Postupnosť čísel sa nazýva hodnotenie. Pojem číselnej postupnosti. Určenie limitu postupnosti

Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3

1.Teoretická časť……………………………………………………………………….4

Základné pojmy a pojmy………………………………………………………....4

1.1 Typy sekvencií………………………………………………………...6

1.1.1.Obmedzené a neobmedzené číselné postupnosti…..6

1.1.2. Monotónnosť sekvencií………………………………………………6

1.1.3. Infinitezimálne a nekonečne malé postupnosti…….7

1.1.4 Vlastnosti nekonečne malých postupností………………………8

1.1.5 Konvergentné a divergentné postupnosti a ich vlastnosti...…9

1.2 Limit sekvencie……………………………………………………………….11

1.2.1.Vety o limitách postupností………………………………………………………………………15

1.3. Aritmetický postup………………………………………………………………………17

1.3.1. Vlastnosti aritmetického postupu………………………………………………..17

1.4Geometrický postup………………………………………………………………..19

1.4.1. Vlastnosti geometrickej postupnosti……………………………………….19

1.5. Fibonacciho čísla………………………………………………………………………..21

1.5.1 Spojenie Fibonacciho čísel s inými oblasťami poznania………………………….22

1.5.2. Použitie série Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody……………………………………………………………………………………….23

2. Vlastný výskum……………………………………………………………….28

Záver……………………………………………………………………………….. 30

Zoznam použitej literatúry………………………………………………....31

Úvod.

Číselné rady sú veľmi zaujímavou a poučnou témou. Táto téma sa nachádza v úlohách so zvýšenou zložitosťou, ktoré študentom ponúkajú autori didaktických materiálov, v problematike matematických olympiád, prijímacích skúšok na vysoké školy a USE. Zaujíma ma prepojenie matematických postupností s inými oblasťami poznania.

Cieľ výskumnej práce: Rozšíriť poznatky o číselnej postupnosti.

1. Zvážte postupnosť;

2. Zvážte jeho vlastnosti;

3. Zvážte analytickú úlohu sekvencie;

4. Ukázať jeho úlohu pri rozvoji iných oblastí poznania.

5. Ukážte použitie radu Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody.

1. Teoretická časť.

Základné pojmy a pojmy.

Definícia. Číselná postupnosť je funkciou tvaru y = f(x), x О N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označená ako y = f(n) alebo y1, y2 ,…, yn,…. Hodnoty y1, y2, y3,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, … člen postupnosti.

Číslo a sa nazýva limita postupnosti x = (x n ), ak pre ľubovoľne vopred priradené ľubovoľne malé kladné číslo ε existuje prirodzené číslo N také, že pre všetky n>N platí nerovnosť |x n - a|< ε.

Ak je číslo a limitom postupnosti x \u003d (x n), potom hovoria, že x n smeruje k a, a napíšu

Postupnosť (yn) sa nazýva rastúca, ak každý z jej členov (okrem prvého) je väčší ako predchádzajúci:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Postupnosť (yn) sa nazýva klesajúca, ak je každý z jej členov (okrem prvého) menší ako predchádzajúci:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie spája spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Postupnosť sa nazýva periodická, ak existuje prirodzené číslo T také, že od nejakého n platí rovnosť yn = yn+T. Číslo T sa nazýva dĺžka periódy.

Aritmetická postupnosť je postupnosť (an), ktorej každý člen od druhého sa rovná súčtu predchádzajúceho člena a rovnakého čísla d sa nazýva aritmetická postupnosť a číslo d sa nazýva rozdiel aritmetický postup.

Aritmetická progresia je teda číselná postupnosť (an) daná rekurzívne vzťahmi

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej sú všetky členy nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť (bn) daná rekurzívne vzťahmi

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Typy sekvencií.

1.1.1 Ohraničené a neohraničené postupnosti.

O postupnosti (bn) sa hovorí, že je ohraničená zhora, ak existuje číslo M také, že pre ľubovoľné číslo n je splnená nerovnosť bn≤ M;

O postupnosti (bn) sa hovorí, že je ohraničená zdola, ak existuje číslo M také, že pre akékoľvek číslo n je splnená nerovnosť bn≥ M;

Napríklad:

1.1.2 Monotónnosť sekvencií.

Postupnosť (bn) sa nazýva nerastúca (neklesajúca), ak pre ľubovoľné číslo n platí nerovnosť bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Postupnosť (bn) sa nazýva klesajúca (rastúca), ak pre ľubovoľné číslo n je nerovnosť bn > bn+1 (bn

Klesajúce a rastúce postupnosti sa nazývajú prísne monotónne, nerastúce - monotónne v širšom zmysle.

Postupnosti ohraničené nad aj pod sebou sa nazývajú ohraničené.

Postupnosť všetkých týchto typov sa nazýva monotónna.

1.1.3 Nekonečne veľké a malé sekvencie.

Infinitezimálna postupnosť je numerická funkcia alebo postupnosť, ktorá má tendenciu k nule.

Postupnosť an sa nazýva nekonečne malé ak

Funkcia sa nazýva infinitezimálna v okolí bodu x0, ak ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcia sa nazýva infinitezimálna v nekonečne, ak ℓimx→.+∞ f(x)=0 alebo ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitezimálna je tiež funkcia, ktorá je rozdielom medzi funkciou a jej limitou, teda ak ℓimx→.+∞ f(x)=а, potom f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Nekonečne veľká postupnosť je numerická funkcia alebo postupnosť, ktorá smeruje k nekonečnu.

Postupnosť an sa nazýva nekonečne veľká, ak

ℓimn→0 an=∞.

Funkcia sa nazýva nekonečná v okolí bodu x0, ak ℓimx→x0 f(x)= ∞.

O funkcii sa hovorí, že je nekonečne veľká v nekonečne, ak

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ alebo ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Vlastnosti infinitezimálnych postupností.

Súčet dvoch nekonečne malých postupností je sám o sebe tiež nekonečne malými postupnosťami.

Rozdiel dvoch nekonečne malých postupností je sám o sebe tiež nekonečne malými postupnosťami.

Algebraický súčet ľubovoľného konečného počtu infinitezimálnych postupností je sám o sebe tiež nekonečne malou postupnosťou.

Súčinom ohraničenej postupnosti a nekonečnej postupnosti je nekonečne malá postupnosť.

Súčin ľubovoľného konečného počtu nekonečne malých postupností je nekonečne malá postupnosť.

Akákoľvek infinitezimálna postupnosť je ohraničená.

Ak je stacionárna postupnosť nekonečne malá, potom sa všetky jej prvky, počnúc niektorými, rovnajú nule.

Ak celá infinitezimálna postupnosť pozostáva z rovnakých prvkov, potom sú tieto prvky nuly.

Ak (xn) je nekonečne veľká postupnosť bez nulových členov, potom existuje postupnosť (1/xn), ktorá je nekonečne malá. Ak však (xn) obsahuje nula prvkov, potom môže byť postupnosť (1/xn) stále definovaná od nejakého čísla n a bude stále nekonečne malá.

Ak (an) je nekonečne malá postupnosť, ktorá neobsahuje žiadne nulové členy, potom existuje postupnosť (1/an), ktorá je nekonečne veľká. Ak však (an) obsahuje nula prvkov, potom postupnosť (1/an) môže byť stále definovaná od nejakého čísla n a bude stále nekonečne veľká.

1.1.5 Konvergentné a divergentné postupnosti a ich vlastnosti.

Konvergentná postupnosť je postupnosť prvkov množiny X, ktorá má v tejto množine limitu.

Divergentná postupnosť je postupnosť, ktorá nie je konvergentná.

Každá infinitezimálna postupnosť je konvergentná. Jeho hranica je nulová.

Odstránenie akéhokoľvek konečného počtu prvkov z nekonečnej postupnosti neovplyvní ani konvergenciu, ani limit tejto postupnosti.

Akákoľvek konvergentná postupnosť je ohraničená. Nie každá ohraničená postupnosť však konverguje.

Ak postupnosť (xn) konverguje, ale nie je nekonečne malá, potom od nejakého čísla je definovaná postupnosť (1/xn), ktorá je ohraničená.

Súčet konvergentných postupností je tiež konvergentným sledom.

Rozdiel konvergentných sekvencií je tiež konvergentná postupnosť.

Súčinom konvergentných postupností je tiež konvergentná postupnosť.

Podiel dvoch konvergentných postupností je definovaný od nejakého prvku, pokiaľ druhá postupnosť nie je nekonečne malá. Ak je definovaný podiel dvoch konvergentných postupností, potom ide o konvergentnú postupnosť.

Ak je konvergentná postupnosť ohraničená nižšie, potom žiadna z jej dolných hraníc nepresahuje jej limit.

Ak je konvergentná postupnosť ohraničená zhora, jej limita nepresahuje žiadnu z jej horných hraníc.

Ak pre ľubovoľné číslo členy jednej konvergentnej postupnosti nepresiahnu členy inej konvergentnej postupnosti, potom limita prvej postupnosti tiež nepresiahne hranicu druhej.

Matematika je veda, ktorá buduje svet. Vedec aj obyčajný človek – bez toho sa nikto nezaobíde. Najprv sa malé deti učia počítať, potom sčítať, odčítať, násobiť a deliť, strednou školou prichádza na rad označovanie písmen a v staršom sa už nedajú obísť.

Dnes si ale povieme, na čom je celá známa matematika založená. O komunite čísiel s názvom „limity sekvencie“.

Čo sú to postupnosti a kde je ich limit?

Význam slova „sekvencia“ nie je ťažké interpretovať. Toto je taká konštrukcia vecí, kde sa niekto alebo niečo nachádza v určitom poradí alebo rade. Napríklad rad na lístky do zoo je sekvencia. A môže byť len jeden! Ak sa napríklad pozriete na rad do obchodu, je to jedna sekvencia. A ak jeden človek náhle opustí tento rad, potom je to iný rad, iné poradie.

Slovo "limit" sa tiež ľahko interpretuje - to je koniec niečoho. V matematike sú však limity postupností tie hodnoty na číselnej osi, ku ktorým má postupnosť čísel tendenciu. Prečo sa snaží a nekončí? Je to jednoduché, číselná os nemá koniec a väčšina sekvencií, podobne ako lúče, má iba začiatok a vyzerá takto:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Preto je definícia postupnosti funkciou prirodzeného argumentu. Jednoduchšie povedané, je to séria členov nejakej množiny.

Ako sa zostavuje číselná postupnosť?

Najjednoduchší príklad číselnej postupnosti môže vyzerať takto: 1, 2, 3, 4, …n…

Vo väčšine prípadov sa z praktických dôvodov zostavujú postupnosti z čísel a každý ďalší člen radu, označme ho X, má svoje meno. Napríklad:

x 1 - prvý člen postupnosti;

x 2 - druhý člen postupnosti;

x 3 - tretí člen;

x n je n-tý člen.

V praktických metódach je postupnosť daná všeobecným vzorcom, v ktorom je nejaká premenná. Napríklad:

X n \u003d 3n, potom samotná séria čísel bude vyzerať takto:

Je potrebné pripomenúť, že vo všeobecnom zápise sekvencií môžete použiť akékoľvek latinské písmená, nielen X. Napríklad: y, z, k atď.

Aritmetický postup ako súčasť sekvencií

Pred hľadaním limitov postupností je vhodné hlbšie preniknúť do samotného konceptu takéhoto číselného radu, s ktorým sa každý stretol, keď bol v stredných vrstvách. Aritmetická progresia je séria čísel, v ktorých je rozdiel medzi susednými členmi konštantný.

Úloha: „Nechajte 1 \u003d 15 a krok progresie číselného radu d \u003d 4. Postavte prvých 4 členov tohto radu"

Riešenie: a 1 = 15 (podľa podmienky) je prvým členom postupnosti (číselného radu).

a 2 = 15+4=19 je druhý člen postupu.

a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je tretí termín.

a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je štvrtý termín.

S touto metódou je však ťažké dosiahnuť veľké hodnoty, napríklad až 125. . Najmä pre takéto prípady bol odvodený vzorec vhodný pre prax: a n \u003d a 1 + d (n-1). V tomto prípade 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Typy sekvencií

Väčšina sekvencií je nekonečná, oplatí sa to pamätať na celý život. Existujú dva zaujímavé typy číselných radov. Prvý je daný vzorcom a n =(-1) n . Matematici sa často odvolávajú na tieto blikajúce sekvencie. prečo? Pozrime sa na jeho čísla.

1, 1, -1, 1, -1, 1 atď. S týmto príkladom je jasné, že čísla v sekvenciách sa môžu ľahko opakovať.

faktoriálna postupnosť. Je ľahké uhádnuť, že vo vzorci je faktoriál, ktorý definuje postupnosť. Napríklad: a n = (n+1)!

Potom bude sekvencia vyzerať takto:

a 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

a 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 atď.

Postupnosť daná aritmetickou progresiou sa nazýva nekonečne klesajúca, ak je pozorovaná nerovnosť -1 pre všetky jej členy.

a 3 \u003d - 1/8 atď.

Existuje dokonca aj postupnosť pozostávajúca z rovnakého čísla. Takže, a n \u003d 6 pozostáva z nekonečného počtu šiestich.

Určenie limitu postupnosti

Limity postupnosti v matematike existujú už dlho. Samozrejme, zaslúžia si svoj vlastný kompetentný dizajn. Takže je čas naučiť sa definíciu sekvenčných limitov. Najprv podrobne zvážte limit pre lineárnu funkciu:

1. Všetky limity sú skrátené ako lim.
2. Limitný záznam pozostáva zo skratky lim, nejakej premennej smerujúcej k určitému číslu, nule alebo nekonečnu, ako aj samotnej funkcie.

Je ľahké pochopiť, že definíciu limity postupnosti možno formulovať takto: je to určité číslo, ku ktorému sa nekonečne približujú všetky členy postupnosti. Jednoduchý príklad: a x = 4x+1. Potom bude samotná sekvencia vyzerať takto.

5, 9, 13, 17, 21...x...

Táto postupnosť sa teda bude zvyšovať donekonečna, čo znamená, že jej limita sa rovná nekonečnu ako x→∞, a to by sa malo zapísať takto:

Ak vezmeme podobnú postupnosť, ale x má tendenciu k 1, dostaneme:

A séria čísel bude takáto: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 atď. Zakaždým, keď potrebujete dosadiť číslo viac a viac bližšie k jednotke (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tejto série je vidieť, že limit funkcie je päť.

Z tejto časti sa oplatí pripomenúť, aká je limita číselnej postupnosti, definícia a spôsob riešenia jednoduchých úloh.

Všeobecný zápis limity postupností

Po analýze limity číselnej postupnosti, jej definície a príkladov môžeme prejsť k zložitejšej téme. Absolútne všetky limity postupností môžu byť formulované jedným vzorcom, ktorý sa zvyčajne analyzuje v prvom semestri.

Čo teda znamená tento súbor písmen, modulov a znakov nerovnosti?

∀ je univerzálny kvantifikátor, ktorý nahrádza frázy „pre všetkých“, „pre všetko“ atď.

∃ je existenčný kvantifikátor, v tomto prípade to znamená, že existuje nejaká hodnota N patriaca do množiny prirodzených čísel.

Dlhá zvislá palica za N znamená, že daná množina N je „taká, že“. V praxi to môže znamenať „také to“, „také to“ atď.

Ak chcete materiál upevniť, prečítajte si vzorec nahlas.

Neistota a istota limitu

Metóda hľadania limity postupností, o ktorej sme hovorili vyššie, hoci je jednoduchá na použitie, nie je v praxi taká racionálna. Skúste nájsť limit pre túto funkciu:

Ak dosadíme rôzne hodnoty x (zakaždým rastúce: 10, 100, 1000 atď.), dostaneme ∞ v čitateli, ale aj ∞ v menovateli. Ukazuje sa dosť zvláštny zlomok:

Ale je to naozaj tak? Výpočet limitu číselnej postupnosti sa v tomto prípade zdá byť dosť jednoduchý. Bolo by možné nechať všetko tak, ako je, pretože odpoveď je pripravená a bola prijatá za rozumných podmienok, ale existuje aj iný spôsob, ktorý je špeciálne pre takéto prípady.

Najprv nájdime najvyšší stupeň v čitateli zlomku - to je 1, pretože x môže byť vyjadrené ako x 1.

Teraz nájdime najvyšší stupeň v menovateli. Tiež 1.

Čitateľ aj menovateľ vydeľte premennou na najvyšší stupeň. V tomto prípade zlomok delíme x 1.

Ďalej zistime, akú hodnotu má každý výraz obsahujúci premennú. V tomto prípade sa berú do úvahy zlomky. Ako x→∞, hodnota každého zo zlomkov má tendenciu k nule. Pri písaní príspevku sa oplatí urobiť si tieto poznámky pod čiarou:

Získa sa nasledujúci výraz:

Samozrejme, že zlomky obsahujúce x sa nestali nulami! Ale ich hodnota je taká malá, že je celkom prípustné, aby sa nezohľadnila pri výpočtoch. V skutočnosti sa x v tomto prípade nikdy nebude rovnať 0, pretože nemôžete deliť nulou.

čo je to susedstvo?

Predpokladajme, že profesor má k dispozícii zložitú postupnosť, danú, samozrejme, nemenej zložitým vzorcom. Profesor našiel odpoveď, ale sedí? Všetci ľudia predsa robia chyby.

Auguste Cauchy prišiel na skvelý spôsob, ako dokázať limity sekvencií. Jeho metóda sa volala susedská operácia.

Predpokladajme, že existuje nejaký bod a, jeho okolie v oboch smeroch na skutočnej priamke sa rovná ε ("epsilon"). Keďže poslednou premennou je vzdialenosť, jej hodnota je vždy kladná.

Teraz nastavme postupnosť x n a predpokladajme, že desiaty člen postupnosti (x 10) sa nachádza v okolí a. Ako napísať túto skutočnosť v matematickom jazyku?

Predpokladajme, že x 10 je napravo od bodu a, potom je vzdialenosť x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Teraz je čas vysvetliť v praxi vyššie uvedený vzorec. Je spravodlivé nazvať nejaké číslo a koncovým bodom postupnosti, ak pre niektorú z jej limitov platí nerovnosť ε>0 a celé okolie má svoje prirodzené číslo N, takže všetky členy postupnosti s vyššími číslami budú vnútri postupnosti |x n - a|< ε.

S takýmito znalosťami je ľahké vyriešiť limity postupnosti, dokázať alebo vyvrátiť hotovú odpoveď.

Vety

Vety o limitách postupností sú dôležitou súčasťou teórie, bez ktorej je prax nemožná. Existujú iba štyri hlavné vety, ktoré si pamätajte, môžete výrazne uľahčiť proces riešenia alebo dokazovania:

1. Jedinečnosť limity postupnosti. Každá sekvencia môže mať iba jeden limit alebo vôbec. Rovnaký príklad s frontom, ktorý môže mať iba jeden koniec.
2. Ak má séria čísel limit, potom je postupnosť týchto čísel obmedzená.
3. Limita súčtu (rozdielu, súčinu) postupností sa rovná súčtu (rozdielu, súčinu) ich limitov.
4. Podielová limita dvoch postupností sa rovná podielu limitov práve vtedy, ak menovateľ nezmizne.

Dôkaz sekvencie

Niekedy je potrebné vyriešiť inverzný problém, dokázať danú limitu číselnej postupnosti. Pozrime sa na príklad.

Dokážte, že limita postupnosti daná vzorcom sa rovná nule.

Podľa vyššie uvedeného pravidla je pre ľubovoľnú postupnosť nerovnosť |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vyjadrime n v termínoch "epsilon", aby sme ukázali existenciu určitého čísla a dokázali existenciu limity postupnosti.

V tejto fáze je dôležité pripomenúť, že „epsilon“ a „en“ sú kladné čísla a nerovnajú sa nule. Teraz môžete pokračovať v ďalších transformáciách s využitím vedomostí o nerovnostiach získaných na strednej škole.

Odkiaľ vychádza, že n > -3 + 1/ε. Keďže stojí za to pripomenúť, že hovoríme o prirodzených číslach, výsledok možno zaokrúhliť vložením do hranatých zátvoriek. Bolo teda dokázané, že pre akúkoľvek hodnotu okolia „epsilon“ bodu a = 0 sa našla taká hodnota, že počiatočná nerovnosť je splnená. Z toho môžeme bezpečne tvrdiť, že číslo a je limita danej postupnosti. Q.E.D.

Takouto pohodlnou metódou dokážete limitu číselnej postupnosti, nech sa to na prvý pohľad zdá akokoľvek komplikované. Hlavnou vecou nie je panika pri pohľade na úlohu.

Alebo možno neexistuje?

Existencia sekvenčného limitu nie je v praxi potrebná. Je ľahké nájsť také série čísel, ktoré naozaj nemajú konca. Napríklad rovnaký blikač x n = (-1) n . je zrejmé, že postupnosť pozostávajúca len z dvoch cyklicky sa opakujúcich číslic nemôže mať limitu.

Rovnaký príbeh sa opakuje so sekvenciami pozostávajúcimi z jedného čísla, zlomkového, ktoré majú v priebehu výpočtov neurčitosť ľubovoľného rádu (0/0, ∞/∞, ∞/0 atď.). Malo by sa však pamätať na to, že dochádza aj k nesprávnemu výpočtu. Niekedy vám opätovná kontrola vlastného riešenia pomôže nájsť hranicu nástupníctva.

monotónna postupnosť

Vyššie sme zvážili niekoľko príkladov postupností, metód ich riešenia a teraz skúsme zobrať konkrétnejší prípad a nazvať ho „monotónna postupnosť“.

Definícia: je spravodlivé nazvať akúkoľvek postupnosť monotónne rastúcou, ak spĺňa striktnú nerovnosť x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Spolu s týmito dvoma podmienkami existujú aj podobné neprísne nerovnosti. V súlade s tým x n ≤ x n +1 (neklesajúca postupnosť) a x n ≥ x n +1 (neklesajúca postupnosť).

Ale je to jednoduchšie pochopiť na príkladoch.

Postupnosť daná vzorcom x n \u003d 2 + n tvorí nasledujúci rad čísel: 4, 5, 6 atď. Toto je monotónne rastúca postupnosť.

A ak vezmeme x n \u003d 1 / n, dostaneme sériu: 1/3, ¼, 1/5 atď. Toto je monotónne klesajúca postupnosť.

Limita konvergentnej a ohraničenej postupnosti

Ohraničená postupnosť je postupnosť, ktorá má limitu. Konvergentná postupnosť je séria čísel, ktorá má nekonečne malý limit.

Limitou ohraničenej postupnosti je teda akékoľvek reálne alebo komplexné číslo. Pamätajte, že môže existovať iba jeden limit.

Limita konvergentnej postupnosti je nekonečne malá veličina (reálna alebo komplexná). Ak nakreslíte sekvenčný diagram, potom v určitom bode bude, ako to bolo, konvergovať, má tendenciu premeniť sa na určitú hodnotu. Odtiaľ pochádza názov – konvergentná postupnosť.

Limit monotónnej postupnosti

Takáto postupnosť môže, ale nemusí mať limit. Po prvé, je užitočné pochopiť, kedy to je, odtiaľto môžete začať pri preukazovaní absencie limitu.

Medzi monotónnymi postupnosťami sa rozlišujú konvergentné a divergentné. Konvergentná - ide o postupnosť, ktorá je tvorená množinou x a má v tejto množine reálnu alebo komplexnú limitu. Divergentná – postupnosť, ktorá nemá vo svojej množine žiadnu hranicu (ani reálnu, ani komplexnú).

Okrem toho postupnosť konverguje, ak sa jej horná a dolná hranica zbiehajú v geometrickom zobrazení.

Limita konvergentnej postupnosti môže byť v mnohých prípadoch rovná nule, pretože každá infinitezimálna postupnosť má známu limitu (nulu).

Bez ohľadu na to, akú konvergentnú postupnosť vyberiete, všetky sú ohraničené, ale zďaleka nie všetky ohraničené postupnosti konvergujú.

Súčet, rozdiel, súčin dvoch konvergentných postupností je tiež konvergentná postupnosť. Kvocient však môže tiež konvergovať, ak je definovaný!

Rôzne akcie s limitmi

Sekvenčné limity sú také významné (vo väčšine prípadov) ako čísla a čísla: 1, 2, 15, 24, 362 atď. Ukazuje sa, že niektoré operácie možno vykonávať s limitmi.

Po prvé, rovnako ako číslice a čísla, limity akejkoľvek postupnosti môžu byť sčítané a odčítané. Na základe tretej vety o limitách postupností platí nasledujúca rovnosť: limita súčtu postupností sa rovná súčtu ich limitov.

Po druhé, na základe štvrtej vety o limitách postupností platí nasledujúca rovnosť: limita súčinu n-tého počtu postupností sa rovná súčinu ich limitov. To isté platí aj pre delenie: limita podielu dvoch postupností sa rovná podielu ich limity za predpokladu, že limita sa nerovná nule. Koniec koncov, ak je limit sekvencií rovný nule, potom sa ukáže delenie nulou, čo je nemožné.

Vlastnosti sekvenčnej hodnoty

Zdá sa, že hranica číselnej postupnosti už bola podrobne analyzovaná, ale také frázy ako „nekonečne malé“ a „nekonečne veľké“ čísla sa spomínajú viackrát. Je zrejmé, že ak existuje postupnosť 1/x, kde x→∞, potom je takýto zlomok nekonečne malý, a ak je rovnaká postupnosť, ale limita má tendenciu k nule (x→0), zlomok sa stáva nekonečne veľkou hodnotou. . A takéto hodnoty majú svoje vlastné charakteristiky. Vlastnosti limitu postupnosti s ľubovoľnými malými alebo veľkými hodnotami sú nasledovné:

1. Súčet ľubovoľného počtu ľubovoľne malých množstiev bude tiež malým množstvom.
2. Súčet ľubovoľného počtu veľkých hodnôt bude nekonečne veľká hodnota.
3. Produkt ľubovoľne malých množstiev je nekonečne malý.
4. Súčin ľubovoľne veľkých čísel je nekonečne veľká veličina.
5. Ak má pôvodná postupnosť tendenciu k nekonečnému číslu, potom jej prevrátená hodnota bude nekonečne malá a bude mať tendenciu k nule.

V skutočnosti výpočet limity postupnosti nie je taká náročná úloha, ak poznáte jednoduchý algoritmus. Ale limity sekvencií sú témou, ktorá si vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť. Samozrejme, stačí jednoducho pochopiť podstatu riešenia takýchto výrazov. Ak začnete v malom, časom môžete dosiahnuť veľké výšky.

Vida r= f(X), X O N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označovaná r=f(n) alebo r 1 ,r 2 ,…, y n,…. hodnoty r 1 ,r 2 ,r 3 ,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen postupnosti.

Napríklad pre funkciu r= n 2 možno napísať:

r 1 = 1 2 = 1;

r 2 = 2 2 = 4;

r 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metódy nastavenia sekvencií. Sekvencie môžu byť špecifikované rôznymi spôsobmi, z ktorých tri sú obzvlášť dôležité: analytické, popisné a opakujúce sa.

1. Postupnosť je daná analyticky, ak je daný jej vzorec n- člen:

y n=f(n).

Príklad. y n= 2n- 1 – postupnosť nepárnych čísel: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisný spôsob, ako špecifikovať číselnú postupnosť je, že vysvetľuje, z akých prvkov je sekvencia zostavená.

Príklad 1. "Všetky členy postupnosti sa rovnajú 1." To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2. "Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí." Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

3. Opakovaný spôsob určenia postupnosti je, že je uvedené pravidlo, ktoré umožňuje počítať n-tý člen postupnosti, ak sú známe jeho predchádzajúce členy. Názov rekurentná metóda pochádza z latinského slova opakujúce sa- vráť sa. Najčastejšie sa v takýchto prípadoch uvádza vzorec, ktorý umožňuje vyjadrenie nčlen sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ak n = 2, 3, 4,….

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

Je možné vidieť, že sekvenciu získanú v tomto príklade možno špecifikovať aj analyticky: y n= 4n- 1.

Príklad 2 r 1 = 1; r 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ak n = 3, 4,….

Tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť zložená v tomto príklade je špeciálne študovaná v matematike, pretože má množstvo zaujímavých vlastností a aplikácií. Volá sa Fibonacciho postupnosť – podľa talianskeho matematika z 13. storočia. Rekurzívne definovať Fibonacciho postupnosť je veľmi jednoduché, ale analyticky veľmi ťažké. n Fibonacciho číslo je vyjadrené ako jeho poradové číslo nasledujúcim vzorcom.

Na prvý pohľad vzorec pre n Fibonacciho číslo sa zdá byť nepravdepodobné, pretože vzorec, ktorý špecifikuje postupnosť prirodzených čísel sám o sebe, obsahuje druhé odmocniny, ale platnosť tohto vzorca pre prvých pár môžete skontrolovať „ručne“. n.

Vlastnosti číselných postupností.

Číselná postupnosť je špeciálny prípad numerickej funkcie, preto sa pri postupnosti zvažuje aj množstvo vlastností funkcií.

Definícia . Následná sekvencia ( y n} sa nazýva rastúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je väčší ako predchádzajúci:

r 1 r 2 r 3 r n n +1

Definícia.Sekvencia ( y n} sa nazýva klesajúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je menší ako predchádzajúci:

r 1 > r 2 > r 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie spája spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 1; y n= n 2 je rastúca postupnosť.

Nasledujúca veta je teda pravdivá (charakteristická vlastnosť aritmetickej progresie). Číselná postupnosť je aritmetická vtedy a len vtedy, ak sa každý jej člen, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Príklad. V akej hodnote Xčíslo 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 tvorí konečnú aritmetickú postupnosť?

Podľa charakteristickej vlastnosti musia dané výrazy vyhovovať vzťahu

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Riešenie tejto rovnice dáva X= –5,5. S touto hodnotou X dané výrazy 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 naberá hodnoty -14,5, –31,5, –48,5. Toto je aritmetický postup, jeho rozdiel je -17.

Geometrická progresia.

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, sa nazýva geometrická postupnosť a číslo q- menovateľ geometrickej postupnosti.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť ( b n) dané rekurzívne vzťahmi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b a q- dané čísla, b ≠ 0, q ≠ 0).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastúca geometrická postupnosť b = 2, q = 3.

Príklad 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrický postup b= 2,q= –1.

Príklad 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrický postup b= 8, q= 1.

Geometrický postup je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q> 1 a znižovaním, ak b 1 > 0, 0q

Jednou zo zrejmých vlastností geometrickej postupnosti je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov, t.j.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná b 1 2 a menovateľ je q 2 .

Vzorec n-člen geometrickej postupnosti má tvar

b n= b 1 q n– 1 .

Môžete získať vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej progresie.

Nech existuje konečná geometrická postupnosť

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

nechať byť S n - súčet jej členov, t.j.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To sa uznáva qč 1. Určiť S n použije sa umelý trik: vykonajú sa nejaké geometrické transformácie výrazu S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

teda S n q= S n +b n q – b 1 a teda

Toto je vzorec s umma n členov geometrickej progresie pre prípad, keď q≠ 1.

o q= 1 vzorec nemožno odvodiť samostatne, je zrejmé, že v tomto prípade S n= a 1 n.

Nazýva sa geometrická progresia, pretože v nej sa každý člen, okrem prvého, rovná geometrickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena. Skutočne, odvtedy

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

teda, b n 2= b n– 1 miliárd + 1 a platí nasledujúca veta (charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti):

číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Limit sekvencie.

Nech existuje postupnosť ( c n} = {1/n}. Táto postupnosť sa nazýva harmonická, pretože každý jej člen, počnúc druhým, je harmonickým priemerom medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi. Geometrický priemer čísel a a b je tam číslo

V opačnom prípade sa postupnosť nazýva divergentná.

Na základe tejto definície je možné napríklad dokázať existenciu limity A = 0 pre harmonickú postupnosť ( c n} = {1/n). Nech ε je ľubovoľne malé kladné číslo. Zvažujeme rozdiel

Existuje taký Nže pre každého n≥ N nerovnosť 1 /N? Ak sa berie ako N akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1/ε , potom pre všetkých n ≥ N nerovnosť 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Niekedy je veľmi ťažké dokázať existenciu limity pre určitú postupnosť. Najbežnejšie sekvencie sú dobre preštudované a sú uvedené v referenčných knihách. Existujú dôležité vety, ktoré umožňujú dospieť k záveru, že daná postupnosť má limitu (a dokonca ju vypočítať) na základe už preštudovaných postupností.

Veta 1. Ak má postupnosť limitu, potom je ohraničená.

Veta 2. Ak je postupnosť monotónna a ohraničená, potom má limitu.

Veta 3. Ak postupnosť ( a n} má limit A, potom sekvencie ( môcť}, {a n+ c) a (| a n|} mať limity cA, A +c, |A| respektíve (tu c je ľubovoľné číslo).

Veta 4. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B pa n + qb n) má limit pA+ qB.

Veta 5. Ak postupnosti ( a n) a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí, potom sekvencia ( a n b n) má limit AB.

Veta 6. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí a navyše b n ≠ 0 a B≠ 0, potom sekvencia ( a n / b n) má limit A/B.

Anna Chugainová

Definícia číselnej postupnosti je uvedená. Zvažujú sa príklady nekonečne rastúcich, konvergentných a divergentných postupností. Uvažuje sa postupnosť obsahujúca všetky racionálne čísla.

Pozri tiež:

Definícia

Postupnosť je označená ako n-tý člen v zložených zátvorkách: . Možné sú aj nasledujúce označenia: . Výslovne uvádzajú, že index n patrí do množiny prirodzených čísel a že samotná postupnosť má nekonečný počet členov. Tu je niekoľko príkladov sekvencií:
, , .

Inými slovami, číselná postupnosť je funkcia, ktorej doménou je množina prirodzených čísel. Počet prvkov v postupnosti je nekonečný. Medzi prvkami môžu byť aj členy, ktoré majú rovnakú hodnotu. Postupnosť možno tiež považovať za očíslovanú množinu čísel, ktorá pozostáva z nekonečného počtu členov.

Nás bude zaujímať hlavne otázka - ako sa správajú postupnosti, keď n smeruje k nekonečnu: . Tento materiál je uvedený v sekcii Limita postupnosti - základné vety a vlastnosti. A tu sa pozrieme na niekoľko príkladov sekvencií.

Príklady sekvencií

Príklady nekonečne rastúcich sekvencií

Uvažujme o postupnosti. Všeobecný termín tejto sekvencie je . Poďme si napísať prvých pár výrazov:
.
Je vidieť, že ako číslo n rastie, prvky pribúdajú donekonečna smerom ku kladným hodnotám. Môžeme povedať, že táto postupnosť má tendenciu : at .

Teraz zvážte postupnosť so spoločným výrazom. Tu sú niektorí z jeho prvých členov:
.
Ako číslo n rastie, prvky tejto postupnosti narastajú v absolútnej hodnote neobmedzene, ale nemajú konštantné znamienko. To znamená, že táto postupnosť má tendenciu : pri .

Príklady postupností konvergujúcich ku konečnému číslu

Uvažujme o postupnosti. Jej spoločným členom Prvé termíny sú nasledovné:
.
Je vidieť, že ako číslo n rastie, prvky tejto postupnosti sa približujú k svojej limitnej hodnote a = 0 : o . Takže každý nasledujúci člen je bližšie k nule ako predchádzajúci. V istom zmysle môžeme predpokladať, že pre číslo a existuje približná hodnota = 0 s chybou. Je jasné, že keď sa n zvyšuje, táto chyba má tendenciu k nule, to znamená, že výberom n možno chybu ľubovoľne znížiť. Navyše, pre akúkoľvek danú chybu ε > 0 je možné zadať také číslo N , že pre všetky prvky s číslami väčšími ako N : odchýlka čísla od hraničnej hodnoty a neprekročí chybu ε : .

Ďalej zvážte postupnosť. Jej spoločným členom Tu sú niektorí z jeho prvých členov:
.
V tomto poradí sú párne členy nula. Členovia s nepárnym n sú . Preto, ako n rastie, ich hodnoty sa blížia k limitnej hodnote a = 0 . Vyplýva to aj z toho, že
.
Rovnako ako v predchádzajúcom príklade môžeme zadať ľubovoľne malú chybu ε > 0 , pre ktoré je možné nájsť také číslo N, že prvky s číslami väčšími ako N sa budú odchyľovať od limitnej hodnoty a = 0 o hodnotu nepresahujúcu špecifikovanú chybu. Preto táto postupnosť konverguje k hodnote a = 0 : o .

Príklady divergentných sekvencií

Zvážte postupnosť s nasledujúcim bežným výrazom:

Tu sú jeho prví členovia:


.
Je možné vidieť, že výrazy s párnymi číslami:
,
konvergujú k hodnote a 1 = 0 . Členovia s nepárnymi číslami:
,
konvergujú k hodnote a 2 = 2 . Samotná postupnosť, ako n rastie, nekonverguje k žiadnej hodnote.

Postupnosť s členmi rozloženými v intervale (0;1)

Teraz zvážte zaujímavejšiu sekvenciu. Vezmite segment na číselnej osi. Rozdelíme na polovicu. Získame dva segmenty. Nechať byť
.
Každý zo segmentov je opäť rozdelený na polovicu. Získame štyri segmenty. Nechať byť
.
Každý segment opäť rozdeľte na polovicu. Vezmime


.
Atď.

Výsledkom je postupnosť, ktorej prvky sú rozdelené v otvorenom intervale (0; 1) . Akýkoľvek bod vezmeme z uzavretého intervalu , vždy môžeme nájsť členy postupnosti, ktoré sú k tomuto bodu ľubovoľne blízko, alebo sa s ním zhodujú.

Potom z pôvodnej postupnosti možno vybrať podsekvenciu, ktorá bude konvergovať k ľubovoľnému bodu z intervalu . To znamená, že ako číslo n rastie, členovia podsekvencie sa budú čoraz viac približovať k vopred zvolenému bodu.

Napríklad pre bod a = 0 môžete si vybrať nasledujúcu podsekvenciu:
.
= 0 .

Pre bod a = 1 vyberte nasledujúcu postupnosť:
.
Členovia tejto podsekvencie konvergujú k hodnote a = 1 .

Keďže existujú podsekvencie, ktoré konvergujú k rôznym hodnotám, samotná pôvodná postupnosť nekonverguje k žiadnemu číslu.

Postupnosť obsahujúca všetky racionálne čísla

Teraz zostrojme postupnosť, ktorá obsahuje všetky racionálne čísla. Navyše, každé racionálne číslo bude zahrnuté do takejto postupnosti nekonečne veľakrát.

Racionálne číslo r možno znázorniť takto:
,
kde je celé číslo; - prirodzený.
Ku každému prirodzenému číslu n musíme priradiť dvojicu čísel p a q, aby sa do našej postupnosti zaradila ľubovoľná dvojica p a q.

Za týmto účelom nakreslite osi p a q do roviny. Nakreslíme čiary mriežky cez celočíselné hodnoty p a q. Potom každý uzol tejto mriežky bude zodpovedať racionálnemu číslu. Celá množina racionálnych čísel bude reprezentovaná množinou uzlov. Musíme nájsť spôsob, ako očíslovať všetky uzly, aby sme nevynechali ani jeden uzol. To sa dá ľahko urobiť, ak uzly očíslujeme podľa štvorcov, ktorých stredy sa nachádzajú v bode (0; 0) (pozri obrázok). V tomto prípade spodné časti štvorcov s q < 1 nepotrebujeme. Preto nie sú na obrázku znázornené.

Takže pre hornú stranu prvého štvorca máme:
.
Ďalej očíslujeme hornú časť nasledujúceho štvorca:

.
Očíslujeme hornú časť nasledujúceho štvorca:

.
Atď.

Takto dostaneme postupnosť obsahujúcu všetky racionálne čísla. Je vidieť, že každé racionálne číslo sa v tejto postupnosti objavuje nekonečne veľakrát. Spolu s uzlom bude táto postupnosť zahŕňať aj uzly , kde je prirodzené číslo. Ale všetky tieto uzly zodpovedajú rovnakému racionálnemu číslu.

Potom z postupnosti, ktorú sme vytvorili, môžeme vybrať podsekvenciu (s nekonečným počtom prvkov), ktorej všetky prvky sa rovnajú vopred určenému racionálnemu číslu. Keďže postupnosť, ktorú sme vytvorili, má podsekvencie konvergujúce k rôznym číslam, postupnosť nekonverguje k žiadnemu číslu.

Záver

Tu sme uviedli presnú definíciu číselnej postupnosti. Dotkli sme sa aj otázky jeho konvergencie na základe intuitívnych predstáv. Presná definícia konvergencie je diskutovaná na stránke Určenie limity postupnosti. Súvisiace vlastnosti a vety sú uvedené na stránke Limit postupnosti – Základné vety a vlastnosti.

Prednáška 8. Číselné postupnosti.

Definícia8.1. Ak je každá hodnota spojená podľa určitého zákona s určitým reálnym číslomX n , potom množina očíslovaných reálnych čísel

– skrátený zápis
, (8.1)

zavolámečíselná postupnosť alebo len sekvencia.

Samostatné čísla X n  prvky alebo členy sekvencie (8.1).

Postupnosť môže byť špecifikovaná všeobecným výrazovým vzorcom, napríklad:
alebo
. Postupnosť môže byť špecifikovaná nejednoznačne, napríklad postupnosť -1, 1, -1, 1, ... môže byť špecifikovaná vzorcom
alebo
. Niekedy sa používa opakujúci sa spôsob určenia postupnosti: uvádza sa niekoľko prvých členov postupnosti a vzorec na výpočet ďalších prvkov. Napríklad postupnosť definovaná prvým prvkom a vzťah opakovania
(aritmetická progresia). Zvážte sekvenciu tzv blízko Fibonacciho: nastavenie prvých dvoch prvkov X 1 =1, X 2 = 1 a vzťah opakovania
pre akékoľvek
. Dostaneme postupnosť čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Pre takúto sériu je dosť ťažké nájsť vzorec pre spoločný výraz.

8.1. Aritmetické operácie so sekvenciami.

Zvážte dve sekvencie:

(8.1)

Definícia 8.2. Zavolajmeprodukt postupnosti
za číslo mpodsekvencia
. Napíšme to takto:
.

Zavolajme sekvenciu súčet sekvencií (8.1) a (8.2), píšeme takto: ; podobne
zavolajme sekvenčný rozdiel (8.1) a (8.2);
 produkt sekvencií (8.1) a (8.2);  súkromné ​​sekvencie (8.1) a (8.2) (všetky prvky
).

8.2. Ohraničené a neohraničené postupnosti.

Množina všetkých prvkov ľubovoľnej postupnosti
tvorí určitú číselnú množinu, ktorá môže byť ohraničená zhora (zdola) a pre ktorú platia definície podobné tým, ktoré boli zavedené pre reálne čísla.

Definícia 8.3. Následná sekvencia
volalohraničené zhora , ak ; M  horný okraj.

Definícia 8.4. Následná sekvencia
volalohraničené zdola , ak ;m  spodný okraj.

Definícia 8.5.Následná sekvencia
volalobmedzené , ak je ohraničený nad aj pod, teda ak existujú dve reálne čísla M am tak, že každý prvok postupnosti
uspokojuje nerovnosti:

, (8.3)

maM- horný a spodný okraj
.

Nerovnosti (8.3) sa nazývajú podmienka ohraničenosti sekvencie
.

Napríklad postupnosť
obmedzené a
neobmedzené.

♦ Vyhlásenie 8.1.
je obmedzený .

Dôkaz. Vyberme si
. Podľa definície 8.5, postupnosť
bude obmedzená. ■

Definícia 8.6. Následná sekvencia
volalneobmedzené , ak pre akékoľvek kladné (ľubovoľne veľké) reálne číslo A existuje aspoň jeden prvok postupnostiX n , vyhovujúce nerovnosti:
.

Napríklad postupnosť 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n, … neobmedzene, pretože obmedzené len zdola.

8.3. Nekonečne veľké a nekonečne malé sekvencie.

Definícia 8.7. Následná sekvencia
volalnekonečne veľký , ak pre nejaké (ľubovoľne veľké) reálne číslo A existuje číslo
taká, že pre všetkých
prvkovX n
.

☼ Poznámka 8.1. Ak je postupnosť nekonečne veľká, potom je neobmedzená. Ale nemali by sme si myslieť, že akákoľvek neobmedzená postupnosť je nekonečne veľká. Napríklad postupnosť
nie je obmedzený, ale nie je nekonečne veľký, pretože stav
nie je spokojný ani pre všetkých n. ☼

 Príklad 8.1.
je nekonečne veľký. Vezmite si ľubovoľné číslo ALE>0. Z nerovnosti
dostaneme n>A. Ak vezmete
, potom pre všetkých n>N nerovnosť vydrží
, teda podľa definície 8.7 postupnosť
nekonečne veľký. 

Definícia 8.8. Následná sekvencia
volalnekonečne malý , ak pre
(akokoľvek malý ) je tam číslo
taká, že pre všetkých
prvkov táto postupnosť spĺňa nerovnosť
.

 Príklad 8.2. Dokážme, že postupnosť nekonečne malý.

Vezmite si ľubovoľné číslo
. Z nerovnosti
dostaneme . Ak vezmete
, potom pre všetkých n>N nerovnosť vydrží
. 

♦ Vyhlásenie 8.2. Následná sekvencia
je nekonečne veľký
a nekonečne malý pri
.

Dôkaz.

1) Najprv nech
:
, kde
. Podľa Bernoulliho vzorca (príklad 6.3, oddiel 6.1.)
. Opravíme ľubovoľné kladné číslo ALE a vyberte číslo N tak, že nerovnosť je pravdivá:

,
,
,
.

Ako
, potom vlastnosťou súčinu reálnych čísel pre všetky

.

Tak pre
je tam číslo
, to pre všetkých


- nekonečne veľký
.

2) Zvážte prípad
,
(at q=0 máme triviálny prípad).

Nechať byť
, kde
podľa Bernoulliho vzorca
alebo
.

Upevnenie
,
a vyberte si
také že

,
,
.

Pre

. Uveďte toto číslo N, to pre všetkých

, teda kedy
podsekvencia
nekonečne malý. ■

8.4. Základné vlastnosti infinitezimálnych postupností.

♦ Veta 8.1.Sum

a

Dôkaz. Upevnenie ;
- nekonečne malý

,

- nekonečne malý

. Vyberme si
. Potom o

,
,
. ■

♦ Veta 8.2. Rozdiel
dve nekonečne malé sekvencie
a
je nekonečne malá postupnosť.

Pre dôkaz teorém, stačí použiť nerovnosť . ■

Dôsledok.Algebraický súčet akéhokoľvek konečného počtu infinitezimálnych postupností je nekonečne malá postupnosť.

♦ Veta 8.3.Súčinom ohraničenej postupnosti a nekonečnej postupnosti je nekonečne malá postupnosť.

Dôkaz.
- obmedzený
je nekonečne malá postupnosť. Upevnenie ;
,
;
: o
fér
. Potom
. ■

♦ Veta 8.4.Každá infinitezimálna postupnosť je ohraničená.

Dôkaz. Upevnenie Nechajte nejaké číslo. Potom
pre všetky izby n, čo znamená, že postupnosť je ohraničená. ■

Dôsledok. Súčin dvoch (a ľubovoľného konečného počtu) nekonečne malých postupností je nekonečne malá postupnosť.

♦ Veta 8.5.

Ak sú všetky prvky nekonečne malej postupnosti
sa rovnajú rovnakému čísluc, potom c= 0.

Dôkaz teorém sa uskutočňuje protirečením, ak označíme
. ■

♦ Veta 8.6. 1) Ak
je teda nekonečne veľká postupnosť začínajúca od nejakého číslan, kvocient je definovaný dve sekvencie
a
, čo je nekonečne malá postupnosť.

2) Ak sú všetky prvky nekonečne malej postupnosti
sa líšia od nuly, potom kvocient dve sekvencie
a
je nekonečná postupnosť.

Dôkaz.

1) Nechajte
je nekonečne veľká postupnosť. Upevnenie ;
alebo
pri
. Takže podľa definície 8.8, sekvencia - nekonečne malý.

2) Nechajte
je nekonečne malá postupnosť. Predpokladajme, že všetky prvky
sa líšia od nuly. Upevnenie ALE;
alebo
pri
. Podľa definície 8.7 postupnosť nekonečne veľký. ■