Derivácia funkcie. Riešenie derivácie pre figuríny: definícia, ako nájsť, príklady riešení Nájdenie derivácie danej funkcie f sa nazýva

Derivácia funkcie je jednou z najťažších tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je to derivát.

Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.

Pripomeňme si definíciu:

Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.

Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?

Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.

Tu je ďalší príklad.

Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:

Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.

Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?

V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.

Derivácia funkcie sa označuje ako .

Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.

Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.

Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.

Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.

Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kružnici.

Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k susednej. Z trojuholníka:

Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.

Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou

Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.

.

Chápeme to

Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.

Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.

Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.

Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.

Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.

V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.

V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladným smerom osi. Pretože tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.

Čo sa stane:

Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.

Ak klesá, jeho derivácia je záporná.

A čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.

Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.

V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".

Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.

Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.

Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.

V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.

V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.

Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:

Urobme dve malé upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh na skúšku. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.

Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :

V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak pred bodom sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.

Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.

Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí

Proces hľadania derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia. Deriváciu je potrebné nájsť v množstve problémov v priebehu matematickej analýzy. Napríklad pri hľadaní extrémnych bodov a inflexných bodov funkčného grafu.

Ako nájsť?

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, musíte poznať tabuľku derivácií elementárnych funkcií a použiť základné pravidlá diferenciácie:

1. Vybratím konštanty zo znamienka derivácie: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivácia súčtu/rozdielu funkcií: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivácia súčinu dvoch funkcií: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivát zlomku: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Derivácia zloženej funkcie: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Príklady riešení

Nech je funkcia definovaná v nejakom okolí bodu. Derivácia funkcie v bode sa nazýva limita, ak existuje,

Konvenčný zápis pre deriváciu funkcie v bode

Tabuľka derivátov

Geometrický význam derivácie funkcie v bode.

Zvážte sekantu AB funkčný graf y=f(x) také, že body ALE A IN mať súradnice a , kde je prírastok argumentu. Označte prírastkom funkcie. Označme všetko na výkrese:

Z pravouhlého trojuholníka ABC máme . Keďže podľa definície je dotyčnica hraničnou pozíciou sekantu .

Pripomeňme si definíciu derivácie funkcie v bode: derivácia funkcie y=f(x) v bode sa nazýva hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu pri , označovaná .

v dôsledku toho , kde je sklon dotyčnice.

Teda existencia derivácie funkcie y=f(x) v bode je ekvivalentná existencii dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v mieste kontaktu a sklon dotyčnice sa rovná hodnote derivácie v bode, t.j.

Dospeli sme k záveru: geometrický význam derivácie funkcie v bode spočíva v existencii dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode.

20 Diferencovateľnosť funkcie v bode. Nevyhnutná a postačujúca podmienka diferencovateľnosti.

Prírastok funkcie diferencovateľnej v danom bode môže byť reprezentovaný ako lineárna funkcia prírastku argumentu až po hodnoty vyššieho rádu malosti. To znamená, že pre dostatočne malé okolia daného bodu možno funkciu nahradiť lineárnou (rýchlosť zmeny funkcie možno považovať za nezmenenú). Lineárna časť prírastku funkcie sa nazýva jej diferenciál (v danom bode).

Nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou diferencovateľnosti je spojitosť funkcie. V prípade funkcie jednej reálnej premennej je diferencovateľnosť ekvivalentná existencii derivácie. V prípade funkcie viacerých reálnych premenných je nutnou (nie však postačujúcou) podmienkou diferencovateľnosti existencia parciálnych derivácií vzhľadom na všetky premenné. Aby bola funkcia viacerých premenných diferencovateľná v bode, stačí, aby parciálne derivácie existovali v niektorom okolí uvažovaného bodu a boli v danom bode spojité.

21 Diferencovateľnosť funkcie v bode. Veta o spojitosti diferencovateľnej funkcie.

Veta.

Ak je funkcia v danom bode diferencovateľná, potom je funkcia v tomto bode spojitá.

Dôkaz.

Nech je funkcia y=f(x)y=f(x) diferencovateľná v bode x0x0, potom prírastok tejto funkcie je Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.

Keď má prírastok argumentu funkcie ΔxΔx tendenciu k nule, prírastok funkcie ΔyΔy tiež smeruje k nule, čo znamená spojitosť funkcie.

To znamená, že nakoniec sme dostali, že funkcia y=f(x)y=f(x), diferencovateľná v bode x0x0, je v tomto bode tiež spojitou funkciou. Q.E.D.

Spojitosť funkcie v danom bode je teda nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou, aby bola funkcia diferencovateľná.

Príklad.

Funkcia y=|x|y=|x| v bode x0x0 je spojitá funkcia, ale v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.

V skutočnosti sa prírastok funkcie rovná:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Pritom dostaneme:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Limita limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx neexistuje, čo znamená, že funkcia y=|x|y=|x|, ktorá je spojitá v bode x0x0, nie je v tomto bode diferencovateľná.

22 Funkčný diferenciál. Geometrický význam diferenciálu.

Funkčný diferenciál v určitom bode X sa nazýva hlavná, lineárna časť prírastku funkcie.

Funkčný diferenciál y=f(X) sa rovná súčinu svojej derivácie a prírastku nezávislej premennej X(argument).

Píše sa to takto:

Geometrický význam diferenciálu. Funkčný diferenciál y=f(X) sa rovná prírastku súradnice dotyčnice S nakreslenej ku grafu tejto funkcie v bode M( X; r), keď sa zmení X(argument) hodnotou (pozri obrázok)..

23 Pravidlo diferencovateľnosti súčtu a súčinu.

Na dôkaz druhého derivačného pravidla použijeme definíciu derivácie a vlastnosť limity spojitej funkcie.

Podobným spôsobom sa dá dokázať, že derivácia súčtu (rozdielu) n funkcie sa rovná súčtu (rozdielu) n deriváty

Dokážme pravidlo diferenciácie súčinu dvoch funkcií.

Zapíšme si limitu pomeru prírastku súčinu funkcií k prírastku argumentu. Budeme brať do úvahy to a (prírastok funkcie má tendenciu k nule, keď má prírastok argumentu tendenciu k nule).

Q.E.D.

24 Invariantnosť diferenciálu formy 1.

Invariantnosť tvaru prvého diferenciálu

Ak X je teda nezávislá premenná dx = X - X 0 (pevný prírastok). V tomto prípade máme

df(X 0) = f"(X 0)dx. (3)

Ak X = φ (t) je teda diferencovateľná funkcia dx = φ" (t 0)dt. v dôsledku toho

t.j. prvý diferenciál má vlastnosť invariantnosti pri zmene argumentu.

25 Rolleova veta.

Rolleho veta (teorém o nulovej derivácii) uvádza, že

Dôkaz

Ak je funkcia na intervale konštantná, potom je tvrdenie zrejmé, pretože derivácia funkcie sa rovná nule v akomkoľvek bode intervalu.

Ak nie, pretože hodnoty funkcie v hraničných bodoch segmentu sú rovnaké, potom podľa Weierstrassovej vety nadobudne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu v určitom bode intervalu, to znamená, že má lokálny extrém. v tomto bode a podľa Fermatovej lemmy je v tomto bode derivácia rovná 0 .

geometrický zmysel

Veta hovorí, že ak sú ordináty oboch koncov hladkej krivky rovnaké, potom na krivke existuje bod, v ktorom je dotyčnica ku krivke rovnobežná s osou x.

26 Lagrangeova veta a jej dôsledky.

Vzorec konečného prírastku alebo Lagrangeova veta o strednej hodnote uvádza, že ak je funkcia spojitá na segmente a diferencovateľná na intervale , potom existuje bod taký, že

.

Geometricky možno to preformulovať takto: na úsečke je bod, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s tetivou prechádzajúcou bodmi grafu zodpovedajúcimi koncom úsečky.

Mechanická interpretácia: Let - vzdialenosť bodu v danom okamihu od počiatočnej polohy. Potom je tu vzdialenosť prejdená od okamihu k okamihu, pomer je priemerná rýchlosť za tento interval. To znamená, že ak je rýchlosť tela určená v ktoromkoľvek okamihu, potom sa v určitom okamihu bude rovnať jeho priemernej hodnote v tomto úseku.

Dôkaz

Pre jednu premennú funkciu:

Predstavme si funkciu. Spĺňa podmienky Rolleho vety: na koncoch segmentu sú jeho hodnoty rovné nule. Pomocou spomínanej vety dostaneme, že existuje bod, v ktorom sa derivácia funkcie rovná nule:

Q.E.D.

Dôsledky a zovšeobecnenia

Lagrangeova veta o konečnom prírastku je jednou z najdôležitejších, kľúčových viet v celom systéme diferenciálneho počtu. Má veľa aplikácií vo výpočtovej matematike a hlavné vety matematickej analýzy sú tiež jej dôsledkami.

Dôsledok 1. Funkcia diferencovateľná na intervale s deriváciou rovnou nule je konštanta.

Dôkaz. Pre akékoľvek a existuje taký bod, že .

Teda pre všetkých a platí rovnosť.

Dôsledok 2 (Taylorov vzorec so zvyšným členom v Lagrangeovom tvare). Ak je funkcia časovo diferencovateľná v okolí bodu, potom pre malé (t. j. tie, pre ktoré segment leží v zadanom okolí) platí Taylorov vzorec:

kde je nejaké číslo z intervalu .

Dôsledok 3. Ak je funkcia premenných v okolí bodu O dvakrát diferencovateľná a všetky jej druhé zmiešané derivácie sú v bode O spojité, potom v tomto bode platí rovnosť:

Dôkaz pre . Opravme hodnoty a a zvážme rozdielové operátory

Podľa Lagrangeovej vety existujú čísla , také že

pri v dôsledku kontinuity druhej derivácie funkcie .

Podobne je dokázané, že .

Ale keďže , (ktoré sa kontroluje priamo), tieto limity sa zhodujú.

Dôsledok 4 (Newton-Leibnizov vzorec). Ak je funkcia diferencovateľná na segmente a jej derivácia je v tomto segmente integrovateľná podľa Riemanna, potom platí vzorec: .

Dôkaz. Dovoliť je ľubovoľné rozdelenie segmentu . Aplikovaním Lagrangeovej vety na každom segmente nájdeme taký bod, že .

Ak zhrnieme tieto rovnosti, dostaneme:

Vľavo je Riemannov integrálny súčet pre integrál a daný vyznačený oddiel. Prejdením na limit priemeru priečky získame Newtonov-Leibnizov vzorec.

Dôsledok 5 (Veta o odhade konečných prírastkov). Nech je zobrazenie spojito diferencovateľné v konvexnej kompaktnej doméne priestoru. Potom .

27 Kashiho teorém.

Cauchyho veta o strednej hodnote.

Nech sú dve funkcie a dané také, že: 1. a sú definované a spojité na segmente ; 2. derivácie a sú konečné na intervale ; 3. derivácie a nezanikajú súčasne na intervale 4. ; potom existuje, pre čo platí: . (Ak odstránime podmienku 4, potom je potrebné napr. posilniť podmienku 3: g "(x) nesmie zaniknúť nikde v intervale .)

Geometricky to možno preformulovať nasledovne: ak je nastavený zákon pohybu v rovine (to znamená, že úsečka a ordináta sú určené cez parameter ), potom na ľubovoľnom segmente takejto krivky, špecifikovanom parametrami a , existuje vektor dotyčnice kolineárny k vektoru posunutia od do .

Nie vždy nás v živote zaujímajú presné hodnoty akýchkoľvek veličín. Niekedy je zaujímavé poznať zmenu tejto hodnoty, napríklad priemernú rýchlosť autobusu, pomer množstva pohybu k časovému intervalu atď. Na porovnanie hodnoty funkcie v určitom bode s hodnotami tej istej funkcie v iných bodoch je vhodné použiť pojmy ako „prírastok funkcie“ a „prírastok argumentu“.

Pojmy „prírastok funkcie“ a „prírastok argumentu“

Predpokladajme, že x je nejaký ľubovoľný bod, ktorý leží v nejakom okolí bodu x0. Prírastok argumentu v bode x0 je rozdiel x-x0. Prírastok je označený nasledovne: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Niekedy sa táto hodnota nazýva aj prírastok nezávislej premennej v bode x0. Vyplýva to zo vzorca: x = x0 + ∆x. V takýchto prípadoch sa hovorí, že počiatočná hodnota nezávislej premennej x0 dostala prírastok ∆x.

Ak zmeníme argument, zmení sa aj hodnota funkcie.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Prírastok funkcie f v bode x0, príslušný prírastok ∆x je rozdiel f(x0 + ∆x) - f(x0). Prírastok funkcie sa označuje ako ∆f. Podľa definície teda dostaneme:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Niekedy sa ∆f nazýva aj prírastok závislej premennej a ∆y sa používa na jeho označenie, ak funkcia bola napríklad y=f(x).

Geometrický zmysel prírastku

Pozrite sa na nasledujúci obrázok.

Ako vidíte, prírastok ukazuje zmenu na osi a úsečke bodu. A pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu určuje uhol sklonu sečnice prechádzajúcej počiatočnou a konečnou polohou bodu.

Zvážte príklady prírastku funkcie a argumentu

Príklad 1 Nájdite prírastok argumentu ∆x a prírastok funkcie ∆f v bode x0, ak f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Použime vyššie uvedené vzorce:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Príklad 2 Vypočítajte prírastok ∆f pre funkciu f(x) = 1/x v bode x0, ak sa prírastok argumentu rovná ∆x.

Opäť použijeme vzorce získané vyššie.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Nájdite výraz pre deriváciu exponenciálnej funkcie \(y = (e^x)\) pomocou definície derivácie.

Riešenie.

Počiatočné kroky sú štandardné: najprv napíšte prírastok funkcie \(\Delta y\) zodpovedajúci prírastku argumentu \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \vpravo) - y\doľava(x \vpravo) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\vľavo(((e^(\Delta x)) - 1) \vpravo).) \] Derivácia sa vypočíta ako hranica prírastku pomer: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \vpravo)))((\Delta x)).) \] funkcia \(y = (e^x)\) v čitateli nezávisí od Δ X a môže byť vyňatý z limitného znaku. Potom derivácia nadobudne nasledujúci tvar: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limity_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Získanú limitu označte \(L\) a vypočítajte oddelene. mimochodom \((e^0) = 1\), a preto môžeme napísať \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x )) - 1)) ((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] to znamená, že táto hranica je hodnotou derivácie exponenciálnej funkcie na nule. V dôsledku toho \ Získali sme vzťah, v ktorom je požadovaná derivácia vyjadrená pomocou funkcie \(y = (e^x)\) samotnej a jej derivácie v bode \(x = 0\). Dokážme, že \ Na to si pripomeňme, že číslo \(e\) je definované v tvare nekonečnej limity ako \ a číslo \(e\) na mocninu \(\Delta x\) bude, resp. , rovnať sa \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] Ďalej použijeme známy vzorec Newtonov binom a rozbaľte výraz pod znakom limitu binomický rad: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ). V európskych a amerických učebniciach je počet kombinácií označený ako \ Vráťme sa k našej hranici \(L\), ktorú teraz môžeme zapísať takto: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ do \infty ) \ doľava[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Je pre nás vhodné vyčleniť prvé dva členy v binomickom rade: pre \(k = 0\) a \(k = 1 \). Výsledkom je \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Del ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right))^(k - 1))))(( (n^k)))) ) \vpravo)) \vpravo].) \] Súčet radov má samozrejme tendenciu k nule ako \(\Delta x \to 0\). Preto \(L = 1\). To znamená, že derivácia exponenciálnej funkcie \(y = (e^x)\) sa rovná samotnej funkcii: \