Историята на появата на тригонометричните уравнения. Започнете в науката. Средновековието: Изследвания на индийски учени

Синус, косинус, тангенс - когато произнасяте тези думи в присъствието на гимназисти, можете да сте сигурни, че две трети от тях ще загубят интерес към по-нататъшен разговор. Причината се крие във факта, че основите на тригонометрията в училище се преподават в пълна изолация от реалността и затова учениците не виждат смисъл в изучаването на формули и теореми.

Всъщност при по-внимателно разглеждане тази област на познанието се оказва много интересна, както и приложна - тригонометрията намира приложение в астрономията, строителството, физиката, музиката и много други области.

Нека се запознаем с основните понятия и да дадем няколко причини да изучаваме този клон на математиката.

История

Не е известно в кой момент човечеството е започнало да създава бъдеща тригонометрия от нулата. Въпреки това е документирано, че още през второто хилядолетие пр. н. е. египтяните са били запознати с основите на тази наука: археолозите са намерили папирус със задача, в която се изисква да се намери ъгълът на наклон на пирамидата от две известни страни.

По-сериозни успехи постигнаха учените от Древен Вавилон. През вековете, занимавайки се с астрономия, те усвоиха редица теореми, въведоха специални методи за измерване на ъгли, които, между другото, използваме днес: градуси, минути и секунди са заимствани от европейската наука в гръко-римската култура, в която тези единици идват от вавилонците.

Смята се, че известната питагорова теорема, свързана с основите на тригонометрията, е била известна на вавилонците преди почти четири хиляди години.

име

Буквално терминът "тригонометрия" може да се преведе като "измерване на триъгълници". В продължение на много векове основният обект на изследване в този раздел на науката е бил правоъгълният триъгълник, или по-скоро връзката между ъглите и дължините на страните му (днес този раздел започва изучаването на тригонометрията от нулата). В живота често има ситуации, когато е невъзможно практически да се измерят всички необходими параметри на обект (или разстоянието до обект) и тогава става необходимо да се получат липсващите данни чрез изчисления.

Например, в миналото човек не можеше да измерва разстоянието до космическите обекти, но опитите за изчисляване на тези разстояния се случват много преди началото на нашата ера. Тригонометрията също играе важна роля в навигацията: с известни познания капитанът винаги можеше да се ориентира през нощта по звездите и да коригира курса.

Основни понятия

За да овладеете тригонометрията от нулата, трябва да разберете и запомните няколко основни термина.

Синусът на определен ъгъл е отношението на противоположния катет към хипотенузата. Нека уточним, че противоположният крак е страната, противоположна на ъгъла, който разглеждаме. По този начин, ако ъгълът е 30 градуса, синусът на този ъгъл винаги ще бъде ½ за всеки размер на триъгълник. Косинусът на ъгъла е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът е съотношението на противоположния крак към съседния крак (или, което е същото, съотношението на синуса към косинуса). Котангенсът е единицата, разделена на допирателната.

Струва си да се спомене известното число Pi (3,14 ...), което е половината от обиколката на окръжност с радиус от една единица.

Етимология на думата "синус"

Историята на думата "синус" е наистина необичайна. Факт е, че буквалният превод на тази дума от латински означава "депресия". Това е така, защото правилното разбиране на думата е загубено при превод от един език на друг.

Имената на основните тригонометрични функции произлизат от Индия, където понятието синус се обозначава с думата "тетива" на санскрит - факт е, че сегмент, заедно с дъгата на окръжност, върху която се опира, приличаше на лък. По време на разцвета на арабската цивилизация индийските постижения в тригонометрията са заимствани и терминът е транскрибиран на арабски. Така се случи, че на този език вече имаше подобна дума за хралупа и ако арабите разбираха фонетичната разлика между местна и заета дума, то европейците, превеждащи научни трактати на латински по погрешка, буквално превеждаха арабската дума, която няма нищо общо с понятието синус... Използваме го и до днес.

Таблици със стойности

Има таблици, в които са въведени числовите стойности за синуси, косинуси и тангенси на всички възможни ъгли. По-долу представяме данните за ъгли от 0, 30, 45, 60 и 90 градуса, които трябва да се научат като задължителен раздел от тригонометрията за "манекени", тъй като е доста лесно да ги запомните.

Ако се случи числовата стойност на синуса или косинуса на ъгъла да "излетя от главата ми", има начин да го извлечете сами.

Геометрично представяне

Начертаваме кръг, през центъра му изчертаваме осите на абсцисата и ординатите. Оста на абсцисата е разположена хоризонтално, оста на ординатите е вертикална. Те обикновено се подписват съответно като "X" и "Y". Сега начертайте права линия от центъра на кръга, така че ъгълът, от който се нуждаем, да се получи между нея и оста X. И накрая, от точката, където правата пресича окръжността, пускаме перпендикуляра на оста X. Дължината на получения сегмент ще бъде равна на числовата стойност на синуса на нашия ъгъл.

Този метод е много уместен, ако сте забравили желаната стойност, например на изпит, и под ръка няма учебник по тригонометрия. По този начин няма да получите точна цифра, но определено ще видите разликата между ½ и 1,73 / 2 (синус и косинус на ъгъл от 30 градуса).

Приложение

Някои от първите специалисти, използвали тригонометрията, са моряци, които нямат друга референтна точка в открито море освен небето над главата. Днес капитаните на кораби (самолети и други видове транспорт) не търсят най-краткия път през звездите, а активно прибягват до използването на GPS навигация, което би било невъзможно без използването на тригонометрия.

В почти всеки раздел на физиката ви очакват изчисления, използващи синуси и косинуси: независимо дали става въпрос за прилагане на сила в механиката, изчисления на пътя на обекти в кинематиката, трептения, разпространение на вълните, пречупване на светлината - просто не можете без основна тригонометрия във формулите.

Друга професия, която е немислима без тригонометрия, е геодезист. Използвайки теодолит и нивелир, или по-сложен инструмент, тахиометър, тези хора измерват разликата във височината между различните точки на земната повърхност.

Повторяемост

Тригонометрията се занимава не само с ъглите и страните на триъгълника, въпреки че именно от това започва своето съществуване. Във всички области, където е налице цикличност (биология, медицина, физика, музика и т.н.), ще срещнете графика, чието име вероятно ви е познато - това е синусоида.

Такава графика е кръг, разгънат по оста на времето и изглежда като вълна. Ако някога сте работили с осцилоскоп в час по физика, знаете за какво става въпрос. И музикалният еквалайзер, и пулсомерът използват тригонометрични формули в работата си.

Накрая

Когато мислят как да учат тригонометрия, повечето ученици от средните и средните училища започват да я смятат за трудна и непрактична наука, защото опознават само скучната информация от учебника.

Що се отнася до непрактичността, вече видяхме, че в една или друга степен способността за боравене със синуси и тангенси е необходима в почти всяка област на дейност. Що се отнася до сложността... Помислете: ако хората са използвали това знание преди повече от две хиляди години, когато възрастен е имал по-малко знания от днешния гимназист, реалистично ли е да изучавате тази област на науката на основно ниво ? Няколко часа обмислени упражнения за решаване на проблеми - и ще постигнете целта си, като изучавате основен курс, така наречената тригонометрия за манекени.

История на тригонометрията като наука

Тригонометрията, както всяка друга научна дисциплина, възниква от нуждите на човешката практическа дейност. Различни задачи на астрономията, навигацията, геодезията, архитектурата доведоха до необходимостта от разработване на метод за изчисляване на елементите на геометричните форми от известните стойности на другите им елементи, открити чрез директни измервания. Самото име "тригонометрия" от гръцки произход, което означава "измерване на триъгълници": (trigon) - триъгълник, (metrain) - измерване.

Произходът на тригонометрията датира от древни времена. Много преди новата ера вавилонските учени са успели да предскажат слънчеви и лунни затъмнения. Това ни позволява да заключим, че са знаели някои от най-простите сведения от тригонометрията. Постепенно в геометрията и астрономията се утвърждават понятията за синус, косинус и тангенс на ъгъл. По същество те са били управлявани от древни математици, като се има предвид съотношението на сегментите в триъгълници и кръгове.

Натрупаният материал от астрономически наблюдения изискваше математическа обработка. Един от основателите на тригонометрията се счита древногръцкият астроном Хипарх, живял през II век. пр.н.е. Хипарх е автор на първите тригонометрични таблици. Тези таблици не са стигнали до нас, но са включени (в подобрен вид) в съчинението „Голямото строителство“ (Алмагест) от известния александрийски астроном Клавдий Птолемей, живял през втората половина на 2 век. АД В тези таблици, които в продължение на много векове са служили като средство за решаване на триъгълници, стойностите на хордите на окръжността са дадени за различни стойности на съответния централен ъгъл. Единицата за измерване на хордите беше част от радиуса.

Тези таблици, на съвременен език, са таблици на стойностите на удвоения синус на половината от съответния централен ъгъл. Те дадоха стойностите на акордите за всички ъгли (на всеки половин градус) от 00 до 1800. Трябва обаче да се има предвид, че в древна Гърция тригонометрията не се е откроявала като самостоятелна наука, а се е считала за част от астрономия.

Важен принос за развитието на тригонометрията има индийската математика през 5-12 век. АД Индийските математици започват да изчисляват не пълния акорд, както са правили гърците, а неговата половина (тоест "линията на синусите"). Линията на синусите била наречена от тях „архаджива“, което буквално означавало „половината от тетивата“. Индианците съставиха таблица на синусите, в която бяха дадени стойностите на полухордите, измерени в части (минути) от кръг за всички ъгли от 00 до 900 (всеки). Тези таблици бяха по-точни от тези на Птолемей. Тяхната висока точност се доказва от факта, че за синусите и косинусите са изчислени стойности, които се различават от истинските с по-малко от.

Индийските математици познават съотношенията, които в съвременните нотации се записват по следния начин:

През XI - XIII век. в писанията на математиците от Централна Азия, Закавказието, Близкия изток и Индия започва формирането на тригонометрията като отделна наука. И в бъдеще нуждите на географията, геодезията, военните дела допринесоха за развитието на тригонометрията като наука. Тригонометрията се развива особено интензивно през Средновековието, предимно на югоизток: в Индия (Арябхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистан, Азербайджан и Таджикистан (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабия ( Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Батани). Голяма заслуга за формирането на тригонометрията като отделна наука принадлежи на азербайджанския учен Насирад-Дин Мухамад ат-Туси (1201 - 1274), който е написал "Трактат за пълния четириъгълник". Работите на учените от този период доведоха до изолирането на тригонометрията като нов независим клон на математиката. Техните писания обаче все още нямат необходимата символика и затова развитието на тригонометрията е бавно.

От XV век. а в Европа има трудове, посветени на въпросите на тригонометрията. Немският учен Йохан Мюлер (1436 - 1476), известен в науката под името Региомонтан, публикува труда "Пет книги за триъгълници от всякакъв вид", който играе важна роля в развитието на тригонометрията. Тя осигурява систематично представяне на тригонометрията като самостоятелна научна дисциплина. Regiomontanus състави таблици на синусите с точност до. В неговите таблици радиусът на окръжността е приет вместо кратен на 60, тоест всъщност е направен преход от шестдесетичната система за измерване към десетичната. През 1595 г. се появява работата на Бартоломей Питискус „Тригонометрия, или кратък обзорен трактат за решението на триъгълниците“.

През XV - XVII век. в Европа са съставени и публикувани няколко тригонометрични таблици. Над съставянето им са работили големи учени: Н. Коперник (1473 - 1543) и. Кеплер (1571 - 1630), Ф. Виет (1540 - 1603) и др. В Русия първите тригонометрични таблици са публикувани през 1703 г. с участието на Л.Ф. Магнитски.

Така тригонометрията възниква на геометрична основа, има геометричен език и се прилага за решаване на геометрични задачи. Развитието на алгебричния символизъм направи възможно записването на тригонометрични отношения под формата на формули; използването на отрицателни числа направи възможно разглеждането на насочени ъгли и дъги и разширяване на концепцията за тригонометрични линии (дефинирани сегменти в кръг) за всеки ъгъл. През този период е създадена база за изследване на тригонометричните функции като функции на числов аргумент, в основата на аналитичната теория на тригонометричните (кръгови) функции. Нютон разработи аналитичен апарат, който позволява да се изчисляват стойностите на тригонометричните функции с всякаква степен на точност.

Тригонометрията получава съвременната си форма в трудовете на великия учен, член на Руската академия на науките Л. Ойлер (1707 - 1783). Ойлер започва да разглежда стойностите на тригонометричните функции като числа - стойностите на тригонометричните линии в кръг, чийто радиус се приема като единица („тригонометричен кръг“ или „единична окръжност“). Ойлер дава окончателното решение за знаците на тригонометричните функции в различни четвърти, извежда всички тригонометрични формули от няколко основни, установява няколко непознати преди него формули, въвежда единни обозначения. Именно в неговите писания се срещат за първи път записи. Той също така открива връзката между тригонометрични и експоненциални функции на сложен аргумент. Въз основа на трудовете на Л. Ойлер са съставени учебници по тригонометрия, които го представят в строга научна последователност.

Аналитичното (независимо от геометрията) изграждане на теорията на тригонометричните функции, започнато от Ойлер, е завършено в трудовете на великия руски учен Н.И. Лобачевски.

Съвременната гледна точка за тригонометричните функции като функции на числов аргумент се дължи до голяма степен на развитието на физиката, механиката и технологиите. Тези функции формират основата на математическия апарат, с помощта на който се изучават различни периодични процеси: осцилаторни движения, разпространение на вълните, движение на механизми, трептене на променлив електрически ток. Както показва Дж. Фурие (1768 - 1830), всяко периодично движение с всякаква степен на точност може да бъде представено като сума от най-простите синусоидални (хармонични) трептения. Ако в началото на развитието на тригонометрията съотношението

изразява само връзката между площите на квадратите, изградени върху страните на променлив правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на 1, след което по-късно това съотношение започва да отразява и добавянето на две осцилаторни движения с получената интерференция.

Така в началните етапи на своето развитие тригонометрията служи като средство за решаване на изчислителни геометрични задачи. Неговото съдържание се считаше за изчисляване на елементите на най-простите геометрични фигури, тоест триъгълници. Но в съвременната тригонометрия независимо и също толкова важно е изследването на свойствата на тригонометричните функции. Този период в развитието на тригонометрията е подготвен от цялостното развитие на механиката на осцилаторните движения, физиката на звука, светлината и електромагнитните вълни.

През този период бяха дадени обобщения на много термини от тригонометрията и по-специално бяха изведени отношения за, където n е естествено число и т.н. Функциите и сега се разглеждат като суми от степенни редове:

В същото време се развива доктрината за тригонометричните функции на комплексна променлива.

Тригонометрията като учебен предмет

Историята на изучаването на тригонометрията в училище е изключително поучителна за специалистите в областта на обучението по математика. Това е историята на един от клоновете на математическата наука, едва през втората половина на 18 век. който е придобил доста строен и завършен вид.

За съвременния учител вече е доста трудно да намери материали, които разкриват идеите и структурата на предишни програми за преподаване на математика. В същото време в съвременно училище, в условия на определена академична свобода на учителя, тази информация може да бъде полезна за обосноваване на планирането на изучаването на тригонометрията, тъй като илюстрира други подходи за изучаване на този курс, които се различават от тези предлага се днес в много учебници.

Нека припомним, че във връзка с откриването на Н.И. Лобачевски от новата геометрия установи, че тригонометрията се състои от две различни части:

а) първата (обикновено наричана гониометрия) - частта от математическия анализ, където, независимо от геометричните съображения, аналитично се разкрива учението за трансценденталните тригонометрични функции с техните свойства;
б) втората е собствената тригонометрия, където математическият анализ и геометрията на определено пространство се комбинират.

Гониометрията не зависи от паралелната аксиома, а тригонометрията в правилния смисъл зависи от тази аксиома. Съотношението характеризира в общия случай операциите със съответните редове и само в евклидово пространство изразява съотношението между площите на квадратите, построени върху страните на правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на 1.

Известно съотношение между страните и ъглите на триъгълник

Тригонометрични неравенства

Пример 1. Да решим неравенството

Решение. Като означаваме, пренаписваме неравенство (1) във формата

Множеството от решения на неравенство (2) е поредица от интервали

следователно намираме всички решения на неравенство (1) чрез решаване на двойното неравенство

къде ще стигнем

тоест наборът от решения на неравенство (1) се състои от поредица от интервали

Пример 2. Да решим неравенството

Решение. Преписваме неравенство (3) като

Нека обозначим. Тъй като неравенството има много решения, намираме решения на неравенство (3), като решаваме двойното неравенство.

Неравенство

Това е вярно за всяко x и множеството от решения на неравенството е поредица от интервали

Това е множеството от решения на неравенството (3).

Пример 3. Нека дефинираме всички за всяко от които неравенството

има поне едно решение.

Решение. Разделяме неравенството (4) на число, получаваме неравенството

което е еквивалентно на неравенство (4).

Тъй като тогава има такъв ъгъл като. Пренаписваме неравенство (5) като

Последното неравенство, а оттам и неравенство (4), има поне едно решение за всяко такова, че, тоест, за всяко.

1.1 Етапи на развитие на тригонометрията като наука

Тригонометрията е една от най-младите катедри на елементарната математика, получила окончателната си форма едва през 18 век, въпреки че някои от идеите й принадлежат към дълбоката древност, към античния свят и към математическата работа на индусите (К. Птолемей, II век, Ал Батани, IX век и др.). Европейските математици са достигнали висока степен на съвършенство в изчисляването на таблици на естествените синуси и тангенси (Региомонтан, XV век, Ретикус и Питискус, XVI век и др.).

Самото име "тригонометрия" от гръцки произход, което означава "измерване на триъгълници": (trigon) - триъгълник, (metrain) - измерване.

Научното развитие на тригонометрията е извършено от Л. Ойлер в неговия труд "Jntroductio in analysis infinitorum" (1748). Той създава тригонометрията като наука за функциите, дава й аналитично представяне, извежда целия набор от формули от няколко основни формули. Обозначаването на страните с малки букви и противоположни ъгли - със съответните големи букви му позволи да опрости всички формули, да внесе яснота и хармония в тях. Ойлер идва с идеята да разглежда тригонометричните функции като отношение на съответните прави към радиуса на окръжността, тоест като числа, и той приема радиуса на окръжността като „пълен синус“ като единица. Ойлер получи редица нови отношения, установи връзка между тригонометрични функции и експоненциални, даде правило за знаците на функциите за всички четвъртинки, получи обобщена формула за редукция и освободи тригонометрията от много грешки, допуснати в почти всички европейски учебници по математика .

Работата на Л. Ойлер по-късно послужи като основа за учебниците по тригонометрия. Едно от първите ръководства, „Съкратена математика” от С. Румовски (1760 г.), раздел „Първоначални основи на равнинната тригонометрия”, започва презентацията по следния начин: „Равнинската тригонометрия е знанието за намиране на триъгълници чрез аритметични изчисления, които геометрията намира от рисуване." Цялото представяне се свежда до решаване на триъгълници (най-простите случаи), изчисленията се извършват по много сложен начин, няма учение за функциите.

Учебникът на В. Никитин и П. Суворов е почти еднакъв.
Напълно научно изложение на тригонометрията дава акад. М. Е. Головин в учебника си "Плоска и сферична тригонометрия с алгебрични доказателства", 1789 г. В тази книга можете да намерите всички най-важни тригонометрични формули почти във вида, в който обикновено се представят през 19 век. (с изключение на обратните тригонометрични функции). Авторът не намери за необходимо да претрупва презентацията чрез въвеждане на секанс и косеканс, тъй като тези функции рядко се използват на практика.
През 1804 г. излиза учебникът на Н. Фус. Книгата е предназначена за гимназии. „Плоската тригонометрия“, казва авторът, „е наука, която има за цел три данни и номера на изобразените части на праволинеен триъгълник, за да определи другите му три части“. Учебникът се състои от 4 равни части. Общи понятия, решението на триъгълници, приложението на тригонометрията към практическата геометрия и геодезия и накрая, теоремата за събиране. Учебникът на Н. Фус е отделен от сферичната тригонометрия.

Академик М. В. Остроградски прави крачка напред през 1851 г. В своя синопсис за тригонометрията за лидерство във военни учебни заведения той се застъпва за дефинирането на тригонометричните функции на първия етап от тяхното изследване като съотношения на страните в правоъгълен триъгълник с последващи обобщение на тяхната дефиниция и разширяване до ъгли от всякакъв размер.

Комплект редактиран от A.G. Мордкович, макар че и останалите учебници не бива да се пренебрегват. § 3. Методика на преподаване на темата "Тригонометрични функции" в курса на алгебрата и началото на анализа При изучаването на тригонометричните функции в училище могат да се разграничат два основни етапа: ü Първоначално запознаване с тригонометричните функции ...

Учениците, училищна документация, правят заключения за степента на усвояване на това понятие. Обобщете изучаването на особеностите на математическото мислене и процеса на формиране на понятието за комплексно число. Описание на методите. Диагностика: Етап I. Разговорът се проведе с учител по математика, който преподава алгебра и геометрия в 10. клас. Разговорът се проведе след известно време от началото...

Общинска бюджетна образователна институция

средно училище №10

със задълбочено изучаване на отделни предмети

Проектът е изпълнен от:

Павлов Роман

ученик от 10б клас

Ръководител:

учител по математика

Елец, 2012г

1. Въведение.

3. Светът на тригонометрията.

· Тригонометрия във физиката.

· Тригонометрия в планиметрията.

· Тригонометрия в изкуството и архитектурата.

· Тригонометрия в медицината и биологията.

3.2 Графично представяне на трансформацията на "малко интересни" тригонометрични функции в оригинални криви (с помощта на компютърната програма "Функции и графики").

· Криви в полярни координати (розети).

· Криви в декартови координати (криви на Лисажу).

· Математически орнаменти.

4. Заключение.

5. Списък на литературата.

Цел на проекта - развитие на интерес към изучаването на тема "Тригонометрия" в курса на алгебрата и началото на анализа през призмата на приложния смисъл на изучавания материал; разширяване на графични изображения, съдържащи тригонометрични функции; използването на тригонометрията в такива науки като физика, биология. Той играе важна роля в медицината и, което е най-интересното, не можеше без него дори в музиката и архитектурата.

Обект на изследване - тригонометрия

Предмет на изследване - приложен фокус на тригонометрията; графики на някои функции с помощта на тригонометрични формули.

Цели на изследването:

1. Разгледайте историята на възникването и развитието на тригонометрията.

2. Покажете практическите приложения на тригонометрията в различни науки с конкретни примери.

3. Да се разкрият на конкретни примери възможностите за използване на тригонометрични функции, които позволяват превръщането на "малко интересни" функции във функции, чиито графики имат много оригинална форма.

Хипотеза - Предположения: Връзката на тригонометрията с външния свят, значението на тригонометрията при решаването на много практически проблеми, графичните възможности на тригонометричните функции правят възможно "материализирането" на знанията на учениците. Това ви позволява да разберете по-добре жизненоважната нужда от знания, придобити при изучаването на тригонометрията, повишава интереса към изучаването на тази тема.

Изследователски методи - анализ на математическа литература по тази тема; подбор на конкретни задачи от приложно естество по зададена тема; компютърна симулация, базирана на компютърна програма. Отворена математика "Функции и графики" (Physicon).

1. Въведение

„Едно нещо остава ясно, че светът е уреден

заплашителен и красив."

Н. Рубцов

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава връзката между ъглите и дължините на страните на триъгълниците, както и алгебричните идентичности на тригонометричните функции. Трудно е да си представим, но с тази наука се сблъскваме не само в уроците по математика, но и в ежедневието си. Може и да не сте подозирали това, но тригонометрията се среща в такива науки като физика, биология, тя играе важна роля в медицината и, което е най-интересното, не би могла без нея дори в музиката и архитектурата. Задачите с практическо съдържание играят съществена роля в развитието на уменията за прилагане на теоретичните знания, придобити при изучаването на математика на практика. Всеки студент по математика се интересува как и къде се прилагат придобитите знания. Отговорът на този въпрос е даден в тази работа.

2. Историята на развитието на тригонометрията.

Word тригонометрия съставено от две гръцки думи: τρίγονον (тригонон-триъгълник) и и μετρειν (metrain - измервам) буквално означава измерване на триъгълници.

Това е тази задача - измерването на триъгълници или, както се казва сега, решението на триъгълници, тоест определянето на всички страни и ъгли на триъгълник от неговите три известни елемента (страна и два ъгъла, две страни и ъгъл или три страни) - от древни времена е била основа за практически приложения на тригонометрията.

Както всяка друга наука, тригонометрията израства от човешката практика, в процеса на решаване на конкретни практически проблеми. Първите етапи в развитието на тригонометрията са тясно свързани с развитието на астрономията. Развитието на астрономията и тясно свързаната с нея тригонометрия беше силно повлияно от нуждите на развиващата се навигация, която изискваше способността да се определи правилно курса на кораб в открито море според положението на небесните тела. Значителна роля в развитието на тригонометрията изигра необходимостта от съставяне на географски карти и тясно свързаната необходимост от правилно определяне на големи разстояния на земната повърхност.

Произведенията на древногръцкия астроном са от основно значение за развитието на тригонометрията в ерата на нейното възникване. Хипарх(средата на 2 век пр.н.е.). Тригонометрията като наука, в съвременния смисъл на думата, е била не само сред Хипарх, но и сред други учени от древността, тъй като те все още не са имали понятие за функциите на ъглите и дори не са поставяли в общи линии въпрос за връзката между ъглите и страните на триъгълника. Но по същество, използвайки познатите им средства на елементарната геометрия, те решават проблемите, с които се занимава тригонометрията. В същото време основното средство за получаване на желаните резултати беше способността да се изчисляват дължините на кръговите хорди на базата на известните съотношения между страните на правилните три-, четири-, пет- и десетоъгълника и радиуса на описаната окръжност.

Хипарх състави първите таблици на акордите, тоест таблици, изразяващи дължината на хордата за различни централни ъгли в кръг с постоянен радиус. Това бяха по същество таблици с двойни синуси на половината от централния ъгъл. Но оригиналните таблици на Хипарх (както и почти всичко написано от него) не са достигнали до нас и можем да си съставим представа за тях главно от есето „Великото строителство“ или (в арабски превод) „Алмагест“ от известния астроном Клавдий Птолемейкойто е живял в средата на 2 век от н.е. NS

Птолемей разделил кръга на 360 градуса, а диаметъра на 120 части. Той смяташе радиуса за 60 части (60 ¢¢). Той разделя всяка от частите на 60 ¢, всяка минута на 60 ¢¢, секунда на 60 терци (60 ¢¢¢) и т.н., използвайки посоченото деление, Птолемей изразява страната на правилен вписан шестоъгълник или хорда, която свива дъга от 60° под формата на 60 части от радиуса (60h), а страната на вписания квадрат или хорда в 90° се равнява на числото 84h51 ¢ 10². Хордата при 120° - страната на вписан равностранен триъгълник - той изрази числото 103h55 ¢ 23² и т.н. За правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на диаметъра на окръжността, той пише на базата на Питагоровата теорема: (хорда а) 2+ (хорда | 180-a |) 2 = (диаметър) 2, което съответства на съвременната формула sin2a + cos2a = 1.

"Алмагест" съдържа таблица с акорди на всеки половин градус от 0° до 180°, която от съвременната ни гледна точка представлява таблица на синусите за ъгли от 0° до 90° на всяка четвърт градус.

Всички тригонометрични изчисления сред гърците се основават на теоремата на Птолемей, известна на Хипарх: „Правоъгълник, построен върху диагоналите на четириъгълник, вписан в окръжност, е равен на сбора от правоъгълници, построени от противоположните страни“ (т.е. произведението на диагоналите е равно на сбора от произведенията на противоположните страни). Използвайки тази теорема, гърците са били в състояние (използвайки Питагоровата теорема) за хордите на два ъгъла да изчислят хордата на сбора (или хордата на разликата) на тези ъгли или хордата на половината от даден ъгъл, т.е. те успяха да получат резултатите, които сега получаваме от формулите за синуса на сбора (или разликата) на два ъгъла или половин ъгъл.

Нови стъпки в развитието на тригонометрията са свързани с развитието на математическата култура на народите Индия, Централна Азия и Европа (V-XII).

Важна стъпка напред в периода от 5-ти до 12-ти век е направена от индусите, които, за разлика от гърците, започват да разглеждат и използват в изчисленията не цялата хорда MM ¢ (виж чертежа) на съответния централен ъгъл, а само половината от неговия MR, т.е. това, което сега наричаме синусова линия на половината от централния ъгъл.

Заедно със синуса индианците въведоха косинуса в тригонометрията, по-точно започнаха да използват косинусовата линия в своите изчисления. (Самият термин косинус се появява много по-късно в трудовете на европейските учени за първи път в края на 16 век от т. нар. „синусово допълнение”, тоест синусът на ъгъл, допълващ даден ъгъл до 90 °. „Sine complement“ или (на латински) sinus complementi започва да се съкращава като sinus co или co-sinus).

Те също познават отношенията cosa = sin (90 ° -a) и sin2a + cos2a = r2, както и формулите за синуса на сбора и разликата на два ъгъла.

Следващият етап в развитието на тригонометрията е свързан със страните

Централна Азия, Близкия Изток, Закавказието (VII-XV век)

Развивайки се в тясна връзка с астрономията и географията, централноазиатската математика имаше подчертан „изчислителен характер“ и беше насочена към решаване на приложни задачи за измерване на геометрия и тригонометрия, а тригонометрията се оформи в специална математическа дисциплина, до голяма степен, именно в трудове на учени от Централна Азия. Сред най-важните успехи, които постигнаха, трябва да се отбележи, на първо място, въвеждането на всичките шест тригонометрични линии: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, от които само първите две са били известни на гърците и индусите .

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif "width =" 41 "height =" 44 "> = a × ctgj на стълб с определена дължина (a = 12) за j = 1 °, 2 °, 3 ° ……

Абу ал-Уафаот Хоросан, живял през 10 век (940-998), съставил подобна "таблица на допирателните", тоест изчислил дължината на сянката b = a × = a × tgj, хвърлена от хоризонтален полюс на a определена дължина (a = 60) върху вертикална стена (виж чертежа).

Трябва да се отбележи, че самите термини "тангенс" (в буквален превод - "докосване") и "котангенс" произлизат от латински език и се появяват в Европа много по-късно (XVI-XVII век). Учените от Централна Азия нарекоха съответните линии "сенки": котангенс - "първа сянка", допирателна - "втора сянка".

Абу ал-Уафа даде напълно точна геометрична дефиниция на допирателната линия в тригонометричен кръг и добави секанс и косеканс към допирателната и котангенсната. Той също така изрази (устно) алгебричните отношения между всички тригонометрични функции и по-специално за случая, когато радиусът на окръжността е равен на единица. Този изключително важен случай е разгледан от европейските учени 300 години по-късно. Накрая Абу ал-Уафа начерта таблица със синуси на всеки 10 ¢.

В писанията на учени от Централна Азия тригонометрията се превърна от наука, обслужваща астрономията, в специална математическа дисциплина от независим интерес.

Тригонометрията се отделя от астрономията и се превръща в самостоятелна наука. Този отдел обикновено се свързва с името на азербайджанския математик Насираддина Туси ().

За първи път в европейската наука последователно представяне на тригонометрията е дадено в книгата „За триъгълници от различни родове“, напис. Йохан Мюлер, по-известен в математиката като Региомонтана ().Той обобщава методите за решаване на правоъгълни триъгълници в него и дава таблици на синусите с точност 0,0000001. В същото време е забележително, че той прие радиуса на окръжността за равен, тоест той изрази стойностите на тригонометричните функции в десетични дроби, всъщност преминавайки от шестдесетата бройна система към десетичната.

Английски учен от 14 век Брадуардин ()е първият в Европа, който въвежда котангенс, наречен "директна сянка" и допирателна, наречен "обратна сянка", в тригонометричните изчисления.

На прага на XVII век. В развитието на тригонометрията се очертава нова посока – аналитична. Ако преди това основната цел на тригонометрията се смяташе за решението на триъгълници, изчисляването на елементите на геометричните фигури и учението за тригонометричните функции се основаваха на геометрична основа, то през 17-19 век. тригонометрията постепенно се превръща в една от главите на математическия анализ. Той също така знаеше за свойствата на периодичността на тригонометричните функции Viet, чиито първи математически изследвания са свързани с тригонометрията.

швейцарски математик Йохан Бернули ()вече използвани символи на тригонометрични функции.

През първата половина на XIX век. френски учен Ж. Фуриедоказа, че всяко периодично движение може да бъде представено като сума от прости хармонични вибрации.

От голямо значение в историята на тригонометрията е работата на известния петербургски академик Леонард Ойлер (),той придаде на цялата тригонометрия модерен вид.

В своя труд „Въведение в анализа“ (1748 г.) Ойлер развива тригонометрията като наука за тригонометричните функции, дава й аналитично представяне, извеждайки целия набор от тригонометрични формули от няколко основни формули.

Ойлер е отговорен за окончателното решение на въпроса за знаците на тригонометричните функции във всички четвърти на окръжността, извеждането на формули за редукция за общи случаи.

След като се въведоха в математиката нови функции - тригонометрични, стана целесъобразно да се постави въпросът за разширяването на тези функции в безкраен ред. Оказва се, че такива разширения са възможни:

Sinx = x-https: //pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif "width =" 224 "height =" 47 ">

Тези серии правят много по-лесно съставянето на таблици с тригонометрични стойности и намирането им с всякаква степен на точност.

Аналитичното изграждане на теорията на тригонометричните функции, започнато от Ойлер, е завършено в работата , Гаус, Коши, Фурие и др.

„Геометричните съображения“, пише Лобачевски, „са необходими до началото на тригонометрията, докато не служат за откриване на отличителните свойства на тригонометричните функции... Следователно тригонометрията е направена напълно независима от геометрията и има всички предимства на анализа“.

В наше време тригонометрията вече не се разглежда като самостоятелен клон на математиката. Най-важната му част – учението за тригонометричните функции – е част от едно по-общо, изградено от единна гледна точка, учение за функциите, изучавани в математическия анализ; другата част, решението на триъгълници, се счита за глава на геометрията.

3. Светът на тригонометрията.

3.1 Приложение на тригонометрията в различни науки.

Тригонометричните изчисления се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството.

Техниката на триангулация е от голямо значение, което дава възможност за измерване на разстояния до близки звезди в астрономията, между забележителности в географията и за управление на сателитни навигационни системи. Трябва да се отбележи използването на тригонометрия в следните области: навигационна техника, теория на музиката, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук (ултразвук), компютърна томография, фармацевтика, химия, теория на числата, сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография, геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машиностроене, компютърна графика, кристалография.

Тригонометрия във физиката.

Хармонични вибрации.

Когато една точка се движи по права линия последователно в една посока, след това в другата посока, тогава те казват, че точката се извършва флуктуации.

Един от най-простите начини на вибрация е движението по проекционната ос на точка M, която се върти равномерно около окръжност. Законът за тези трептения има формата х =Rcos (https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif "width =" 19 "height =" 41 src = ">.

Обикновено вместо тази честота се разглежда циклична честотаw =,показваща ъгловата скорост на въртене, изразена в радиани в секунда. В тези обозначения имаме: х =Рзащото (wt +а). (2)

номер аса наречени началната фаза на трептението.

Изучаването на вибрации от всякакъв вид е важно поради самата причина, че много често срещаме вибрационни движения или вълни в света около нас и ги използваме с голям успех (звукови вълни, електромагнитни вълни).

Механични вибрации.

Механичните вибрации са движения на тела, които се повтарят точно (или приблизително) на равни интервали. Примери за прости вибрационни системи са пружинно натоварване или махало. Вземете, например, тежест, окачена от пружина (виж фиг.) и я натиснете надолу. Теглото ще започне да се колебае нагоре и надолу..gif "align =" left "width =" 132 височина = 155 "height =" 155 ">. Gif" ширина = "72" височина = "59 src =">. Jpg "подравняване = "ляво" ширина = "202 височина = 146" височина = "146"> Графиката на флуктуациите (2) се получава от графиката на флуктуациите (1) чрез изместване наляво

На . Числото а се нарича начална фаза.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif "width =" 29 "height =" 45 src = ">), където ле дължината на махалото, а j0 е началният ъгъл на отклонение. Колкото по-дълго е махалото, толкова по-бавно се люлее (Това ясно се вижда на фиг. 1-7 Приложение VIII). На фиг. 8-16, Приложение VIII, можете ясно да видите как промяната в първоначалното отклонение влияе на амплитудата на трептенията на махалото, докато периодът не се променя. Чрез измерване на периода на трептене на махало с известна дължина може да се изчисли ускорението на гравитацията g в различни точки на земната повърхност.

Разреждане на кондензатор.

Не само много механични вибрации възникват по синусоидален закон. И в електрическите вериги възникват синусоидални трептения. Така че във веригата, показана в горния десен ъгъл на модела, зарядът върху плочите на кондензатора се променя според закона q = CU + (q0 - CU) cos ωt, където C е капацитетът на кондензатора, U е напрежението при източника на ток, L е индуктивността на бобината, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg "align =" left "width =" 348 "height =" 253 src = " > Благодарение на модела на кондензатора, наличен в програмата "Функции и графики", можете да зададете параметри на осцилаторната верига и да изградите съответните графики g (t) и I (t) Графики 1-4 ясно показват как напрежението влияе върху промяната в силата на тока и заряда на кондензатора, докато е ясно, че при положително напрежение зарядът също приема положителни стойности Фигура 5-8 от Приложение IX показва, че когато капацитетът на кондензатора се промени (когато индуктивността на бобината се променя на фиг. 9-14 от Приложение IX) и останалите параметри остават непроменени, периодът на трептене се променя, тоест честотата на трептения на тока във веригата се променя и честотата на зареждане на кондензатора се променя .. (вж. прикачен ue IX).

Как да свържете две тръби.

Дадените примери могат да създадат впечатлението, че синусоидите възникват само във връзка с трептене. Въпреки това не е така. Например, синусоидите се използват, когато две цилиндрични тръби са свързани под ъгъл една спрямо друга. За да свържете две тръби по този начин, трябва да ги отрежете наклонено.

Ако разгънете тръба, нарязана наклонено, тогава тя ще се окаже ограничена отгоре от синусоида. Можете да проверите това, като увиете свещта в хартия, отрежете я наклонено и развиете хартията. Следователно, за да получите равномерно разрязване на тръбата, можете първо да отрежете металния лист отгоре по синусоида и да го навиете в тръба.

Теория на дъгата.

Теорията на дъгата е представена за първи път в 1637 от Рене Декарт... Той обясни дъгата като явление, свързано с отразяването и пречупването на светлината в дъждовните капки.

Дъгата възниква поради факта, че слънчевата светлина се пречупва във водни капчици, суспендирани във въздуха според закона за пречупване:

където n1 = 1, n2≈1.33 са коефициентите на пречупване на въздуха и водата, съответно, α е ъгълът на падане, а β е ъгълът на пречупване на светлината.

Северно сияние

Проникването на заредени частици от слънчевия вятър в горните слоеве на атмосферата на планетите се определя от взаимодействието на магнитното поле на планетата със слънчевия вятър.

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитно поле, се нарича сила Лоренц.Той е пропорционален на заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата

Задачи по тригонометрия с практическо съдържание.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif "ширина =" 25 "височина =" 41 ">.

Определяне на коефициента на триене.

Тялото с тежест P е положено върху наклонена равнина с ъгъл на наклон a. Тялото, под действието на собствената си тежест, е ускорило пътя S за t секунди. Определете коефициента на триене k.

Силата на натиск на тялото върху наклонената равнина = kPcosa.

Силата, която дърпа тялото надолу е F = Psina-kPcosa = P (sina-kcosa). (1)

Ако тялото се движи по наклонена равнина, тогава ускорението е a = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif "width =" 20 "height =" 41 "> == gF; следователно (2)

От равенства (1) и (2) следва, че g (sina-kcosa) = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif "width =" 129 "height =" 48 "> = gtga-.

Тригонометрия в планиметрията.

Основни формули за решаване на геометрични задачи с помощта на тригонометрия:

sin²α = 1 / (1 + ctg²α) = tg²α / (1 + tg²α); cos²α = 1 / (1 + tg²α) = ctg²α / (1 + ctg²α);

sin (α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβ; cos (α ± β) = cosα * cos + sinα * sinβ.

Съотношение аспект/ъгъл в правоъгълен триъгълник:

1) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет от тангенса на противоположния ъгъл.

2) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и синуса на включения ъгъл.

3) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и косинуса на включения ъгъл.

4) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет и котангенса на съседния ъгъл.

Задача 1:От страничните страни AB и CD равнобедрен трапецABCD точки M иN по такъв начин, че правата линияMN е успоредна на основите на трапеца. Известно е, че във всеки един от образуваните малки трапециMBCN иAMND можете да впишете окръжност, като радиусите на тези окръжности са равниr иR съответно. Намерете основиAD ипр.н.е.

дадено: ABCD-трапец, AB = CD, MєAB, NєCD, MN || AD, окръжност с радиус r и R може да бъде вписана съответно в трапец MBCN и AMND.

Намирам: сл. Хр. и пр. н. е.

Решение:

Нека O1 и O2 са центровете на окръжностите, вписани в малки трапеци. Директен О1К || CD.

В ∆ O1O2K cosα = O2K / O1O2 = (R-r) / (R + r).

Тъй като ∆O2FD е правоъгълен, тогава O2DF = α / 2 => FD = R * ctg (α / 2). Тъй като AD = 2DF = 2R * ctg (α / 2),

по същия начин BC = 2r * tg (α / 2).

cos α = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => (Rr) / (R + r) = (1-tg² (α / 2)) / (1 + tg² (α / 2)) => (1-r / R) / (1 + r / R) = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => тен (α / 2) = √ (r / R) => ctg (α / 2) = √ (R / r), тогава AD = 2R * ctg (α / 2), BC = 2r * tan (α / 2), намираме отговора.

Отговор : AD = 2R√ (R / r), BC = 2r√ (r / R).

Задача 2:В триъгълник ABC известни страни б, c и ъгъла между медианата и височината, излизаща от върха A. Изчислете площта на триъгълник ABC.

дадено: ∆ ABC, AD-височина, AE-медиана, DAE = α, AB = c, AC = b.

Намирам: S∆ABC.

Решение:

Нека CE = EB = x, AE = y, AED = γ. Съгласно косинусовата теорема в ∆AEC, b² = x² + y²-2xy * cosγ (1); и в ∆ACE, по косинусовата теорема, c² = x² + y² + 2xy * cosγ (2). Изваждайки равенство 2 от 1, получаваме c²-b² = 4xy * cosγ (3).

Тъй като S∆ABC = 2S∆ACE = xy * sinγ (4), тогава разделянето на 3 равенство на 4 получаваме: (c²-b²) / S = 4 * ctgγ, но ctgγ = tgαб, следователно S∆ABC = ( c²- b²) / 4 * tgα.

Отговор: (c²- b² ) / 4 * tg α .

Тригонометрията в изкуството и архитектурата.

Архитектурата не е единствената област на науката, която използва тригонометрични формули. Повечето от композиционните решения и конструкциите на чертежи се извършват именно с помощта на геометрията. Но теоретичните данни означават малко. Бих искал да дам пример за изграждането на една скулптура от френски майстор от Златния век на изкуството.

Пропорцията в конструкцията на статуята беше перфектна. Въпреки това, когато статуята беше издигната на висок пиедестал, тя изглеждаше грозна. Скулпторът не е съобразил, че в перспектива много детайли намаляват към хоризонта, а при поглед отдолу нагоре вече не се създава впечатлението за нейната идеалност. Бяха извършени много изчисления, за да изглежда фигурата пропорционална от голяма височина. По принцип те се основаваха на метода на наблюдение, тоест приблизително измерване на око. Въпреки това, коефициентът на разлика в определени пропорции направи възможно фигурата да се доближи до идеала. По този начин, знаейки приблизителното разстояние от статуята до гледната точка, а именно от върха на статуята до очите на човек и височината на статуята, можете да изчислите синуса на ъгъла на падане на погледа, като използвате таблица (можем да направим същото с долната гледна точка), като по този начин намираме точковото виждане (фиг. 1)

Ситуацията се променя (фиг. 2), тъй като статуята е издигната до височината на AC и NS се увеличава, можете да изчислите стойностите на косинуса на ъгъла C, според таблицата, ще намерим ъгъла на честотата на погледа. В процеса можете да изчислите AH, както и синуса на ъгъла C, което ще ви позволи да проверите резултатите с помощта на основната тригонометрична идентичност cos 2а +грях 2а = 1.

Сравнявайки измерванията на AN в първия и втория случай, можете да намерите коефициента на пропорционалност. Впоследствие ще получим рисунка, а след това и скулптура, когато се издигне, фигурата визуално ще бъде по-близо до идеала.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif "width =" 162 "height =" 101 ">. gif" ширина = "108 височина = 132" височина = "132">

Тригонометрия в медицината и биологията.

Модел на биоритъм

Модел на биоритъм може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции. За да изградите модел на биоритъм, трябва да въведете датата на раждане на човека, датата на обратното броене (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата (брой дни).

Движението на рибите във водата се случва според закона на синуса или косинуса, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение. При плуване тялото на рибата приема формата на крива, която наподобява графиката на функцията y = tgx.

Сърдечна формула

В резултат на изследване на ирански студент Шираз Вахид-Реза Абаси,За първи път лекарите успяха да организират информация, свързана с електрическата активност на сърцето или, с други думи, електрокардиография.
Формулата, наречена Техеран, беше представена на широката научна общност на 14-та конференция по географска медицина и след това на 28-ата конференция за използването на компютърни технологии в кардиологията, проведена в Холандия. Тази формула е сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления в случаи на аритмия. Според лекарите тази формула значително улеснява процеса на описание на основните параметри на сърцето, като по този начин ускорява диагнозата и началото на същинското лечение.

Тригонометрията помага на нашия мозък да определя разстоянията до обекти.

Американски учени твърдят, че мозъкът оценява разстоянието до обекти, като измерва ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението. Строго погледнато, идеята за "измерване на ъгли" не е нова. Дори художниците от Древен Китай рисуваха далечни обекти по-високо в зрителното поле, донякъде пренебрегвайки законите на перспективата. Арабският учен от 11 век Алхазен формулира теорията за определяне на разстоянието чрез оценка на ъглите. След дълго забрава в средата на миналия век идеята е възродена от психолога Джеймс Гибсън, който основава заключенията си върху опита от работата с пилоти на военната авиация. След това обаче за теорията

отново забравен.

Резултатите от новото проучване, както може да се очаква, ще представляват интерес за инженерите, които проектират навигационни системи за роботи, както и за специалистите, които работят за създаването на най-реалистичните виртуални модели. Възможни са и приложения в областта на медицината, при рехабилитацията на пациенти с увреждания на определени области на мозъка.

3.2 Графично представяне на трансформацията на "малко интересни" тригонометрични функции в оригинални криви.

Криви в полярни координати.

с. 16 фиг. 19 гнезда.

В полярните координати се избира единичен сегмент д,полюс O и полярна ос Ox. Позицията на всяка точка M се определя от полярния радиус OM и полярния ъгъл j, образуван от лъча OM и лъча Ox. Числото r, изразяващо дължината на OM по отношение на д(ОМ = rе) и числената стойност на ъгъла j, изразена в градуси или в радиани, се наричат полярни координати на точка M.

За всяка точка, различна от точка O, можем да приемем 0≤j<2p и r>0. Въпреки това, когато се конструират криви, съответстващи на уравнения от вида r = f (j), естествено е да се присвоят всякакви стойности на променливата j (включително отрицателни и надвишаващи 2p), а r може да се окаже и двете положителни и отрицателни.

За да намерим точката (j, r), изчертаваме от точка O лъч, образуващ ъгъл j с оста Ox, и поставяме върху него (за r> 0) или върху продължението му в обратна посока (за r > 0) отсечката ½ r ½e.

Всичко ще бъде много по-просто, ако първо построите координатна мрежа, състояща се от концентрични окръжности с радиуси e, 2e, 3e и т.н. (центрирани в O полюса) и лъчи, за които j = 0 °, 10 °, 20 °, .. ., 340°, 350°; тези лъчи ще са подходящи за j<0°, и при j>360 °; например при j = 740 ° и при j = -340 ° ще попаднем на лъч, за който j = 20 °.

Разглеждането на тези графики помага компютърна програма "Функции и графики"... Използвайки възможностите на тази програма, ще проучим някои интересни графики на тригонометрични функции.

1 Разгледайте кривите, дадени от уравненията:r =а +sin3j

I. r = sin3j (Детелина ) (Фиг. 1)

II. r = 1/2 + sin3j (фиг. 2), III. r = 1 + sin3j (фиг. 3), r = 3/2 + sin3j (фиг. 4).

Кривата IV има най-малката стойност r = 0,5 и венчелистчетата са незавършени. По този начин, за a> 1, трилистните венчелистчета са незавършени.

2. Помислете за кривитепри а = 0; 1/2; 1; 3/2

При a = 0 (фиг. 1), при a = 1/2 (фиг. 2), при a = 1 (фиг. 3), венчелистчетата имат завършена форма, при a = 3/2 ще има пет незавършени венчелистчета., (фиг. .4).

3. Като цяло криватаr = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif "ширина =" 45 височина = 41 "височина =" 41 ">), тъй като в този сектор 0 ° ≤≤180 ° .. gif "width =" 20 "height =" 41 ">. Gif" width = "16" height = "41"> за едно венчелистче имате нужда от "сектор" по-голям от 360 °.

Фигура 1-4 показва изгледа на венчелистчетата при = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif "width =" 16 "height =" 41 src = ">. Gif" ширина = "16" височина = "41 src =">.

4 уравнения, намерени от немски математик натуралист Хабенихтза геометрични форми, намиращи се в растителния свят. Например, кривите, показани на фигура 1.2, съответстват на уравненията r = 4 (1 + cos3j) и r = 4 (1 + cos3j) + 4sin23j.

Криви в декартови координати.

Криви на Лисажу.

Много интересни криви също могат да бъдат начертани в декартови координати. Особено интересни изглеждат кривите, чиито уравнения са дадени в параметрична форма:

Където t е спомагателна променлива (параметър). Например, разгледайте кривите на Лисажу, обикновено характеризиращи се с уравненията:

Ако вземем време за параметър t, тогава фигурите на Лисажу ще бъдат резултат от добавянето на две хармонични осцилаторни движения, извършени във взаимно перпендикулярни посоки. В общия случай кривата се намира вътре в правоъгълник със страни 2a и 2b.

Помислете за това в следните примери

I. x = sin3t; y = sin 5t (фиг. 1)

II. x = sin 3t; y = cos 5t (фиг. 2)

III. x = sin 3t; y = sin 4t. (фиг. 3)

Кривите могат да бъдат затворени или отворени.

Например, замяна на уравнения I с уравнения: x = sin 3t; y = sin5 (t + 3) превръща отворена крива в затворена (фиг. 4)

Интересни и особени са линиите, съответстващи на уравнения от формата

при= arcsin (sin k (x-а)).

От уравнението y = arcsin (sinx) следва:

1) и 2) siny = sinx.

При тези две условия функцията y = x удовлетворява. Неговата графика в интервала (-; https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif "width =" 77 "height =" 41 "> ще имаме y = p-x, тъй като sin ( px ) = sinx и в този интервал

... Тук графиката ще бъде представена от сегмента BC.

Тъй като sinx е периодична функция с период от 2p, прекъснатата линия ABC, вградена в интервала (,), ще се повтаря в други секции.

Уравнението y = arcsin (sinkx) ще съответства на прекъсната линия с точка https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif "width =" 79 height = 48 "height =" 48 " >

удовлетворяват координатите на точките, които лежат едновременно над синусоидата (за тях y> sinx) и под кривата y = -sinx, тоест „областта на решението“ на системата ще се състои от областите, защриховани на фиг. 1.

2. Помислете за неравенствата

1) (y-sinx) (y + sinx)<0.

За да разрешим това неравенство, първо изграждаме графики на функции: y = sinx; y = -sinx.

След това рисуваме върху областите, където y> sinx и в същото време y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Това неравенство ще бъде задоволено от областите, защриховани на фиг. 2

2) (y2-arcsin2 (sinx)) (y2-arcsin2 (sin (x +)))<0

Да преминем към следващото неравенство:

(y-arcsin (sinx)) (y + arcsin (sinx)) (y-arcsin (sin (x +))) (y + arcsin (sin (x +))}<0

За да разрешим това неравенство, първо изграждаме графиките на функциите: y = ± arcsin (sinx); y = ± arcsin (sin (x + )) .

Нека съставим таблица с възможните решения.

1 множител има знак	2 множител има знак	3 множител има знак	4 множител има знак

След това разглеждаме и рисуваме решенията на следните системи.

) | и | y |> | sin (x-) |.

2) Вторият фактор е по-малък от нула, тоест gif "width =" 17 "height =" 41 ">) |.

3) Третият фактор е по-малък от нула, т.е. | у |<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>| sinx | и | y |> | sin (x + Академични дисциплини "href =" / text / category / uchebnie_distciplini / "rel =" bookmark "> академични дисциплини, технологии, в ежедневието.

Използването на програмата за моделиране "Функции и графики" значително разшири възможностите за провеждане на изследвания, направи възможно материализирането на знания при разглеждане на приложенията на тригонометрията във физиката. Благодарение на тази програма са проведени лабораторни компютърни изследвания на механичните вибрации на примера на вибрациите на махалото и са разгледани вибрациите в електрическа верига. Използването на компютърна програма направи възможно изследването на интересни математически криви, определени с помощта на тригонометрични уравнения и начертаване в полярни и декартови координати. Графичното решение на тригонометричните неравенства доведе до разглеждането на интересни математически модели.

5. Списък на използваната литература.

1.., Атанасов математически задачи с практическо съдържание: Кн. за учителя.-М.: Образование, с.

2. Виленкин в природата и техниката: Кн. за извънкласно четене на IX-X клас - М.: Просвещение, 5с (Светът на знанието).

3. Домакински игри и забавления. състояние изд. физ-мат. лит. М, 9 стр.

4.. Кожурова тригонометрия за техникума. състояние изд. техническа и теоретична лит. М., 1956 г

5. Книга. за извънкласно четене по математика в гимназията. състояние образователна пед. изд. Мин. Професионалисти. RF, М., с.

6., Тараканова тригонометрия. 10 кл ..- М.: Дропла, с.

7. За тригонометрията и не само за нея: наръчник за ученици от 9-11 клас .. -М .: Образование, 1996-80-те.

8. Задачи на Шапиро с практическо съдържание в обучението по математика. Книга. за учителя.-М.: Образование, 1990-96г.

Текстът на творбата е поставен без изображения и формули.
Пълната версия на произведението е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

Въведение

Актуалност: запознаване с нов предмет - тригонометрия.

Цел: Разширяване на знанията за историята на развитието на тригонометрията.

1. Какво предизвика живот на науката тригонометрия

2. Приложение на тригонометрията в астрономията, физиката, биологията и медицината.

Обект: тригонометрия, история на възникването и развитието на тригонометрията.

Хипотеза: много физически явления в природата могат да бъдат описани с помощта на тригонометрия.

Новост: Познаване на тригонометрията.

Методология на изследването. Изучаване на литература по тази тема, информация от интернет ресурси. Обобщение на намерения материал.

Изход: Брошура "История на тригонометрията" (Приложение 2).

Практическа значимост: този материал може да се използва в уроци по геометрия и тригонометрия за допълнително обучение. Всеки ученик може да развие интерес към науката за тригонометрията чрез този материал.

Появата на тригонометрията

В исторически план тригонометрията се е развила от задачи до решаване на равнинни и сферични триъгълници.

Както всяка друга наука, тригонометрията възниква в резултат на човешката практика в процеса на решаване на конкретни практически проблеми.

Появата на тригонометрията е тясно свързана с развитието на една от най-древните науки - астрономията. Основната роля й принадлежи във формирането и развитието на сферичната тригонометрия. От дните на древен Вавилон до времето на Ойлер и Лаплас, астрономията е била водещата и вдъхновяваща сила на най-забележителните математически открития.

Развитието на астрономията е предизвикано преди всичко от необходимостта от изготвяне на правилен календар, който е от голямо значение за земеделското стопанство на древността. Фермерът трябваше да познава смяната на сезоните, за да извършва своевременно необходимата земеделска работа. Календарът е бил необходим и за духовниците, извършващи религиозни ритуали, за определяне на дните на празника и за много други лица.

Развитието на търговията, свързано с необходимостта от движение, както по суша, така и по вода, оказа голямо влияние върху развитието на астрономията: беше необходимо да може правилно да се определи курсът на кораб в открито море.

Значителна роля в развитието на астрономията и свързаната с нея тригонометрия несъмнено играе необходимостта от точни географски карти, това изисква правилното определяне на големи разстояния на земната повърхност.

Нивото на развитие на математиката сред древните народи на Месопотамия е по-високо, отколкото сред другите източни народи. Астрономическите наблюдения са особено развити сред древните народи на Месопотамия. Следователно те притежаваха някои от най-простите сведения от тригонометрията. Още 2-3 хиляди години пр. н. е. древните египтяни на практика са използвали астрономически наблюдения в селскостопанската работа. Наводненията на Нил бяха важен фактор за развитието на селското стопанство.

В класическия китайски трактат "Математиката в девет книги", съставен през II-I век от новата ера според по-ранни източници, в книга IX на трактата са събрани редица проблеми за използването на правоъгълни триъгълници, където има проблеми за определяне на разстоянието до недостъпни обекти. Древните маи постигнаха голям напредък в астрономията; те създадоха доста точен календар (календарно-хронологична система).

Тригонометрия в Древна Гърция

Много по-късно тригонометрията навлиза в следващия етап от своето развитие в древна Гърция, като част от астрономията. Във връзка с нуждите на астрономията и геодезията, изчислителните проблеми на сферичната тригонометрия са от първостепенно значение. Талес от Милет (640 - 548 г. пр. н. е. - древногръцкият математик и астроном (Приложение 1)) имал известни познания със сферичната тригонометрия; през първата половина на 3-ти век пр. н. е. древногръцкият астроном и математик Аристарх от Самос (310 - 230 г. пр.н.е.); Архимед (Приложение 1), изрази смела хипотеза, че Земята се движи в кръг около Слънцето (за това той беше обвинен в атеизъм и изгонен от Атина).

Още в средата на 1-во хилядолетие пр.н.е. древногръцките учени са знаели, че Земята има формата на топка, по-специално дължината на нейната обиколка. Разработени са няколко метода за решаване на този проблем. Първото измерване на дъгата на меридиана и радиуса на Земята принадлежи на Ератостен Киренски (ок. 276 – 194 г. пр. н. е.) – древногръцки математик, географ, историк, философ, поет (Приложение 1).

Но трудовете на древногръцкия учен Хипарх (ок. 180 - 125 г. пр. н. е.) (Приложение 1), основателят на научната астрономия, са от основно значение за развитието на тригонометрията в епохата на нейното възникване.

Хипарх съставил звезден каталог, за да могат бъдещите астрономи да проследят появата на нови звезди и изчезването на старите. Каталогът включваше положението на повече от 1 хил. звезди в небето, подразделено от тях по величина на 6 величини и определено от тях по величина на 6 величини и определено много точно за това време. Хипарх е основателят на математическата география. Той въвежда дефиницията на точките на земната повърхност с помощта на географски координати - географска ширина и дължина.

Важно е да се отбележи, че нито Хипарх, нито други древни учени са имали тригонометрията като наука в съвременния смисъл на думата. Но те, използвайки познатите им разпоредби на елементарната геометрия, решиха онези проблеми, които сега се отнасят до тригонометрията. В основата на всички тригонометрични изчисления сред гърците е била познатата на Хипарх теорема на Птолемей, която може да бъде формулирана по следния начин: „Произведението на диагоналите на четириъгълник, вписан в окръжност, е равно на сбора от произведенията на противоположните страни. "

Тригонометрия в Индия

Следващата стъпка в развитието на тригонометрията е свързана с развитието на математическата култура на народите на Индия от 4-ти до 12-ти век. Заедно със "синуса" индианците въведоха "косинус" в тригонометрията, по-точно започнаха да използват косинусовата линия в своите изчисления. Самият термин "косинус" се появява много по-късно в трудовете на европейските учени, австрийския математик Пейрбах или Пурбах (1423 - 1461) и немския математик Региомонтана (1436 - 1476).) (Приложение 1).

Индианците също познавали връзката sin 2 a + cos 2 a = r 2, както и формулите за синуса на половин ъгъл и синуса на сбора и разликата на два ъгъла. Така индианците положиха основата на тригонометрията като доктрина за тригонометричните величини, въпреки че не обръщаха малко внимание само на решаването на триъгълници. За измерване на височини и разстояния са разработени няколко правила, базирани на промяна на сянката на вертикален стълб - гномон и подобен на триъгълници. Всичко това предвиждаше въвеждането на тангенс и котангенс.

Тригонометрия в страните от Арабския халифат

Следващият етап в развитието на тригонометрията е свързан с разцвета на културата на страните от Арабския халифат. Това е името на съюза на различни страни и народи, завладени от арабите през 7-8 век. включваше таджики, узбеки, перси, азербайджанци, египтяни, сирийци и други народи. Много от тези народи са били на по-високо ниво на социално и културно развитие от самите араби. Необходимата информация по астрономия, заедно с тригонометрията, алгебрата и аритметиката, са заимствани за първи път от Индия. И въпреки че индийската математика даде началото на развитието на арабската математика, доминиращата позиция в зараждащата се наука сред арабите беше заета от гръцката геометрия и астрономия, благодарение на превода на всички трудове на Евклид, Аполоний, Архимед, Птолемей и техните по-късни коментатори. Особено голям е приносът на арабоезичните народи към математиката. Това е преди всичко десетичната бройна система, заимствана от арабите от индийците и по-късно, благодарение на трудовете на арабоезични учени, която получи широко разпространение в Европа. Напредъкът в математиката, по-специално в тригонометрията, създаде основата за напредъка в астрономията и няколко други науки.

Тригонометрията и тук се развива в тясна връзка с астрономията и географията и има подчертан „изчислителен” характер.

В Багдад, по различно време, учени като ал - Хорезми (783 - 830), ал - Хабаш (764 - 874), Ибн Кора (836 - 901), Ибн Ирак (965 - 1035), ал - Бируни (973 - 1050) (Приложение 1).)

Ал - Хорезми има голям принос за развитието на математиката, астрономията и математическата география. В продължение на няколко века неговите писания оказват силно влияние върху учените от Изтока и Запада и дълго време служат като модел за писане на учебници по математика. Двата му трактата по аритметика и алгебра играят важна роля в развитието на математиката.

Тригонометрия в Европа

През 12 век в Европа възниква градската култура, развиват се стоково-паричните отношения в рамките на феодалната икономическа система. Това беше улеснено и от търговски пътувания и кръстоносни походи, които направиха възможно частичното запознаване не само с движенията на източната култура, но и с културата на древна Гърция. Започна независимата работа на европейски учени. Те трябваше да преоткрият много от това, което е било открито много преди тях. Първите им постижения са свързани именно с тригонометрията. Тази наука се разпространява главно въз основа на постиженията на древните гърци. Появиха се преводи на някои „арабски“ произведения по тригонометрия. На базата на тези трудове в Англия са написани трудове по тригонометрия от Р. Уолигрфорд (ок. 1292 - 1335) и неговия съвременник Д. Модукт. Английският учен Томас Брадуардин (ок. 1290 - 1349) (Приложение 1). Той е първият в Европа, който предлага единичния радиус на тригонометричния кръг, въвежда в тригонометричните изчисления котангенса под обозначението „директна сянка“ и допирателната, наречена „обратна сянка“. През този период се съставят таблици на синусите.

Региомонтан, независимо от арабите (които са 400 години пред него) и Т. Бродуардин, въвежда тангенсната функция в еврейската наука, съставя таблица на синусите през 1 ' и таблица на допирателните през 1 o. той състави и таблица за изчисляване на катета на правоъгълен триъгълник (сферичен) по лежащия срещу него ъгъл A и по хипотенузата C по формулата sina - sinCsinA, като я нарече таблица "с двойно вписване". Тази работа на Regiomontana (Приложение 1) изигра много важна роля за по-нататъшното развитие на тригонометрията.

Важен принос за развитието на тригонометрията има полският астроном Николай Коперник (1473 - 1543) (Приложение 1), създателят на хелиоцентричната система на света, реформаторът на астрономията. Незапознат с трудовете на Региомонтан, Коперник самостоятелно обосновава някои от основните положения на сферичната тригонометрия; за първи път той свежда цялата материя до триедър, издаващ триъгълник от центъра. Самият Коперник участва в съставянето на тригонометрични таблици. Германският математик Петер Крюгер (1480-1532) е първият европейски математик, който съставя таблици на логаритмите на тригонометричните функции и таблици на логаритмите на числата поотделно. Датският математик Томас Финк (1561 - 1656) (Приложение 1) в своя труд "Геометрия на кръга" (1583) за първи път въвежда термините "синус", "тангенс" и "секанс".

Английският математик Абрахам Муавр (1667 - 1754) (Приложение 1), французин по произход, открива правило за повишаване на степен на комплексно число, дадено в тригонометрична форма, което се използва широко в тригонометрията и алгебрата за решаване на двучленни уравнения и сега е известна като „формулата на Moivre“.

В момента тригонометрията е престанала да съществува като независима наука, разделяйки се на две части. Една от тези части е преподаването на тригонометричните функции, а другата е изчисляването на елементите на тригонометричните фигури.

Първата част, както казахме по-горе, е част от математическия анализ, който има общи методи за изучаване на функциите, а втората част се отнася до геометрията и играе спомагателна роля в нея.

"Геометричната" част на тригонометрията от своя страна е разделена на два раздела - "праволинейна тригонометрия" и "сферична тригонометрия". Основното съдържание на първия раздел е изчисляването на елементите на плоски триъгълници, а вторият раздел е изчисляването на елементите на сферичен триъгълник.

Приложение за тригонометрия

Продължавайки темата за тригонометрията, важно е да се отбележи, че тригонометричните изчисления се използват в почти всички сфери на човешкия живот: астрономия, физика, природа, музика, медицина, биология и много други.

2.1. Тригонометрия в астрономията

Така в астрономията възниква необходимостта от „решаване на триъгълници“.

Таблиците на позициите на Слънцето и Луната, съставени от Хипарх, позволиха да се предскажат моментите на настъпване на затъмненията (с грешка от 1-2 часа). Хипарх е първият, който използва методите на сферичната тригонометрия в астрономията.

2.2. Тригонометрия във физиката

В света около нас трябва да се справяме с периодични процеси, които се повтарят на равни интервали. Тези процеси се наричат осцилаторни. Осцилаторните явления от различно физическо естество се подчиняват на общи закони и се описват с едни и същи уравнения. Има различни видове осцилаторни явления.

Механични вибрации. Механичните вибрации са движения на тела, които се повтарят точно на равни интервали. Графичното представяне на тази функция дава нагледно представяне на хода на колебателния процес във времето. Примери за прости механични осцилаторни системи са тежест върху пружина или математическо махало.

2.3 Тригонометрия в природата

Теорията на дъгата е дадена за първи път през 1637 г. от Рене Декарт. Той обясни дъгата като явление, свързано с отразяването и пречупването на светлината в дъждовните капки.

Северно сияние Проникването на заредени частици от слънчевия вятър в горните слоеве на атмосферата на планетата се определя от взаимодействието на магнитното поле на планетата със слънчевия вятър.

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитно поле, се нарича сила на Лоренц. Той е пропорционален на заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата.

2.4. Тригонометрия в медицината

Учените казват, че мозъкът оценява разстоянието до обектите, като измерва ъгъла между равнината на земята и равнината на зрение.

В допълнение, биологията използва такова понятие като сънлив синус, каротиден синус и венозен или кавернозен синус.

2.5. Тригонометрия и тригонометрични функции в медицината и биологията, музиката

Едно от основните свойства на живата природа е цикличността на повечето процеси, протичащи в нея. Биологичните ритми, биоритмите са повече или по-малко редовни промени в характера и интензивността на биологичните процеси. Основният земен ритъм е денонощен. Модел на биоритъм може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции.

Тригонометрията играе важна роля в медицината. С негова помощ ирански учени откриха формулата на сърцето - сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления в случаи на аритмия.

Биологичните ритми, биоритмите са свързани с тригонометрията. Модел на биоритъм може да бъде изграден с помощта на графики на тригонометрични функции. За да направите това, трябва да въведете датата на раждане на лицето (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата.

Движението на риба във вода се извършва според закона на синуса или косинуса, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение.

По време на полета на птица траекторията на размахването на крилата образува синусоида.

Честоти, съответстващи на една и съща нота в първата, втората и т.н. октавите са свързани като 1: 2: 4: 8 ...

диатонична гама 2:3:5

Заключение

В хода на изследователската работа познанията по тригонометрия се разширяват, изучават се материали по история на тригонометрията и се стига до заключението, че тригонометрията е породена от необходимостта от измерване на ъгли, но с течение на времето се развива и в наука за тригонометричните функции.

Установено е, че тригонометрията е исторически развита наука. Тя беше оживена от необходимостта от измерване на ъгли, но с течение на времето се превърна в наука за тригонометричните функции.

Те бяха убедени, че тригонометрията престава да съществува като самостоятелна наука, разделяйки се на две части.

Смятаме, че тригонометрията не само е намерила своето приложение в човешкия живот, че обхватът на нейното приложение ще се разширява.

Списък на използваните източници и литература

Интернет източници

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://www.ucheba.ru/

http://www.math.ru/ библиотека

https://sites.google.com/site/trigonometry история на тригонометрията

http://fb.ru история на тригонометрията

литература

Волошинов. Математика и изкуство // Москва, 1992. вестник

Историята на математиката от древни времена до началото на 19 век в 3 тома // Изд. А. П. Юшкевич. Москва, 1970 г - Том 1-3 E. T. Bell Creators of Mathematics.

Маслова Т.Н. "Наръчник за ученика по математика" М.: Издателство "Оникс": Издателство "Мир и образование", 2008. - 672 с.

математика. Приложение към вестника от 1.09.98г.

Предшественици на съвременната математика // Изд. С. Н. Ниро. Москва, 1983 г А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.

Разкази за приложната математика // Москва, 1979. А. В.

Приложение 1

Учени, допринесли за развитието на тригонометрията

Талес от Милет

Аристарх от Самос

Ератостен от Кирена

Региомонтана

Томас Брадуардин

ал - Бируни

Николай Коперник

Томас Финке

Ейбрахам Муавр

Приложение 2

Първото измерване на дъгата на меридиана и радиуса на Земята принадлежи на Ератостен Киренски (ок. 276 - 194 г. пр. н. е.) - древногръцки математик, географ, историк, философ и поет.

Книжката е изготвена от:

ученик 9 "А" клас МОУ СОУ No105

Павлова Полина Александровна

МОУ СОУ No105

История на тригонометрията

Волгоград, 2018 г

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения към геометрията. Думата тригонометрия се състои от две гръцки думи: "trigwnon" - "триъгълник" и "metrew" - "измерване", означава - "измерване на триъгълници". Именно тази задача - "измерване на триъгълници" или "решаване на триъгълници", определяне на всички елементи на триъгълник от три данни, от древни времена е формирала основата на практическите приложения на тригонометрията.

Хипарх е основателят на математическата география. Той въвежда дефиницията на точките на земната повърхност с помощта на географски координати - географска ширина и дължина.

Лекарите имаха нужда от астрономия, алгебра и тригонометрия за астрологични изчисления, за да съставят хороскопа на пациента и по подреждането на планетите в съзвездията да определят дали пациентът ще се възстанови или не.

Тези и други аспекти на човешката дейност още в древни времена са се натъкнали на необходимостта да се запознаят с положението и видимото движение на небесните тела (слънцето, луната, звездите).