Определение. Конус връхе точката (K), от която излизат лъчите.
Определение. Основа на конуса- Това е равнината, образувана в резултат на пресичането на плоска повърхност и всички лъчи, излъчвани от върха на конуса. Конусът може да има стъбла като кръг, елипса, хипербола и парабола.
Определение. Генератор на конуса(L) е всяка права линия, която свързва горната част на конуса с границата на основата на конуса. Генериращата е сегмент от лъча, излизащ от върха на конуса.
Формула. Дължина на образуващата(L) десен кръгъл конус през радиуса R и височината H (през питагорейската теорема):
Определение. ПътеводителКонус е крива, която описва контура на основата на конуса.
Определение. Странична повърхностконус е колекцията от всички генератори на конус. Тоест повърхността, която се образува от движението на образуващата по водача на конуса.
Определение. ПовърхностКонусът се състои от странична повърхност и основа на конуса.
Определение. Височинаконус (H) е отсечка, която се простира от върха на конуса и е перпендикулярна на основата му.
Определение. Осконус (а) е права линия, минаваща през върха на конуса и центъра на основата на конуса.
Определение. Конус (C)конус е отношението на диаметъра на основата на конуса към неговата височина. В случай на пресечен конус, това е съотношението на разликата между диаметрите на напречните сечения D и d на пресечения конус към разстоянието между тях: където R е радиусът на основата, а H е височината на конусът.
Ориз. 1. Предмети от живота, под формата на пресечен конус
Откъде според вас идват новите форми в геометрията? Всичко е много просто: човек в живота се сблъсква с подобни обекти и измисля как да ги кръсти. Помислете за бордюрен камък, върху който лъвовете седят в цирк, парче морков, което се получава, когато изрежем само част от него, активен вулкан и например светлината от фенерче (виж фиг. 1).
Ориз. 2. Геометрични фигури
Виждаме, че всички тези фигури са сходни по форма - и отдолу, и отгоре са ограничени от кръгове, но те се стесняват нагоре (виж фиг. 2).
Ориз. 3. Отрежете горната част на конуса
Прилича на конус. Липсва само горната част. Представете си мислено, че вземаме конус и отрязваме горната част от него с един замах на остър меч (виж фиг. 3).
Ориз. 4. Пресечен конус
Оказва се само нашата фигура, тя се нарича пресечен конус (виж фиг. 4).
Ориз. 5. Сечение успоредно на основата на конуса
Нека бъде даден конус. Нека нарисуваме равнина, успоредна на равнината на основата на този конус и пресичаща конуса (виж фиг. 5).
Той ще раздели конуса на две тела: едното от тях е по -малък конус, а другото се нарича пресечен конус (виж фиг. 6).
Ориз. 6. Получените тела в паралелен разрез
Така пресеченият конус е част от конус, затворен между неговата основа и равнина, успоредна на основата. Както в случая с конус, пресеченият конус може да има кръг в основата си - в този случай той се нарича кръгов. Ако първоначалният конус е прав, тогава пресеченият конус се нарича прав. Както и в случая с конусите, ще разгледаме изключително прави кръгли пресечени конуси, освен ако не е посочено специално, че говорим за непряк пресечен конус или не за кръгове в основите му.
Ориз. 7. Въртене на правоъгълен трапец
Нашата глобална тема са органи на революция. Пресеченият конус не прави изключение! Спомнете си, че за да получим конус, обмислихме правоъгълен триъгълник и го завъртяхме около крака? Ако полученият конус се пресича с равнина, успоредна на основата, тогава от триъгълника ще остане правоъгълен трапец. Завъртането му около по -малката страна ще ни даде пресечен конус. Отбележете отново, че, разбира се, говорим само за прав кръгъл конус (виж фиг. 7).
Ориз. 8. Основи на пресечения конус
Нека направим няколко коментара. Основата на пълния конус и окръжността, получени в разрез на конуса с равнина, се наричат основите на пресечения конус (долна и горна) (виж фиг. 8).
Ориз. 9. Генератори на пресечения конус
Сегментите на образуващите на пълния конус, затворени между основите на пресечения конус, се наричат образуващи на пресечения конус. Тъй като всички генератори на оригиналния конус са равни и всички генератори на пресечения конус са равни, тогава генераторите на отсечения конус са равни (не бъркайте отсечените и отсечените!). Оттук следва равнобедреният трапец на аксиалното сечение (виж фиг. 9).
Сегментът на оста на въртене, затворен вътре в пресечения конус, се нарича оста на пресечения конус. Този сегмент, разбира се, свързва центровете на своите основи (виж фиг. 10).
Ориз. 10. Оста на пресечения конус
Височината на пресечения конус е перпендикуляр, изтеглен от точка на една от основите към другата основа. Най -често неговата ос се счита за височина на пресечения конус.
Ориз. 11. Аксиално сечение на пресечен конус
Аксиалното сечение на пресечен конус е участък, минаващ през оста му. Той има формата на трапец, малко по -късно ще докажем неговия равнобедрен (виж фиг. 11).
Ориз. 12. Конус с въведените обозначения
Нека намерим площта на страничната повърхност на пресечения конус. Нека основите на пресечения конус имат радиуси и, а генераторът е равен (виж фиг. 12).
Ориз. 13. Определяне на образуващата на отсечения конус
Нека открием площта на страничната повърхност на пресечения конус като разлика между площите на страничните повърхности на първоначалния конус и пресечената. За това обозначаваме с образуващата на отсечения конус (виж фиг. 13).
След това желаната.
Ориз. 14. Подобни триъгълници
Остава да се изрази.
Имайте предвид, че от сходството на триъгълниците, откъде (виж фиг. 14).
Тя може да бъде изразена чрез разделяне на разликата на радиусите, но нямаме нужда от това, защото работата се появява в желания израз. Замествайки вместо него, накрая имаме: .
Вече е лесно да се получи формула за общата площ. За да направите това, достатъчно е да добавите областите на два основни кръга: .
Ориз. 15. Илюстрация за проблема
Нека пресеченият конус се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец около височината му. Средната линия на трапеца е равна, а голямата странична страна е (виж фиг. 15). Намерете страничната повърхност на получения пресечен конус.
Решение
По формулата знаем това 
.
Образуващата на конуса ще бъде голямата страна на оригиналния трапец, тоест радиусите на конуса са основите на трапеца. Не можем да ги намерим. Но ние не се нуждаем от това: имаме нужда само от тяхната сума, а сумата от основите на трапеца е два пъти по средната му линия, тоест е равна. Тогава .
Моля, обърнете внимание, че когато говорихме за конуса, направихме паралели между него и пирамидата - формулите бяха сходни. Тук е същото, тъй като пресеченият конус е много подобен на пресечената пирамида, така че формулите за страничната и пълната повърхност на пресечения конус и пирамидата (и скоро ще има формули за обема) са подобни.
Ориз. 1. Илюстрация за проблема
Радиусите на основите на пресечения конус са равни на и, а образуващата е равна на. Намерете височината на пресечения конус и площта на аксиалното му сечение (виж фиг. 1).
Конус (от гръцки "konos")- Борова шишарка. Конусът е познат на хората от древни времена. През 1906 г. е открита книгата „За метода“, написана от Архимед (287-212 пр. Н. Е.), Тази книга дава решение на проблема с обема на общата част на пресичащите се цилиндри. Архимед казва, че това откритие принадлежи на древногръцкия философ Демокрит (470-380 г. пр. Н. Е.), Който, използвайки този принцип, е получил формули за изчисляване на обема на пирамида и конус.
Конус (кръгъл конус) - тяло, което се състои от окръжност - основата на конуса, точка, която не принадлежи към равнината на тази окръжност, - горната част на конуса и всички сегменти, свързващи горната част на конуса и точките на окръжността на основата. Сегментите, които свързват върха на конуса с точките на обиколката на основата, се наричат генератори на конуса. Повърхността на конуса се състои от основа и странична повърхност.
Конус се нарича прав, ако правата линия, която свързва върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. Прав кръгъл конус може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около крака му като ос.
Височината на конуса се нарича перпендикулярна, спусната от върха му към основната равнина. За прав конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на прав конус се нарича права линия, съдържаща нейната височина.
Сечението на конуса с равнина, преминаваща през образуващата на конуса и перпендикулярна на аксиалното сечение, изтеглено през тази образуваща, се нарича допирателна равнина на конуса.
Плоскост, перпендикулярна на оста на конуса, пресича конуса в окръжност, а страничната повърхност в окръжност, центрирана по оста на конуса.
Плоскост, перпендикулярна на оста на конуса, отрязва по -малкия конус от него. Остатъкът се нарича плодов конус.
Обемът на конуса е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, опиращи се в дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат същия обем, тъй като височините им са равни.
Страничната повърхност на конуса може да се намери по формулата:
S страна = πRl,
Общата площ на конуса се намира по формулата:
S край = πRl + πR 2,
където R е радиусът на основата, l е дължината на образуващата.
Обемът на кръгъл конус е
V = 1/3 πR 2 H,
където R е радиусът на основата, H е височината на конуса
Страничната повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:
S страна = π (R + r) l,
Общата площ на пресечения конус може да се намери по формулата:
S край = πR 2 + πr 2 + π (R + r) l,
където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, l е дължината на образуващата.
Обемът на пресечен конус може да се намери, както следва:
V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2),
където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, H е височината на конуса.
blog.сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
Конична повърхностсе нарича повърхност, образувана от всички прави линии, преминаващи през всяка точка на дадената крива и точка извън кривата (фиг. 32).
Тази крива се нарича водач , направо - генератори , точка - връх конична повърхност.
Права кръгла конусовидна повърхностсе нарича повърхност, образувана от всички линии, преминаващи през всяка точка на дадена окръжност и точка на права линия, която е перпендикулярна на равнината на окръжността и преминава през нейния център. По -нататък тази повърхност ще бъде наречена накратко конична повърхност (фиг. 33).
Конус (прав кръгъл конус ) се нарича геометрично тяло, ограничено от конична повърхност и равнина, която е успоредна на равнината на водещата окръжност (фиг. 34).
 |
|||
Ориз. Фиг. 32 Фиг. 33 34
Конус може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около ос, съдържаща един от краката на триъгълника.
Окръжността, ограничаваща конуса, се нарича основа ... Върхът на коничната повърхност се нарича връх конус. Сегментът, свързващ върха на конуса с центъра на основата му, се нарича височина конус. Сегментите, които образуват конична повърхност, се наричат генератори конус. Ос конус се нарича права линия, преминаваща през върха на конуса и центъра на основата му. Аксиално сечение се нарича сечението, преминаващо през оста на конуса. Странично почистване Конус се нарича сектор, радиусът на който е равен на дължината на образуващата конуса, а дължината на дъгата на сектора е равна на обиколката на основата на конуса.
За конуса следните формули са правилни:
където R- основен радиус;
З- височина;
л- дължина на образуващата;
S главен- базова площ;
S страна
S пълен
VТова е обемът на конуса.
Нарязан конуснаречена частта от конуса, затворена между основата и секантната равнина, успоредна на основата на конуса (фиг. 35).
 |
Пресечен конус може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен трапец около ос, съдържаща страната на трапеца перпендикулярно на основите.
Двата кръга, ограничаващи конуса, се наричат основания . Височина пресечен конус е разстоянието между неговите основи. Сегментите, които образуват коничната повърхност на пресечения конус, се наричат генератори ... Правата, преминаваща през центровете на основите, се нарича оста пресечен конус. Аксиално сечение се нарича сечението, преминаващо през оста на пресечения конус.
За пресечен конус са верни следните формули:
(8)
където R- радиусът на долната основа;
r- радиус на горната основа;
З- височина, l - дължина на образуващата;
S страна- странична повърхност;
S пълен- обща площ;
V- обемът на пресечения конус.
Пример 1.Сечението на конуса, успоредно на основата, разделя височината в съотношение 1: 3, като се брои от върха. Намерете страничната повърхност на пресечен конус, ако основният радиус и височината на конуса са 9 cm и 12 cm.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 36).
За да изчислим площта на страничната повърхност на пресечен конус, използваме формула (8). Намерете радиусите на основите О 1 Аи Около 1 B.и генериране AB.
Помислете за подобни триъгълници SO 2 Bи SO 1 A., коефициентът на сходство, тогава 
Оттук 
От тогава 
Страничната повърхност на пресечения конус е:
Отговор: .
Пример 2.Четвърт кръг с радиус е сгънат в стеснена повърхност. Намерете радиуса на основата и височината на конуса.
Решение.Квадрантът на окръжност е размахване на страничната повърхност на конуса. Ние обозначаваме r- радиусът на основата му, H -височина. Страничната повърхност се изчислява по формулата :. Тя е равна на площта на една четвърт от окръжност :. Получаваме уравнение с две неизвестни rи л(образуваща конуса). В този случай образуващата е равна на радиуса на четвърт от окръжността R, следователно, получаваме следното уравнение: откъдето Знаейки радиуса на основата и образуващата, намираме височината на конуса:
Отговор: 2 см ,.
Пример 3.Правоъгълен трапец с остър ъгъл 45 O, по -малка основа от 3 cm и еднаква наклонена странична страна, се върти около страничната страна, перпендикулярна на основите. Намерете обема на полученото тяло на оборотите.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 37).
В резултат на въртенето получаваме пресечен конус, за да намерим обема му, изчисляваме радиуса на по -голямата основа и височината. В трапец O 1 O 2 ABще извърши AC ^ O 1 B... B имаме: значи този триъгълник е равнобедрен AC=Пр.н.е.= 3 см.
Отговор:
Пример 4.Триъгълник със страни 13 см, 37 см и 40 см се върти около външна ос, която е успоредна на по -голямата страна и се намира на разстояние 3 см от нея (оста е разположена в равнината на триъгълника). Намерете площта на полученото тяло на въртене.
Решение
.
Нека направим чертеж (фиг. 38).
Повърхността на полученото тяло на завъртане се състои от страничните повърхности на два пресечени конуса и страничната повърхност на цилиндъра. За да се изчислят тези области, е необходимо да се знаят радиусите на основите на конусите и цилиндъра ( БЪДАи OC) образуване на конуси ( Пр.н.е.и AC) и височина на цилиндъра ( AB). Единственото неизвестно е CO. 
това е разстоянието от страната на триъгълника до оста на въртене. намирам DC... Площта на триъгълник ABC от едната страна е равна на произведението на половината от страната AB на изтеглената към него височина DC, от друга страна, познавайки всички страни на триъгълника, изчисляваме неговата площ, използвайки формулата на Херон.
Вземете произволен конус и начертайте режеща равнина, перпендикулярна на оста си (фиг. 72). Тази равнина се пресича с конуса в кръг и разделя конуса на две части. Едната от частите е конус, а другата се нарича пресечен конус. Основата на първоначалния конус и окръжността, получени в разрез на този конус от равнина, се наричат пресечени конусни основи, а сегментът, свързващ техните центрове, е пресечена височина на конуса.
Частта от коничната повърхност, която граничи с пресечения конус, се нарича странична повърхност, и сегментите от образуващите на коничната повърхност, затворени между основите, се наричат генератори на пресечен конус. Всички генератори на пресечения конус са равни помежду си.
Съкратен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец около страничната му страна, перпендикулярно на основите. Фигурата показва пресечен конус, получен чрез завъртане на правоъгълен трапец ABCO около страната на CO, перпендикулярно на основите AO и BC (фиг. 73). В този случай страничната повърхност се образува от въртенето на страничната страна AB, а основата на пресечения конус - от въртенето на основите CB и OA на трапеца.
Ориз. Фиг. 73 Фиг. 74
Нека намерим формулата за страничната повърхност на пресечения конус, като знаем радиусите r, r 1 на основите и образуващата на пресечения конус l (фиг. 74).
Площта на страничната повърхност на пресечения конус е разликата между площите на големия конус и малкия, образуван от сечението.
Общата площ на пресечения конус е равна на сумата от страничната повърхност, долната основна площ и горната основна площ
