Čiastočný a celkový prírastok funkcie. Derivácia funkcie. Podrobná teória s príkladmi Aký je prírastok funkcie

Nech je daná funkcia. Zoberme si dve hodnoty argumentu: počiatočné a modifikované, čo sa zvyčajne označuje
, kde - množstvo, o ktoré sa mení argument pri prechode z prvej hodnoty na druhú, nazýva sa prírastok argumentov.

Hodnoty argumentu a zodpovedajú určitým funkčným hodnotám: počiatočné a upravené
, hodnota , o ktorú sa hodnota funkcie zmení pri zmene argumentu o , sa volá prírastok funkcie.

2. pojem limita funkcie v bode.

číslo sa nazýva limita funkcie
pri úsilí o ak na akékoľvek číslo
existuje také číslo
, to pre všetkých
uspokojenie nerovnosti
, nerovnosť
.

Druhá definícia: Číslo sa nazýva limita funkcie, pretože má tendenciu, ak pre akékoľvek číslo existuje také okolie bodu, že pre ktorékoľvek z tohto okolia . Označené
.

3. nekonečne veľké a nekonečne malé funkcie v bode. Infinitezimálna funkcia v bode je funkcia, ktorej limita pri približovaní sa k danému bodu je nulová. Nekonečne veľká funkcia v bode je funkcia, ktorej limita, keď smeruje k danému bodu, je nekonečno.

4. hlavné vety o limitách a dôsledkoch z nich (bez dôkazu).

dôsledok: konštantný faktor možno vyňať zo znamienka limitu:

Ak sekvencie a konvergujú a limita postupnosti je nenulová

dôsledok: konštantný faktor možno vyňať zo znamienka limity.

11. ak existujú limity funkcií pre
a
a limita funkcie je nenulová,

potom existuje aj limita ich pomeru, ktorá sa rovná pomeru limity funkcií a :

.

12. ak
, potom
a platí to aj naopak.

13. veta o limite medzisekvencie. Ak sekvencie
zbiehajúce sa a
a
potom

5. limit funkcie v nekonečne.

Číslo a sa nazýva limita funkcie v nekonečne (pre x má tendenciu k nekonečnu), ak pre ľubovoľnú postupnosť má tendenciu do nekonečna
zodpovedá postupnosti hodnôt smerujúcej k číslu a.

6. Limity číselnej postupnosti.

číslo a sa nazýva limita číselnej postupnosti pre akékoľvek kladné číslo existuje prirodzené číslo N také, že pre všetky n> N nerovnosť
.

Symbolicky je to definované takto:
fér .

Skutočnosť, že číslo a je limit postupnosti označený takto:

.

7.číslo "e". prirodzené logaritmy.

číslo "e" predstavuje hranicu číselnej postupnosti, n- ktorého členom
, t.j.

.

Prirodzený logaritmus - základný logaritmus e. sú označené prirodzené logaritmy
bez udania dôvodu.

číslo
umožňuje prepnúť z desiatkového logaritmu na prirodzený a naopak.

sa nazýva modul prechodu z prirodzených logaritmov na desiatkové logaritmy.

8. nádherné limity
,

.

Prvý pozoruhodný limit:

teda pri

limitnou vetou strednej postupnosti

druhá pozoruhodná hranica:

.

Dokázať existenciu limitu
použite lemu: pre akékoľvek reálne číslo
a
nerovnosť
(2) (kedy
alebo
nerovnosť sa stáva rovnosťou.)

.

Teraz zvážte pomocnú postupnosť so spoločným výrazom
uistite sa, že klesá a je ohraničená zdola:
ak
, potom sa postupnosť znižuje. Ak
, potom je sekvencia ohraničená zdola. Ukážme si to:

kvôli rovnosti (2)

t.j.
alebo
. To znamená, že postupnosť klesá a odvtedy je postupnosť ohraničená zdola. Ak je postupnosť klesajúca a ohraničená zdola, potom má limit. Potom

má limit a postupnosť (1), pretože

a
.

L. Euler túto hranicu nazval .

9. jednosmerné limity, funkcia prerušenia.

číslo A je ľavá hranica, ak pre ľubovoľnú postupnosť platí: .

číslo A je správna hranica, ak pre ľubovoľnú postupnosť platí: .

Ak v bode a príslušnosti do definičného oboru funkcie alebo jej hranice, je porušená podmienka spojitosti funkcie, potom bod. a sa nazýva bod zlomu alebo zlom funkcie.ak, ako bod ašpiruje

12. súčet členov nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti. Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej pomer medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi členmi zostáva nezmenený, tento pomer sa nazýva menovateľ progresie. Súčet prvého nčleny geometrickej postupnosti vyjadruje vzorec
tento vzorec je vhodné použiť pre klesajúcu geometrickú progresiu - postupnosť, v ktorej absolútna hodnota jeho menovateľa je menšia ako nula. - prvý člen; - menovateľ progresie; - číslo prevzatého člena postupnosti. Súčet nekonečnej klesajúcej progresie je číslo, ku ktorému sa neobmedzene približuje súčet prvých členov klesajúcej progresie s neobmedzeným nárastom počtu.
potom. Súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie je .

v lekárskej a biologickej fyzike

PREDNÁŠKA č.1

DERIVÁTOVÉ A DIFERENCIÁLNE FUNKCIE.

SÚKROMNÉ DERIVÁTY.

1. Pojem derivát, jeho mechanický a geometrický význam.

a ) Prírastok argumentov a funkcií.

Nech je daná funkcia y=f(х), kde х je hodnota argumentu z definičného oboru funkcie. Ak vyberieme dve hodnoty argumentu xo a x z určitého intervalu domény funkcie, potom sa rozdiel medzi týmito dvoma hodnotami argumentu nazýva prírastok argumentu: x - xo =∆x .

Hodnotu argumentu x možno určiť pomocou x 0 a jeho prírastku: x = x o + ∆x.

Rozdiel medzi dvoma hodnotami funkcie sa nazýva prírastok funkcie: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Prírastok argumentu a funkcie je možné znázorniť graficky (obr. 1). Prírastok argumentu a prírastok funkcie môže byť kladný alebo záporný. Ako vyplýva z obr.1, geometricky je prírastok argumentu ∆х reprezentovaný prírastkom úsečky a prírastok funkcie ∆у prírastkom zvislej osi. Výpočet prírastku funkcie by sa mal vykonať v tomto poradí:

dáme argumentu prírastok ∆x a dostaneme hodnotu - x + Δx;

2) nájdite hodnotu funkcie pre hodnotu argumentu (х+∆х) – f(х+∆х);

3) nájdite prírastok funkcie ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Príklad: Určte prírastok funkcie y=x 2, ak sa argument zmenil z x o =1 na x=3. Pre bod x o je hodnota funkcie f (x o) \u003d x² o; pre bod (xo + ∆x) hodnota funkcie f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, odkiaľ ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x približne ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2+4 = 8.

b)Problémy vedúce ku konceptu derivátu. Definícia derivátu, jeho fyzikálny význam.

Pojem prírastok argumentu a funkcie je nevyhnutný na zavedenie pojmu derivácie, ktorý historicky vznikol z potreby určovať rýchlosť určitých procesov.

Zvážte, ako môžete určiť rýchlosť priamočiareho pohybu. Nech sa teleso pohybuje po priamke podľa zákona: ∆S= ·∆t. Pre rovnomerný pohyb:= ∆S/∆t.

Pre premenlivý pohyb určuje hodnota ∆S/∆t hodnotu porovnaj. , t.j. porov. =∆S/∆t. Priemerná rýchlosť však neumožňuje odrážať vlastnosti pohybu tela a poskytnúť predstavu o skutočnej rýchlosti v čase t. S poklesom časového intervalu, t.j. pri ∆t→0 sa priemerná rýchlosť blíži k svojej hranici - okamžitá rýchlosť:

 inšt. =
 porov. =
∆S/∆t.

Okamžitá rýchlosť chemickej reakcie sa určuje rovnakým spôsobom:

 inšt. =
 porov. =
∆х/∆t,

kde x je množstvo látky vytvorené počas chemickej reakcie za čas t. Podobné úlohy na určenie rýchlosti rôznych procesov viedli k zavedeniu pojmu derivácia funkcie do matematiky.

Nech je daná spojitá funkcia f(x), definovaná na intervale ]a,b[a jej prírastku ∆f=f(x+∆x)–f(x).
je funkciou ∆x a vyjadruje priemernú rýchlosť zmeny funkcie.

pomerová hranica , keď ∆x→0, za predpokladu, že táto limita existuje, sa nazýva derivácia funkcie :

y" x =

.

Derivát je označený:
- (y pomlčka na x); f " (x) - (ef prvočíslo na x) ; y" - (y ťah); dy / dx – (de y na de x); - (y s bodkou).

Na základe definície derivácie môžeme povedať, že okamžitá rýchlosť priamočiareho pohybu je deriváciou dráhy vzhľadom na čas:

 inšt. \u003d S "t \u003d f " (t).

Môžeme teda dospieť k záveru, že derivácia funkcie vzhľadom na argument x je okamžitá rýchlosť zmeny funkcie f(x):

y" x \u003d f " (х)= inšt.

Toto je fyzikálny význam derivátu. Proces hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia, takže výraz „diferencovať funkciu“ je ekvivalentný výrazu „nájsť deriváciu funkcie“.

v)Geometrický význam derivátu.

P
derivácia funkcie y = f(x) má jednoduchý geometrický význam spojený s pojmom dotyčnica ku zakrivenej čiare v určitom bode M. Zároveň sa tangens, t.j. priamka je analyticky vyjadrená ako y = kx = tg x, kde – uhol sklonu dotyčnice (priamky) k osi X. Predstavme si súvislú krivku ako funkciu y \u003d f (x), zoberme bod M na krivke a bod M 1 blízko nej a nakreslíme cez ne. Jeho sklon k sek = tg β = .Ak bod M 1 priblížime k M, potom prírastok argumentu ∆х bude mať tendenciu k nule a sečna na β=α bude mať polohu dotyčnice. Z obr. 2 vyplýva: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Ale tgα sa rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Takže sklon dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode sa rovná hodnote jej derivácie v bode dotyku. Toto je geometrický význam derivácie.

G)Všeobecné pravidlo na nájdenie derivátu.

Na základe definície derivácie možno proces diferenciácie funkcie znázorniť takto:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

nájdite prírastok funkcie: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

vytvorte pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu:

;

Príklad: f(x)=x2; f " (x)=?.

Ako však možno vidieť aj z tohto jednoduchého príkladu, použitie tejto postupnosti pri užívaní derivátov je pracný a zložitý proces. Preto sa pre rôzne funkcie zavádzajú všeobecné vzorce pre diferenciáciu, ktoré sú prezentované vo forme tabuľky „Základné vzorce pre funkcie diferenciácie“.

Definícia 1

Ak je pre každý pár $(x,y)$ hodnôt dvoch nezávislých premenných z nejakej domény priradená určitá hodnota $z$, potom sa $z$ hovorí, že je funkciou dvoch premenných $(x,y )$. Zápis: $z=f(x,y)$.

Čo sa týka funkcie $z=f(x,y)$, uvažujme o pojmoch všeobecných (celkových) a čiastočných prírastkov funkcie.

Nech je daná funkcia $z=f(x,y)$ dvoch nezávislých premenných $(x,y)$.

Poznámka 1

Keďže premenné $(x,y)$ sú nezávislé, jedna z nich sa môže meniť, zatiaľ čo druhá zostáva konštantná.

Dajme premennej $x$ prírastok $\Delta x$, pričom hodnotu premennej $y$ ponecháme nezmenenú.

Potom funkcia $z=f(x,y)$ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na premennú $x$. Označenie:

Podobne dáme premennej $y$ prírastok $\Delta y$, pričom hodnotu premennej $x$ ponecháme nezmenenú.

Potom funkcia $z=f(x,y)$ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na premennú $y$. Označenie:

Ak sa argument $x$ zvýši o $\Delta x$ a argument $y$ sa zvýši o $\Delta y$, potom sa získa celkový prírastok danej funkcie $z=f(x,y)$ . Označenie:

Máme teda:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - celkový prírastok funkcie $z=f(x,y)$.

Príklad 1

Riešenie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - celkový prírastok funkcie $z=f(x,y)$.

Príklad 2

Vypočítajte čiastkové a celkové prírastky funkcie $z=xy$ v bode $(1;2)$ pre $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - čiastočný prírastok funkcie $z=f(x,y)$ vzhľadom na $y$;

Podľa definície celkového prírastku zistíme:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - celkový prírastok funkcie $z=f(x,y)$.

teda

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Poznámka 2

Celkový prírastok danej funkcie $z=f(x,y)$ sa nerovná súčtu jej čiastkových prírastkov $\Delta _(x) z$ a $\Delta _(y) z$. Matematický zápis: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Príklad 3

Skontrolujte poznámky k príkazu pre funkciu

Riešenie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (získané v príklade 1)

Nájdite súčet čiastkových prírastkov danej funkcie $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definícia 2

Ak je pre každú trojicu $(x,y,z)$ hodnôt troch nezávislých premenných z nejakej domény priradená určitá hodnota $w$, potom sa $w$ považuje za funkciu troch premenných $(x, y,z)$ v tejto oblasti.

Zápis: $w=f(x,y,z)$.

Definícia 3

Ak je pre každú kolekciu $(x,y,z,...,t)$ hodnôt nezávislých premenných z nejakej domény priradená určitá hodnota $w$, potom sa hovorí, že $w$ je funkciou premenné $(x,y, z,...,t)$ v danej doméne.

Zápis: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Pre funkciu troch alebo viacerých premenných sa rovnakým spôsobom ako pre funkciu dvoch premenných určujú čiastkové prírastky pre každú z premenných:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z,... ,t )$ v $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - čiastočné zvýšenie o $w=f (x,y,z,...,t)$ nad $t$.

Príklad 4

Napíšte čiastočné a celkové prírastky funkcie

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $z$;

Podľa definície celkového prírastku zistíme:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - celkový prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$.

Príklad 5

Vypočítajte čiastočné a celkové prírastky funkcie $w=xyz$ v bode $(1;2;1)$ pre $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z = 0,1 $.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - čiastočný prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$ vzhľadom na $z$;

Podľa definície celkového prírastku zistíme:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - celkový prírastok funkcie $w=f(x,y,z)$.

teda

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

Z geometrického hľadiska celkový prírastok funkcie $z=f(x,y)$ (podľa definície $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) sa rovná prírastku aplikácie funkcií grafu $z=f(x,y)$ pri prechode z bodu $M(x,y)$ do bodu $M_(1) (x+\Delta x ,y+\Delta y)$ (obr. 1).

Obrázok 1.

Nech x je ľubovoľný bod ležiaci v nejakom okolí pevného bodu x 0 . rozdiel x - x 0 sa zvyčajne nazýva prírastok nezávislej premennej (alebo prírastok argumentu) v bode x 0 a označuje sa Δx. Touto cestou,

Δx \u003d x - x 0,

odkiaľ z toho vyplýva

Prírastok funkcie − rozdiel medzi dvoma funkčnými hodnotami.

Nechajte funkciu pri = f(x), definovaný s hodnotou argumentu rovnajúcou sa X 0 Zvýšime D X, ᴛ.ᴇ. považujte hodnotu argumentu ͵ za rovnú X 0+D X. Predpokladajme, že táto hodnota argumentu je tiež zahrnutá v rozsahu tejto funkcie. Potom rozdiel D r = f(x 0+D X) – f(x0) sa nazýva prírastok funkcie. Prírastok funkcie f(X) v bode X je funkcia zvyčajne označovaná Δ x f na novej premennej Δ X definovaný ako

Δ x f(Δ X) = f(X + Δ X) − f(X).

Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie v bode x 0 if

Príklad 2. Nájdite prírastok funkcie f (x) \u003d x 2, ak x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Riešenie: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Nájdite prírastok funkcie ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Dosadením hodnôt x=1 a ∆x= 0,1 dostaneme ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie v bodoch x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Definícia: odvodený Je zvyčajné nazývať funkciu v bode limitom (ak existuje a je konečný) pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že tento má tendenciu k nule.

Najčastejšie sa používa nasledujúca notácia pre derivát:

Touto cestou,

Nájdenie derivácie je tzv diferenciácia . Predstavený definícia diferencovateľnej funkcie: Funkcia f, ktorá má deriváciu v každom bode určitého intervalu, sa nazýva diferencovateľná na tomto intervale.

Nech je funkcia definovaná v nejakom okolí bodu. Je zvykom nazývať deriváciu funkcie také číslo, že funkcia v okolí U(X 0) môže byť reprezentované ako

f(X 0 + h) = f(X 0) + Aha + o(h)

ak existuje.

Definícia derivácie funkcie v bode.

Nechajte funkciu f(x) definované na intervale (a; b) a sú bodmi tohto intervalu.

Definícia. Derivačná funkcia f(x) v bode je zvykom volať limitu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu v . Určené .

Keď posledná hranica nadobudne konkrétnu konečnú hodnotu, potom sa hovorí o existencii konečná derivácia v bode. Ak je limit nekonečný, potom to hovoríme derivácia je v danom bode nekonečná. Ak limit neexistuje, potom derivácia funkcie v tomto bode neexistuje.

Funkcia f(x) sa hovorí, že je diferencovateľný v bode, keď má konečnú deriváciu.

V prípade funkcie f(x) je diferencovateľná v každom bode určitého intervalu (a; b), potom sa funkcia nazýva diferencovateľná na tomto intervale. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, akýkoľvek bod X z medzery (a; b) v tomto bode môžeme priradiť hodnotu derivácie funkcie, to znamená, že máme možnosť definovať novú funkciu, ktorá sa nazýva derivácia funkcie f(x) na intervale (a; b).

Operácia hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia.

Nechaj X– argument (nezávislá premenná); y=y(x)- funkcia.

Vezmite pevnú hodnotu argumentu x=x 0 a vypočítajte hodnotu funkcie r 0 =y(x 0 ) . Teraz svojvoľne nastavíme prírastok (zmena) argumentu a označte ho  X ( X môže mať akékoľvek znamenie).

Prírastkový argument je bod X 0 +  X. Predpokladajme, že obsahuje aj funkčnú hodnotu y=y(x 0 +  X)(pozri obrázok).

Pri ľubovoľnej zmene hodnoty argumentu sa teda získa zmena funkcie, ktorá sa volá prírastok funkčné hodnoty:

a nie je ľubovoľný, ale závisí od typu funkcie a množstva
.

Prírastky argumentov a funkcií môžu byť finálny, t.j. vyjadrené ako konštantné čísla, v takom prípade sa niekedy nazývajú konečné rozdiely.

V ekonómii sa pomerne často uvažuje o konečných prírastkoch. Napríklad v tabuľke sú uvedené údaje o dĺžke železničnej siete určitého štátu. Je zrejmé, že prírastok dĺžky siete sa vypočíta odpočítaním predchádzajúcej hodnoty od nasledujúcej.

Dĺžku železničnej siete budeme považovať za funkciu, ktorej argumentom bude čas (roky).

Samotný prírastok funkcie (v tomto prípade dĺžka železničnej siete) zle charakterizuje zmenu funkcie. V našom príklade zo skutočnosti, že 2,5>0,9 nemožno konštatovať, že sieť rástla rýchlejšie 2000-2003 rokov ako v 2004 pretože prírastok 2,5 sa vzťahuje na trojročné obdobie a 0,9 - len za jeden rok. Preto je celkom prirodzené, že inkrementácia funkcie vedie k zmene jednotky v argumente. Prírastok argumentu je tu: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Dostávame to, čo sa nazýva v ekonomickej literatúre priemerný ročný rast.

Operácii pretypovania prírastku na jednotku zmeny argumentu sa môžete vyhnúť, ak vezmete hodnoty funkcie pre hodnoty argumentu, ktoré sa líšia o jednu, čo nie je vždy možné.

V matematickej analýze, najmä v diferenciálnom počte, sa berú do úvahy infinitezimálne (IM) prírastky argumentu a funkcie.

Diferenciácia funkcie jednej premennej (deriváta a diferenciálna) Derivácia funkcie

Argument a funkcia prírastky v bode X 0 možno považovať za porovnateľné infinitezimálne veličiny (pozri tému 4, porovnanie BM), t.j. BM rovnakého rádu.

Potom ich pomer bude mať konečnú limitu, ktorá je definovaná ako derivácia funkcie v t X 0 .

Limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu BM v bode x=x 0 volal derivát funkcie v tomto bode.

Symbolické označenie derivátu s ťahom (alebo skôr rímskou číslicou I) zaviedol Newton. Môžete tiež použiť dolný index, ktorý ukazuje, z ktorej premennej sa derivácia vypočítava, napr. . Ďalšia notácia navrhnutá zakladateľom derivačného počtu, nemeckým matematikom Leibnizom, je tiež široko používaná:
. Viac o pôvode tohto označenia sa dozviete v sekcii Funkčný diferenciál a argumentový diferenciál.

Toto číslo sa hodnotí rýchlosť zmena funkcie prechádzajúcej bodom
.

Poďme nainštalovať geometrický význam derivácia funkcie v bode. Za týmto účelom zostrojíme graf funkcie y=y(x) a vyznačte na ňom body, ktoré určujú zmenu y(x) v medziobdobí

Tangenta ku grafu funkcie v bode M 0
budeme uvažovať o limitujúcej polohe sečny M 0 M poskytnuté
(bodka M posúva po grafe funkcie do bodu M 0 ).

Zvážte
. samozrejme,
.

Ak bod M ponáhľať sa po grafe funkcie smerom k bodu M 0 , potom hodnotu
bude inklinovať k určitej hranici, ktorú označujeme
. V čom.

Limitný uhol  sa zhoduje s uhlom sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie vr. M 0 , teda derivát
sa číselne rovná dotyčnicový sklon v určenom bode.

-

geometrický význam derivácie funkcie v bode.

Takto je možné zapísať rovnice dotyčnice a normály ( normálne je priamka kolmá na dotyčnicu) ku grafu funkcie v určitom bode X 0 :

Tangenta - .

normálne -
.

Zaujímavé sú prípady, keď sú tieto čiary umiestnené horizontálne alebo vertikálne (pozri tému 3, špeciálne prípady polohy čiary v rovine). potom

ak
;

ak
.

Definícia derivátu je tzv diferenciácia funkcie.

 Ak funkcia v bode X 0 má konečnú deriváciu, tzv diferencovateľné v tomto bode. Funkcia, ktorá je diferencovateľná vo všetkých bodoch nejakého intervalu, sa nazýva diferencovateľná na tomto intervale.

 Veta . Ak je funkcia y=y(x) diferencovateľné v t. X 0 , potom je v tomto bode spojitá.

Touto cestou, kontinuita je nevyhnutnou (nie však postačujúcou) podmienkou na to, aby bola funkcia diferencovateľná.