплексно число и се обозначаваА rg z илиφ .

Аргумент за комплексно числоz = 0 неопределено. Аргумент за комплексно числоz≠ 0 е многозначна величина и се определя до члена2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = арг z + 2πk , къдетоарг z - основната стойност на аргумента, затворена в интервала(-π; π] , това е-π < арг z ≤ π (понякога стойността, принадлежаща на интервала, се приема като основна стойност на аргумента .

Тази формула заr =1 често наричана формула на De Moivre:

(cos φ + i sin φ) н = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11 Изчислете(1 + и ) 100 .

Нека напишем комплексно число1 + и в тригонометричен вид.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (кос + греша )] 100 = ( ) 100 (кос 100 + аз грях 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .