Изразяване на един вектор чрез друг. Изразяване на отсечка в права в паралелограм като вектор. Действия с вектори. Колинеарни вектори

Най-накрая стигнах до широка и дългоочаквана тема аналитична геометрия... Първо, малко за този раздел на висшата математика ... Със сигурност сега ви напомня за училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да скрием, нелюбима и често неясна тема за значителна част от учениците. Аналитичната геометрия, колкото и да е странно, може да изглежда по -интересна и достъпна. Какво означава прилагателното аналитично? Веднага идват на ум два маркирани математически обрата: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченсъщото методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични действия. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно внимателно да се прилагат необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без рисунки, освен това за по -добро разбиране на материала ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически задачи. Ще включа в лекциите си само онова, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако се нуждаете от по -пълна помощ по който и да е от подраздели, препоръчвам следната лесно достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Учебник по училищна геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания... Тази закачалка на съблекалнята на училището вече е издържала 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома... Автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.... Това е гимназиална литература, ще ви трябва първи том... Редките задачи може да изпаднат от полезрението ми и този урок ще бъде от безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно в Интернет. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментариума отново предлагам моето собствено развитие - софтуерен пакетвърху аналитична геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основни геометрични понятия и форми: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне питагорейската, здравей на повторителите)

И сега последователно ще разгледаме: концепцията за вектор, действия с вектори, координати на вектор. Освен това препоръчвам да се прочете решаваща статия Точково произведение на вектории също Векторно и смесено произведение на вектори... Локалната задача - Разделяне на сегмент в това отношение също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права линия в равнинас най -прости примери за решениякоето ще позволи научете се да решавате задачи по геометрия... Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи по линията и равнината, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, по пътя те ще обмислят типични задачи.

Вектор концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищното определение за вектор. ВекторНаречен режисирансегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точка, краят на сегмента е точка. Самият вектор се обозначава с. Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор... Удобно е да се приравнява концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането във вратите на института или напускането на вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки на равнината, пространството като т.нар нулев вектор... Такъв вектор има един и същ край и начало.

!!! Забележка: По -нататък можете да приемете, че векторите лежат в една и съща равнина или да приемете, че са разположени в пространството - същността на представения материал е вярна както за равнината, така и за пространството.

Легенда:Мнозина веднага забелязаха пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че на същото място поставят стрела в горната част! Вярно е, че можете да пишете със стрелка :, но също така е възможно запис, който ще използвам в бъдеще... Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, моите стрелци се оказаха твърде разнообразни и рошави в училище и университет. В образователната литература понякога те изобщо не се притесняват от клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт :, което означава, че това е вектор.

Това беше стилът, но сега за начините на писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и т.н. В този случай първата буква задължителноозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По -специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор е дължината на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично е.

Дължината на вектора се обозначава със знака на модула :,

Ще научим (или повторим, за кого как) малко по -късно как да намерим дължината на вектор.

Това бяха елементарни данни за вектора, познати на всички ученици. В аналитичната геометрия се използва т.нар свободен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде отложен от всяка точка:

Преди наричахме такива вектори равни (определението за равни вектори ще бъде дадено по -долу), но от чисто математическа гледна точка това е ЕДИН И СЪЩИЯ ВЕКТОР или свободен вектор... Защо безплатно? Тъй като в процеса на решаване на проблеми можете да "прикачите" този или онзи "училищен" вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от които се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде „клониран“ безкрайно много пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува навсякъде. Има един студент, който казва: Всеки лектор във е ** к вектор. В крайна сметка, не само остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и режисиран сегмент. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по -често =)

Така, свободен вектор- Това няколко идентични насочени сегменти. Училищното определение за вектор, дадено в началото на абзаца: "Вектор се нарича насочен сегмент ...", предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е обвързан с определена точка в равнина или пространство.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и точката на приложение има значение. Всъщност директен удар със същата сила по носа или челото ще бъде достатъчен, за да развия моя глупав пример, който води до различни последици. Въпреки това, не безплатновектори се намират и в хода на гимназията (не ходете там :)).

Действия с вектори. Колинеарни вектори

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: добавяне съгласно правилото на триъгълника, добавяне според правилото на паралелограма, правилото за векторната разлика, умножение на вектор по число, скаларен продукт на вектори и т.н.За семето, нека повторим две правила, които са особено важни за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори според правилото на триъгълниците

Да разгледаме два произволни ненулеви вектора и:

Изисква се да се намери сумата от тези вектори. Тъй като всички вектори се считат за свободни, оставяме настрана вектора от крайвектори:

Сумата от вектори е вектор. За по -добро разбиране на правилото е препоръчително да вложите физически смисъл в него: оставете някакво тяло да направи път по вектор, а след това по вектор. Тогава сумата от векторите е векторът на получения път с началото в точката на заминаване и края в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви силно по зигзага, а може и на автопилот - според получения вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнетевектор, получавате еквивалента правило за паралелограмдобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една и съща линия или на успоредни. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарен“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се извикват съвместно режисиран... Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположна посока.

Легенда:колинеарността на векторите се изписва с обичайния символ за паралелизъм :, докато е възможно детайлизиране: (векторите са съвместно насочени) или (векторите са насочени противоположно).

По продуктненулев вектор по число е вектор, чиято дължина е равна, и вектори и са насочени съвместно и противоположно насочени.

Правилото за умножаване на вектор по число е по -лесно за разбиране с помощта на фигурата:

Нека разберем по -подробно:

1) Посока. Ако факторът е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът е в рамките на или, тогава дължината на вектора намалява... Така че дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът е по -голям от един, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, обърнете внимание, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например ,. Обратното също е вярно: ако един вектор може да се изрази чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарно(във връзка с оригинала) вектор.

4) Векторите са съвместно насочени. Векторите и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са еднонаправени и имат еднаква дължина... Имайте предвид, че кодиректността предполага колинеарни вектори. Определението ще бъде неточно (излишно), ако кажем: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, кодиректирани и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равни вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати на равнината и в космоса

Първият момент е да се разгледат векторите в равнина. Представяме декартовата правоъгълна координатна система и оставяме настрана от началото на координатите сингълвектори и:

Вектори и ортогонален... Ортогонално = перпендикулярно. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо паралелизъм и перпендикулярност, използваме съответно думите колинеарности ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например :.

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили орти... Тези вектори се образуват основана повърхността. Това, което е основа, мисля, е интуитивно ясно за много, по -подробна информация може да се намери в статията Линейна (не) зависимост на векторите. Основа на векториС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която пълен и богат геометричен живот е в разгара си.

Понякога конструираната основа се нарича ортонормаленосновата на равнината: "орто" - тъй като векторите на координатите са ортогонални, прилагателното "нормализирано" означава единица, т.е. дължините на векторите на основата са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено е написана в скоби, вътре в която в строга последователностса изброени базисни вектори, например :. Координатни вектори забранено епренаредете.

Всякаквивекторна равнина уникален начинизразено като:
, където - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз Наречен разлагане на векторана базата .

Вечерята е сервирана:

Нека започнем с първата буква от азбуката :. Чертежът ясно показва, че при разширяване на вектора по отношение на основата се използват точно разгледаните:
1) правилото за умножаване на вектор по число: и;
2) добавяне на вектори според правилото на триъгълника :.

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото разпадане „ще го последва безмилостно“. Ето я, свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Смешно е, че самите основни (безплатни) вектори не трябва да се отлагат от началото, единият може да бъде нарисуван например в долния ляв ъгъл, а другият в горния десен ъгъл и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е нужно да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви привлече „кредитиран“ на неочаквано място.

Вектори, илюстрират точно правилото за умножаване на вектор по число, векторът е съвместно насочен с базовия вектор, векторът е противоположен на базовия вектор. Тези вектори имат една от координатите, равна на нула, тя може да бъде щателно записана, както следва:

А базисните вектори, между другото, изглеждат така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая:,. Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. Така че разширенията на векторите "de" и "e" са тихо записани като сума :, ... Следвайте чертежа как доброто старо триъгълно добавяне на вектори работи ясно в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата ort(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин за писане на вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват, както следва: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите опции за запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: координатите на векторите не могат да се пренареждат. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Всъщност и са два различни вектора.

Разбрахме координатите на равнината. Нека сега разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук всичко е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се извършват триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от началото:

Всякаквивектор на триизмерно пространство може единствения начинразгънете в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадената основа.

Пример от снимката: ... Нека да видим как работят векторните правила тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето един пример за добавяне на няколко, в случая три вектора :. Сумарният вектор започва от началната отправна точка (векторен старт) и почива на крайната точка на пристигане (векторен край).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са свободни, опитайте се да отложите мислено вектора от всяка друга точка и ще разберете, че разлагането му „ще остане с него“.

Подобно на плоския калъф, в допълнение към писането широко се използват версии със скоби: или.

Ако в разширението липсват един (или два) координатни вектора, на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) - записвам;
вектор (педантично) - запишете;
вектор (щателно ) - ще го запишем.

Основните вектори се записват, както следва:

Може би това са всички минимални теоретични знания, необходими за решаване на проблеми в аналитичната геометрия. Може би има твърде много термини и определения, затова препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат отново тази информация. И ще бъде полезно за всеки читател да се позовава на основния урок от време на време за по -добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия често ще се използват в следващото. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни, за да преминат теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като внимателно шифровам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на изложение, но плюс за вашето разбиране на темата. За подробна теоретична информация, моля, следвайте поклона на професор Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най -простите проблеми на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Много е желателно да се научите как да решавате задачите, които ще бъдат разгледани на пълна машина, и формулите запомням, дори не специално запомняне, те самите ще бъдат запомнени =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най -простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки. Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата, много неща са ви познати от училище.

Представянето на материала ще върви паралелно - както за самолета, така и за космоса. По причината, че всички формули ... ще се убедите сами.

Как да намерим вектор по две точки?

Ако са дадени две точки на равнината и, тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки от пространството и, тогава векторът има следните координати:

Т.е. от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Задачата:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки на равнината и. Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат по този начин:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгради чертеж (което е типично за задачи по аналитична геометрия), но за да обясня някои точки на манекени, няма да бъда много мързелив:

Наложително е да се разбере разлика между координати на точка и векторни координати:

Координати на точкиОбичайните координати са в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да поставя точки на координатната равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго място в равнината и не можете да ги преместите никъде.

Координатите на същия векторРазширението му по отношение на основата, в случая. Всеки вектор е свободен, следователно при желание или необходимост можем лесно да го отложим от друга точка на равнината. Интересно е, че за вектори е възможно изобщо да не се изграждат оси, правоъгълна координатна система, необходима е само основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координатите на точките и координатите на векторите изглеждат подобни :, и значение на координатитеабсолютно различени трябва да сте наясно с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за космоса.

Дами и господа, изпълваме си ръцете:

Пример 2

а) Точки и се дават. Намерете вектори и.
б) Дават се точки и . Намерете вектори и.
в) Точки и се дават. Намерете вектори и.
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Стига, може би. Това са примери за независимо решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, това ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да сте изключително внимателни, за да избегнете грешка в работилницата „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако сгреших =)

Как да се намери дължината на отсечка?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака на модула.

Ако са дадени две точки на равнината и, тогава дължината на сегмента може да бъде изчислена по формулата

Ако са дадени две точки от пространството и, дължината на сегмента може да бъде изчислена по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати бъдат пренаредени: и, но първата опция е по -стандартна.

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по -голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако попълните чертеж в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да бъде проверен с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: "единици". Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилно решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единица“.

Второ, ще повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важна техника – изваждане на фактор под корена... В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждане на фактора под корена (ако е възможно). По -подробно процесът изглежда така: ... Разбира се, оставянето на отговора във формата няма да бъде грешка - а дефект, със сигурност, и важен аргумент за избирането на гниди от страна на учителя.

Други често срещани случаи са:

Често доста голям брой се получава например под корена. Какво да направите в такива случаи? В калкулатора проверете дали числото се дели на 4 :. Да, той беше напълно разделен по следния начин: ... Или може би числото може да бъде разделено на 4 отново? ... По този начин: ... Последната цифра от числото е нечетна, така че очевидно не е възможно да се раздели на 4 за трети път. Опитваме се да разделим на девет :. Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена се получи неизвлекаемо число, тогава се опитваме да премахнем множителя под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.н.

В хода на решаването на различни проблеми често се срещат корените, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по -нисък резултат и ненужни проблеми с усъвършенстването на вашите решения според забележката на учителя.

Нека повторим квадратурата и другите правомощия едновременно:

Общите правила за справяне с дипломите могат да бъдат намерени в училищния учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задание за независимо решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Точки и се дават. Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намеря дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава дължината му се изчислява по формулата.

Ако е даден вектор на пространството, неговата дължина се изчислява по формулата .

В успоредник точката лежи отстрани ,. Изразете вектора чрез вектори и.

Решението на проблема

Този урок показва как чрез известните вектори под формата на страничните страни на успоредник да се изрази произволен сегмент под формата на композиция от оригиналните вектори. Този проблем не би могъл да има решение, ако не знаехме в какво съотношение едната от страните на паралелограма е разделена на точка, принадлежаща на търсения отрязък. По -нататъшните действия се свеждат до определяне на началото и края на дадените вектори и вектори, на които страничната страна е разделена. Всичко това е необходимо, за да се използват правилно знаците при комбиниране на вектори. В края на краищата е необходимо да запомните правилата за добавяне на вектори: сумата от вектори дава третия вектор, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят с края на втория; и правилото за изваждане на вектори: разликата на два вектора е третият вектор, чието начало съвпада с краищата на втория вектор, а краят с края на първия вектор. Въз основа на тези прости правила можете да получите необходимата комбинация.

Ще има и задачи за независимо решение, на които можете да видите отговорите.

Вектор концепция

Преди да научите всичко за векторите и операциите върху тях, настройте се на решаването на прост проблем. Има вектор на вашето предприемачество и вектор на вашите иновативни способности. Векторът на предприемачеството ви води към цел 1, а векторът на иновативните способности води към цел 2. Правилата на играта са такива, че не можете да се движите в посоките на тези два вектора наведнъж и да постигнете две цели наведнъж. Векторите си взаимодействат или, математически, се извършва някаква операция върху векторите. Резултатът от тази операция е векторът "Резултат", който ви води към цел 3.

Сега ми кажете: резултатът от каква операция върху векторите "Enterprise" и "Innovative sposobnosti" е векторът "Резултат"? Ако не можете да кажете веднага, не се обезсърчавайте. Докато напредвате през този урок, ще можете да отговорите на този въпрос.

Както вече видяхме по -горе, векторът задължително отива от някаква точка Апо права линия до някаква точка Б... Следователно всеки вектор има не само числова стойност - дължина, но и физическа и геометрична насоченост. Това води до първата и най -проста дефиниция на вектор. Така че, векторът е насочен сегмент, тръгващ от точка Акъм основния въпрос Б... Той е обозначен, както следва :.

И да започна различно векторни операции , трябва да се запознаем с още едно определение на вектор.

Вектор е вид представяне на точка, до която искате да стигнете от някаква изходна точка. Например, триизмерен вектор обикновено се записва като (x, y, z) . Много просто, тези числа представляват колко далеч е необходимо да се пътува в три различни посоки, за да се стигне до дадена точка.

Нека бъде даден вектор. При което х = 3 (дясната ръка сочи надясно) y = 1 (лявата ръка сочи напред) z = 5 (под точката има стълбище, водещо нагоре). Според тези данни ще намерите точка, като вървите 3 метра в посоката, посочена от дясната ръка, след това 1 метър в посоката, посочена от лявата ръка, а след това ви очаква стълбище и, изкачвайки 5 метра, най -накрая ще попаднете в последната точка.

Всички други термини са уточнения на горното обяснение, необходими за различни операции с вектори, тоест решаване на практически проблеми. Нека преминем през тези по -строги дефиниции, като се спрем на типични векторни проблеми.

Физически примеривекторните величини могат да бъдат изместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея.

Геометричен векторпредставени в двуизмерно и триизмерно пространство във формата насочен сегмент... Това е сегмент, който прави разлика между началото и края.

Ако Ае началото на вектора, и Б- неговия край, тогава векторът се обозначава със символ или една малка буква. На фигурата краят на вектора е обозначен със стрелка (фиг. 1)

Дължина(или модул) на геометричен вектор е дължината на сегмента, който го генерира

Двата вектора се наричат равен ако могат да бъдат подравнени (ако посоките съвпадат) посредством паралелно прехвърляне, т.е. ако са успоредни, сочат в една и съща посока и имат еднакви дължини.

Във физиката често се разглежда закотвени векторидадени от точката на приложение, дължина и посока. Ако точката на приложение на вектора няма значение, той може да бъде прехвърлен, като се запази дължината и посоката към всяка точка в пространството. В този случай векторът се извиква Безплатно... Ще се съгласим да разгледаме само безплатни вектори.

Линейни операции върху геометрични вектори

Умножаване на вектор по число

Продукт на вектор по номерасе нарича вектор, получен от вектор чрез разтягане (at) или компресия (at) по време, а посоката на вектора се запазва ако и се променя на обратното, ако. (Фиг. 2)

От дефиницията следва, че векторите и = винаги се намират на една или на паралелни линии. Такива вектори се наричат колинеарен... (Можете също така да кажете, че тези вектори са успоредни, но във векторната алгебра е обичайно да се казва "колинеарен".) Обратното също е вярно: ако векторите и са колинеарни, те са свързани по отношение

Следователно равенството (1) изразява условието за колинеарност на два вектора.

Добавяне и изваждане на вектори

Когато добавяте вектори, трябва да знаете това сумавектори и се нарича вектор, чието начало съвпада с началото на вектора, а краят - с края на вектора, при условие че началото на вектора е прикрепено към края на вектора. (Фиг. 3)

Това определение може да бъде разпределено върху произволен краен брой вектори. Нека се даде място нбезплатни вектори. При добавяне на няколко вектора, затварящият вектор се приема като тяхна сума, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на последния вектор. Тоест, ако прикачите началото на вектора към края на вектора, а началото на вектора към края на вектора и т.н. и накрая, до края на вектора - началото на вектора, тогава сумата от тези вектори е затварящият вектор чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят съвпада с края на последния вектор. (Фиг. 4)

Термините се наричат компоненти на вектора и формулираното правило е правило на многоъгълник... Този многоъгълник може да не е плосък.

Когато умножите вектор по -1, получавате противоположния вектор. Вектори и имат еднаква дължина и противоположни посоки. Тяхната сума дава нулев векторчиято дължина е нула. Посоката на нулевия вектор е неопределена.

Във векторната алгебра няма нужда да се разглежда отделно операцията на изваждане: изваждането на вектор от вектор означава добавяне на противоположния вектор към вектора, т.е.

Пример 1.Опростете израза:

тоест векторите могат да се добавят и умножават по числата по същия начин като полиномите (по -специално, също задачи за опростяване на изразите). Обикновено необходимостта от опростяване на линейно подобни изрази с вектори възниква преди изчисляване на произведенията на вектори.

Пример 2.Векторите и служат като диагонали на паралелограма ABCD (фиг. 4а). Изразете чрез двата вектора ,, и, които са страните на този паралелограм.

Решение. Точката на пресичане на диагоналите на паралелограма разделя всеки диагонал наполовина. Намираме дължините на векторите, необходими в постановката на задачата, или като половината от сумите на векторите, образуващи триъгълник с желаните, или като половината от разликите (в зависимост от посоката на вектора, служещ за диагонал), или като в последния случай половината сума, взета със знак минус. Резултатът са векторите, необходими в постановката на задачата:

Има всички основания да смятате, че сега правилно сте отговорили на въпроса за векторите за предприемачество и иновативни способности в началото на този урок. Точен отговор: операцията по добавяне се извършва върху тези вектори.

Решавайте сами векторни проблеми и след това вижте решения

Как да намерите дължината на сумата от вектори?

Тази задача заема специално място във векторните операции, тъй като включва използването на тригонометрични свойства. Да предположим, че попадате на задача като следната:

Предвид дължините на векторите и дължината на сумата от тези вектори. Намерете дължината на разликата на тези вектори.

Решения на този и други подобни проблеми и обяснения как да ги решим - в урока " Векторно допълнение: дължина на векторна сума и косинусова теорема ".

И можете да проверите решението на такива проблеми на Онлайн калкулатор „Неизвестна страна на триъгълник (векторно добавяне и косинусова теорема)“.

Къде са продуктите на векторите?

Продуктите на вектор от вектор не са линейни операции и се разглеждат отделно. И имаме уроци. " Точково произведение на вектори" и " Векторни и смесени продукти от вектори ".

Проектиране на вектор върху ос

Проекцията на вектора върху оста е равна на произведението на дължината на проектирания вектор от косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Както знаете, проекцията на точката Ана права линия (равнина) е основата на перпендикуляр, паднал от тази точка на права линия (равнина).

Позволявам е произволен вектор (фиг. 5) и и е проекциите на неговото начало (точки А) и край (точки Б) на ос л... (За да се конструира проекция на точка А) по права линия през точката Аравнина, перпендикулярна на права линия. Пресичането на линията и равнината ще определи необходимата проекция.

Векторен компонент по оста lсе нарича вектор, лежащ на тази ос, чието начало съвпада с проекцията на началото, а краят - с проекцията на края на вектора.

Проекцията на вектора върху оста лизвика номера

равна на дължината на компонента вектор по тази ос, взета със знак плюс, ако посоката на компонентите съвпада с посоката на оста л, и със знак минус, ако тези посоки са противоположни.

Основни свойства на векторните проекции по оста:

1. Проекциите на равни вектори върху същата ос са равни помежду си.

2. Когато умножавате вектор по число, неговата проекция се умножава по същото число.

3. Проекцията на сумата от вектори по всяка ос е равна на сумата от проекциите по същата ос на слаганията на векторите.

4. Проекцията на вектора върху оста е равна на произведението на дължината на проектирания вектор от косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Решение. Проектирайте вектори върху ос лкакто е определено в теоретичната основа по -горе. От фиг. 5а е очевидно, че проекцията на сумата от вектори е равна на сумата от проекциите на вектори. Изчисляваме тези прогнози:

Намерете крайната проекция на сумата от вектори:

Връзка на вектор с правоъгълна декартова координатна система в пространството

Запознаване с правоъгълна декартова координатна система в космоса се проведе в съответния урок, желателно е да го отворите в нов прозорец.

В подредена координатна система 0xyzос ВолНаречен абсциса, ос 0г – ос y, и оста 0z – ос кандидатстват.

С произволна точка Мпространство свързваме вектор

Наречен радиус векторточки Ми го проектирайте върху всяка от координатните оси. Нека обозначим стойностите на съответните проекции:

Числата x, y, zса наречени координати на точка М., съответно абсциса, ординати кандидатстват, и са написани като подредена точка от числа: M (x; y; z)(фиг. 6).

Извиква се вектор с единична дължина, чиято посока съвпада с посоката на оста единичен вектор(или orthom) оста. Нека обозначим с

Съответно единичните вектори на координатните оси Вол, Ой, Оз

Теорема.Всеки вектор може да бъде разширен по единичните вектори на координатните оси:

(2)

Равенство (2) се нарича разширение на вектора по координатните оси. Коефициентите на това разширение са проекциите на вектора върху координатните оси. По този начин коефициентите на разширение (2) на вектора по координатните оси са координатите на вектора.

След като изберете определена координатна система в пространството, векторът и триплетът от неговите координати се определят еднозначно, така че векторът може да бъде записан под формата

Представянето на вектора под формата (2) и (3) е идентично.

Условие на колинеарност за вектори в координати

Както вече отбелязахме, векторите се наричат колинеарни, ако са свързани по отношение

Нека вектори ... Тези вектори са колинеарни, ако координатите на векторите са свързани по съотношението

тоест координатите на векторите са пропорционални.

Пример 6.Дадени вектори ... Колинеарни ли са тези вектори?

Решение. Нека да разберем съотношението на координатите на тези вектори:

Координатите на векторите са пропорционални, следователно векторите са колинеарни или, което е същото, паралелни.

Косинуси на дължината и посоката на вектора

Поради взаимната перпендикулярност на координатните оси, дължината на вектора

е равна на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед, построен върху вектори

и се изразява с равенството

(4)

Векторът е напълно дефиниран чрез задаване на две точки (начална и крайна), така че координатите на вектора могат да бъдат изразени чрез координатите на тези точки.

Нека в дадена координатна система произходът на вектора е в точката

и краят е в точката

От равенството

Следва това

или в координатна форма

Следователно, координатите на вектора са равни на различията на едноименните координати на края и началото на вектора ... Формула (4) в този случай приема формата

Посоката на вектора се определя от посоки косинуси ... Това са косинусите на ъглите, които векторът образува с осите Вол, Ойи Оз... Нека обозначим съответно тези ъгли α , β и γ ... Тогава косинусите на тези ъгли могат да бъдат намерени по формулите

Направените косинуси на вектор също са координатите на единичния вектор на този вектор и по този начин векторния вектор