Extrémne body funkcie. Zvyšovanie a znižovanie funkcií na intervale, extrémy. Úlohy na nájdenie extrému funkcie

Prechod v týchto nerovnostiach do limitu ako Δ X→ 0 a berúc do úvahy, že derivácia f "(X 0) existuje, a preto limit vľavo nezávisí od toho, ako Δ X→ 0, dostaneme: pre Δ X → 0 – 0 f"(X 0) ≥ 0 a pri A X → 0 + 0 f"(X 0) ≤ 0. Keďže f"(X 0) definuje číslo, potom sú tieto dve nerovnosti kompatibilné iba vtedy, ak f"(X 0) = 0.

Dokázaná veta hovorí, že maximálne a minimálne body môžu byť iba medzi tými hodnotami argumentu, pre ktoré derivácia zmizne.

Uvažovali sme o prípade, keď funkcia má deriváciu vo všetkých bodoch určitého segmentu. Čo sa stane, keď derivát neexistuje? Zvážte príklady.

Príklady.

1. r=|X|.

   Funkcia nemá deriváciu v bode X=0 (v tomto bode graf funkcie nemá určitú dotyčnicu), ale v tomto bode má funkcia minimum, keďže r(0)=0 a pre všetkých X≠ 0r > 0.



Funkcia nemá deriváciu at X=0, pretože to ide do nekonečna, keď X=0. Ale v tomto bode má funkcia maximum.



Funkcia nemá deriváciu at X=0 pretože pri X→0. V tomto bode funkcia nemá ani maximum, ani minimum. naozaj, f(x)=0 a pri X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.



Z uvedených príkladov a formulovanej vety je teda zrejmé, že funkcia môže mať extrém iba v dvoch prípadoch: 1) v bodoch, kde derivácia existuje a je rovná nule; 2) v bode, kde derivát neexistuje.

Ak však v určitom okamihu X 0 to vieme f"(x 0 ) =0, potom z toho nemožno usudzovať, že v bode X 0 funkcia má extrém.

Napríklad. .



Ale bod X=0 nie je extrémny bod, pretože naľavo od tohto bodu sú funkčné hodnoty umiestnené pod osou Vôl a vyššie vpravo.

Hodnoty argumentu z oblasti funkcie, pre ktoré derivácia funkcie zaniká alebo neexistuje, sa nazývajú kritických bodov.




Z uvedeného vyplýva, že extrémy funkcie patria medzi kritické body a nie každý kritický bod je však extrémnym bodom. Preto, aby ste našli extrém funkcie, musíte nájsť všetky kritické body funkcie a potom v každom z týchto bodov samostatne preskúmať maximum a minimum. Na to slúži nasledujúca veta.

Veta 2. (Postačujúca podmienka pre existenciu extrému.) Nech je funkcia spojitá na nejakom intervale obsahujúcom kritický bod X 0 a je diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto intervalu (možno okrem samotného bodu X 0). Ak pri prechode zľava doprava cez tento bod derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom v bode X = X 0 má funkcia maximum. Ak pri prechode cez X 0 zľava doprava, derivácia zmení znamienko z mínus na plus, potom má funkcia v tomto bode minimum.

Teda ak

Dôkaz. Najprv predpokladajme, že pri prechode X 0, derivácia mení znamienko z plus na mínus, t.j. pre všetkých X blízko k veci X 0 f "(x)> 0 pre X< x 0 , f"(x)< 0 pre x > x 0 Aplikujme na rozdiel Lagrangeovu vetu f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kde c leží medzi X A X 0 .

1. Nechať byť X< x 0 Potom c< x 0 a f "(c)> 0. Preto f "(c)(x-x 0)< 0 a teda

   f(x) - f(x 0 )< 0, t.j. f(x)< f(x 0 ).

2. Nechať byť x > x 0 Potom c> x 0 a f" (c)< 0. Prostriedky f "(c)(x-x 0)< 0. Preto f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Teda pre všetky hodnoty X dostatočne blízko X 0 f(x)< f(x 0 ) . A to znamená, že v bode X 0 má funkcia maximum.

Druhá časť vety o minime je dokázaná podobne.



Znázornime význam tejto vety na obrázku. Nechať byť f"(x 1 ) =0 a pre ľubovoľné X, dostatočne blízko X 1, nerovnosti

f"(x)< 0 pri X< x 1 , f "(x)> 0 pri x > x 1 .

Potom vľavo od bodu X 1 funkcia je rastúca a klesajúca vpravo, teda keď X = X 1 funkcia prechádza od rastúcej k klesajúcej, to znamená, že má maximum.

Podobne možno zvážiť body X 2 a X 3 .


Schematicky možno všetko vyššie znázorniť na obrázku:

Pravidlo pre štúdium funkcie y=f(x) pre extrém

1. Nájdite rozsah funkcie f(x).
2. Nájdite prvú deriváciu funkcie f"(x).
3. Na tento účel určite kritické body:
   1. nájsť skutočné korene rovnice f"(x)=0;
   2. nájsť všetky hodnoty X pod ktorým derivát f"(x) neexistuje.
4. Určite znamienko derivácie vľavo a vpravo od kritického bodu. Keďže znamienko derivácie zostáva konštantné medzi dvoma kritickými bodmi, stačí určiť znamienko derivácie v ktoromkoľvek bode vľavo a v jednom bode vpravo od kritického bodu.
5. Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Príklady. Preskúmajte funkcie pre minimum a maximum.




NAJVÄČŠIE A MINIMÁLNE FUNKČNÉ HODNOTY NA ODpočúvaní

najväčší hodnota funkcie v segmente je najväčšia zo všetkých jej hodnôt v tomto segmente a najmenej je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Zvážte funkciu y=f(x) súvislé na intervale [ a, b]. Ako je známe, takáto funkcia dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty buď na hranici segmentu, alebo v ňom. Ak sa maximálna alebo minimálna hodnota funkcie dosiahne vo vnútornom bode segmentu, potom je táto hodnota maximom alebo minimom funkcie, to znamená, že sa dosiahne v kritických bodoch.

Dostávame teda nasledovné pravidlo na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente [ a, b] :

1. Nájdite všetky kritické body funkcie v intervale ( a, b) a vypočítajte funkčné hodnoty v týchto bodoch.
2. Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu pre x=a, x=b.
3. Zo všetkých získaných hodnôt vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Predtým, ako sa naučíme, ako nájsť extrém funkcie, je potrebné pochopiť, čo je extrém. Najvšeobecnejšia definícia extrému hovorí, že ide o najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu funkcie používanej v matematike na určitej množine číselnej osi alebo grafu. V mieste, kde je minimum, sa objaví extrém minima a kde je maximum, objaví sa extrém maxima. Aj v takej disciplíne, akou je matematická analýza, sa rozlišujú lokálne extrémy funkcie. Teraz sa pozrime na to, ako nájsť extrémy.

Extrémy v matematike patria medzi najdôležitejšie charakteristiky funkcie, vykazujú jej najväčšiu a najmenšiu hodnotu. Extrémy sa nachádzajú najmä v kritických bodoch nájdených funkcií. Stojí za zmienku, že práve v extrémnom bode funkcia radikálne mení svoj smer. Ak vypočítame deriváciu extrémneho bodu, potom sa podľa definície musí rovnať nule, inak bude úplne chýbať. Ak sa chcete naučiť, ako nájsť extrém funkcie, musíte vykonať dve po sebe nasledujúce úlohy:

• nájsť deriváciu funkcie, ktorá musí byť určená úlohou;
• nájsť korene rovnice.

Postupnosť hľadania extrému

1. Napíšte funkciu f(x), ktorá je daná. Nájdite jeho deriváciu prvého rádu f "(x). Výsledný výraz prirovnajte k nule.
2. Teraz musíte vyriešiť rovnicu, ktorá sa ukázala. Výsledné riešenia budú koreňmi rovnice, ako aj kritickými bodmi definovanej funkcie.
3. Teraz určíme, ktoré kritické body (maximum alebo minimum) sú nájdené korene. Ďalším krokom, keď sme sa naučili nájsť extrémne body funkcie, je nájsť druhú deriváciu požadovanej funkcie f "(x). Bude potrebné dosadiť hodnoty nájdených kritických bodov do konkrétnej nerovnosti a potom vypočítajte, čo sa stane. Ak sa to stane, že druhá derivácia sa ukáže byť väčšia ako nula v kritickom bode, potom to bude minimálny bod a inak maximálny bod.
4. Zostáva vypočítať hodnotu počiatočnej funkcie v požadovaných maximálnych a minimálnych bodoch funkcie. Za týmto účelom nahradíme získané hodnoty do funkcie a vypočítame. Treba však poznamenať, že ak sa kritický bod ukáže ako maximum, potom extrém bude maximálny, a ak je to minimum, potom bude analogicky minimum.

Algoritmus na nájdenie extrému

Aby sme zhrnuli získané poznatky, urobme krátky algoritmus, ako nájsť extrémne body.

1. Nájdeme definičný obor danej funkcie a jej intervaly, ktoré presne určujú, na akých intervaloch je funkcia spojitá.
2. Nájdeme deriváciu funkcie f "(x).
3. Vypočítame kritické body rovnice y = f (x).
4. Analyzujeme zmeny v smere funkcie f(x), ako aj znamienko derivácie f"(x), kde kritické body oddeľujú definičný obor tejto funkcie.
5. Teraz určíme, či je každý bod na grafe maximum alebo minimum.
6. Hodnoty funkcie nájdeme v tých bodoch, ktoré sú extrémy.
7. Opravujeme výsledok tejto štúdie - extrémy a intervaly monotónnosti. To je všetko. Teraz sme zvážili, ako nájsť extrém na akomkoľvek intervale. Ak potrebujete nájsť extrém na určitom intervale funkcie, potom sa to robí podobným spôsobom, nevyhnutne sa berú do úvahy iba hranice vykonávaného výskumu.

Takže sme zvážili, ako nájsť extrémne body funkcie. Pomocou jednoduchých výpočtov, ako aj vedomostí o hľadaní derivátov môžete nájsť akýkoľvek extrém a vypočítať ho, ako aj graficky označiť. Hľadanie extrémov je jednou z najdôležitejších častí matematiky v škole aj na vysokej škole, takže ak sa naučíte, ako ich správne určiť, učenie bude oveľa jednoduchšie a zaujímavejšie.

Jednoduchý algoritmus na hľadanie extrémov..

• Hľadanie derivácie funkcie
• Prirovnajte túto deriváciu k nule
• Nájdeme hodnoty premennej výsledného výrazu (hodnoty premennej, pri ktorej sa derivácia prevedie na nulu)
• Súradnicovú čiaru rozdeľujeme na intervaly s týmito hodnotami (zároveň by sme nemali zabúdať na body zlomu, ktoré je tiež potrebné vykresliť na čiaru), všetky tieto body sa nazývajú „podozrivé“ body pre extrém
• Vypočítame, na ktorom z týchto intervalov bude derivácia kladná a na ktorom záporná. Aby ste to dosiahli, musíte nahradiť hodnotu z intervalu do derivácie.

Z bodov podozrivých z extrému je potrebné nájsť presne . Aby sme to dosiahli, pozrieme sa na naše medzery na súradnicovej čiare. Ak sa pri prechode cez nejaký bod zmení znamienko derivácie z plus na mínus, potom bude tento bod maximálne, a ak z mínusu do plusu, tak minimálne.

Ak chcete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie, musíte vypočítať hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v extrémnych bodoch. Potom vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.

Zvážte príklad
Nájdeme deriváciu a prirovnáme ju k nule:

Získané hodnoty premenných aplikujeme na súradnicovú čiaru a vypočítame znamienko derivácie na každom z intervalov. No napríklad na prvý záber-2 , potom bude derivát-0,24 , na druhý odber0 , potom bude derivát2 , a do tretice berieme2 , potom bude derivát-0,24. Položili sme príslušné značky.

Vidíme, že pri prechode bodom -1 derivácia zmení znamienko z mínus na plus, to znamená, že to bude minimálny bod a pri prechode cez 1 z plusu do mínusu je to maximálny bod.

Prejdime na graf funkcie y \u003d x 3 - 3x 2. Uvažujme okolie bodu x = 0, t.j. nejaký interval obsahujúci tento bod. Je logické, že existuje také okolie bodu x \u003d 0, že funkcia y \u003d x 3 - 3x 2 v tomto susedstve nadobúda najväčšiu hodnotu v bode x \u003d 0. Napríklad na intervale (- 1; 1) najväčšiu hodnotu rovnajúcu sa 0, funkcia nadobúda v bode x = 0. Bod x = 0 sa nazýva maximálny bod tejto funkcie.

Podobne sa bod x \u003d 2 nazýva minimálny bod funkcie x 3 - 3x 2, pretože v tomto bode hodnota funkcie nie je väčšia ako jej hodnota v inom bode v blízkosti bodu x \u003d 2 , napríklad okolie (1,5; 2,5).

Maximálny bod funkcie f (x) je teda bod x 0, ak existuje okolie bodu x 0 - také, že nerovnosť f (x) ≤ f (x 0) je splnená pre všetky x z tohto okolia. .

Napríklad bod x 0 \u003d 0 je maximálny bod funkcie f (x) \u003d 1 - x 2, pretože f (0) \u003d 1 a nerovnosť f (x) ≤ 1 platí pre všetky hodnoty z x.

Minimálny bod funkcie f (x) sa nazýva bod x 0, ak existuje také okolie bodu x 0, že nerovnosť f (x) ≥ f (x 0) je splnená pre všetky x z tohto okolia.

Napríklad bod x 0 \u003d 2 je minimálny bod funkcie f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, pretože f (2) \u003d 3 a f (x) ≥ 3 pre všetky x .

Extrémne body sa nazývajú minimálne body a maximálne body.

Vráťme sa k funkcii f(x), ktorá je definovaná v niektorom okolí bodu x 0 av tomto bode má deriváciu.

Ak x 0 je extrémny bod diferencovateľnej funkcie f (x), potom f "(x 0) \u003d 0. Toto tvrdenie sa nazýva Fermatova veta.

Fermatova veta má jasný geometrický význam: v extrémnom bode je dotyčnica rovnobežná s osou x, a preto je jej sklon
f "(x 0) je nula.

Napríklad funkcia f (x) \u003d 1 - 3x 2 má maximum v bode x 0 \u003d 0, jej derivácia f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funkcia f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 má minimum v bode x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Všimnite si, že ak f "(x 0) \u003d 0, potom to nestačí na tvrdenie, že x 0 je nevyhnutne extrémny bod funkcie f (x).

Napríklad, ak f (x) \u003d x 3, potom f "(0) \u003d 0. Bod x \u003d 0 však nie je extrémnym bodom, pretože funkcia x 3 sa zvyšuje na celej reálnej osi.

Extrémne body diferencovateľnej funkcie teda treba hľadať iba medzi koreňmi rovnice
f "(x) \u003d 0, ale koreň tejto rovnice nie je vždy extrémnym bodom.

Stacionárne body sú body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná nule.

Aby bol teda bod x 0 extrémnym bodom, je potrebné, aby bol stacionárnym bodom.

Zvážte dostatočné podmienky na to, aby stacionárny bod bol extrémnym bodom, t.j. podmienky, za ktorých je stacionárny bod minimálnym alebo maximálnym bodom funkcie.

Ak je derivácia naľavo od stacionárneho bodu kladná a napravo záporná, t.j. derivácia zmení znamienko "+" na znamienko "-" pri prechode týmto bodom, potom je tento stacionárny bod maximálnym bodom.

V tomto prípade sa totiž vľavo od stacionárneho bodu funkcia zvyšuje a vpravo klesá, t.j. tento bod je maximálny bod.

Ak derivácia zmení znamienko "-" na znamienko "+" pri prechode cez stacionárny bod, potom tento stacionárny bod je minimálny bod.

Ak derivácia pri prechode stacionárnym bodom nemení znamienko, t.j. derivácia je kladná alebo záporná vľavo a vpravo od stacionárneho bodu, potom tento bod nie je extrémnym bodom.

Pozrime sa na jednu z úloh. Nájdite extrémne body funkcie f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Riešenie.

1) Nájdite deriváciu: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Nájdite stacionárne body: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Pomocou intervalovej metódy zistíme, že derivácia f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) je kladná pre x\u003e 3, záporná pre x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Keďže pri prechode bodom x 1 \u003d 0 sa znamienko derivácie nemení, tento bod nie je extrémnym bodom.

5) Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 derivácia zmení znamienko "-" na znamienko "+". Preto je x 2 \u003d 3 minimálny bod.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.