Tvoriaca čiara kužeľa sa nazýva spojovací segment. Frustum. Pre kužeľ sú vzorce pravdivé

Definícia. Vrchná časť kužeľa je bod (K), z ktorého vychádzajú lúče.

Definícia. Kužeľová základňa- je to rovina vytvorená ako výsledok priesečníka rovného povrchu a všetkých lúčov vychádzajúcich z vrcholu kužeľa. Kužeľ môže mať základne, ako je kruh, elipsa, hyperbola a parabola.

Definícia. Kužeľová tvoriaca čiara(L) je akýkoľvek segment, ktorý spája vrchol kužeľa s hranicou základne kužeľa. Tvoriaca čiara je segment lúča vychádzajúceho z vrcholu kužeľa.

Vzorec. Dĺžka generovania(L) pravý kruhový kužeľ z hľadiska polomeru R a výšky H (prostredníctvom Pytagorovej vety):

Definícia. sprievodca kužeľ je krivka, ktorá opisuje obrys základne kužeľa.

Definícia. Bočný povrch kužeľa je súbor všetkých generátorov kužeľa. Teda povrch, ktorý vzniká pohybom tvoriacej čiary po vedení kužeľa.

Definícia. Povrch Kužeľ sa skladá z bočnej plochy a základne kužeľa.

Definícia. Výška kužeľ (H) je segment, ktorý vychádza z hornej časti kužeľa a je kolmý na jeho základňu.

Definícia. Os kužeľ (a) je priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a stredom základne kužeľa.

Definícia. Kužeľ (C) kužeľ je pomer priemeru základne kužeľa k jeho výške. V prípade zrezaného kužeľa je to pomer rozdielu medzi priemermi prierezov D a d zrezaného kužeľa k vzdialenosti medzi nimi: kde R je polomer základne a H je výška kužeľ.

Ryža. 1. Predmety zo života, ktoré majú tvar zrezaného kužeľa

Odkiaľ si myslíte, že sa v geometrii berú nové tvary? Všetko je veľmi jednoduché: človek sa v živote stretne s podobnými predmetmi a príde na to, ako ich nazvať. Zoberme si podstavec, na ktorom sedia levy v cirkuse, kúsok mrkvy, ktorú získame, keď z nej odrežeme len časť, aktívnu sopku a napríklad svetlo z baterky (pozri obr. 1).

Ryža. 2. Geometrické tvary

Vidíme, že všetky tieto obrazce sú podobného tvaru – zdola aj zhora sú ohraničené kruhmi, ale smerom nahor sa zužujú (pozri obr. 2).

Ryža. 3. Odrezanie vrchnej časti kužeľa

Vyzerá to ako kužeľ. Chýba len vrch. V duchu si predstavme, že vezmeme kužeľ a jedným švihom ostrého meča z neho odrežeme vrchnú časť (pozri obr. 3).

Ryža. 4. Zrezaný kužeľ

Ukazuje sa to len naša postava, nazýva sa to zrezaný kužeľ (pozri obr. 4).

Ryža. 5. Rez rovnobežný so základňou kužeľa

Nech sa dá šiška. Narysujme si rovinu rovnobežnú s rovinou podstavy tohto kužeľa a pretínajúc kužeľ (pozri obr. 5).

Rozdelí kužeľ na dve telesá: jedno z nich je menší kužeľ a druhé sa nazýva zrezaný kužeľ (pozri obr. 6).

Ryža. 6. Získané telesá s paralelným rezom

Zrezaný kužeľ je teda časťou kužeľa uzavretého medzi jeho základňou a rovinou rovnobežnou so základňou. Rovnako ako v prípade kužeľa, aj zrezaný kužeľ môže mať na základni kruh - v tomto prípade sa nazýva kruhový. Ak bol pôvodný kužeľ rovný, potom sa zrezaný kužeľ nazýva rovný. Rovnako ako v prípade kužeľov budeme uvažovať iba o priamych kruhových zrezaných kuželoch, pokiaľ nie je konkrétne uvedené, že hovoríme o nepriamom zrezanom kuželi alebo v jeho základniach nie sú žiadne kruhy.

Ryža. 7. Rotácia pravouhlého lichobežníka

Našou globálnou témou sú telá revolúcie. Zrezaný kužeľ nie je výnimkou! Pripomeňme si, že na získanie kužeľa sme zvážili pravouhlý trojuholník a otočili sme ho okolo nohy? Ak výsledný kužeľ pretína rovina rovnobežná so základňou, potom z trojuholníka zostane obdĺžnikový lichobežník. Jeho rotácia okolo menšej bočnej strany nám poskytne zrezaný kužeľ. Opäť si všimnite, že samozrejme hovoríme len o pravom kruhovom kuželi (pozri obr. 7).

Ryža. 8. Základy zrezaného kužeľa

Urobme niekoľko poznámok. Základňa plného kužeľa a kružnica získaná v reze kužeľa rovinou sa nazývajú základne zrezaného kužeľa (spodná a horná) (pozri obr. 8).

Ryža. 9. Generátory zrezaného kužeľa

Segmenty generátorov úplného kužeľa, uzavreté medzi základňami zrezaného kužeľa, sa nazývajú generátory zrezaného kužeľa. Keďže všetky generátory pôvodného kužeľa sú rovnaké a všetky generátory zrezaného kužeľa sú rovnaké, potom sú rovnaké aj generátory zrezaného kužeľa (nezamieňajte zrezaný a zrezaný!). Nasleduje rovnoramenný lichobežník axiálneho rezu (pozri obr. 9).

Segment osi otáčania uzavretý vo vnútri zrezaného kužeľa sa nazýva os zrezaného kužeľa. Tento segment samozrejme spája stredy jeho základov (pozri obr. 10).

Ryža. 10. Os zrezaného kužeľa

Výška zrezaného kužeľa je kolmica vedená z bodu jednej základne k druhej základni. Najčastejšie sa jeho os považuje za výšku zrezaného kužeľa.

Ryža. 11. Axiálny rez zrezaného kužeľa

Axiálny rez zrezaného kužeľa je úsek prechádzajúci jeho osou. Vyzerá ako lichobežník, o niečo neskôr dokážeme jeho rovnoramenný tvar (pozri obr. 11).

Ryža. 12. Kužeľ so zavedenou notáciou

Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa. Nech majú základne zrezaného kužeľa polomery a , a generátor je rovnaký (pozri obr. 12).

Ryža. 13. Zápis tvoriacej čiary zrezaného kužeľa

Nájdite plochu bočnej plochy zrezaného kužeľa ako rozdiel medzi plochami bočných plôch pôvodného kužeľa a odrezaného kužeľa. K tomu označíme tvoriacu čiaru zrezaného kužeľa (pozri obr. 13).

Potom požadovaný.

Ryža. 14. Podobné trojuholníky

Zostáva sa vyjadriť

Všimnite si, že z podobnosti trojuholníkov , odkiaľ (pozri obr. 14).

Dalo by sa to vyjadriť delením rozdielom polomerov, ale to nepotrebujeme, pretože súčin sa objavuje v požadovanom výraze. Nahradením namiesto , máme konečne: .

Teraz nie je ťažké získať vzorec pre celkovú plochu povrchu. Ak to chcete urobiť, pridajte oblasti dvoch základných kruhov: .

Ryža. 15. Ilustrácia problému

Nechajte zrezaný kužeľ získať otáčaním obdĺžnikového lichobežníka okolo jeho výšky. Stredná čiara lichobežníka je rovnaká a veľká bočná strana je rovnaká (pozri obr. 15). Nájdite plochu bočného povrchu výsledného zrezaného kužeľa.

rozhodnutie

Podľa vzorca to vieme .

Tvoriaca čiara kužeľa bude veľká strana pôvodného lichobežníka, to znamená, že polomery kužeľa sú základňami lichobežníka. Nevieme ich nájsť. Ale nepotrebujeme to: je potrebný iba ich súčet a súčet základov lichobežníka je dvojnásobkom jeho stredovej čiary, to znamená, že sa rovná. Potom .

Upozorňujeme, že keď sme hovorili o kuželi, nakreslili sme paralely medzi ním a pyramídou - vzorce boli podobné. Tu je to rovnaké, pretože zrezaný kužeľ je veľmi podobný zrezanému ihlanu, takže vzorce pre plochy bočných a plných plôch zrezaného kužeľa a pyramídy (a čoskoro budú aj vzorce pre objem) sú podobné. .

Ryža. 1. Ilustrácia problému

Polomery základne zrezaného kužeľa sa rovnajú a a tvoriaca čiara sa rovná . Nájdite výšku zrezaného kužeľa a plochu jeho axiálneho rezu (pozri obr. 1).

Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Šiška je ľuďom známa už od staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kristom), v tejto knihe sa rieši problém objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.

Kužeľ (kruhový kužeľ) - teleso, ktoré sa skladá z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý nepatrí do roviny tohto kruhu - vrchol kužeľa a všetky segmenty spájajúce vrchol kužeľa a základňu. kruhové body. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi kruhu základne, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.

Kužeľ sa nazýva rovný, ak čiara, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.

Výška kužeľa je kolmica vedená od jeho vrcholu k rovine jeho základne. Pre pravý kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.

Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha v kruhu so stredom v osi kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zvyšok sa nazýva zrezaný kužeľ.

Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

Strana S \u003d πRl,

Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:

S con \u003d πRl + πR 2,

kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového kužeľa je

V = 1/3 πR 2 H,

kde R je polomer základne, H je výška kužeľa

Plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa možno nájsť podľa vzorca:

strana S = π(R + r)l,

Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:

V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Zúžený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej krivky a bodom mimo krivky (obr. 32).

Táto krivka je tzv sprievodca , priamy - generovanie , bodka - summit kužeľová plocha.

Rovný kruhový skosený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej kružnice a bodom na priamke, ktorá je kolmá na rovinu kružnice a prechádza jej stredom. V nasledujúcom texte bude tento povrch stručne označovaný ako kužeľová plocha (obr.33).

kužeľ (rovný kruhový kužeľ ) sa nazýva geometrické teleso ohraničené kužeľovou plochou a rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou vodiacej kružnice (obr. 34).

Ryža. 32 Obr. 33 Obr. 34

Kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo osi obsahujúcej jednu z ramien trojuholníka.

Kruh, ktorý ohraničuje kužeľ, sa nazýva základ . Vrchol kužeľovej plochy je tzv summit kužeľ. Úsečka spájajúca vrchol kužeľa so stredom jeho základne sa nazýva vysoký kužeľ. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu, sa nazývajú generovanie kužeľ. os kužeľa je priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a stredom jeho základne. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou kužeľa. Vývoj bočného povrchu Kužeľ je sektor, ktorého polomer sa rovná dĺžke tvoriacej čiary kužeľa a dĺžka oblúka sektora sa rovná obvodu základne kužeľa.

Pre kužeľ platia nasledujúce vzorce:

kde R je polomer základne;

H- výška;

l- dĺžka tvoriacej čiary;

S hlavná- základná plocha;

S strana

S plný

V je objem kužeľa.

zrezaný kužeľ nazývaná časť kužeľa uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou kužeľa (obr. 35).

Zrezaný kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého lichobežníka okolo osi obsahujúcej bočnú stranu lichobežníka, kolmej na základne.

Dva kruhy, ktoré spájajú kužeľ, sa nazývajú jeho dôvodov . Výška zrezaného kužeľa je vzdialenosť medzi jeho základňami. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu zrezaného kužeľa, sa nazývajú generovanie . Priamka prechádzajúca stredmi podstav sa nazýva os zrezaný kužeľ. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou zrezaného kužeľa.

Pre zrezaný kužeľ platia nasledujúce vzorce:

(8)

kde R je polomer spodnej základne;

r je polomer hornej základne;

H je výška, l je dĺžka tvoriacej čiary;

S strana je plocha bočného povrchu;

S plný je celková plocha povrchu;

V je objem zrezaného kužeľa.

Príklad 1Úsek kužeľa rovnobežný so základňou rozdeľuje výšku v pomere 1:3, počítajúc zhora. Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa, ak je polomer základne a výška kužeľa 9 cm a 12 cm.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 36).

Na výpočet plochy bočného povrchu zrezaného kužeľa používame vzorec (8). Nájdite polomery základov Asi 1 A a Asi 1 V a generovanie AB.

Zvážte podobné trojuholníky SO 2 B a SO 1A, koeficient podobnosti , teda

Odtiaľ

Odvtedy

Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná:

odpoveď: .

Príklad2.Štvrťkruh s polomerom je zložený do kužeľovej plochy. Nájdite polomer základne a výšku kužeľa.

rozhodnutie.Štvornásobok kruhu je rozvinutím bočného povrchu kužeľa. Označiť r je polomer jeho základne, H- výška. Bočný povrch sa vypočíta podľa vzorca: . Rovná sa ploche štvrtiny kruhu: . Dostaneme rovnicu s dvoma neznámymi r a l(generátor kužeľa). V tomto prípade sa tvoriaca čiara rovná polomeru štvrtiny kruhu R, takže dostaneme nasledujúcu rovnicu: , odkiaľ Keď poznáme polomer základne a tvoriacu čiaru, zistíme výšku kužeľa:

odpoveď: 2 cm,.

Príklad 3 Obdĺžnikový lichobežník s ostrým uhlom 45 O, menšou základňou 3 cm a naklonenou stranou rovnajúcou sa , sa otáča okolo strany kolmej na základne. Nájdite objem získaného rotačného telesa.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 37).

V dôsledku rotácie dostaneme zrezaný kužeľ, aby sme zistili jeho objem, vypočítame polomer väčšej základne a výšku. v hrazde O 1 O 2 AB strávime AC^O 1 B. V máme: takže tento trojuholník je rovnoramenný AC=pred Kr\u003d 3 cm.

odpoveď:

Príklad 4 Trojuholník so stranami 13 cm, 37 cm a 40 cm sa otáča okolo vonkajšej osi, ktorá je rovnobežná s väčšou stranou a je od nej vzdialená 3 cm (os sa nachádza v rovine trojuholníka). Nájdite povrchovú plochu výsledného rotačného telesa.

rozhodnutie . Urobme si nákres (obr. 38).

Povrch výsledného rotačného telesa tvoria bočné plochy dvoch zrezaných kužeľov a bočná plocha valca. Na výpočet týchto plôch je potrebné poznať polomery podstav kužeľov a valca ( BE a OC) vytváranie kužeľov ( pred Kr a AC) a výška valca ( AB). Neznáme je len CO. je vzdialenosť od strany trojuholníka k osi rotácie. Poďme nájsť DC. Plocha trojuholníka ABC na jednej strane sa rovná súčinu polovice strany AB a jej výšky DC, na druhej strane, keď poznáme všetky strany trojuholníka, vypočítame jeho obsah pomocou Heronovho vzorca.

Vezmite ľubovoľný kužeľ a nakreslite rovinu rezu kolmú na jeho os (obr. 72). Táto rovina sa pretína s kužeľom v kruhu a rozdeľuje kužeľ na dve časti. Jedna z častí je kužeľ a druhá sa nazýva zrezaný kužeľ. Základňa pôvodného kužeľa a kružnica získaná v reze tohto kužeľa rovinou sa nazývajú základne zrezaného kužeľa a segment spájajúci ich stredy - výška zrezaného kužeľa.

Časť kužeľovej plochy ohraničujúca zrezaný kužeľ sa nazýva jej bočný povrch, a segmenty generátorov kužeľovej plochy, uzavreté medzi základňami, sa nazývajú tvoriaci zrezaný kužeľ. Všetky generátory zrezaného kužeľa sú si navzájom rovné.

Zrezaný kužeľ možno získať otáčaním pravouhlého lichobežníka okolo jeho strany, ktorá je kolmá na základne. Na obrázku je znázornený zrezaný kužeľ získaný otáčaním pravouhlého lichobežníka ABCO okolo strany CO, kolmej na základne AO a BC (obr. 73). V tomto prípade je bočná plocha vytvorená otáčaním bočnej strany AB a základne zrezaného kužeľa - otáčaním základov CB a OA lichobežníka.