Zákon rozdelenia súčtu dvoch náhodných veličín. Zloženie dvoch distribučných zákonov. Súčet dvoch náhodných premenných Rozdelenie súčtov nezávislých náhodných premenných

Použime vyššie uvedenú všeobecnú metódu na vyriešenie jedného problému, konkrétne na nájdenie distribučného zákona pre súčet dvoch náhodných premenných. Existuje systém dvoch náhodných veličín (X,Y) s hustotou rozdelenia f(x,y).

Uvažujme súčet náhodných premenných X a Y: a nájdime zákon rozdelenia hodnoty Z. Aby sme to dosiahli, zostrojíme v rovine xOy priamku, ktorej rovnica (obr. 6.3.1). Toto je priama čiara oddeľujúca segmenty rovnajúce sa z na osiach. Rovno rozdeľuje rovinu xy na dve časti; vpravo a vyššie ; vľavo a dole

Oblasť D je v tomto prípade ľavá dolná časť roviny xOy, vytieňovaná na obr. 6.3.1. Podľa vzorca (6.3.2) máme:

Toto je všeobecný vzorec pre hustotu distribúcie súčtu dvoch náhodných premenných.

Z dôvodov symetrie úlohy vzhľadom na X a Y môžeme napísať inú verziu toho istého vzorca:

Je potrebné vytvoriť zloženie týchto zákonov, t. j. nájsť zákon rozdelenia množstva: .

Aplikujeme všeobecný vzorec pre zloženie distribučných zákonov:

Nahradením týchto výrazov do vzorca sme sa už stretli

a to nie je nič iné ako normálny zákon s disperzným centrom

K rovnakému záveru možno oveľa jednoduchšie dospieť pomocou nasledujúcej kvalitatívnej úvahy.

Bez otvárania zátvoriek a bez vykonávania transformácií v integrande (6.3.3) okamžite dospejeme k záveru, že exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na x tvaru

ak hodnota z nie je zahrnutá do koeficientu A vôbec, započítava sa do koeficientu B prvého stupňa a koeficient C sa započítava do štvorca. S ohľadom na to a použitím vzorca (6.3.4) sme dospeli k záveru, že g(z) je exponenciálna funkcia, ktorej exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na z a hustotu rozdelenia; tohto druhu zodpovedá bežnému zákonu. Teda my; prichádzame k čisto kvalitatívnemu záveru: zákon rozdelenia z musí byť normálny. Ak chcete nájsť parametre tohto zákona - a - použiť vetu o sčítaní matematických očakávaní a vetu o sčítaní rozptylov. Podľa vety o sčítaní matematických očakávaní . Podľa vety o sčítaní rozptylu alebo odkiaľ nasleduje vzorec (6.3.7).

Prechodom od stredných odchýlok k pravdepodobným odchýlkam, ktoré sú im úmerné, dostaneme:
.

Dospeli sme teda k nasledujúcemu pravidlu: keď sa skladajú normálne zákony, získa sa opäť normálny zákon a matematické očakávania a rozptyly (alebo druhá mocnina pravdepodobných odchýlok) sa spočítajú.

Pravidlo zloženia pre normálne zákony možno zovšeobecniť na prípad ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných.

Ak existuje n nezávislých náhodných premenných: podliehajú normálnym zákonom s disperznými centrami a štandardnými odchýlkami, potom hodnota podlieha aj normálnemu zákonu s parametrami

Ak je systém náhodných veličín (X, Y) rozdelený podľa normálneho zákona, ale veličiny X, Y sú závislé, potom je ľahké dokázať, rovnako ako predtým, na základe všeobecného vzorca (6.3.1), že zákon rozdelenia množstva je tiež normálny zákon. Stredy rozptylu sa stále pridávajú algebraicky, ale pre štandardné odchýlky sa pravidlo stáva komplikovanejším: , kde r je korelačný koeficient hodnôt X a Y.

Pri pridaní niekoľkých závislých náhodných premenných, ktoré sa ako celok riadia normálnym zákonom, sa zákon rozdelenia súčtu ukáže ako normálny aj s parametrami

kde je korelačný koeficient veličín X i , X j a súčet sa vzťahuje na všetky rôzne párové kombinácie veličín .

Videli sme veľmi dôležitú vlastnosť normálneho zákona: keď sa normálne zákony skombinujú, opäť dostaneme normálny zákon. Ide o takzvanú „vlastnosť stability“. O distribučnom zákone sa hovorí, že je stabilný, ak sa zložením dvoch zákonov tohto typu opäť získa zákon rovnakého typu. Vyššie sme ukázali, že normálny zákon je stabilný. Len veľmi málo distribučných zákonov má vlastnosť stability. Zákon rovnomernej hustoty je nestabilný: pri skladaní dvoch zákonov rovnomernej hustoty v sekciách od 0 do 1 sme dostali Simpsonov zákon.

Stabilita bežného zákona je jednou z podstatných podmienok jeho širokého uplatnenia v praxi. Vlastnosť stability však okrem normálnej majú aj niektoré ďalšie distribučné zákony. Charakteristickým rysom normálneho zákona je, že keď sa vytvorí dostatočne veľký počet prakticky ľubovoľných distribučných zákonov, celkový zákon sa ukáže byť ľubovoľne blízky normálnemu, bez ohľadu na to, aké boli distribučné zákony pojmov. Dá sa to znázorniť napríklad zložením troch zákonov rovnomernej hustoty v úsekoch od 0 do 1. Výsledný zákon rozdelenia g(z) je znázornený na obr. 6.3.1. Ako vidno z nákresu, graf funkcie g(z) je veľmi podobný grafu normálneho zákona.

Definícia. Náhodné premenné Х 1 , Х 2 , …, Х n sa nazývajú nezávislé, ak pre ľubovoľné x 1, x 2, …, x n sú udalosti nezávislé

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Z definície priamo vyplýva, že pre nezávislé náhodné premenné X 1, X 2, …, X n distribučná funkcia n-rozmerná náhodná premenná X = X 1, X 2, …, X n sa rovná súčinu distribučných funkcií náhodných veličín X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Rozlišujme rovnosť (1) n krát podľa x 1 , x2, …, x n, dostaneme

p(x 1 , x2, …, x n) = p(x 1)p(x2)…p(x n). (2)

Môže byť uvedená iná definícia nezávislosti náhodných premenných.

Ak zákon rozdelenia jednej náhodnej premennej nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudli iné náhodné premenné, potom sa takéto náhodné premenné nazývajú nezávislé v súhrne.

Zakúpia sa napríklad dva žreby rôznych vydaní. Nechať byť X- výška výhry za prvý tiket, Y– výška výhry za druhý tiket. náhodné premenné X A Y- nezávislé, pretože výhra jedného tiketu neovplyvní zákon o distribúcii druhého tiketu. Ale ak sú lístky rovnakého vydania, potom X A Y- závislý.

Dve náhodné premenné sa nazývajú nezávislé, ak sa distribučný zákon jednej z nich nemení v závislosti od možných hodnôt, ktoré nadobudla druhá premenná.

Veta 1(konvolúcie) alebo „veta o hustote súčtu 2 náhodných premenných“.

Nechať byť X = (X 1;X 2) je nezávislá spojitá dvojrozmerná náhodná premenná, Y = X 1+ X 2. Potom hustota distribúcie

Dôkaz. Dá sa ukázať, že ak , tak

kde X = (X 1 , X 2 , …, X n). Potom ak X = (X 1 , X 2), potom distribučná funkcia Y = X 1 + X 2 možno definovať nasledovne (obr. 1) –

V súlade s definíciou je funkciou hustota rozdelenia náhodnej premennej Y = X 1 + X 2, t.j.

py (t) = čo sa malo dokázať.

Odvoďme vzorec na nájdenie rozdelenia pravdepodobnosti súčtu dvoch nezávislých diskrétnych náhodných premenných.

Veta 2. Nechať byť X 1 , X 2 – nezávislé diskrétne náhodné premenné,

Dôkaz. Predstavte si udalosť A x = {X 1 +X 2 = X) ako súčet nezlučiteľných udalostí

A x = å( X 1 = X ja; X 2 = X– X i).

Pretože X 1 , X 2 - nezávislá potom P(X 1 = X ja; X 2 = X– X i) = P(X 1 = X i) P(X 2 = x-x ja potom

P(A x) = P(å( X 1 = X ja; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

Príklad 1 Nechať byť X 1 , X 2 - nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením s parametrami N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Nájdite hustotu distribúcie ich súčtu (označíme X 1 = X, Y = X 1 +X 2)

Je ľahké vidieť, že integrand je hustota distribúcie normálnej náhodnej premennej s parametrami ale= , , t.j. integrál je 1.

Funkcia py(t) je hustota normálneho rozdelenia s parametrami a = 0, s = . Súčet nezávislých normálnych náhodných veličín s parametrami (0,1) má teda normálne rozdelenie s parametrami (0,), t.j. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Príklad 2. Nech sú teda dané dve diskrétne nezávislé náhodné premenné s Poissonovým rozdelením

kde k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Podľa vety 2 máme:

Príklad 3 Nechať byť X 1, X 2 - nezávislé náhodné premenné s exponenciálnym rozložením . Poďme zistiť hustotu Y= X 1 +X 2 .

Označiť X = X 1. Odkedy X 1, X 2 sú nezávislé náhodné premenné, potom použijeme „konvolučný teorém“

Dá sa ukázať, že ak súčet ( Х i majú exponenciálne rozdelenie s parametrom l), potom Y= má distribúciu nazývanú Erlangova distribúcia ( n- 1) objednávka. Tento zákon bol získaný modelovaním fungovania telefónnych ústrední v prvých prácach o teórii radenia.

V matematickej štatistike sa často používajú zákony rozdelenia náhodných premenných, ktoré sú funkciami nezávislých normálnych náhodných premenných. Uvažujme o troch zákonoch, s ktorými sa najčastejšie stretávame pri modelovaní náhodných javov.

Veta 3. Ak sú náhodné premenné nezávislé X 1, ..., X n, potom sú funkcie týchto náhodných premenných tiež nezávislé Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Pearsonova distribúcia(od 2 -distribúcia). Nechať byť X 1, ..., X n sú nezávislé normálne náhodné premenné s parametrami ale= 0, s = 1. Zostavte náhodnú premennú

Touto cestou,

Dá sa ukázať, že hustota pre x > 0 má tvar , kde k n je nejaký koeficient pre splnenie podmienky. Ako n ® ¥, Pearsonovo rozdelenie má tendenciu k normálnemu rozdeleniu.

Nech Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), potom náhodné premenné ~ N(0,1). Náhodná premenná má teda rozdelenie c 2 s n stupňami voľnosti.

Pearsonovo rozdelenie je tabuľkové a používané v rôznych aplikáciách matematickej štatistiky (napríklad pri testovaní hypotézy, že distribučný zákon je konzistentný).

DISTRIBUČNÉ FUNKCIE

Nechať byť x(k) je nejaká náhodná premenná. Potom pre akúkoľvek pevnú hodnotu x náhodná udalosť x(k) X definovaný ako súbor všetkých možných výsledkov k také že x(k) x. Z hľadiska pôvodnej miery pravdepodobnosti uvedenej na vzorovom priestore, distribučná funkciaP(x) definovaná ako pravdepodobnosť priradená množine bodov k x(k) x. Všimnite si, že množina bodov k uspokojenie nerovnosti x(k) x, je podmnožinou množiny bodov, ktoré spĺňajú nerovnosť x(k) . Formálne

To je zrejmé

Ak je rozsah hodnôt náhodnej premennej spojitý, čo sa predpokladá nižšie, potom hustota pravdepodobnosti(jednorozmerný) p(x) je určený diferenciálnym vzťahom

(4)

v dôsledku toho

(6)

Aby bolo možné uvažovať o diskrétnych prípadoch, je potrebné pripustiť prítomnosť delta funkcií v zložení hustoty pravdepodobnosti.

OČAKÁVANÁ HODNOTA

Nech náhodná premenná x(k) nadobúda hodnoty z rozsahu od -  do + . Priemerná(inak, očakávaná hodnota alebo očakávaná hodnota) x(k) sa vypočíta pomocou zodpovedajúceho prechodu k limitu v súčte súčinov hodnôt x(k) o pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí:

(8)

kde E- matematické očakávanie výrazu v hranatých zátvorkách podľa indexu k. Podobne je definované aj matematické očakávanie reálnej jednohodnotovej spojitej funkcie g(X) z náhodnej premennej x(k)

(9)

kde p(x)- hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny x(k). Najmä brať g(x)=x, dostaneme stredná hodnota štvorca x(k) :

(10)

Disperziax(k) definovaný ako stredná štvorec rozdielu x(k) a jeho priemerná hodnota,

teda v tomto prípade g(x)= A

Podľa definície, smerodajná odchýlka náhodná premenná x(k), označené , je kladná hodnota druhej odmocniny rozptylu. Smerodajná odchýlka sa meria v rovnakých jednotkách ako priemer.

NAJDÔLEŽITEJŠIE FUNKCIE DISTRIBÚCIE

ROVNOMERNÉ (OBDŽNÍKOVÉ) ROZDELENIE.

Predpokladajme, že experiment spočíva v náhodnom výbere bodu z intervalu [ a,b] vrátane jeho koncových bodov. V tomto príklade ako hodnota náhodnej premennej x(k) môžete prevziať číselnú hodnotu vybraného bodu. Príslušná distribučná funkcia má tvar

Preto je hustota pravdepodobnosti daná vzorcom

V tomto príklade poskytuje výpočet priemeru a rozptylu pomocou vzorcov (9) a (11).

NORMÁLNE (GAUSSIOVSKÉ) ROZDELENIE

, - aritmetický priemer, - RMS.

Hodnota z zodpovedajúca pravdepodobnosti P(z)=1-, t.j.

CHI - Štvorcové rozloženie

Nechať byť - n nezávislých náhodných premenných, z ktorých každá má normálne rozdelenie s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.

Chí-kvadrát náhodná premenná s n stupňami voľnosti.

hustota pravdepodobnosti .

DF: 100 - percentuálne body - distribúcie sú označené , t.j.

priemer a rozptyl sú rovnaké

t - ROZDÁVKY ŠTUDENTOV

y, z sú nezávislé náhodné premenné; y - má - rozdelenie, z - normálne rozdelené s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.

hodnota - má t- Študentovo rozdelenie s n stupňami voľnosti

DF: 100 - percentuálny bod t - je uvedené rozdelenie

Priemer a rozptyl sú rovnaké

F - DISTRIBÚCIA

Nezávislé náhodné premenné; má - rozdelenie so stupňami voľnosti; rozdelenie so stupňami voľnosti. Náhodná hodnota:

,

F je distribuovaná náhodná premenná so stupňami voľnosti.

,

DF: 100 - percentuálny bod:

Priemer a rozptyl sú rovnaké:

ROZDELENIE SUMY

DVE NÁHODNÉ PREMENNÉ

Nechať byť x(k) A y(k) sú náhodné premenné, ktoré majú spoločnú hustotu pravdepodobnosti p(x,y). Nájdite hustotu pravdepodobnosti súčtu náhodných premenných

Pri pevnom X máme y=z–x. Preto

Pri pevnom z hodnoty X spustite interval od – do +. Preto

(37)

z čoho je zrejmé, že na výpočet požadovanej hustoty súčtu je potrebné poznať pôvodnú spoločnú hustotu pravdepodobnosti. Ak x(k) A y(k) sú nezávislé náhodné premenné, ktoré majú hustoty a, v tomto poradí, potom a

(38)

PRÍKLAD: SÚČET DVOCH NEZÁVISLÝCH, ROVNOMERNE ROZLOŽENÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH.

Nech dve náhodné nezávislé premenné majú hustotu tvaru

V iných prípadoch Nájdite hustotu pravdepodobnosti p(z) ich súčtu z= x+ y.

Hustota pravdepodobnosti pre t.j. pre v dôsledku toho X menej ako z. Okrem toho sa nerovná nule pre Vzorec (38), zistíme, že

Ilustrácia:

Hustota pravdepodobnosti súčtu dvoch nezávislých, rovnomerne rozdelených náhodných premenných.

NÁHODNÁ KONVERZIA

HODNOTY

Nechať byť x(t)- náhodná veličina s hustotou pravdepodobnosti p(x), nechaj to tak g(x) je jednohodnotová skutočná spojitá funkcia X. Najprv zvážte prípad, keď inverzná funkcia x(g) je tiež jednohodnotová spojitá funkcia g. Hustota pravdepodobnosti p(g), zodpovedajúca náhodnej premennej g(x(k)) = g(k), možno určiť z hustoty pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k) a derivát dg/dx za predpokladu, že derivát existuje a je odlišný od nuly, konkrétne:

(12)

Preto v limite dg/dx#0

(13)

Pomocou tohto vzorca nasleduje na pravej strane namiesto premennej X nahradiť príslušnú hodnotu g.

Zvážte teraz prípad, keď inverzná funkcia x(g) je platné n-cenná funkcia g, kde n je celé číslo a všetkých n hodnôt je rovnako pravdepodobné. Potom

(14)

PRÍKLAD:

ROZDELENIE HARMONICKEJ FUNKCIE.

Harmonická funkcia s pevnou amplitúdou X a frekvenciu f bude náhodnou premennou, ak jej počiatočný fázový uhol  =  (k)- náhodná hodnota. Najmä nech t pevné a rovnaké t o, a harmonická náhodná premenná nech má tvar

Predstierajme to  (k) má jednotnú hustotu pravdepodobnosti p( ) milý

Nájdite hustotu pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k).

V tomto príklade priama funkcia X( ) jednoznačne a inverzná funkcia  (X) nejednoznačný.

Nech existuje systém dvoch náhodných premenných X A Y, ktorých spoločné rozdelenie je známe. Úlohou je nájsť rozdelenie náhodnej premennej . Ako príklady SV Z môžete priniesť zisk z dvoch podnikov; počet voličov, ktorí hlasovali určitým spôsobom z dvoch rôznych okrskov; súčet bodov na dvoch kockách.

1. Prípad dvoch DSV. Bez ohľadu na hodnoty, ktoré majú diskrétne CV (vo forme konečného desatinného zlomku s rôznymi krokmi), situácia sa dá takmer vždy zredukovať na nasledujúci konkrétny prípad. množstvá X A Y môže nadobúdať iba celočíselné hodnoty, t.j. kde . Ak to boli pôvodne desatinné zlomky, potom ich možno vytvoriť ako celé čísla vynásobením 10 k. A chýbajúcim hodnotám medzi maximami a minimami možno priradiť nulovú pravdepodobnosť. Nech je známe spoločné rozdelenie pravdepodobnosti. Potom, ak očíslujeme riadky a stĺpce matice podľa pravidiel: , potom pravdepodobnosť súčtu je:

Prvky matice sa pridávajú pozdĺž jednej z uhlopriečok.

2. Prípad dvoch NSW. Nech je známa hustota rozloženia spoja. Potom hustota distribúcie súčtu:

Ak X A Y nezávislý, t.j. , potom

Príklad 1 X, Y– nezávislý, rovnomerne distribuovaný SW:

Nájdite hustotu distribúcie náhodnej premennej .

To je zrejmé ,

SW Z môže nadobúdať hodnoty v intervale ( c+d; a+b), ale nie pre všetkých X. mimo tohto intervalu. Na súradnicovej rovine ( X, z) rozsah možných hodnôt množstva z je rovnobežník so stranami X=od; X=a; z=x+d; z=x+b. Vo vzorci pre hranice integrácie bude c A a. Avšak vzhľadom na to, že v nahrad y=z-x, pre niektoré hodnoty z funkcia . Napríklad, ak c , potom o z=x+c a akékoľvek X bude mať: . Preto by sa mal výpočet integrálu vykonávať oddelene pre rôzne oblasti zmeny hodnoty z, v každom z nich budú hranice integrácie iné, ale pre všetkých X A z. Urobíme to pre špeciálny prípad, kedy a+d< b+c . Uvažujme tri rôzne oblasti zmeny množstva z a pre každú z nich nájdeme .