Základné pojmy a definície:
Nula analytickej funkcie f(z) je bod „a“, pre ktorý f(a)=0.
Nula rádu „n“ funkcie f(z) je bod „a“, ak ale fn(a)¹0.
Singulárny bod "a" sa nazýva izolovaný singulárny bod funkcie f(z), ak existuje okolie tohto bodu, kde nie sú žiadne iné singulárne body ako "a".
Izolované singulárne body sú troch typov: .
1 odnímateľné špeciálne body;
3 základné singulárne body.
Typ singulárneho bodu možno určiť na základe správania sa danej funkcie v nájdenom singulárnom bode, ako aj z tvaru Laurentovho radu získaného pre funkciu v blízkosti nájdeného singulárneho bodu.
Určenie typu singulárneho bodu podľa správania funkcie v ňom.
1. Odnímateľné singulárne body.
Izolovaný singulárny bod a funkcie f(z) sa nazýva odstrániteľný, ak existuje konečná limita.
2. Poliaci.
Izolovaný singulárny bod a funkcie f(z) sa nazýva pól if 
.
3. Významné singulárne body.
Izolovaný singulárny bod a funkcie f(z) sa nazýva esenciálny singulárny bod, ak neexistuje ani konečný, ani nekonečný.
Medzi nulami a pólmi funkcie sa odohráva nasledujúci vzťah.
Aby bol bod a pólom rádu n funkcie f(Z), je potrebné a postačujúce, aby bol tento bod nulou rádu n funkcie .
Ak n=1 pól sa nazýva jednoduchý.
Definícia: Izolovaný singulárny bod jednohodnotového znaku sa nazýva:
a) odstrániteľné, ak chýba hlavná časť rozkladu;
b) pól, ak hlavná časť obsahuje konečný počet členov;
c) v podstate singulárny bod, ak hlavná časť obsahuje nekonečný počet členov.
a) V susedstve odstrániteľného singulárneho bodu má teda rozšírenie tvar:
vyjadruje funkciu vo všetkých bodoch kružnice |z-a| V strede z=a je rovnosť nepravdivá, pretože funkcia v z=a má diskontinuitu a pravá strana je spojitá. Ak sa zmení hodnota funkcie v strede, pričom sa rovná hodnote pravej strany, medzera sa odstráni - odtiaľ názov - odstrániteľná. b) V blízkosti pólu rádu m má rozšírenie Laurentovho radu tvar: c) V susedstve jednoduchého pólu Zrážky a vzorce na ich výpočet. Zvyšok analytickej funkcie f(z) v izolovanom singulárnom bode z 0 je komplexné číslo rovné hodnote integrálu Zvyšok funkcie f(z) v izolovanom singulárnom bode z 0 je označený symbolom Res f(z 0) alebo Res (f(z); z 0). Touto cestou, Resf(z0)= Ak do vzorca (22.15.1) dáme n=-1, dostaneme: C-1= alebo Res f(z 0)= C-1, tie. zvyšok funkcie f(z) vzhľadom na singulárny bod z 0 sa rovná koeficientu prvého člena so záporným exponentom v expanzii funkcie f(z) v Laurentovom rade. Výpočet zrážok. Pravidelné alebo odnímateľné singulárne body. Je zrejmé, že ak z=z 0 je pravidelný alebo odstrániteľný singulárny bod funkcie f(z), potom Res f(z 0)=0 (v týchto prípadoch nie je žiadna hlavná časť v Laurentovom rozklade, takže c-1= 0). Poliak. Nech bod z 0 je jednoduchý pól funkcie f(z). Potom Laurentov rad pre funkciu f(z) v okolí bodu z 0 má tvar: Odtiaľ Ak teda prejdeme túto rovnosť do limity ako z --z 0 , dostaneme Rozlíšenie f(z0)= V podstate špeciálny bod. Ak je bod z 0 v podstate singulárny bod funkcie f(z), potom na výpočet zvyšku funkcie v tomto bode sa zvyčajne priamo určí koeficient c-1 v expanzii funkcie v Laurentovom rade. Klasifikácia udalostí. Súčet, súčin udalostí, ich vlastnosti, grafické znázornenie. Udalosti sú rozdelené na: 1. Náhodný 2. Dôveryhodný 3. Nemožné Spoľahlivý - ide o udalosť, ktorá sa nevyhnutne vyskytuje v týchto podmienkach (po noci nasleduje ráno). Náhodnosť je udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať (absolvovanie skúšky). Nemožná je udalosť, ktorá za daných podmienok nenastane (vytiahnite zelenú ceruzku z krabice len s červenými). Definícia. Zavolá sa singulárny bod funkcie izolovaný,
ak je v nejakom susedstve tohto bodu analytická funkcia (to znamená analytická v kruhu). Klasifikácia izolovaných singulárnych bodov funkcie súvisí so správaním sa tejto funkcie v okolí singulárneho bodu. Definícia. Pointa sa volá jednorazové
singulárny bod funkcie, ak existuje konečná limita tejto funkcie v . Príklad 5 Ukážte, že funkcia má v určitom bode odstrániteľnú singularitu. Riešenie. Pripomínajúc prvú pozoruhodnú hranicu, vypočítavame To znamená, že daná funkcia má v bode odstrániteľnú singularitu. Úloha 4. Ukážte, že bod je odnímateľný pre . Definícia. Pointa sa volá pól
funkcia , ak sa táto funkcia zvyšuje na neurčito pre , to znamená . Venujme pozornosť súvislostiam medzi pojmami nula a pól analytickej funkcie. Predstavme funkciu ako . Ak je bod jednoduchou nulou funkcie, potom funkcia má jednoduchý pól Ak je bod pre funkciu rádu nula, potom pre funkciu je to pól objednať.
Príklad 6 Ukážte, že funkcia má v bode pól tretieho rádu. Riešenie. Za predpokladu, že dostaneme. Keďže máme tendenciu k nule, podľa akéhokoľvek zákona máme . Potom , as ním aj samotná funkcia sa zvyšuje na neurčito. Preto, , To znamená, že singulárny bod je pól. Pre funkciu je tento bod samozrejme trojitá nula. Pre túto funkciu je teda bod pólom tretieho rádu. Úloha 5. Ukážte, že bod má jednoduchý pól. Definícia. Pointa sa volá v podstate špeciálne
bod funkcie, ak v tomto bode neexistuje ani konečná, ani nekonečná limita funkcie (správanie funkcie nie je definované). Dovoliť byť základným singulárnym bodom funkcie . Potom pre akékoľvek vopred priradené komplexné číslo existuje taká postupnosť bodov zbiehajúcich sa k , pozdĺž ktorej hodnoty majú tendenciu: ( Sochockiho veta).
Príklad 7 Ukážte, že funkcia v bode má podstatnú singularitu. Riešenie. Zvážte správanie danej funkcie v blízkosti bodu. Lebo pozdĺž kladnej časti reálnej osi (t.j. ) máme a ; ak pozdĺž zápornej časti reálnej osi (t.j.), potom a . Takže pre . Podľa definície má funkcia podstatnú singularitu v bode. Uvažujme správanie funkcie pri nule z pohľadu Sochockiho vety. Nech je akékoľvek komplexné číslo iné ako nula a nekonečno. Z rovnosti nájdeme . Za predpokladu, že získame postupnosť bodov, . Samozrejme, . V každom bode tejto postupnosti sa funkcia rovná , a preto Úloha 6. Ukážte, že funkcia má podstatnú singularitu v bode. Bod v nekonečne sa vždy považuje za špeciálny pre funkciu. Bod sa nazýva izolovaný singulárny bod funkcie, ak táto funkcia nemá žiadne iné singulárne body mimo nejakého kruhu so stredom v počiatku. Klasifikácia izolovaných singulárnych bodov môže byť rozšírená aj na prípad . Príklad 8 Ukážte, že funkcia má v nekonečne dvojitý pól. Riešenie. Zvážte funkciu , kde je analytická funkcia v okolí bodu , a . To znamená, že funkcia má v nekonečne dvojitú nulu, ale pre funkciu je bod dvojitým pólom. Príklad 9 Ukážte, že funkcia má podstatnú singularitu v nekonečne. Riešenie. Podobný problém je zvažovaný v pr.7. Zvážte správanie funkcie v okolí nekonečne vzdialeného bodu. Pre pozdĺž kladnej časti reálnej osi a pre pozdĺž zápornej časti reálnej osi. To znamená, že v bode neexistuje žiadna limita funkcie a na základe definície je tento bod v podstate singulárny. Charakter singularity funkcie v bode možno posudzovať z Hlavná časť
Laurentova expanzia v susedstve tohto bodu. Veta 1. Aby bola pointa jednorazové
singulárny bod funkcie , je potrebné a postačujúce, aby zodpovedajúca Laurentova expanzia neobsahoval hlavnú časť.
Úloha 6. Pomocou Taylorovho rozšírenia funkcie v okolí bodu ukážte, že má odstrániteľnú singularitu pri nule. Veta 2. Aby bola pointa pól
funkcií , je nevyhnutné a postačujúce na to, aby Hlavná časť
zodpovedajúca Laurentova expanzia obsahoval konečný počet členov
: Číslo najvyššieho záporného člena určuje poradie pólu. V tomto prípade môže byť funkcia reprezentovaná ako kde je funkcia analytická v bode, , je poradie pólu. Príklad 10 Ukážte, že funkcia má v bodoch jednoduché póly. Riešenie. Zamyslime sa nad bodom. Použijeme Laurentovu expanziu tejto funkcie v blízkosti tohto bodu, získanú v príklade 2: Keďže najvyššia (a jediná) záporná mocnina v hlavnej časti tohto rozšírenia je rovná jednej, bod je jednoduchým pólom tejto funkcie. Tento výsledok by sa dal získať aj iným spôsobom. Poďme reprezentovať vo forme a dať - to je funkcia, ktorá je analytická v bode a . V dôsledku (8) má teda táto funkcia v bode jednoduchý pól. Iný spôsob: zvážte funkciu, ktorá má v bode jednoduchú nulu. V tomto bode má teda jednoduchý pól. Podobne, ak funkciu napíšeme v tvare , kde je funkcia, ktorá je v bode analytická a , potom je hneď jasné, že bod je jednoduchým pólom funkcie . Úloha 7. Ukážte, že funkcia má pól 2. rádu v bode a pól 4. rádu v bode. Veta 3. Aby bola pointa v podstate špeciálne
bodu funkcie , je potrebné a postačujúce, že Hlavná časť
Laurentova expanzia v susedstve bodu obsahoval nekonečný počet členov
. Príklad 11. Určte povahu singularity v bode funkcie Riešenie. V známej expanzii kosínusu namiesto: Laurentova expanzia v susedstve bodu má teda tvar Tu je správna časť jeden pojem. A hlavná časť obsahuje nekonečné množstvo výrazov, takže pointa je v podstate jednotná. Úloha 8. Ukážte, že v určitom bode má funkcia podstatnú singularitu. Zvážte nejakú funkciu a zapíšte si jej Laurentovu expanziu v bode: Urobme náhradu, zatiaľ čo pointa ide k veci. Teraz, v blízkosti bodu v nekonečne, máme Zostáva zaviesť nové označenie. Dostaneme kde je hlavná časť a je pravidelná časť Laurentovho rozšírenia funkcie v blízkosti bodu v nekonečne. V Laurentovom expanzii funkcie v okolí bodu je teda hlavnou časťou rad v kladných mocninách, zatiaľ čo správna časť je rad v záporných mocninách. Berúc do úvahy toto Vyššie uvedené kritériá na určenie povahy singularity však zostávajú platné pre nekonečne vzdialený bod. Príklad 12. Zistite povahu singularity funkcie v bode. , potom sa v určitom bode môže ukázať ako neizolovaný. Príklad 15 Funkcia v nekonečne vzdialenom bode má podstatnú singularitu. Ukážte, že bod funkcie nie je izolovaný singulárny bod. Riešenie. Funkcia má nekonečný počet pólov v nulách menovateľa, teda v bodoch , . Vzhľadom k tomu, potom bod , v ktoromkoľvek okolí, ktoré sú póly , je limitný bod pre póly. Nechať byť zq - singulárny bod funkcie f(z), t.s. f(z) ale je v tomto bode analytický (najmä v ňom nemusí byť definovaný). Ak existuje takéto prepichnuté okolie bodu zq (t. j. množina O z - zq f(z) je teda aliatický zo volal izolovaný singulárny bod funkcie f(z). Táto definícia je zachovaná aj v prípade zn = oo, ak je jód prepichnutým okolím bodu zq = oo rozumieť množine z > ja -
vzhľad nejakého kruhu so stredom v počiatku. Inými slovami, singulárny bod zq sa považuje za izolované, ak existuje okolie tohto bodu, v ktorom sú iné singulárne body odlišné od zq. Všade nižšie uvažujeme iba singulárne body jednohodnotového charakteru (funkcia f(z) považovaný za jedinečný). V závislosti od správania funkcie f(z) pri z -> zq Existujú tri typy singulárnych bodov. Izolovaný singulárny bod zq funkcie f(z) s názvom: 1) odnímateľný singulárny bod ak existuje konečná hranica 2) pól ak existuje limit 3) podstatný bod, ak f(z) nemá ani konečnú, ani nekonečnú hranicu z-> zq. PRÍKLAD 26.1. Ukážme, že všetky tri typy singulárnych bodov sú realizované. Zvážte f(z)= bod zq = 0 je izolovaný singulárny bod tejto funkcie. Pomocou vzorca (22.12) dostaneme expanziu z čoho vyplýva, že existuje lim fi(z)= 1. Preto zq = 0 je je odnímateľný singulárny bod funkcie fi(z). Funkcia f'j(z) =--- má na hrote tyč zo= 1 pretože 2
r" X Zvážte teraz funkciu )z(z)= e 1 ^ r a ukážte, že zo = O je základným singulárnym bodom tejto funkcie. Pri snažení z na nulu pozdĺž reálnej osi, ľavá a pravá hranica funkcie f (z) rozdielne: lim od 1 / 1
=
0, lim s 1 /* = os. to znamená, x->0-0 x->0+0 čo f:i(z) nemá ani konečnú, ani nekonečnú hranicu pre 2 ->
Oh, t.j. zq = 0 je v podstate singulárny bod tejto funkcie. (Všimnite si, že ako pointa zvykne z-iy na nulu na imaginárnej osi funkcie nemá žiadny limit.) Samozrejme, existujú aj neizolované singulárne body. Napríklad. funkcia má póly v bodoch z n = -, P= ±1, ±2,... v dôsledku toho Zq = 0 je neizolovaný singulárny bod tejto funkcie: v akomkoľvek (ľubovoľne malom) okolí tohto bodu sú ďalšie singulárne body g str.
Nechať byť zo- konečný izolovaný singulárny bod funkcie f(z). Potom f(z) je podobná v nejakom prerazenom okolí 0 Zo bodu zo toto okolie možno považovať za kruh s vnútorným polomerom r = 0. Podľa vety 25.1 v uvažovanom okolí funkcia f(z) možno rozšíriť v sérii Laurent (25.2). Ukážeme, že správanie funkcie pre 2 -> zq (t.j. typ singulárneho bodu zo) závisí od formy hlavnej časti rozkladu (25.2); táto okolnosť vysvetľuje pôvod pojmu „hlavná časť“. TEOREM 2G.2. Izolovaný singulárny bod zo funkcie f(z) je odstrániteľný vtedy a len vtedy, ak Lorapova expanzia v punktovanom okolí tohto bodu má oid tie. pozostáva len zo správnej časti, a všetky koeficienty hlavnej časti sa rovnajú odrážke. Dôkaz. 1. Nechajte zo je odnímateľný singulárny bod. Dokážme, že Laurentovo rozšírenie funkcie f(z) má tvar (26.1). Od jednotného bodu zo odnímateľné, potom je tu konečný limit lim f(z) = A. v dôsledku toho f(z) ohraničený v nejakom prerazenom okolí 0 z - zq bodu zo, tie. )(z) pre všetkých z z tejto štvrte. Vezmite si akékoľvek R. U р /?| a pre koeficienty Laurentovho radu použite vzorce (25.3): Pre koeficienty hlavnej časti expanzie n =- 1,-2,... Za takéto hodnoty P máme p~n-e 0 at R-> 0. Keďže hodnota R môže byť zvolený ľubovoľne malý, potom pán~" môže byť ľubovoľne malá. Od |c t,| ^ pán~n a cn nezávisia od p, potom cn = 0 pre A= - 1, -2,..., čo sa malo dokázať. 2. Predpokladajme teraz, že Laurentova expanzia má tvar (26.1). Rad (26.1) je mocninový rad a. sa teda zbieha nielen v prerazenom, ale aj v celom susedstve z-zq vrátane bodky zo; jeho množstvo S(z) je analytický pre z a S(z) = )(z) pri 0 z - zo R. Preto existuje konečná hranica )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Preto singulárny bod zq Z->Zo Z-*Zo jednorazové. Veta bola dokázaná. Komentujte. Z dôkazu vety vyplýva, že v punktovanom okolí 0 z - zo odstrániteľného singulárneho bodu funkcia f(z) sa zhoduje s funkciou S(r), ktorá je analytická v celom okolí z - zo . Ak teda dáme /(th) = S(zq), potom bez zmeny hodnôt funkcie f(z) v ktoromkoľvek bode punktovaného okolia urobíme túto funkciu analytickou v r, t.j. „odstrániť“ funkciu. To vysvetľuje pojem „odstrániteľná singularita“. Je prirodzené, že takéto body považujeme za regulárne a nie za singulárne body funkcie f(z).
Zvážte napríklad funkciu V príklade 26.1 sa ukázalo, že Pm (n) = 1, t.j. singulárny bod zq = 0 je odstrániteľný. Nastavením /i(0) = 1 odstránime singularitu a získame funkciu, ktorá je v bode analytická zq = 0 (a v celej rovine C). Poďme teraz charakterizovať póly z hľadiska Laurentových expanzií. Veta 26.3. Izolovaný singulárny bod Zo funkcie f(z) je pól práve vtedy, keď hlavná časť Laurentovej expanzie so stredom Zq má len konečný počet odlišných z nulových koeficientov s n: Dôkaz. 1. Nechajte zq - pól, t.j. lim /( z) = oo. Dokážme, že Laurentovo rozšírenie funkcie f(z) má tvar (2G.2). Keďže lim f(z)= oo. potom existuje prepichnuté okolie bodu ki zq. kde f(z) je analytický a nemá žiadne nuly. Potom funkcia g(z) = 1 /f(z) bude tiež analytický v tejto prerazenej štvrti a lim g(z)= 0. Preto Zo je na jedno použitie *-? *0 singulárny bod funkcie g(z). Poďme predefinovať g(z) v bode zo, uvedenie g(zo)=
0. Potom g(z) sa stáva analytickým v celom okolí (neprepichnutého) bodu z 0 , a z0 bude jeho izolovaná nula. Označiť podľa N násobnosť (poradie) tejto nuly. Ako je uvedené v §23, v susedstve bodu funkcia zq g(z) reprezentovateľné vo forme (pozri (23.2)) a (z$) f 0 a y>(z) je analytický v určitom susedstve bodu zo- Pretože ip(z) súvislý v bode zo A g>(zo) F 0" potom ip(z) nemá žiadne nuly ani v niektorom okolí tohto bodu. Preto funkcia 1 /-p(z) bude tiež analytický v tomto susedstve, a preto sa v ňom rozšíri v sérii Taylor: Otvorením zátvoriek a zmenou označenia koeficientov zapíšeme do formulára posledné rozšírenie kde c_jv = 1>o f 0. Hlavná časť Laurentovho rozšírenia f(r) teda obsahuje iba konečný počet členov; dospeli sme k požadovanej rovnosti (26.2). 2. Vpustite prepichnuté okolie bodu th funkciu )(z) je reprezentovaná Laurentovou expanziou (26.2) (v rozšírenejšej forme pozri (26.3)), ktorej hlavná časť obsahuje len konečný počet členov a od- d" f 0. To musíme dokázať Zq - funkčný pól f(z). Násobenie rovnosti (26.3) o (G - G o) iV , dostaneme funkciu Rad v (26.4) je mocninný rad konvergujúci k analytickej funkcii nielen v punktovanom, ale aj v celom okolí bodu. Zq. Preto funkcia h(z) sa v tomto okolí stane analytickým, ak ho rozšírime v th nastavením h(zo)= s_dg f 0. Potom Bod o je teda pól a veta 26.3 je dokázaná. Násobnosť (poradie) nultej funkcie g(z)= 1//(r) sa volá pólový poriadok funkcia /(r). Ak N- poradie pólu je th, teda g(z)= (r - Zo)N ip(z), a choď) F 0, a ako je uvedené v prvej časti dôkazu vety 26.3, expanzia f(r) má tvar (26.3), kde c_/v f 0. Naopak, ak f(r) expanduje do radu (26.3) a e-z F 0, teda t.s. N- poradie pólu funkcie f(r). Touto cestou, poradie zq pólu funkcie/(G) sa rovná číslu vodiaceho nenulového koeficientu hlavnej časti Laurentovej expanzie v punktovanom okolí bodu zq(t. j. rovné takémuto číslu N,čo s_dg f 0 a sp= 0 at P > N). Dokážme nasledujúce tvrdenie, ktoré je vhodné) pre aplikácie. Dôsledok 26.4. Bod zq je pólom rádu N fikcie/(G) ak a len vtedy/(G) reprezentovať vo forme kde h(z) je analytická funkcia v okolí bodu th a h(zo) f 0. Dôkaz. Funkcia cp(z) = l/h(z) je analytický v určitom okolí bodu r. Podmienka dôsledku 26.4 je ekvivalentná nasledujúcemu: Preto zq -
násobnosť nula N funkcie g(z). a teda pól multiplicity N funkcie /(2). II príklad 26.5. Nájdite izolované singulárne body funkcie D e u c tion Body, v ktorých (z 2
+ 1 )(z+ H)2 = 0. Ak z 2
L- 1 = 0, potom 2 = ±r ak (z 4-H)2 = 0, potom z= -3. Preto má funkcia tri singulárne body z= r, 22 = -r, Z3
=
- 3. Zvážte z: G - pól prvého rádu (použili sme Corollary 26.4). Podobne sa dá dokázať, že 22 = -i aj pól prvého rádu. Na 2 hodiny máme: Prejdime k úvahe v podstate o singulárnych bodoch. Veta 26.6. Izolovaný singulárny bod zq funkcie f(z) je v podstate singulárny vtedy a len vtedy, ak hlavná časť Laurentovej expanzie so stredom v zq má nekonečne veľa rozdielov od. nula, koeficienty s p. Dôkaz. Veta 26.6 priamo vyplýva z viet 26.2 a 26.3. Vskutku, ak bod zq je v podstate singulár, potom hlavná časť Laurentovho rozšírenia nemôže chýbať ani obsahovať konečný počet členov (inak bod Zq bude buď odnímateľný, alebo tyč). Preto musí byť počet členov v hlavnej časti nekonečný. Naopak, ak hlavná časť obsahuje nekonečne veľa členov, potom Zq nemôže byť ani odnímateľný bod, ani tyč. V dôsledku toho je tento bod v podstate jedinečný. Podľa definície sa v podstate singulárny bod vyznačuje tým, že funkcia f(2) nemá ani konečnú, ani nekonečnú limitu pre z ->zq. Úplnejšiu predstavu o tom, aké nepravidelné je správanie funkcie v susedstve v podstate singulárneho bodu, poskytuje nasledujúca veta. Veta 26.7 (Sochockiho veta). Ak je zq v podstate singulárne, potom bod funkcie f(z), potom pre ľubovoľné komplexné číslo L, vrátane A = oo existuje postupnosť bodov z n taká, že z n -> zo a lim f(zn) = ALE. n->os Dôkaz. Najprv zvážte prípad A = oo V prvej časti dôkazu vety 2G.2 sme zistili, že ak f(z) je ohraničený v nejakom punktovanom okolí bodu r0, potom všetky koeficienty c, n = - 1, - 2,... hlavnej časti sa rovnajú nule (a teda singularita v th je odstrániteľná). Pretože za predpokladu, že r0 je v podstate singulárny bod, funkcia f(r) je neobmedzená v akomkoľvek punktovanom okolí bodu r0. Zoberme si nejaké úzke okolie 0 Z také, že f(zi) > 1 (ak |/(r)| z - zo R/2 je tam bodka z-2
, kde |/(dd)| > 2 atď.: v prepichnutej oblasti O 71.
Je zrejmé, že rn -e ísť a lim /(r«) = oo. Teda v prípade A = oo platí Veta 26.7 osvedčené. Nechaj teraz A f oo Najprv predpokladajme, že existuje prepichnutá oblasť 0 = -yy----
bude analytický v tejto prerazenej štvrti a následne /(G) - ALE následne r je izolovaný singulárny bod funkcie Φ(r). Ukážme sa. že r0 je v podstate singulárny bod Φ(r). Nech je to zle. Potom existuje limita lim Φ(r), buď konečná alebo nekonečná. Pretože /(r) = A + , potom existuje aj Hsh /(r), čo je v rozpore s podmienkou F(g)~ :-*z 0 pohľad na vetu. Teda r0 je v podstate singulárny bod funkcie Φ(r). Podľa toho, čo bolo dokázané vyššie, existuje postupnosť bodov r n taká, že r n o a lim Φ(r n) = oo. Odtiaľ Dokázali sme požadované tvrdenie za predpokladu, že f(r) F A v nejakom prerazenom okolí bodu r.. Predpokladajme teraz, že to nie je pravda, t.j. v ľubovoľnom malom prerazenom okolí bodu th je taký bod G",že f(r") = A. Potom pre ľubovoľné P v punktovanom okolí 0 f(z u) = L. Požadované tvrdenie je teda pravdivé P-yu vo všetkých prípadoch a veta 26.7 je dokázaná. Podľa (Sokhotského) vety 26.7 v akomkoľvek (ľubovoľne malom) punktovanom okolí v podstate singulárneho bodu funkcia f(r) nadobúda hodnoty ľubovoľne blízke akémukoľvek číslu v rozšírenej komplexnej rovine C. Na štúdium izolovaných singulárnych bodov sú často užitočné známe Taylorove expanzie základných elementárnych funkcií. PRÍKLAD 2G.8. Určte typ singulárneho bodu zq = 0 funkcie Vyriešené a e. Rozšírime čitateľa a menovateľa v Taylorovom rade v mocninách r. Dosadzovanie do (22.11) 3 z namiesto r a odčítaním 1 dostaneme Pomocou (22.12) dostaneme rozšírenie menovateľa: Séria v týchto rozšíreniach sa zbieha v celej komplexnej rovine €. Máme a /2(2) sú analogické v susedstve bodu zo = 0 (a dokonca v celej rovine) a /2 (20) F 0, teda h(z) je tiež analytický v určitom okolí bodu gF 0. Podľa záveru 26.4 bod Zo = 0 je pól poradia N = 4. II príklad 26.9. Nájdite singulárne body funkcie f(z)= hriech j - a určte ich druh. P e v e a e. Funkcia má jeden konečný singulárny bod zq = 1. V ostatných bodoch od C je funkcia w =--- analytické; teda funkcia hriechu w bude analytický. Dosadením v expanzii sínusu (22.12) - namiesto r dostaneme Získali sme expanziu sin funkcie v Laurentovom rade v punktovanom okolí bodu 20 = 1. Keďže výsledné rozšírenie obsahuje nekonečne veľa členov so zápornými mocninami (r - 1), potom zq = 1 je podstatný singulárny bod (v tomto prípade Laurentova expanzia pozostáva len z hlavnej časti a správna časť chýba). Všimnite si, že v tomto prípade bolo tiež možné určiť povahu singularity priamo z definície bez použitia rozšírenia série. V skutočnosti existujú sekvencie (r") a (2"), ku ktorým sa zbiehajú zo= 1 a také, že f(z" n)= 1, /(2") = 0 (takéto sekvencie uveďte sami). f(z) nemá limit kedy z -> 1 a teda bod zq - 1 je v podstate jednotné číslo. Predstavme si koncept Laurentovho rozšírenia funkcie v okolí bodu Zq = 00 a zvážte súvislosť medzi expanziou a povahou singularity v tomto bode. Všimnite si, že definície izolovaného singulárneho bodu a jeho typ (odnímateľný, pólový alebo v podstate singulárny) sa prenášajú do prípadu zq = oc nezmenené. Ale vety 26.2. 26.3 a 26.6, ktoré súvisia s charakterom Laurentových rozšírení, je potrebné zmeniť. Ide o to, že členovia c n (z - 2o) str. P= -1,-2,..., hlavná časť, definujúca „nepravidelnosť“ funkcie v blízkosti koncového bodu Zq, keďže 2 má tendenciu oo, budú sa správať „správne“ (sklon k 0). Naopak, členovia bežnej časti s P= 1,2,... bude mať tendenciu oo; určujú povahu singularity v Zq = oo. Hlavnou časťou expanzie v susedstve oo preto budú výrazy s pozitívnymi právomocami P, a správne - s negatívnym. Predstavme si novú premennú w = 12. Funkcia tv= 1/2, rozšírené tak, že u(oo) = 0, jedna k jednej a konformne mapuje okolie z > R bodov zq = 00 v blízkosti |w| wq = 0. Ak funkcia f(z) analýzy v prepichnutej štvrti R z Zq = oc, potom funkcia G(w) = f(l/w) bude analytický v žltom okolí 0 wo = 0. Keďže pre 2 -> oo bude w-> 0 teda Preto G(w) má v bode wq = 0 je singularita rovnakého typu ako f(z) v bode Zq = 00. Rozšírme funkciu G(w) v Laurentovom rade v punktovanom okolí bodu wo = 0: Súčty na pravej strane (26.5) predstavujú správnu a hlavnú časť rozšírenia. Prejdime k premennej z, suplovanie w = 1/z: označujúci P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d s p a všímať si to G(l/z) = f(z), dostaneme Rozklad (2G.G) sa nazýva Laurentov rozvoj funkcie f(z) v punktovanom okolí bodu zq= oo. Volá sa prvý súčet v (2G.6). pravá časť, a druhá suma je Hlavná časť tento rozklad. Keďže tieto súčty zodpovedajú správnym a hlavným častiam rozšírenia (26.5), rozšírenie (26.6) spĺňa analógy viet 26.2, 26.3 a 26.6. Nasledujúca veta je teda analógom vety 26.2. Veta 26.10. Izolovaný singulárny bodZq -
os (funkcie/(G) je odstrániteľná vtedy a len vtedy, ak Laurentova expanzia v prepichnutej oblasti tohto bodu má tvar
t.s. pozostáva len zo správnej časti. Dali sme /(oo) = spol. Funkcia definovaná radom (26.7) konvergujúcim v okolí z > R body 2o \u003d oc, tzv analytické v bode z o = oo. (Všimnite si, že táto definícia je ekvivalentná s analytikou funkcie G(w) v bode wo = 0.) Príklad 26.11. Preskúmajte singulárny bod zq = oo funkcie Keďže je limit konečný zo = oo je odstrániteľný singulárny bod funkcie f(r). Ak dáme /(oo) = lim J(z)= 0 teda f(z) bude tik v bode Zo= os. Ukážme si, ako nájsť zodpovedajúce rozšírenie (26.7). Prejdime k premennej w = 1 fz. Nahrádzanie z= 1 /?e, dostaneme (posledná rovnosť platí v punktovanom okolí bodu ww = 0, ale definíciu rozšírime (7(0) = 0). Výsledná funkcia má singulárne body w =±i, w =-1/3 a v bode Wq = 0 je analytický. Rozširujúca funkcia G(w) podľa stupňov w(ako bolo urobené v príklade 25.7) a dosadením do výsledného mocninového radu w = 1/z možno získať rozšírenie (26.7) funkcie f(z).
Veta 26.3 pre prípad zo= oo sa prepíše do nasledujúcej podoby. Veta 26.12. Izolovaný singulárny bodísť = os funkcia f(z) je pól práve vtedy, ak je hlavnou časťou Laurentovho rozšírenia (26.6) má len konečný počet nenulových koeficientov od": Tu je séria bežnou časťou a polynóm v zátvorkách je hlavnou časťou rozšírenia. Násobnosť pólu v oc je definovaná ako násobnosť pólu wq = 0 funkcií G(z). Je ľahké vidieť, že početnosť pólu sa zhoduje s číslom N v (26.8). Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2 Úloha. Ukážte, že funkcia f(z) =--
-- má v bod zo = oo poradie pólov 3. Veta 26.6 o podstatnom singulárnom bode je prepísaná pre prípad zo= os takmer doslovne a nevenujeme sa tomu podrobne. Taylorov rad slúži ako efektívny nástroj na štúdium funkcií, ktoré sú analytické v kruhu zol Pri štúdiu funkcií, ktoré sú analytické v prstencovej oblasti, sa ukazuje, že je možné zostrojiť expanzie v kladných a záporných mocninách (z - zq) forma, ktorá zovšeobecňuje Taylorove expanzie. Séria (1), chápaná ako súčet dvoch sérií, sa nazýva Laurentova séria. Je zrejmé, že oblasť konvergencie radu (1) je spoločnou súčasťou oblastí konvergencie každého radu (2). Poďme ju nájsť. Oblasť konvergencie prvého radu je kruh, ktorého polomer je určený Cauchyho-Hadamardovým vzorcom Vo vnútri kruhu konvergencie séria (3) konverguje k analytickej funkcii a v akomkoľvek kruhu s menším polomerom konverguje absolútne. a jednotne. Druhý rad je mocninný rad vzhľadom na premennú Rad (5) konverguje vo svojom kruhu konvergencie k analytickej funkcii komplexnej premennej m-*oo a v ľubovoľnom kruhu menšieho polomeru konverguje absolútne a rovnomerne, čo znamená, že oblasť konvergencie radu (4) je vzhľad kruhu - Ak potom existuje spoločná oblasť konvergencie radu (3) a (4) - kruhový kruh, v ktorom je rad (1) konverguje k analytickej funkcii. Navyše v akomkoľvek kruhu konverguje absolútne a rovnomerne. Príklad 1. Určte oblasť konvergencie radu Laurentovho radu Izolované singulárne body a ich klasifikáciu (z), ktorá je jednohodnotová a apolitická v kruhovom kruhu, možno v tomto kruhu znázorniť ako súčet konvergentného radu, ktorého koeficienty Cn sú jednoznačne určené a vypočítané pomocou vzorcov, kde 7p je kružnica s polomerom m Upevnime ľubovoľný bod z vo vnútri kruhu R Zostrojíme kružnice so stredmi v bode r, ktorých polomery vyhovujú nerovniciam a uvažujeme nový kruh.Podľa Cauchyho integrálnej vety pre násobne spojenú oblasť máme Transformujme každý integrál do súčtu (8) samostatne. Pre všetky body £ pozdĺž kružnice 7d* je splnený vzťah de súčet rovnomerne konvergentného radu 1 1. Preto zlomok ^ možno znázorniť vo vi- /" / Trochu iným spôsobom, pre všetky body ξ na kruh ir> máme vzťah Preto zlomok ^ môžeme znázorniť ako súčet rovnomerne konvergentných radov vo vzorcoch (10) a (12) sú analytické funkcie v kruhovom kruhu. Preto podľa Cauchyho vety sa hodnoty zodpovedajúcich integrálov nemenia, ak sú kruhy 7/r a 7r/ nahradené ľubovoľným kruhom. To nám umožňuje kombinovať vzorce (10) a (12). Nahradením integrálov na pravej strane vzorca (8) ich výrazmi (9) a (11) dostaneme požadovaný rozvoj. Keďže z je ľubovoľné bode kruhu, z toho vyplýva, že rad ( 14) konverguje k funkcii f(z) všade v tomto kruhu a v ktoromkoľvek kruhu rad konverguje k tejto funkcii absolútne a rovnomerne. Dokážme teraz, že rozklad tvaru (6) je jedinečný. Predpokladajme, že prebehne ešte jeden rozklad a potom všade vo vnútri prstenca R máme Na obvode rady (15) rovnomerne konvergujú. Vynásobte obe strany rovnosti (kde m je pevné celé číslo a integrujte oba členy v rade podľa členu. V dôsledku toho sa dostaneme na ľavú stranu a na pravú stranu - Csh. Teda (4, \u003d St. Pretože m je ľubovoľné číslo, potom posledný rad rovnosti (6), ktorého koeficienty sa vypočítajú pomocou vzorcov (7), sa nazýva Laurentov rad funkcie f(z) v kruhu 7) pre koeficienty Laurentovho radu. sa v praxi používajú len zriedka, pretože si spravidla vyžadujú ťažkopádne výpočty, zvyčajne, ak je to možné, sa používajú hotové Taylorove expanzie elementárnych funkcií Na základe jedinečnosti expanzie vedie každá legitímna metóda k rovnakému výsledku. Príklad 2 Uvažujme rozšírenie funkcií Laurentovho radu rôznych domén za predpokladu, že Fuiscius /(r) má dva singulárne body: Preto existujú tri kruhové domény a so stredom v bode r = 0. v každom z nich je funkcia f(r) analytická: a) kruh je vonkajšok kruhu (obr. 27). Nájdite Laurentove expanzie funkcie /(z) v každej z týchto oblastí. Reprezentujeme /(z) ako súčet elementárnych zlomkov a) Kružnica Transformačný vzťah (16) takto Pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej postupnosti dostaneme b) Kruh pre funkciu -z zostáva v tomto kruhu konvergentný, pretože séria (19) pre funkciu j^j pre |z| > 1 sa líši. Preto transformujeme funkciu /(z) nasledovne: opätovným použitím vzorca (19) dostaneme, že tento rad konverguje. Dosadením expanzií (18) a (21) do vzťahu (20) dostaneme c) Exteriérnosť kružnice pre funkciu -z s |z| > 2 divergencie a rad (21) pre funkciu Reprezentujme funkciu /(z) v nasledujúcom tvare: /<*> Pomocou vzorcov (18) a (19) dostaneme OR 1 Tento príklad ukazuje, že pre rovnakú funkciu f(z) má Laurentov expanzia, všeobecne povedané, rôzny tvar pre rôzne kruhy. Príklad 3. Nájdite rozklad 8 Laurentovho radu funkcie Laurentov rad Izolované singulárne body a ich zaradenie do prstencovej oblasti A Použijeme zobrazenie funkcie f (z) v nasledujúcom tvare: a transformujeme druhý člen Pomocou vzorec pre súčet členov geometrickej postupnosti dostaneme Dosadením nájdených výrazov do vzorca (22) máme Príklad 4. Rozšírte funkciu v Laurentovom rade v okolí tenkého zq = 0. Pre ľubovoľný komplexný , máme Let Toto rozšírenie je platné pre ľubovoľný bod z Ф 0. V tomto prípade je prstencová oblasť celá komplexná rovina s jedným vyhodeným bodom z - 0. Táto oblasť môže byť definovaná nasledujúcim vzťahom: Táto funkcia je analytická v oblasti Zo vzorcov (13) pre koeficienty Laurentovho radu, rovnakou úvahou ako v predchádzajúcom odseku, možno získať Kouiwove nerovnosti. ak je funkcia f(z) ohraničená na kružnici, kde M je konštanta), potom izolované singulárne body Bod zo sa nazýva izolovaný singulárny bod funkcie f(z), ak existuje prstencové okolie bodu ( táto množina sa niekedy nazýva aj punktované okolie bodu 2o, kde funkcia f(z) je jednohodnotová a analytická. V samotnom bode zo funkcia buď nie je definovaná, alebo nie je jednohodnotová a analytická. Rozlišujú sa tri typy singulárnych bodov v závislosti od správania sa funkcie /(z) pri priblížení sa k bodu zo. Izolovaný singulárny bod sa považuje za: 1) odstrániteľný, ak existuje konečný 2) pmusach, ak 3) v podstate singulárny bod, ak funkcia f(z) nemá limit pre Veta 16. Izolovaný singulárny bod z0 funkcie f(z) je odstrániteľný singulárny bod vtedy a len vtedy, ak Laurentov rozvoj funkcie f(z) v okolí bodu zo neobsahuje hlavnú časť, tj. má tvar Let zo - snímateľný singulárny bod. Potom existuje jedna konečná, a teda funkcia f(z) je ohraničená v prokologickom okolí bodu r.. Nastavíme na základe Cauchyových nerovností Keďže je možné zvoliť ρ tak malé, ako chceme, potom všetky koeficienty pri záporných mocninách (z - 20) sa rovnajú nule: Naopak, nech Laurentov rozvoj funkcie /(r) v okolí bodu zq obsahuje len správnu časť, teda má tvar (23) a v dôsledku toho je Taylor. Je ľahké vidieť, že pre z -* z0 má funkcia /(r) limitnú hodnotu: Veta 17. Izolovaný singulárny bod zq funkcie f(z) je odstrániteľný vtedy a len vtedy, ak je funkcia J(z) ohraničený v nejakom prerazenom susedstve bodu zq, Zgmechai nie. Nech r0 je odstrániteľný singulárny bod f(r). Za predpokladu, že dostaneme, že funkcia f(r) je analytická v nejakej kružnici so stredom v bode th. To definuje názov bodu - jednorazové. Veta 18. Izolovaný singulárny bod zq funkcie f(z) je pólom práve vtedy, ak hlavná časť Laurentovho rozšírenia funkcie f(z) v okolí bodu obsahuje konečné (a kladné) číslo nenulových členov, tj má tvar 4 Nech z0 je pól. Odvtedy existuje punktované okolie bodu z0, v ktorom je funkcia f(z) analytická a nenulová. Potom je v tomto okolí definovaná analytická funkcia a teda bod zq je odstrániteľný singulárny bod (nula) funkcie alebo kde h(z) je analytická funkcia, h(z0) ∩ 0. je analytický v okolí bod zq, a teda, odkiaľ to dostaneme Predpokladajme teraz, že funkcia f(z) má rozklad tvaru (24) v punktovanom okolí bodu zo. To znamená, že v tomto okolí je funkcia f(z) analytická spolu s funkciou. Pre funkciu g(z) platí rozšírenie, z ktorého je zrejmé, že zq je odstrániteľný singulárny bod funkcie g(z) a existuje Potom funkcia má tendenciu k 0 - pól funkcie Existuje ešte jeden jednoduchý skutočnosť. Bod Zq je pólom funkcie f(z) vtedy a len vtedy, ak funkciu g(z) = y možno rozšíriť na analytickú funkciu v okolí bodu zq nastavením g(z0) = 0. pólu funkcie f(z) sa nazýva nulový rád funkcie jfa. Z viet 16 a 18 vyplýva nasledovné tvrdenie. Veta 19. Izolované singulárne tenké je v podstate singulárne vtedy a len vtedy, ak hlavná časť Laurentovho rozšírenia v punktovanom okolí tohto bodu obsahuje nekonečne veľa nenulových členov. Príklad 5. Singulárny bod funkcie je zo = 0. Máme izolované singulárne body Laurentovho radu a ich klasifikáciu Preto zo = 0 je odstrániteľný singulárny bod. Rozšírenie funkcie /(z) v Laurentovom rade v blízkosti nulového bodu obsahuje iba správnu časť: Príklad7. f(z) = Singulárny bod funkcie f(z) je zq = 0. Uvažujme správanie sa tejto funkcie na reálnej a imaginárnej osi: na reálnej osi v x 0, na osi imaginárnej Preto ani konečný ani nekonečná limita f(z) pri z -* 0 neexistuje. Preto bod r0 = 0 je v podstate singulárny bod funkcie f(z). Nájdite Laurentovu expanziu funkcie f(z) v okolí nulového bodu. Pre ľubovoľný komplex C máme nastavené We. Potom Laurentova expanzia obsahuje nekonečný počet členov so zápornými mocninami z.
v kladnom smere pozdĺž kružnice L so stredom v bode z 0 , ktorý leží v oblasti analytiky funkcie f(z) (t.j. v kruhu 0<|z-z0| . (22.15.1)
a určiť ich typ.
