Разрешаване на уравнение 3 1. Различни методи за решаване на уравнения. Проверка на уравнението на решенията

В хода на математиката 7 за първи път се срещат с уравнения с две променливиНо те се изследват само в контекста на системите на уравнения с две неизвестни. Ето защо от зрението се появяват редица задачи, при които се въвеждат някои условия, които са ограничени до коефициентите на уравнението. В допълнение, методите за решаване на проблеми от тип "решаване на уравнение в естествени или цели числа" остават пренебрегнати, въпреки че задачите от този вид са все по-често и по-често в EME материалите и на входните изпити.

Какво уравнение ще се нарича уравнение с две променливи?

Например, уравнения 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20 или xy \u003d 12 са уравнения с две променливи.

Помислете за уравнение 2x - y \u003d 1. Той се отнася до правилното равенство при x \u003d 2 и y \u003d 3, следователно, тази двойка променлива стойност е решението на разглежданото уравнение.

По този начин, разтворът на всяко уравнение с две променливи е множество подредени двойки (x; y), стойности на променливи, които това уравнение се нарисува към правилното числово равенство.

Уравнението с две неизвестни могат:

но) имат едно решение. Например, уравнението x 2 + 5y 2 \u003d 0 има единичен разтвор (0; 0);

б) имат няколко решения. Например, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 има 4 разтвора: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) нямате решения. Например, уравнението x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 няма разтвори;

д) имат безкрайно много решения. Например, x + y \u003d 3. решенията на това уравнение ще бъдат числото, чиято е 3. набор от разтвори на това уравнение може да бъде написан във формата (k; 3 - k), където К е всеки валиден номер.

Основните методи за решаване на уравненията с две променливи са методи, основани на разграждането на изрази върху мултипликатори, освобождаването на пълен квадрат, използването на свойствата на квадратното уравнение, ограничени изрази, методи за оценка. Уравнението като правило се превръща във формата, от която можете да получите системата, която да намерите неизвестна.

Факторизация

Пример 1.

Решаване на уравнение: XY - 2 \u003d 2x - y.

Решение.

Графични термини За да се разложи факторите:

(Xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. От всяка скоба ще обобщим:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (Y - 2) \u003d 0. Имаме:

y \u003d 2, x е всеки валиден номер или x \u003d -1, y - всеки валиден номер.

По този начин, отговорът е всички двойки на формата (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство Нулеви неотрицателни числа

Пример 2.

Разрешаване на уравнение: 9x 2 + 4Y 2 + 13 \u003d 12 (x + y).

Решение.

Ние Групим:

(9x 2 - 12x + 4) + (4Y 2 - 12Y + 9) \u003d 0. Сега всяка скоба може да бъде сгъната от квадратната формула.

(3x - 2) 2 + (2Y - 3) 2 \u003d 0.

Сумата от две не-отрицателни изрази е нула, само ако 3x е 2 \u003d 0 и 2y - 3 \u003d 0.

Така, x \u003d 2/3 и y \u003d 3/2.

Отговор: (2/3; 3/2).

Метод за оценка

Пример 3.

Решаване на уравнение: (x 2 + 2x + 2) (Y 2 - 4Y + 6) \u003d 2.

Решение.

Във всяка скоба маркирайте пълния квадрат:

((x + 1) 2 + 1) ((Y - 2) 2 + 2) \u003d 2. Установете стойността на изразите в скоби.

(X + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (Y - 2) 2 + 2 ≥ 2, след това лявата част на уравнението винаги е най-малко 2. Равенството е възможно, ако:

(X + 1) 2 + 1 \u003d 1 и (Y - 2) 2 + 2 \u003d 2, което означава x \u003d -1, y \u003d 2.

Отговор: (-1; 2).

Ще се запознаем с друг метод за решаване на уравнения с две променливи от втора степен. Този метод е, че уравнението се счита за квадрат по отношение на всяка променлива.

Пример 4.

Разрешаване на уравнение: X 2 - 6x + Y - 4√Y + 13 \u003d 0.

Решение.

Решавам уравнение като квадрат спрямо X. Ние намираме дискриминантност:

D \u003d 36 - 4 (Y - 4√Y + 13) \u003d -4Y + 16√Y - 16 \u003d -4 (√y - 2) 2. Уравнението ще има решение само при D \u003d 0, т.е., ако y \u003d 4. заместваме стойността на y към първоначалното уравнение и намирам, че x \u003d 3.

Отговор: (3; 4).

Често в уравнения с две неизвестни ограничения за променливи.

Пример 5.

Разрешаване на уравнение в числа: X 2 + 5Y 2 \u003d 20x + 2.

Решение.

Пренаписвам уравнението във формата x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2. дясната страна на полученото уравнение по време на разделяне с 5 дава в остатъка 2. Следователно, х 2 не се разделя на 5., но квадратът на Номер, който не се разделя на 5, дава в пребиваването 1 или 4. Така равенството е невъзможно и няма решения.

Отговор: Няма корени.

Пример 6.

Решаване на уравнение: (x 2 - 4 | x | + 5) (Y 2 + 6Y + 12) \u003d 3.

Решение.

Подчертаваме пълните квадрати във всяка скоба:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. лявата част на уравнението винаги е по-голяма или равна на 3. Възможност за равенство | X | - 2 \u003d 0 и Y + 3 \u003d 0. Така, x \u003d ± 2, y \u003d -3.

Отговор: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

За всяка двойка цели отрицателни числа (x; y), отговарящи на уравнението
x 2 - 2XY + 2Y 2 + 4Y \u003d 33, изчислете количеството (X + Y). В отговор, посочете най-малкото резюме.

Решение.

Подчертаваме пълните квадратчета:

(X 2 - 2XY + Y2) + (Y 2 + 4Y + 4) \u003d 37;

(X - Y) 2 + (Y + 2) 2 \u003d 37. Тъй като X и Y са цели числа, тогава техните квадрати са цели числа. Сумата от квадратите на две цели числа, равни на 37, ние получаваме, ако сгънем 1 + 36. Следователно:

(x - y) 2 \u003d 36 и (y + 2) 2 \u003d 1

(X - Y) 2 \u003d 1 и (Y + 2) 2 \u003d 36.

Решаването на тези системи и като се има предвид, че X и Y са отрицателни, намерете разтвори: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8), (-9; -8).

Отговор: -17.

Не е необходимо да се отчайвате, ако имате затруднения при решаването на уравнения с две неизвестни. Малка практика и можете да се справите с всякакви уравнения.

Имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с две променливи?
За да получите помощ за наставник - Регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо трудно. Възможността за решаване на тях е абсолютно необходимо.

Квадратното уравнение е уравнението на Axe 2 + BX + C \u003d 0, където коефициентите А, В и С са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да проучите конкретни методи за вземане на решения, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

Нямат корени;
Имат точно един корен;
Имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните уравнения от линейната, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корени имат уравнение? За това има чудесно нещо - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека квадратното уравнение на уравнение 2 + bx + c \u003d 0. След това дискриминацията е само числото D \u003d B 2 - 4AC.

Тази формула трябва да бъде известна на сърцето. Къде е поемала - сега няма значение. Друго е важно: дискриминантният знак може да се определи колко корени имат квадратно уравнение. А именно:

Ако D.< 0, корней нет;
Ако d \u003d 0, има точно един корен;
Ако D\u003e 0 ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминацията показва броя на корените, а изобщо не на техните знаци, както по някаква причина, много от тях обмислят. Обърнете внимание на примерите - и ще разберете всичко:

Задача. Колко корени са квадратни уравнения:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Отблъскваме коефициентите за първото уравнение и намират дискриминацията:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Така че, дискриминацията е положителна, така че уравнението има две различни корени. По същия начин разглобяването на второто уравнение:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4,5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминацията е отрицателна, без корени. Последното уравнение остава:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Дискриминацията е нула - коренът ще бъде един.

Моля, обърнете внимание, че за всяко уравнение коефициентите са били разрешени. Да, дълго време, да, това е досадно - но няма да объркате коефициентите и не допускайте глупави грешки. Изберете себе си: скорост или качество.

Между другото, ако "запълвате ръката", след известно време вече не трябва да пишете всички коефициенти. Такива операции ще се изпълняват в главата ви. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло, не толкова.

Корените квадратно уравнение

Сега се обръщаме, всъщност, към решението. Ако дискриминацията D\u003e 0, корените могат да бъдат намерени чрез формули:

Основната формула на корените на квадратното уравнение

Когато D \u003d 0 можете да използвате някоя от тези формули - това ще бъде същия номер, който ще бъде отговорът. Накрая, ако d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ А \u003d 1; b \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Уравнението има два корена. Намери ги:

Второ уравнение:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ A \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Уравнението отново има два корена. Ние ги намираме

[начало (подравняване) и ((x) _ (1)) \u003d frac (2+ sqrt (64)) (2 ccot лява (-1 дясно)) \u003d - 5; ((x) _ (2)) \u003d frac (2- sqrt (64)) (2 ccot лява (-1 дясно)) \u003d 3. End (Elevel) \\ t

Накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ А \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Уравнението има един корен. Можете да използвате всяка формула. Например, първото:

Както може да се види от примери, всичко е много просто. Ако знаете формулата и да можете да помислите, няма да има проблеми. Най-често грешките се появяват по време на заместването във формулата на отрицателните коефициенти. Тук отново, рецепцията, описана по-горе, ще помогне: погледнете формулата буквално, бояйте всяка стъпка - и много скоро се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се, че квадратното уравнение е малко по-различно от това, което се дава в дефиницията. Например:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Лесно е да се види, че в тези уравнения няма никой от условията. Такива квадратни уравнения са още по-лесни от стандарта: те дори не трябва да обмислят дискриминантност. Така че, въвеждаме нова концепция:

AX2 + BX + C \u003d 0 уравнението се нарича непълно квадратно уравнение, ако b \u003d 0 или c \u003d 0, т.е. Коефициентът с променлива x или свободният елемент е нула.

Разбира се, е възможно напълно труден случай, когато и двете от тези коефициенти са нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението отнема формата 2 \u003d 0. Очевидно, такова уравнение има един корен: x \u003d 0 .

Разгледайте останалите случаи. Нека b \u003d 0 е 0, след това получаваме непълна квадратна уравнение на формата 2 + c \u003d 0. Преобразуваме го малко:

Тъй като коренът на аритметиката съществува само от не-отрицателно число, последното равенство има смисъл изключително при (-C / A) ≥ 0. Заключение:

Ако в непълно квадратно уравнение на формата 2 + С \u003d 0, неравенството (-С / А) се извършва ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
Ако (-C / A)< 0, корней нет.

Както виждате, дискриминацията не е имала нужда - в непълни квадратни уравнения няма сложни изчисления. Всъщност, дори не е необходимо да се помни неравенството (-C / A) ≥ 0. Това е достатъчно, за да се изрази стойността на x 2 и да видите какво стои от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число - корените ще бъдат две. Ако отрицателен - корените изобщо няма да бъдат.

Сега ще разберем с уравненията на формата 2 + BX \u003d 0, в която свободният елемент е нула. Всичко е просто тук: корените винаги ще бъдат две. Достатъчно е да се разложи полином към множителите:

Мултипликатор за скоба

Работата е нула, когато поне един от мултипликателите е нула. Оттук има корени. В заключение ще анализираме няколко такива уравнения:

Задача. Коравни квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Няма корени, защото Квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1.5.

((3 * x - 1) \u003d 0;

- (3 * x - 1) \u003d 0;

От тук получаваме, че има едно уравнение 3 * x - 1 \u003d 0.

Получи линейно уравнение под формата на 3 * x - 1 \u003d 0

За да се реши уравнението, ние определяме кои свойства на уравнението:

Уравнението е линейно и се записва като * x + b \u003d 0, където a и b е всеки номер;
При a \u003d b \u003d 0, уравнението има безкрайни решения;
Ако a \u003d 0, b ≠ 0, уравнението няма разтвор;
Ако a ≠ 0, b \u003d 0, уравнението има разтвор: x \u003d 0;
Ако, А и В - всички номера, с изключение на 0, коренът се намира в съответствие със следната формула X \u003d - B / a.

От тук получаваме това a \u003d 3, b \u003d - 1, това означава, че уравнението има един корен.

Проверка на уравнението на решенията

Ние заменяме стойността, намерена x \u003d 1/3 в първоначалния израз | 3 * x - 1 | \u003d 0, тогава получаваме:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

За да се намери стойността на изразяването, първо в реда на опашката изчислете умножението или разделението, след което се извършва действието на добавяне или изваждане. Това е, получаваме:

Така, x \u003d 1/3 е коренът на уравнението | 3 * x - 1 | \u003d 0.

| 3 * x - 1 | \u003d 0;

Модулът се разкрива с знак плюс и минус. Получаваме 2 уравнения:

1) 3 * x - 1 \u003d 0;

Известни стойности се прехвърлят в едната страна и непознати на другата страна. Когато прехвърляте стойности, техните знаци се променят на обратния знак. Това е, получаваме:
3 * x \u003d 0 + 1;
3 * x \u003d 1;
x \u003d 1/3;

2) - (3 * x - 1) \u003d 0;

Разкриват скоби. Тъй като има знак за минус пред скобите, тогава, когато се разкрие, признаците на стойности се променят в противоположния знак. Това е, получаваме:
- 3 * x + 1 \u003d 0;
- 3 * x \u003d - 1;
x \u003d - 1 / (- 3);
x \u003d 1/3;
Отговор: x \u003d 1/3.

I. Линейни уравнения

II. Квадратни уравнения

брадва. 2 + bX. + ° С.= 0, А. ≠ 0, в противен случай уравнението става линейно

Корените на квадратното уравнение могат да бъдат изчислени по различни начини, например:

Ние знаем как да решаваме квадратни уравнения добре. Много уравнения на по-високите степени могат да бъдат доведени до квадрат.

III. Уравненията, посочени в квадрат.

смяна на променливата: а) Бистатично уравнение брадва. 2N +. bX. N +. ° С. = 0, А. ≠ 0, Н. ≥ 2

2) Симетрично уравнение 3 градуса - уравнение на типа

3) Симетрично уравнение 4 градуса - уравнение на типа

брадва. 4 + bX. 3 + cx. 2 + BX. + а. = 0, а. ≠ 0, коефициенти a b c b a или

брадва. 4 + bX. 3 + cx. 2 – BX. + а. = 0, а. ≠ 0, коефициенти a b c (-b) a

Като х. \u003d 0 не е коренът на уравнението, тогава е възможно да се разделят двете части на уравнението х. 2, тогава получаваме :.

Осъществяване на замяна Решаване на квадратно уравнение а.(t. 2 – 2) + bt. + ° С. = 0

Например решаване на уравнение х. 4 – 2х. 3 – х. 2 – 2х. + 1 \u003d 0, разделят двете части на х. 2 ,

, след замяна получаваме уравнението t. 2 – 2t. – 3 = 0

- уравнението няма корени.

4) уравнение на типа ( x - A.)(x - B.)(x - C.)(x - D.) = Брадва. 2, коефициенти ab \u003d cd.

Например, ( x + 2.)(x +3.)(x + 8.)(x + 12.) = 4x. 2. Редуващи се 1-4 и 2-3 скоби, получаваме ( х. 2 + 14х.+ 24)(х. 2 +11х. + 24) = 4х. 2, ние разделяме двете части на уравнението х. 2, получаваме:

Ние имаме ( t.+ 14)(t. + 11) = 4.

5) хомогенно уравнение 2 градуса - уравнението на формата р (x, y) \u003d 0, където p (x, y) е полином, всеки термин има степен 2.

Отговор: -2; -0.5; 0.

IV. Всички гореспоменати уравнения са разпознаваеми и типични и как да се справят с изследователски уравнения?

Нека полиномният позволи Пс. н ( х.) = а. Н. х. N +. а. N-1. х. N-1 + ... + а. 1 x +. А. 0, къде а. N. 0.

Помислете за метода за намаляване на степента на уравнение.

Известно е, че ако коефициентите а.са цели числа и а. n \u003d 1, тогава цели корените на уравнението Пс. н ( х.) \u003d 0 са сред освободените членове на членовете а. 0. Например, х. 4 + 2х. 3 – 2х. 2 – 6х.+ 5 \u003d 0, делители на числото 5 са \u200b\u200bчисла 5; -Пред; един; - Тогава Пс. 4 (1) \u003d 0, т.е. х.\u003d 1 е коренът на уравнението. Ponigay степента на уравнение Пс. 4 (х.) \u003d 0 чрез разделяне на "ъгъла" на полином към мултипликатора x -1, ние получаваме

Пс. 4 (х.) = (х. – 1)(х. 3 + 3х. 2 + х. – 5).

По същия начин, Пс. 3 (1) \u003d 0, тогава Пс. 4 (х.) = (х. – 1)(х. – 1)(х. 2 + 4х. +5), т.е. уравнението Пс. 4 (x) \u003d 0 има корени х. 1 = х. 2 \u003d 1. Покажете по-кратко решение на това уравнение (използвайки схемата за стрелба).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

това означава х. 1 \u003d 1 означава х. 2 = 1.

Така, ( х.– 1) 2 (х. 2 + 4х. + 5) = 0

Какво направихме? Намалява степента на уравнение.

V. Помислете за симетрични уравнения 3 и 5 градуса.

но) брадва. 3 + bX. 2 + bX. + а. \u003d 0, очевидно х. \u003d -1 коренът на уравнението, след това намалява степента на уравнение на две.

б) брадва. 5 + bX. 4 + cx. 3 + cx. 2 + bX. + а. \u003d 0, очевидно х. \u003d -1 коренът на уравнението, след това намалява степента на уравнение на две.

Например, ние показваме решението на уравнението 2 х. 5 + 3х. 4 – 5х. 3 – 5х. 2 + 3х. + = 0