Od staroveku sa ľudia obávajú otázky, či také nepolapiteľné veci, ako je krása a harmónia, podliehajú nejakým matematickým výpočtom. Samozrejme, všetky zákony krásy nemožno obsiahnuť v niekoľkých vzorcoch, ale štúdiom matematiky môžeme objaviť niektoré pojmy krásy – zlatý rez. Našou úlohou je zistiť, čo je zlatý rez a zistiť, kde ľudstvo našlo využitie zlatého rezu.

Pravdepodobne ste venovali pozornosť tomu, že inak zaobchádzame s predmetmi a javmi okolitej reality. byť h slušnosť, buď h uniformita, disproporcia sú nami vnímané ako škaredé a pôsobia odpudzujúcim dojmom. A predmety a javy, ktoré sa vyznačujú mierou, účelnosťou a harmóniou, vnímame ako krásne a spôsobujú nám pocit obdivu, radosti, rozveselenia.

Človek sa pri svojej činnosti neustále stretáva s predmetmi, ktoré sú založené na zlatom reze. Sú veci, ktoré sa nedajú vysvetliť. Prídete teda k prázdnej lavici a sadnete si na ňu. kde budeš sedieť? v strede? Alebo možno od samého okraja? Nie, s najväčšou pravdepodobnosťou ani jedno, ani druhé. Budete sedieť tak, že pomer jednej časti lavičky k druhej vzhľadom k vášmu telu bude približne 1,62. Jednoduchá vec, absolútne inštinktívna... Sediac na lavičke ste reprodukovali „zlatý rez“.

Zlatý rez bol známy v starovekom Egypte a Babylone, v Indii a Číne. Veľký Pytagoras vytvoril tajnú školu, kde sa študovala mystická podstata „zlatého rezu“. Euclid to použil a vytvoril svoju geometriu a Phidias - svoje nesmrteľné sochy. Platón povedal, že vesmír je usporiadaný podľa „zlatého rezu“. Aristoteles našiel súlad „zlatého rezu“ s etickým zákonom. Najvyššiu harmóniu „zlatého rezu“ budú hlásať Leonardo da Vinci a Michelangelo, pretože krása a „zlatý rez“ sú jedno a to isté. A kresťanskí mystici budú kresliť pentagramy „zlatého rezu“ na steny svojich kláštorov, unikajúcich pred diablom. Vedci – od Pacioliho po Einsteina – budú zároveň hľadať, no nikdy nenájdu jeho presný význam. byť h posledný riadok za desatinnou čiarkou je 1,6180339887... Zvláštna, tajomná, nevysvetliteľná vec - táto božská proporcia mysticky sprevádza všetko živé. Neživá príroda nevie, čo je „zlatý rez“. Ale tento podiel určite uvidíte v krivkách morských mušlí, v podobe kvetov, v podobe chrobákov a v krásnom ľudskom tele. Všetko živé a všetko krásne - všetko sa riadi Božím zákonom, ktorého meno je "zlatý rez". Aký je teda „zlatý rez“? Čo je to za perfektnú, božskú kombináciu? Možno je to zákon krásy? Alebo je to stále mystické tajomstvo? Vedecký fenomén alebo etický princíp? Odpoveď je zatiaľ neznáma. Presnejšie – nie, to je známe. „Zlatá sekcia“ je aj to, aj ďalšie a tretie. Len nie oddelene, ale zároveň ... A to je jeho skutočné tajomstvo, jeho veľké tajomstvo.

Spoľahlivé meradlo na objektívne posúdenie samotnej krásy sa asi len ťažko hľadá a len logika tu nepomôže. Pomôžu tu však skúsenosti tých, pre ktorých bolo hľadanie krásy samotným zmyslom života, ktorí si z toho urobili svoje povolanie. V prvom rade sú to ľudia umenia, ako ich nazývame: umelci, architekti, sochári, hudobníci, spisovatelia. Ale toto sú ľudia exaktných vied, predovšetkým matematici.

Človek, ktorý dôveroval oku viac ako iným zmyslovým orgánom, sa najskôr naučil rozlišovať predmety okolo seba podľa tvaru. Záujem o formu predmetu môže byť diktovaný životnou nevyhnutnosťou alebo môže byť spôsobený krásou formy. Tvar, ktorý je založený na kombinácii symetrie a zlatého rezu, prispieva k najlepšiemu vizuálnemu vnímaniu a dojmu zmyslu pre krásu a harmóniu. Celok sa vždy skladá z častí, časti rôznych veľkostí sú v určitom vzťahu medzi sebou aj k celku. Princíp zlatého rezu je najvyšším prejavom štrukturálnej a funkčnej dokonalosti celku a jeho častí v umení, vede, technike a prírode.

ZLATÝ REZER - HARMONICKÉ PROPORCIE

V matematike je podiel rovnosťou dvoch pomerov:

Úsečku AB možno rozdeliť na dve časti nasledujúcimi spôsobmi:

• na dve rovnaké časti - AB: AC = AB: BC;
• na dve nerovnaké časti v akomkoľvek pomere (takéto časti netvoria proporcie);
• teda, keď AB:AC=AC:BC.

To posledné je zlaté delenie (sekcia).

Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, v ktorom celý segment súvisí s väčšou časťou tak, ako samotná väčšia časť súvisí s menšou, inými slovami, menší segment je súvisí s tým väčším, ako ten väčší so všetkým

a:b=b:c alebo c:b=b:a.

Geometrické znázornenie zlatého rezu

Praktické oboznámenie sa so zlatým rezom začína rozdelením úsečky v zlatom reze pomocou kružidla a pravítka.

Delenie úsečky podľa zlatého rezu. BC = 1/2AB; CD = BC

Z bodu B sa obnoví kolmica rovnajúca sa polovici AB. Výsledný bod C je spojený priamkou s bodom A. Na výslednej priamke je vynesená úsečka BC zakončená bodom D. Úsečka AD sa prenesie na priamku AB. Výsledný bod E rozdeľuje segment AB v pomere zlatého rezu.

Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené bez h konečný zlomok AE=0,618..., ak sa AB berie ako jednotka, BE=0,382... Pre praktické účely sa často používajú približné hodnoty 0,62 a 0,38. Ak sa segment AB berie ako 100 dielov, potom najväčšia časť segmentu je 62 a menšia 38 dielov.

Vlastnosti zlatého rezu sú opísané rovnicou:

Riešenie tejto rovnice:

Vlastnosti zlatého rezu vytvorili okolo tohto čísla romantickú auru tajomstva a takmer mystickú generáciu. Napríklad v pravidelnej päťcípej hviezde je každý segment rozdelený segmentom, ktorý ho pretína v pomere k zlatému rezu (t. j. pomer modrého segmentu k zelenej, červenej k modrej, zelenej k fialovej je 1,618).

DRUHÝ ZLATÝ ODDIEL

Tento podiel sa nachádza v architektúre.

Výstavba druhého zlatého rezu

Rozdelenie sa vykonáva nasledovne. Úsek AB je rozdelený v pomere k zlatému rezu. Z bodu C sa obnoví kolmé CD. Polomer AB je bod D, ktorý je spojený priamkou s bodom A. Pravý uhol ACD je rozpolený. Vedie sa čiara z bodu C do priesečníka s čiarou AD. Bod E rozdeľuje segment AD v pomere 56:44.

Rozdelenie obdĺžnika čiarou druhého zlatého rezu

Na obrázku je znázornená poloha čiary druhého zlatého rezu. Nachádza sa v strede medzi čiarou zlatého rezu a strednou čiarou obdĺžnika.

ZLATÝ TROJUHOLNÍK (pentagram)

Ak chcete nájsť segmenty zlatého rezu vzostupných a zostupných riadkov, môžete použiť pentagram.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka a pentagramu

Ak chcete postaviť pentagram, musíte postaviť pravidelný päťuholník. Spôsob jeho konštrukcie vyvinul nemecký maliar a grafik Albrecht Dürer. Nech O je stred kružnice, A bod na kružnici a E stred úsečky OA. Kolmica na polomer OA, vyvýšená v bode O, sa pretína s kružnicou v bode D. Pomocou kružidla označte na priemere úsečku CE=ED. Dĺžka strany pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu je DC. Na kružnici odložíme segmenty DC a získame päť bodov za nakreslenie pravidelného päťuholníka. Spojíme rohy päťuholníka cez jednu uhlopriečku a získame pentagram. Všetky uhlopriečky päťuholníka sa navzájom delia na segmenty spojené zlatým rezom.

Každý koniec päťuholníkovej hviezdy je zlatý trojuholník. Jeho strany zvierajú hore uhol 36° a základňa položená na boku ho delí v pomere k zlatému rezu.

Nakreslite priamku AB. Z bodu A naň trikrát odložíme úsečku O ľubovoľnej veľkosti, cez výsledný bod P nakreslíme kolmicu na priamku AB, na kolmicu vpravo a vľavo od bodu P odložíme úsečky O. výsledné body d a d 1 sú spojené priamkami s bodom A. Úsek dd 1 položíme na priamku Ad 1, dostaneme bod C. Úsečku Ad 1 rozdelila v pomere k zlatému rezu. Čiary Ad 1 a dd 1 sa používajú na zostavenie „zlatého“ obdĺžnika.

Konštrukcia zlatého trojuholníka

HISTÓRIA ZLATÉHO SEKCIA

Proporcie Cheopsovej pyramídy, chrámov, domácich potrieb a dekorácií z hrobky Tutanchamona totiž naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramzesa proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira, zobrazený na reliéfe drevenej dosky z hrobky svojho mena, drží v rukách meracie prístroje, v ktorých sú upevnené proporcie zlatého delenia.

Gréci boli zruční geometri. Dokonca aj aritmetiku učili svoje deti pomocou geometrických útvarov. Pytagoras štvorec a uhlopriečka tohto štvorca boli základom pre konštrukciu dynamických obdĺžnikov.

Dynamické obdĺžniky

O zlatom delení vedel aj Platón. Pythagorejec Timaeus v Platónovom rovnomennom dialógu hovorí: „Je nemožné, aby sa dve veci dokonale spojili bez tretej, keďže sa medzi nimi musí objaviť vec, ktorá by ich držala pohromade. Proporcia to môže najlepšie dosiahnuť, pretože ak majú tri čísla tú vlastnosť, že priemer sa vzťahuje k menšiemu, čím väčší k priemeru, a naopak, menšie k priemeru, keďže priemer k väčšiemu, potom k poslednému a prvý bude stredný a stredný - prvý a posledný. Teda všetko potrebné bude rovnaké, a keďže to bude rovnaké, bude to tvoriť celok. Platón buduje pozemský svet pomocou trojuholníkov dvoch typov: rovnoramenných a nerovnomerných. Za najkrajší pravouhlý trojuholník považuje taký, v ktorom je prepona dvakrát menšia ako nohy (takýto obdĺžnik je polovica rovnostranníka, hlavná postava Babylončanov, má pomer 1: 3 1/2 , ktorý sa od zlatého rezu líši asi o 1/25 a nazýva sa Timerding „súper zlatého rezu“). Platón pomocou trojuholníkov buduje štyri pravidelné mnohosteny a spája ich so štyrmi pozemskými prvkami (zem, voda, vzduch a oheň). A iba posledný z piatich existujúcich pravidelných mnohostenov - dvanásťsten, ktorého všetkých dvanásť stien sú pravidelné päťuholníky, tvrdí, že je symbolickým obrazom nebeského sveta.

dvadsaťsten a dvanásťsten

Pocta objaviť dvanásťsten (alebo, ako sa predpokladalo, samotný vesmír, túto kvintesenciu štyroch prvkov, symbolizovaných štvorstenom, osemstenom, dvadsaťstenom a kockou), patrí Hippasovi, ktorý neskôr zomrel pri stroskotaní lode. Táto figúrka skutočne vystihuje mnohé vzťahy zlatého rezu, a tak tomu druhému bola prisúdená hlavná úloha v nebeskom svete, na čom následne trval aj neplnoletý brat Luca Pacioli.

Na fasáde starovekého gréckeho chrámu Parthenon sú zlaté proporcie. Pri jeho vykopávkach sa našli kompasy, ktoré používali architekti a sochári starovekého sveta. Pompejský kompas (Múzeum v Neapole) obsahuje aj proporcie zlatého delenia.

Starožitné kompasy zlatého rezu

V starovekej literatúre, ktorá sa k nám dostala, bola zlatá divízia prvýkrát spomenutá v Euklidových Prvkoch. V 2. knihe „Začiatkov“ je uvedená geometrická konštrukcia zlatého delenia. Po Euklidovi skúmali zlaté delenie Hypsikles (2. storočie pred n. l.), Pappus (3. storočie n. l.) a ďalší, v stredovekej Európe sa zoznámili so zlatým delením z arabských prekladov Euklidových „Počiatkov“. K prekladu sa vyjadril prekladateľ J. Campano z Navarry (3. storočie). Tajomstvá zlatej divízie boli žiarlivo strážené, držané v prísnej tajnosti. Poznali ich len zasvätení.

V stredoveku bol pentagram démonizovaný (ako skutočne veľa toho, čo sa v starovekom pohanstve považovalo za božské) a našiel útočisko v okultných vedách. Renesancia však opäť prináša na svetlo sveta pentagram aj zlatý rez. V období presadzovania humanizmu sa tak rozšírila schéma opisujúca stavbu ľudského tela.

Leonardo da Vinci sa tiež opakovane uchýlil k takémuto obrázku, v skutočnosti reprodukoval pentagram. Jeho interpretácia: ľudské telo má božskú dokonalosť, pretože proporcie, ktoré sú mu vlastné, sú rovnaké ako v hlavnej nebeskej postave. Leonardo da Vinci, umelec a vedec, videl, že talianski umelci majú veľa empirických skúseností, ale málo vedomostí. Otehotnel a začal písať knihu o geometrii, no v tom čase sa objavila kniha mnícha Lucu Pacioliho a Leonardo svoj nápad opustil. Podľa súčasníkov a historikov vedy bol Luca Pacioli skutočným majstrom, najväčším matematikom v Taliansku medzi Fibonaccim a Galileom. Luca Pacioli bol žiakom umelca Piera della Francesca, ktorý napísal dve knihy, z ktorých jedna sa volala O perspektíve v maľbe. Je považovaný za tvorcu deskriptívnej geometrie.

Luca Pacioli si dobre uvedomoval dôležitosť vedy pre umenie.

V roku 1496 prišiel na pozvanie vojvodu Moreaua do Milána, kde prednášal matematiku. Leonardo da Vinci v tom čase pôsobil aj na súde Moro v Miláne. V roku 1509 vyšiel v Benátkach v Benátkach v roku 1509 vydaný Luca Pacioliho De divina transitione, 1497, s brilantne prevedenými ilustráciami, a preto sa predpokladá, že ich vytvoril Leonardo da Vinci. Kniha bola nadšeným chválospevom na zlatý rez. Existuje len jeden takýto pomer a jedinečnosť je najvyššou Božou vlastnosťou. Stelesňuje svätú trojicu. Tento podiel nemožno vyjadriť dostupným číslom, zostáva skrytý a tajný a samotní matematici ho nazývajú iracionálnym (takže Boha nemožno definovať ani vysvetliť slovami). Boh sa nikdy nemení a predstavuje všetko vo všetkom a všetko v každej zo svojich častí, takže zlatý rez pre akúkoľvek spojitú a určitú veličinu (bez ohľadu na to, či je veľká alebo malá) je rovnaký, nemožno ho zmeniť ani zmeniť. myseľ. Boh povolal do bytia nebeskú cnosť, inak nazývanú piatou substanciou, s jej pomocou ďalšie štyri jednoduché telá (štyri živly - zem, voda, vzduch, oheň) a na ich základe povolal do bytia každú inú vec v prírode; takže naša posvätná proporcia, podľa Platóna v Timaeus, dáva formálne bytie samotnej oblohe, pretože sa pripisuje tvaru tela nazývaného dvanásťsten, ktorý nemožno postaviť bez zlatého rezu. Toto sú Pacioliho argumenty.

Leonardo da Vinci venoval veľkú pozornosť aj štúdiu zlatej divízie. Vyrobil časti stereometrického telesa tvorené pravidelnými päťuholníkmi a zakaždým získal obdĺžniky s pomermi strán v zlatom delení. Preto dal tejto divízii názov zlatý rez. Takže je stále najobľúbenejší.

V rovnakom čase na severe Európy v Nemecku riešili rovnaké problémy Albrecht Dürer. Načrtáva úvod k prvému návrhu pojednania o proporciách. Dürer píše: „Je potrebné, aby ten, kto niečo vie, to naučil aj iných, ktorí to potrebujú. Toto je to, čo som sa rozhodol urobiť.“

Súdiac podľa jedného z Dürerových listov sa počas pobytu v Taliansku stretol s Lucom Paciolim. Albrecht Dürer podrobne rozvíja teóriu o proporciách ľudského tela. Dürer pridelil zlatému rezu dôležité miesto vo svojom systéme pomerov. Výška osoby je rozdelená v zlatých proporciách líniou pásu, ako aj líniou vedenou cez končeky prostredných prstov spustených rúk, spodnú časť tváre - ústa atď. Známy proporcionálny kompas Dürer.

Veľký astronóm 16. storočia Johannes Kepler nazval zlatý rez jedným z pokladov geometrie. Ako prvý upozorňuje na význam zlatého rezu pre botaniku (rast a stavba rastlín).

Kepler nazval zlatý rez samopokračujúcim. „Je usporiadaný tak,“ napísal, „že dva mladšie členy tejto nekonečnej proporcie sa sčítajú s tretím členom a akékoľvek dva posledné členy, ak sa sčítajú spolu, dávajú ďalší termín a rovnaký pomer zostane až do nekonečna."

Konštrukcia série segmentov zlatého rezu môže byť vykonaná ako v smere nárastu (rastúca séria), tak aj v smere poklesu (zostupná séria).

Ak na priamke ľubovoľnej dĺžky, odložte segment m , odložte segment M . Na základe týchto dvoch segmentov zostavíme škálu segmentov zlatého podielu vzostupných a zostupných radov.

Zostavenie stupnice segmentov zlatého rezu

V nasledujúcich storočiach sa pravidlo zlatého rezu zmenilo na akademický kánon, a keď sa časom v umení začal boj s akademickou rutinou, v zápale boja „vyhodili aj dieťa spolu s vodou. “ Zlatý rez bol opäť „objavený“ v polovici 19. storočia.

V roku 1855 publikoval nemecký výskumník zlatého rezu profesor Zeising svoju prácu Estetický výskum. So Zeisingom sa presne to, čo sa stalo, muselo stať výskumníkovi, ktorý tento jav považuje za taký, bez spojenia s inými javmi. Absolutizoval podiel zlatého rezu a vyhlásil ho za univerzálny pre všetky javy prírody a umenia. Zeising mal početných nasledovníkov, ale našli sa aj odporcovia, ktorí jeho doktrínu proporcií vyhlásili za „matematickú estetiku“.

Zeising odviedol skvelú prácu. Zmeral asi dvetisíc ľudských tiel a dospel k záveru, že zlatý rez vyjadruje priemerný štatistický zákon. Rozdelenie tela podľa pupkového bodu je najdôležitejším ukazovateľom zlatého rezu. Proporcie mužského tela sa pohybujú v priemernom pomere 13:8=1,625 a sú o niečo bližšie k zlatému rezu ako proporcie ženského tela, vo vzťahu ku ktorým je priemerná hodnota proporcie vyjadrená v pomere 8. :5 = 1,6. U novorodenca je pomer 1: 1, do 13 rokov je to 1,6 a do 21 rokov sa rovná mužovi. Proporcie zlatého rezu sa prejavujú aj vo vzťahu k ostatným častiam tela – dĺžka ramena, predlaktia a ruky, ruky a prstov atď.

Zeising testoval platnosť svojej teórie na gréckych sochách. Najpodrobnejšie rozvinul proporcie Apolla Belvedere. Výskumu boli podrobené grécke vázy, architektonické štruktúry rôznych období, rastliny, zvieratá, vtáčie vajcia, hudobné tóny, poetické metre. Zeising definoval zlatý rez, ukázal, ako sa vyjadruje v úsečkách a v číslach. Keď boli získané čísla vyjadrujúce dĺžky segmentov, Zeising videl, že tvoria Fibonacciho sériu, ktorá môže pokračovať donekonečna jedným a druhým smerom. Jeho ďalšia kniha mala názov „Zlaté delenie ako základný morfologický zákon v prírode a umení“. V roku 1876 vyšla v Rusku malá knižka, takmer brožúra, v ktorej je načrtnutá Zeisingova práca. Autor sa uchýlil pod iniciály Yu.F.V. V tomto vydaní nie je uvedený ani jeden obraz.

Koncom 19. - začiatkom 20. stor. O použití zlatého rezu v umeleckých a architektonických dielach sa objavilo množstvo čisto formalistických teórií. S rozvojom dizajnu a technickej estetiky sa zákon zlatého rezu rozšíril aj na dizajn áut, nábytku a pod.

ZLATÝ POMER A SYMETRIA

Zlatý rez nemožno považovať sám o sebe, samostatne, bez spojenia so symetriou. Veľký ruský kryštalograf G.V. Wulff (1863-1925) považoval zlatý rez za jeden z prejavov symetrie.

Zlaté delenie nie je prejavom asymetrie, niečoho opačného k symetrii. Podľa moderných konceptov je zlaté delenie asymetrickou symetriou. Veda o symetrii zahŕňa také pojmy ako statická a dynamická symetria. Statická symetria charakterizuje odpočinok, rovnováhu a dynamická symetria charakterizuje pohyb, rast. Takže v prírode je statická symetria reprezentovaná štruktúrou kryštálov a v umení charakterizuje pokoj, rovnováhu a nehybnosť. Dynamická symetria vyjadruje aktivitu, charakterizuje pohyb, vývoj, rytmus, je dôkazom života. Statická symetria je charakterizovaná rovnakými segmentmi, rovnakými veľkosťami. Dynamická symetria je charakterizovaná nárastom segmentov alebo ich poklesom a je vyjadrená v hodnotách zlatého rezu rastúcej alebo klesajúcej série.

SÉRIA FIBONACCCI

Meno talianskeho matematického mnícha Leonarda z Pisy, známeho skôr ako Fibonacci, je nepriamo spojené s históriou zlatého rezu. Veľa cestoval po východe, zoznámil Európu s arabskými číslicami. V roku 1202 vyšlo jeho matematické dielo „The Book of the Abacus“ (počítacia tabuľa), v ktorom boli zhromaždené všetky v tom čase známe problémy.

Séria čísel 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 atď. známy ako Fibonacciho séria. Zvláštnosťou postupnosti čísel je, že každý jej člen, počnúc od tretiny, sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 atď. a pomer susedných čísel radu sa približuje pomeru zlatého delenia. Takže 21:34=0,617 a 34:55=0,618. Tento pomer je označený symbolom F. Len tento pomer - 0,618 : 0,382 - udáva súvislé delenie úsečky priamky v zlatom reze, jeho zväčšenie alebo zmenšenie do nekonečna, keď menší úsečka súvisí s väčším ako väčší je ku všetkému.

Ako je znázornené na obrázku nižšie, dĺžka každého kĺbu prsta súvisí s dĺžkou nasledujúceho kĺbu v pomere F. Rovnaký vzťah je viditeľný na všetkých prstoch na rukách a nohách. Toto spojenie je akosi nezvyčajné, pretože jeden prst je dlhší ako druhý bez viditeľného vzoru, no nie je to náhodné, tak ako nie je náhodné ani všetko v ľudskom tele. Vzdialenosti na prstoch, označené od A po B po C po D po E, spolu súvisia v pomere F, rovnako ako falangy prstov od F po G po H.

Pozrite sa na túto kostru žaby a zistite, ako každá kosť zodpovedá vzoru pomeru F rovnako ako v ľudskom tele.

VŠEOBECNÝ ZLATÝ POMER

Vedci naďalej aktívne rozvíjali teóriu Fibonacciho čísel a zlatého rezu. Yu Matiyasevich rieši Hilbertov 10. problém pomocou Fibonacciho čísel. Existujú metódy na riešenie množstva kybernetických problémov (teória vyhľadávania, hry, programovanie) pomocou Fibonacciho čísel a zlatého rezu. V USA dokonca vzniká Mathematical Fibonacci Association, ktorá od roku 1963 vydáva špeciálny časopis.

Jedným z úspechov v tejto oblasti je objav zovšeobecnených Fibonacciho čísel a zovšeobecnených zlatých rezov.

Fibonacciho rad (1, 1, 2, 3, 5, 8) a ním objavený „binárny“ rad váh 1, 2, 4, 8 sú na prvý pohľad úplne odlišné. Ale algoritmy na ich zostavenie sú si navzájom veľmi podobné: v prvom prípade je každé číslo súčtom predchádzajúceho čísla so sebou samým 2=1+1; 4=2+2..., v druhom - to je súčet dvoch predchádzajúcich čísel 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Je možné nájsť všeobecnú matematickú vzorec z ktorého "binárneho » radu a Fibonacciho radu? Alebo nám možno tento vzorec poskytne nové číselné množiny s niektorými novými jedinečnými vlastnosťami?

Skutočne, nastavme číselný parameter S, ktorý môže nadobudnúť ľubovoľné hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4, 5... a oddelený od predchádzajúceho S krokmi. Ak označíme n-tý člen tohto radu? S (n), potom dostaneme všeobecný vzorec? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Je zrejmé, že s S=0 z tohto vzorca dostaneme "binárny" rad, s S=1 - Fibonacciho rad, s S=2, 3, 4. nový rad čísel, ktoré sa nazývajú S-Fibonacciho čísla.

Vo všeobecnosti je zlatý podiel S kladným koreňom rovnice zlatého prierezu S x S+1 -x S -1=0.

Je ľahké ukázať, že keď S=0, získa sa rozdelenie segmentu na polovicu, a keď S=1, získa sa známy klasický zlatý rez.

Pomery susedných Fibonacciho S-čísel s absolútnou matematickou presnosťou sa zhodujú v limite so zlatými S-proporciami! Matematici v takýchto prípadoch hovoria, že zlaté S-rezy sú číselné invarianty Fibonacciho S-čísiel.

Fakty potvrdzujúce existenciu zlatých S-rezov v prírode uvádza bieloruský vedec E.M. Soroko v knihe „Štrukturálna harmónia systémov“ (Minsk, „Veda a technika“, 1984). Ukazuje sa napríklad, že dobre preštudované binárne zliatiny majú špeciálne, výrazné funkčné vlastnosti (tepelne stabilné, tvrdé, odolné voči opotrebovaniu, odolné voči oxidácii atď.) iba vtedy, ak sú špecifické hmotnosti počiatočných zložiek navzájom prepojené. jedným zo zlatých S-proporcií. To umožnilo autorovi predložiť hypotézu, že zlaté S-rezy sú numerické invarianty samoorganizujúcich sa systémov. Experimentálne potvrdená hypotéza môže mať zásadný význam pre rozvoj synergetiky, novej oblasti vedy, ktorá študuje procesy v samoorganizujúcich sa systémoch.

Pomocou kódov zlatých S-proporcií možno akékoľvek reálne číslo vyjadriť ako súčet stupňov zlatých S-proporcií s celočíselnými koeficientmi.

Zásadný rozdiel medzi touto metódou kódovania čísel je v tom, že základy nových kódov, ktorými sú zlaté S-proporcie, sa ukážu ako iracionálne čísla pre S>0. Nové číselné sústavy s iracionálnymi základňami tak akoby postavili historicky stanovenú hierarchiu vzťahov medzi racionálnymi a iracionálnymi číslami „hore nohami“. Faktom je, že najskôr boli „objavené“ prirodzené čísla; potom sú ich pomery racionálne čísla. A až neskôr, keď Pythagorejci objavili nekombinovateľné segmenty, objavili sa iracionálne čísla. Napríklad v desiatkových, kvinárnych, dvojkových a iných klasických pozičných číselných sústavách sa ako akýsi základný princíp zvolili prirodzené čísla: 10, 5, 2, z ktorých podľa určitých pravidiel vychádzajú všetky ostatné prirodzené, ako aj racionálne resp. boli skonštruované iracionálne čísla.

Akousi alternatívou k existujúcim metódam účtovania je nový, iracionálny systém, pričom iracionálne číslo (ktoré, pripomíname, je koreňom rovnice zlatého rezu) je zvolené ako základný princíp začiatku účtovania; už sú cez ňu vyjadrené iné reálne čísla.

V takomto číselnom systéme je každé prirodzené číslo vždy reprezentovateľné ako konečné číslo - a nie nekonečné, ako sa predtým myslelo! sú súčty mocnin ktoréhokoľvek zo zlatých S-proporcií. To je jeden z dôvodov, prečo sa zdá, že „iracionálna“ aritmetika s úžasnou matematickou jednoduchosťou a eleganciou absorbovala najlepšie kvality klasickej binárnej a „Fibonacciho“ aritmetiky.

PRINCÍPY TVORENIA V PRÍRODE

Všetko, čo nadobudlo nejakú formu, formovalo sa, rástlo, usilovalo sa zaujať miesto v priestore a zachovať sa. Táto ašpirácia nachádza realizáciu hlavne v dvoch variantoch: vzostupný rast alebo šírenie po zemskom povrchu a skrútenie v špirále.

Škrupina je skrútená do špirály. Ak ho rozložíte, dostanete dĺžku o niečo nižšiu ako dĺžka hada. Malá desaťcentimetrová lastúra má špirálu dlhú 35 cm.Špirály sú v prírode veľmi bežné. Koncept zlatého rezu bude neúplný, ak nie o špirále.

Tvar špirálovito stočenej mušle zaujal Archimeda. Študoval to a odvodil rovnicu špirály. Špirála nakreslená podľa tejto rovnice sa volá jeho menom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je Archimedova špirála široko používaná v strojárstve.

Už Goethe zdôrazňoval tendenciu prírody k špirálovitosti. Špirálovité a špirálovité usporiadanie listov na vetvách stromov bolo zaznamenané už dávno.

Špirála bola vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, v šiškách, ananásoch, kaktusoch atď. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že v usporiadaní listov na konári (fylotaxia), slnečnicových semienkach, šiškách sa prejavuje Fibonacciho séria, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu. Pavúk točí svoju sieť v špirálovom vzore. Hurikán sa točí do špirály. Vystrašené stádo sobov sa rozpŕchlo v špirále. Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Séria Mandelbrot

Zlatá špirála úzko súvisí s cyklami. Moderná veda o chaose študuje jednoduché cyklické spätnoväzbové operácie a nimi generované fraktálne formy, ktoré boli predtým neznáme. Na obrázku je známa séria Mandelbrot - strana zo slovníka h končatiny jednotlivých vzorov, nazývané juliánska séria. Niektorí vedci spájajú sériu Mandelbrot s genetickým kódom bunkových jadier. Konzistentný nárast sekcií odhaľuje úžasné fraktály v ich umeleckej zložitosti. A tu sú tiež logaritmické špirály! Je to o to dôležitejšie, že séria Mandelbrot ani séria Julian nie sú vynálezmi ľudskej mysle. Pochádzajú z ríše Platónových prototypov. Ako povedal lekár R. Penrose, „sú ako Mount Everest“

Medzi cestnými trávami rastie neprehliadnuteľná rastlina – čakanka. Poďme sa na to pozrieť bližšie. Z hlavnej stonky sa vytvorila vetva. Tu je prvý list.

Proces vykoná silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, uvoľní list, ale kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale s menšou silou, uvoľní ešte menší list a opäť vymrští.

Ak sa prvá odľahlá hodnota berie ako 100 jednotiek, potom druhá je 62 jednotiek, tretia je 38, štvrtá je 24 atď. Zlatému rezu podlieha aj dĺžka okvetných lístkov. V raste, dobývaní priestoru, si rastlina zachovala určité proporcie. Jeho rastové impulzy postupne klesali úmerne zlatému rezu.

Čakanka

U mnohých motýľov pomer veľkosti hrudnej a brušnej časti tela zodpovedá zlatému rezu. Po zložení krídel tvorí nočný motýľ pravidelný rovnostranný trojuholník. Ale stojí za to roztiahnuť krídla a uvidíte rovnaký princíp rozdelenia tela na 2, 3, 5, 8. Vážka je tiež vytvorená podľa zákonov zlatého rezu: pomer dĺžok chvosta a telo sa rovná pomeru celkovej dĺžky k dĺžke chvosta.

U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie, ktoré sú príjemné pre naše oči - dĺžka chvosta sa vzťahuje k dĺžke zvyšku tela 62 až 38.

živorodá jašterica

V rastlinnom aj živočíšnom svete vytrvalo preráža formovacia tendencia prírody - symetria vzhľadom na smer rastu a pohybu. Tu sa zlatý rez objavuje v proporciách častí kolmých na smer rastu.

Príroda vykonala rozdelenie na symetrické časti a zlaté proporcie. Po častiach sa prejavuje opakovanie štruktúry celku.

Veľký záujem je o štúdium foriem vtáčích vajec. Ich rôzne formy kolíšu medzi dvoma extrémnymi typmi: jeden z nich môže byť vpísaný do obdĺžnika zlatého rezu, druhý do obdĺžnika s modulom 1,272 (odmocnina zlatého rezu)

Takéto formy vtáčích vajec nie sú náhodné, pretože sa teraz zistilo, že tvar vajec opísaný pomerom zlatého rezu zodpovedá vyšším pevnostným charakteristikám vaječnej škrupiny.

Kly slonov a vyhynutých mamutov, pazúry levov a zobáky papagájov sú logaritmické formy a pripomínajú tvar osi, ktorá má tendenciu sa otáčať do špirály.

Vo voľnej prírode sú rozšírené formy založené na "päťuholníkovej" symetrii (hviezdice, ježovky, kvety).

Zlatý rez je prítomný v štruktúre všetkých kryštálov, ale väčšina kryštálov je mikroskopicky malá, takže ich nemôžeme vidieť voľným okom. Snehové vločky, ktoré sú zároveň kryštálmi vody, sú však našim očiam celkom dostupné. Všetky postavy nádhernej krásy, ktoré tvoria snehové vločky, všetky osi, kruhy a geometrické obrazce v snehových vločkách sú tiež vždy, bez výnimky, postavené podľa dokonalého jasného vzorca zlatého rezu.

V mikrokozme sú trojrozmerné logaritmické formy postavené podľa zlatých proporcií všadeprítomné. Napríklad mnohé vírusy majú trojrozmerný geometrický tvar dvadsaťstenu. Snáď najznámejší z týchto vírusov je vírus Adeno. Proteínový obal vírusu Adeno je tvorený 252 jednotkami proteínových buniek usporiadaných v určitej sekvencii. V každom rohu dvadsaťstenu je 12 proteínových bunkových jednotiek v tvare päťuholníkového hranola a z týchto rohov sa rozprestierajú hrotovité štruktúry.

Adeno vírus

Zlatý rez v štruktúre vírusov bol prvýkrát objavený v 50. rokoch minulého storočia. vedci z londýnskej Birkbeck College A. Klug a D. Kaspar. Prvá logaritmická forma bola odhalená vírusom Polyo. Ukázalo sa, že forma tohto vírusu je podobná ako u vírusu Rhino.

Vynára sa otázka: ako vírusy tvoria také zložité trojrozmerné formy, ktorých štruktúra obsahuje zlatý rez, ktorý je dosť ťažké zostrojiť aj našou ľudskou mysľou? Objaviteľ týchto foriem vírusov, virológ A. Klug, uvádza túto poznámku: „Doktor Kašpar a ja sme ukázali, že pre sférický obal vírusu je najoptimálnejší tvar symetria ako tvar dvadsaťstena. Takéto usporiadanie minimalizuje počet spojovacích prvkov... Väčšina geodetických pologuľových kociek Buckminster Fuller je skonštruovaná podľa podobného geometrického princípu. Inštalácia takýchto kociek si vyžaduje mimoriadne presné a podrobné vysvetlenie schémy, zatiaľ čo samotné nevedomé vírusy skonštruujú takú zložitú schránku elastických, flexibilných proteínových bunkových jednotiek.

Klugov komentár opäť pripomína mimoriadne zjavnú pravdu: v štruktúre aj mikroskopického organizmu, ktorý vedci klasifikujú ako „najprimitívnejšiu formu života“, v tomto prípade vírusu, existuje jasný plán a rozumný projekt. boli implementované. Tento projekt je svojou dokonalosťou a precíznosťou prevedenia neporovnateľný s najmodernejšími architektonickými projektmi vytvorenými ľuďmi. Napríklad projekty vytvorené geniálnym architektom Buckminsterom Fullerom.

Trojrozmerné modely dvanástnika a ikozaédra sú prítomné aj v štruktúre kostry jednobunkových morských mikroorganizmov rádiolariov (lúčov), ktorých kostra je tvorená oxidom kremičitým.

Rádiolariáni tvoria ich telo veľmi nádhernej, nezvyčajnej krásy. Ich tvar je pravidelný dvanásťsten a z každého jeho rohu vyrastá pseudopredĺžená končatina a iné nezvyčajné formy-výrastky.

Veľký Goethe, básnik, prírodovedec a umelec (kreslil a maľoval akvarelom), sníval o vytvorení jednotnej náuky o forme, formovaní a premene organických telies. Bol to on, kto zaviedol pojem morfológia do vedeckého používania.

Pierre Curie na začiatku nášho storočia sformuloval množstvo hlbokých myšlienok symetrie. Tvrdil, že nemožno uvažovať o symetrii akéhokoľvek telesa bez toho, aby sme nezohľadnili symetriu prostredia.

Vzory „zlatej“ symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov. Tieto vzorce, ako je naznačené vyššie, sú v štruktúre jednotlivých orgánov človeka a tela ako celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a zrakového vnímania.

ĽUDSKÉ TELO A ZLATÝ REZER

Všetky ľudské kosti sú v pomere k zlatému rezu. Proporcie jednotlivých častí nášho tela tvoria číslo veľmi blízke zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého rezu, potom sa vzhľad alebo telo osoby považujú za ideálne postavené.

Zlaté proporcie v častiach ľudského tela

Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi ľudským chodidlom a bodom pupka ako mernú jednotku, potom sa výška osoby rovná číslu 1,618.

• vzdialenosť od úrovne ramena po temeno hlavy a veľkosť hlavy je 1:1,618;
• vzdialenosť od bodu pupka po temeno hlavy a od úrovne ramena po temeno hlavy je 1:1,618;
• vzdialenosť bodu pupka ku kolenám a od kolien k chodidlám je 1:1,618;
• vzdialenosť od špičky brady po špičku hornej pery a od špičky hornej pery po nosné dierky je 1:1,618;
• v skutočnosti je presná prítomnosť zlatej proporcie v tvári človeka ideálom krásy pre ľudský pohľad;
• vzdialenosť od špičky brady po hornú líniu obočia a od hornej línie obočia po temeno je 1:1,618;
• výška tváre/šírka tváre;
• centrálny bod spojenia pier so základňou nosa / dĺžka nosa;
• výška tváre/vzdialenosť od špičky brady po stredový bod spojenia pier;
• šírka úst/šírka nosa;
• šírka nosa/vzdialenosť medzi nosnými dierkami;
• vzdialenosť medzi zreničkami / vzdialenosť medzi obočím.

Stačí teraz priblížiť dlaň k sebe a pozorne sa pozrieť na ukazovák a hneď v ňom nájdete vzorec zlatého rezu.

Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov. Súčet dĺžok prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta dáva zlatý rez (s výnimkou palca).

Navyše, pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa tiež rovná zlatému rezu.

Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (s výnimkou palca). Na každej ruke je 5 prstov, teda spolu 10, no s výnimkou dvoch dvojfalangeálnych palcov je vytvorených len 8 prstov podľa princípu zlatého rezu. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú číslami Fibonacciho postupnosti.

Treba tiež poznamenať, že u väčšiny ľudí sa vzdialenosť medzi koncami roztiahnutých ramien rovná výške.

Pravdy zlatého rezu sú v nás a v našom priestore. Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria pľúca človeka, spočíva v ich asymetrii. Priedušky tvoria dve hlavné dýchacie cesty, jedna (vľavo) je dlhšia a druhá (vpravo) je kratšia. Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Navyše pomer dĺžky krátkych a dlhých priedušiek je tiež zlatým pomerom a rovná sa 1: 1,618.

Vo vnútornom uchu človeka sa nachádza orgán Cochlea ("slimák"), ktorý vykonáva funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto kostná štruktúra je naplnená tekutinou a tiež vytvorená vo forme slimáka, ktorý obsahuje stabilný logaritmický špirálovitý tvar =73 0 43".

Krvný tlak sa mení podľa tlkotu srdca. Najväčšiu hodnotu dosahuje v ľavej komore srdca v čase jej kontrakcie (systoly). V tepnách počas systoly srdcových komôr krvný tlak u mladého zdravého človeka dosahuje maximálnu hodnotu 115-125 mm Hg. V momente relaxácie srdcového svalu (diastola) tlak klesá na 70-80 mm Hg. Pomer maximálneho (systolického) k minimálnemu (diastolickému) tlaku je v priemere 1,6, teda blízko zlatého rezu.

Ak vezmeme za jednotku priemerný krvný tlak v aorte, potom systolický krvný tlak v aorte je 0,382 a diastolický 0,618, to znamená, že ich pomer zodpovedá zlatému rezu. To znamená, že práca srdca vo vzťahu k časovým cyklom a zmenám krvného tlaku sú optimalizované podľa rovnakého princípu zákona zlatého rezu.

Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál. Každá z týchto špirál je 34 angstromov dlhá a 21 angstromov široká. (1 angstrom je sto milióntina centimetra).

Štruktúra časti špirály molekuly DNA

Takže 21 a 34 sú čísla nasledujúce za sebou v postupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že pomer dĺžky a šírky logaritmickej skrutkovice molekuly DNA nesie vzorec zlatého rezu 1:1,618.

ZLATÝ REZER V SOCHA

Sochárske stavby, pamätníky sa stavajú, aby sa zachovali významné udalosti, aby sa v pamäti potomkov zachovali mená slávnych ľudí, ich činy a činy. Je známe, že aj v staroveku bola základom sochárstva teória proporcií. Vzťah častí ľudského tela bol spojený so vzorcom zlatého rezu. Proporcie „zlatého rezu“ vytvárajú dojem harmónie, krásy, preto ich sochári použili vo svojich dielach. Sochári tvrdia, že pás rozdeľuje dokonalé ľudské telo vo vzťahu k „zlatému rezu“. Takže napríklad slávna socha Apolla Belvedere pozostáva z častí, ktoré sú rozdelené podľa zlatého pomeru. Veľký starogrécky sochár Phidias vo svojich dielach často používal "zlatý pomer". Najznámejšie z nich boli socha Dia Olympského (ktorá bola považovaná za jeden z divov sveta) a Aténa Parthenón.

Známa je zlatá proporcia sochy Apolóna Belvedere: výšku zobrazovanej osoby delí pupočná čiara v zlatom reze.

ZLATÁ SEKCIA V ARCHITEKTÚRE

V knihách o „zlatom reze“ možno nájsť poznámku, že v architektúre, podobne ako v maliarstve, všetko závisí od pozície pozorovateľa, a ak sa zdá, že niektoré proporcie v budove na jednej strane tvoria „zlatý rez“, potom z iných uhlov pohľadu budú vyzerať inak. „Zlatá časť“ dáva najuvoľnenejší pomer veľkostí určitých dĺžok.

Jedným z najkrajších diel starogréckej architektúry je Parthenon (V. storočie pred Kristom).

Obrázky zobrazujú množstvo vzorov spojených so zlatým rezom. Proporcie budovy môžu byť vyjadrené rôznymi stupňami čísla Ф = 0,618 ...

Parthenon má 8 stĺpov na krátkych stranách a 17 na dlhých. Rímsy sú celé vyrobené zo štvorcov pentilského mramoru. Ušľachtilosť materiálu, z ktorého bol chrám postavený, umožnila obmedziť použitie kolorovania, ktoré bolo bežné v gréckej architektúre, len zvýrazňuje detaily a tvorí farebné pozadie (modré a červené) sochy. Pomer výšky budovy k jej dĺžke je 0,618. Ak Parthenon rozdelíme podľa „zlatého rezu“, získame určité výstupky fasády.

Na pôdoryse Parthenonu vidno aj „zlaté obdĺžniky“.

Zlatý rez môžeme vidieť na budove katedrály Notre Dame (Notre Dame de Paris) a na Cheopsovej pyramíde.

Nielen egyptské pyramídy boli postavené v súlade s dokonalými proporciami zlatého rezu; rovnaký jav nájdeme aj v mexických pyramídach.

Dlho sa verilo, že architekti starovekého Ruska postavili všetko „okom“, bez akýchkoľvek špeciálnych matematických výpočtov. Najnovšie výskumy však ukázali, že ruskí architekti dobre poznali matematické proporcie, o čom svedčí aj rozbor geometrie antických chrámov.

Slávny ruský architekt M. Kazakov vo svojej tvorbe hojne využíval „zlatý rez“. Jeho talent bol mnohostranný, no vo väčšej miere sa prejavil v početných realizovaných projektoch obytných budov a sídlisk. Napríklad „zlatý rez“ nájdeme v architektúre budovy Senátu v Kremli. Podľa projektu M. Kazakova bola v Moskve postavená Golitsynova nemocnica, ktorá sa v súčasnosti nazýva Prvá klinická nemocnica pomenovaná po N.I. Pirogov.

Petrovský palác v Moskve. Postavený podľa projektu M.F. Kazakova

Ďalšie architektonické dielo Moskvy - Paškov dom - je jedným z najdokonalejších diel architektúry V. Bazhenova.

Paškov dom

Nádherná tvorba V. Bazhenova pevne vstúpila do súboru centra modernej Moskvy, obohatila ho. Vonkajší pohľad na dom zostal takmer nezmenený dodnes, napriek tomu, že bol v roku 1812 ťažko vypálený. Počas obnovy nadobudol objekt masívnejšie podoby. Nezachovala sa ani vnútorná dispozícia objektu, o čom dáva predstavu len kresba spodného podlažia.

Mnohé výroky architekta si v dnešnej dobe zaslúžia pozornosť. O svojom obľúbenom umení V. Bazhenov povedal: „Architektúra má tri hlavné predmety: krásu, pokoj a pevnosť budovy... Na dosiahnutie tohto cieľa slúžia ako vodítko znalosti proporcií, perspektívy, mechaniky alebo fyziky vo všeobecnosti. z ktorých majú spoločného vodcu, je dôvod.“

ZLATÝ POMER V HUDBE

Akékoľvek hudobné dielo má časové rozpätie a je rozdelené do niektorých „estetických míľnikov“ na samostatné časti, ktoré priťahujú pozornosť a uľahčujú vnímanie ako celku. Tieto míľniky môžu byť dynamickými a intonačnými vrcholmi hudobného diela. Samostatné časové intervaly hudobného diela spojené „vrcholnou udalosťou“ sú spravidla v pomere Zlatého rezu.

V roku 1925 umelecký kritik L.L. Sabaneev po analýze 1770 skladieb od 42 autorov ukázal, že veľkú väčšinu vynikajúcich diel možno ľahko rozdeliť na časti podľa témy, intonácie alebo modálneho systému, ktoré sú vo vzťahu k zlatému rezu. Navyše, čím talentovanejší skladateľ, tým viac zlatých rezov sa v jeho dielach našlo. Zlatý rez podľa Sabaneeva vedie k dojmu zvláštnej harmónie hudobnej kompozície. Tento výsledok overil Sabaneev na všetkých 27 Chopinových etudách. Našiel v nich 178 zlatých rezov. Zároveň sa ukázalo, že nielen veľké časti etúd sú rozdelené podľa trvania vo vzťahu k zlatému rezu, ale časti etúd vo vnútri sú často rozdelené v rovnakom pomere.

Skladateľ a vedec M.A. Marutaev spočítal počet taktov v slávnej sonáte Appassionata a našiel množstvo zaujímavých číselných vzťahov. Najmä vo vývoji, ústrednej štruktúrnej jednotke sonáty, kde sa intenzívne rozvíjajú témy a vzájomne sa nahrádzajú tóniny, sú dve hlavné časti. V prvom - 43,25 cykloch, v druhom - 26,75. Pomer 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 dáva zlatý rez.

Najväčší počet diel, v ktorých je Zlatý rez majú Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Chopin (92 %), Schubert (91 %).

Ak je hudba harmonickým usporiadaním zvukov, potom poézia je harmonickým usporiadaním reči. Jasný rytmus, pravidelné striedanie prízvučných a neprízvučných slabík, usporiadaná dimenzionalita básní, ich emocionálna nasýtenosť robia z poézie sestru hudobných diel. Zlatý rez v poézii sa prejavuje predovšetkým ako prítomnosť určitého momentu básne (vrchol, sémantický zlom, hlavná myšlienka diela) v línii, ktorú možno pripísať deliacemu bodu celkového počtu riadkov básne. v zlatom reze. Ak teda báseň obsahuje 100 riadkov, potom prvý bod zlatého pomeru pripadá na 62. riadok (62%), druhý - na 38. (38%) atď. Diela Alexandra Sergejeviča Puškina, vrátane „Eugena Onegina“, sú najlepšou korešpondenciou so zlatým rezom! Diela Shota Rustaveliho a M.Yu. Lermontov sú tiež postavené na princípe Zlatého rezu.

Stradivari napísal, že použil zlatý rez na určenie umiestnení zárezov v tvare písmena F na telách svojich slávnych huslí.

ZLATÝ ODDIEL V POÉZII

Štúdie básnických diel z týchto polôh sa ešte len začínajú. A treba začať s poéziou A.S. Puškin. Koniec koncov, jeho diela sú príkladom najvýznamnejších výtvorov ruskej kultúry, príkladom najvyššej úrovne harmónie. Z poézie A.S. Puškina, začneme hľadať zlatý rez - mieru harmónie a krásy.

V štruktúre poetických diel je táto forma umenia spojená s hudbou. Jasný rytmus, pravidelné striedanie prízvučných a neprízvučných slabík, usporiadaná dimenzionalita básní, ich emocionálna nasýtenosť robia z poézie sestru hudobných diel. Každý verš má svoju hudobnú formu, svoj rytmus a melódiu. Dá sa očakávať, že v štruktúre básní sa objavia niektoré črty hudobných diel, vzory hudobnej harmónie a následne aj zlatý rez.

Začnime veľkosťou básne, teda počtom riadkov v nej. Zdalo by sa, že tento parameter básne sa môže ľubovoľne meniť. Ukázalo sa však, že to tak nie je. Napríklad rozbor básní A.S. Puškin ukázal, že veľkosti veršov sú rozdelené veľmi nerovnomerne; ukázalo sa, že Pushkin jednoznačne preferuje veľkosti 5, 8, 13, 21 a 34 riadkov (Fibonacciho čísla).

Mnohí výskumníci si všimli, že básne sú ako hudobné skladby; majú aj vrcholné body, ktoré rozdeľujú báseň v pomere k zlatému rezu. Zoberme si napríklad báseň A.S. Puškin "obuvník":

Poďme analyzovať toto podobenstvo. Báseň pozostáva z 13 riadkov. Zvýrazňuje dve sémantické časti: prvú v 8 riadkoch a druhú (morálku podobenstva) v 5 riadkoch (13, 8, 5 sú Fibonacciho čísla).

Jedna z posledných Puškinových básní „Nevážim si práva na vysoký profil ...“ pozostáva z 21 riadkov a rozlišujú sa v ňom dve sémantické časti: v 13 a 8 riadkoch:

Je príznačné, že prvá časť tohto verša (13 riadkov) je z hľadiska sémantického obsahu rozdelená na 8 a 5 riadkov, čiže celá báseň je postavená podľa zákonov zlatého rezu.

Nepochybne zaujímavá je analýza románu „Eugene Onegin“ od N. Vasyutinského. Tento román pozostáva z 8 kapitol, pričom každá má v priemere asi 50 veršov. Najdokonalejšia, najprepracovanejšia a emocionálne bohatá je ôsma kapitola. Má 51 veršov. Spolu s Jevgenijovým listom Taťáne (60 riadkov) to presne zodpovedá Fibonacciho číslu 55!

N. Vasyutinsky uvádza: „Vyvrcholením kapitoly je Evgenyho vyznanie lásky k Tatyane - riadok „Bledie a bledne ... to je blaženosť! Tento riadok rozdeľuje celú ôsmu kapitolu na dve časti: prvá má 477 riadkov a druhá 295 riadkov. Ich pomer je 1,617! Najjemnejšia korešpondencia s hodnotou zlatého rezu! Toto je veľký zázrak harmónie, ktorý dosiahol génius Puškina!

E. Rosenov analyzoval mnohé poetické diela M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstého a objavil v nich aj „zlatý rez“.

Slávna Lermontovova báseň „Borodino“ je rozdelená na dve časti: úvod adresovaný rozprávačovi, ktorý zaberá iba jednu strofu („Povedz mi, strýko, nie je to bez dôvodu ...“) a hlavnú časť, ktorá predstavuje nezávislý celok, ktorý je rozdelený na dve rovnocenné časti. Prvý z nich opisuje s narastajúcim napätím očakávanie bitky, druhý popisuje bitku samotnú s postupným znižovaním napätia ku koncu básne. Hranica medzi týmito časťami je vrcholom diela a spadá presne do bodu, v ktorom ho delí zlatý rez.

Hlavná časť básne pozostáva z 13 siedmich riadkov, teda 91 riadkov. Vydelením zlatým rezom (91:1,618=56,238) dbáme na to, aby bod rozdelenia bol na začiatku 57. verša, kde je krátka veta: "No, to bol deň!" Práve táto fráza predstavuje „kulminačný bod vzrušeného očakávania“, ktorý završuje prvú časť básne (očakávanie bitky) a otvára jej druhú časť (opis bitky).

Zlatý rez teda hrá v poézii veľmi významnú úlohu a zdôrazňuje vrchol básne.

Mnohí bádatelia básne Shota Rustaveliho „Rytier v koži pantera“ si všímajú výnimočnú harmóniu a melodiku jeho verša. Tieto vlastnosti básne Gruzínsky vedec, akademik G.V. Tsereteli to pripisuje vedomému využívaniu zlatého rezu básnikkou tak pri formovaní formy básne, ako aj pri výstavbe jej básní.

Rustaveliho báseň pozostáva z 1587 strof, z ktorých každá pozostáva zo štyroch riadkov. Každý riadok pozostáva zo 16 slabík a je rozdelený na dve rovnaké časti po 8 slabík v každej polrade. Všetky hemistichy sú rozdelené do dvoch segmentov dvoch typov: A - hemistich s rovnakými segmentmi a párnym počtom slabík (4 + 4); B je polpriamka s asymetrickým rozdelením na dve nerovnaké časti (5+3 alebo 3+5). V polovičnej čiare B sú teda pomery 3:5:8, čo je aproximácia zlatého rezu.

Zistilo sa, že z 1587 strof v Rustaveliho básni je viac ako polovica (863) postavená podľa princípu zlatého rezu.

V našej dobe sa zrodil nový druh umenia - kino, ktoré absorbovalo dramaturgiu akcie, maľby, hudby. Je legitímne hľadať prejavy zlatého rezu vo výnimočných kinematografických dielach. Prvým, kto to urobil, bol tvorca majstrovského diela svetovej kinematografie „Bojová loď Potemkin“, filmový režisér Sergej Ejzenštejn. Pri konštrukcii tohto obrazu sa mu podarilo stelesniť základný princíp harmónie - zlatý rez. Ako sám Ejzenštejn poznamenáva, červená vlajka na stožiari povstaleckej bojovej lode (bod vrcholného vrcholu filmu) veje v bode zlatého rezu, počítaného od konca filmu.

ZLATÝ POMER V PÍSMENÁCH A PREDMETOCH DO DOMÁCNOSTI

Osobitným druhom výtvarného umenia starovekého Grécka by mala byť výroba a maľovanie všetkých druhov nádob. V elegantnej forme sú proporcie zlatého rezu ľahko uhádnuteľné.

V maľbe a sochárstve chrámov, na domácich predmetoch, starovekí Egypťania najčastejšie zobrazovali bohov a faraónov. Ustanovili sa kánony obrazu stojacej osoby, chôdze, sedenia atď. Umelci si museli zapamätať jednotlivé formy a schémy obrázkov z tabuliek a ukážok. Starovekí grécki umelci podnikli špeciálne cesty do Egypta, aby sa naučili používať kánon.

OPTIMÁLNE FYZIKÁLNE PARAMETRE VONKAJŠIEHO PROSTREDIA

Je známe, že max hlasitosť zvuku, ktorý spôsobuje bolesť, sa rovná 130 decibelom. Ak tento interval vydelíme zlatým rezom 1,618, dostaneme 80 decibelov, ktoré sú typické pre hlasitosť ľudského kriku. Ak teraz vydelíme 80 decibelov zlatým rezom, dostaneme 50 decibelov, čo zodpovedá hlasitosti ľudskej reči. Nakoniec, ak vydelíme 50 decibelov druhou mocninou zlatého rezu 2,618, dostaneme 20 decibelov, čo zodpovedá ľudskému šepotu. Tak sú všetky charakteristické parametre hlasitosti zvuku prepojené cez zlatý rez.

Pri teplote 18-20 0 C interval vlhkosť 40-60% sa považuje za optimálne. Hranice optimálneho rozsahu vlhkosti možno získať, ak sa absolútna vlhkosť 100 % vydelí dvakrát zlatým rezom: 100 / 2,618 = 38,2 % (dolná hranica); 100/1,618=61,8 % (horná hranica).

o tlak vzduchu 0,5 MPa, človek zažíva nepohodlie, jeho fyzická a psychická aktivita sa zhoršuje. Pri tlaku 0,3-0,35 MPa je povolená len krátkodobá prevádzka a pri tlaku 0,2 MPa sa nechá pracovať najviac 8 minút. Všetky tieto charakteristické parametre sú vzájomne prepojené zlatým rezom: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Hraničné parametre vonkajšia teplota, v rámci ktorej je možná normálna existencia (a hlavne pôvod) človeka, je teplotný rozsah od 0 do + (57-58) 0 C. Je zrejmé, že prvú hranicu vysvetlení možno vynechať.

Naznačený rozsah kladných teplôt delíme zlatým rezom. V tomto prípade získame dve hranice (obe hranice sú teploty charakteristické pre ľudské telo): prvá zodpovedá teplote, druhá hranica zodpovedá maximálnej možnej teplote vonkajšieho vzduchu pre ľudské telo.

ZLATÝ REZER V MAĽBE

Už v renesancii umelci zistili, že každý obraz má určité body, ktoré mimovoľne priťahujú našu pozornosť, takzvané vizuálne centrá. V tomto prípade nezáleží na tom, aký formát má obrázok horizontálny alebo vertikálny. Takéto body sú len štyri a nachádzajú sa vo vzdialenosti 3/8 a 5/8 od zodpovedajúcich okrajov roviny.

Tento objav medzi umelcami tej doby sa nazýval „zlatá časť“ obrazu.

Keď sa pozrieme na príklady „zlatého rezu“ v maľbe, nemožno zastaviť svoju pozornosť na diele Leonarda da Vinciho. Jeho identita je jednou z tajomstiev histórie. Sám Leonardo da Vinci povedal: "Nech sa nikto, kto nie je matematik, neodváži čítať moje diela."

Slávu si získal ako neprekonateľný umelec, veľký vedec, génius, ktorý predvídal mnohé vynálezy, ktoré boli implementované až v 20. storočí.

Niet pochýb o tom, že Leonardo da Vinci bol veľkým umelcom, jeho súčasníci to už poznali, ale jeho osobnosť a aktivity zostanú zahalené rúškom tajomstva, pretože potomkom nezanechal súvislú prezentáciu svojich myšlienok, ale iba početné ručne písané náčrty, poznámky. ktoré hovoria „obaja všetko na svete“.

Písal sprava doľava nečitateľným rukopisom a ľavou rukou. Toto je najznámejší príklad zrkadlového písania.

Portrét Monny Lisy (La Gioconda) už mnoho rokov priťahuje pozornosť výskumníkov, ktorí zistili, že kompozícia kresby je založená na zlatých trojuholníkoch, ktoré sú súčasťou pravidelného päťuholníka hviezdy. Existuje veľa verzií o histórii tohto portrétu. Tu je jeden z nich.

Raz dostal Leonardo da Vinci zákazku od bankára Francesca del Giocondo namaľovať portrét mladej ženy, bankárovej manželky Monny Lisy. Žena nebola krásna, ale zaujala jednoduchosťou a prirodzenosťou jej vzhľadu. Leonardo súhlasil s namaľovaním portrétu. Jeho model bol smutný a smutný, ale Leonardo jej povedal rozprávku, po vypočutí sa stala živou a zaujímavou.

ROZPRÁVKA. Bol raz jeden chudobný muž, mal štyroch synov: troch šikovných a jedného tak a tak. A potom prišla smrť pre otca. Predtým, ako sa rozlúčil so svojím životom, zavolal k sebe svoje deti a povedal: „Synovia moji, čoskoro zomriem. Len čo ma pochováš, zamkni chatrč a choď na kraj sveta zarobiť si vlastné bohatstvo. Nech sa každý z vás niečo naučí, aby ste sa mohli živiť.“ Otec zomrel a synovia sa rozišli po svete a súhlasili, že sa o tri roky neskôr vrátia na lúku svojho rodného hája. Prišiel prvý brat, ktorý sa vyučil tesárom, vyrúbal strom a vyrúbal, urobil z neho ženu, trochu sa vzdialil a čaká. Druhý brat sa vrátil, uvidel drevenicu a keďže bol krajčír, za minútu ju obliekol: ako zručný remeselník jej ušil krásne hodvábne šaty. Tretí syn ozdobil ženu zlatom a drahými kameňmi – bol predsa klenotník. Nakoniec prišiel štvrtý brat. Nevedel tesať a šiť, vedel len počúvať, čo hovorí zem, stromy, byliny, zvieratá a vtáky, poznal chod nebeských telies a vedel aj spievať nádherné piesne. Zaspieval pieseň, ktorá rozplakala bratov schovaných za kríkmi. Touto piesňou ženu oživil, usmiala sa a povzdychla si. Bratia sa k nej vrhli a každý kričal to isté: "Musíš byť moja žena." Ale žena odpovedala: „Stvoril si ma - buď mojím otcom. Obliekli ste ma a ozdobili ste ma - buďte moji bratia. A ty, ktorý si mi vdýchol dušu a naučil si ma užívať si život, potrebujem k životu samého.

Po dokončení príbehu sa Leonardo pozrel na Monnu Lisu, jej tvár sa rozžiarila svetlom a oči jej žiarili. Potom, akoby sa prebudila zo sna, vzdychla si, prešla si rukou po tvári a bez slova odišla na svoje miesto, založila si ruky a zaujala obvyklý postoj. Ale skutok sa stal - umelec prebudil ľahostajnú sochu; úsmev blaženosti, ktorý sa jej pomaly vytrácal z tváre, zostal v kútikoch úst a triasol sa, dodávajúc jej tvári úžasný, tajomný a mierne úlisný výraz, aký má človek, ktorý sa naučil tajomstvo a keď ho starostlivo uchováva, nedokáže obmedziť jeho triumf. Leonardo pracoval v tichosti, bál sa premeškať túto chvíľu, tento lúč slnka, ktorý osvetľoval jeho nudný model...

Je ťažké si všimnúť, čo bolo zaznamenané v tomto majstrovskom umeleckom diele, ale všetci hovorili o Leonardových hlbokých znalostiach štruktúry ľudského tela, vďaka ktorým sa mu podarilo zachytiť tento, akoby tajomný úsmev. Hovorili o výraznosti jednotlivých častí obrazu a o krajine, ktorá je nebývalým spoločníkom portrétu. Hovorili o prirodzenosti prejavu, jednoduchosti pózy, kráse rúk. Umelec urobil niečo nevídané: obraz zobrazuje vzduch, zahaľuje postavu priehľadným oparom. Napriek úspechu bol Leonardo pochmúrny, situácia vo Florencii sa umelcovi zdala bolestivá, pripravil sa na cestu. Nepomohli mu ani pripomienky povodňových príkazov.

Zlatý rez na obrázku I.I. Shishkin "Borovicový háj". Na tomto slávnom obraze I.I. Shishkin, motívy zlatého rezu sú jasne viditeľné. Jasne osvetlená borovica (stojaci v popredí) rozdeľuje dĺžku obrazu podľa zlatého rezu. Napravo od borovice je kopec osvetlený slnkom. Rozdeľuje pravú stranu obrazu horizontálne podľa zlatého rezu. Naľavo od hlavnej borovice je veľa borovíc - ak chcete, môžete úspešne pokračovať v delení obrázka podľa zlatého rezu a ďalej.

borovicový háj

Prítomnosť jasných vertikál a horizontál, ktoré ho rozdeľujú vo vzťahu k zlatému rezu, mu dodáva charakter rovnováhy a pokoja v súlade s umelcovým zámerom. Keď je zámer umelca iný, ak povedzme vytvorí obraz s rýchlo sa rozvíjajúcou akciou, takáto geometrická schéma kompozície (s prevahou vertikál a horizontál) sa stáva neprijateľnou.

IN AND. Surikov. "Boyar Morozova"

Jej úloha je priradená k strednej časti obrazu. Je viazaný bodom najvyššieho vzostupu a bodom najnižšieho poklesu zápletky obrázku: vzostup ruky Morozovej so znakom kríža s dvoma prstami, ako najvyšší bod; bezmocne natiahnutú ruku k tej istej šľachtičnej, no tentoraz ruku starenky – úbohého tuláka, ruku, spod ktorej sa spolu s poslednou nádejou na záchranu vyšmykne aj koniec sánky.

A čo ten „najvyšší bod“? Na prvý pohľad tu vidíme zdanlivý rozpor: veď rez A 1 B 1, ktorý je 0,618 ... od pravého okraja obrazu, neprejde rukou, ani cez hlavu či oko. šľachtičná, ale ukáže sa, že je niekde pred ústami šľachtičnej.

Zlatý rez tu naozaj seká v tom najdôležitejšom. V ňom a práve v ňom je najväčšia sila Morozova.

Niet poetickejšieho obrazu ako mal Sandro Botticelli a veľký Sandro nemá žiadny slávnejší obraz ako jeho Venuša. Pre Botticelliho je jeho Venuša stelesnením myšlienky univerzálnej harmónie „zlatého rezu“, ktorý prevláda v prírode. Presviedča nás o tom proporcionálna analýza Venuše.

Venuša

Raphaela „Aténska škola“. Raphael nebol matematik, ale ako mnohí umelci tej doby mal značné znalosti o geometrii. Na slávnej freske „Aténska škola“, kde sa v chráme vedy koná spoločnosť veľkých filozofov staroveku, našu pozornosť priťahuje skupina Euklida, najväčšieho starovekého gréckeho matematika, ktorý analyzuje komplexnú kresbu.

Dômyselná kombinácia dvoch trojuholníkov je tiež postavená v súlade so zlatým rezom: dá sa vpísať do obdĺžnika s pomerom strán 5/8. Tento výkres sa prekvapivo ľahko vkladá do hornej časti architektúry. Horný roh trojuholníka sa opiera o základný kameň oblúka v oblasti najbližšie k divákovi, spodný roh - v úbežnom bode perspektív a bočná časť označuje proporcie priestorovej medzery medzi dvoma časťami oblúkov. .

Zlatá špirála na Raphaelovom obraze "Masaker nevinných". Na rozdiel od zlatého rezu je pocit dynamiky, vzrušenia azda najvýraznejší v inom jednoduchom geometrickom útvare – špirále. Viacfigurálna kompozícia, ktorú vytvoril v rokoch 1509 - 1510 Raphael, keď slávny maliar vytvoril svoje fresky vo Vatikáne, sa vyznačuje práve dynamikou a dramatickosťou deja. Rafael svoj nápad nikdy nedotiahol do konca, ale jeho skicu vyryl neznámy taliansky grafik Marcantinio Raimondi, ktorý na základe tejto skice vytvoril rytinu Masaker nevinných.

Masaker nevinných

Ak sa na Rafaelovom prípravnom náčrte v duchu nakreslí čiary vybiehajúce zo sémantického stredu kompozície - body, kde sa prsty bojovníka zovreli okolo členku dieťaťa, pozdĺž postáv dieťaťa, ženy, ktorá ho zviera k sebe, bojovníka s zdvihnutý meč a potom pozdĺž postáv tej istej skupiny na pravej strane náčrtu (na obrázku sú tieto čiary nakreslené červenou farbou) a potom tieto časti krivky spojte bodkovanou čiarou, potom sa získa zlatá špirála veľmi vysoká presnosť. Dá sa to skontrolovať meraním pomeru dĺžok segmentov odrezaných špirálou na priamkach prechádzajúcich začiatkom krivky.

ZLATÝ POMER A VNÍMANIE OBRAZU

Schopnosť ľudského vizuálneho analyzátora rozlíšiť objekty postavené podľa algoritmu zlatého rezu ako krásne, atraktívne a harmonické je už dlho známa. Zlatý rez dáva pocit najdokonalejšieho jednotného celku. Formát mnohých kníh sa riadi zlatým rezom. Vyberá sa na okná, obrazy a obálky, známky, vizitky. Človek nemusí vedieť nič o čísle Ф, ale v štruktúre objektov, ako aj v slede udalostí, podvedome nachádza prvky zlatého rezu.

Boli uskutočnené štúdie, v ktorých boli subjekty požiadané, aby vybrali a skopírovali obdĺžniky rôznych rozmerov. Na výber boli tri obdĺžniky: štvorec (40:40 mm), obdĺžnik so „zlatým rezom“ s pomerom strán 1:1,62 (31:50 mm) a obdĺžnik s predĺženými pomermi 1:2,31 (26: 60 mm).

Pri výbere obdĺžnikov v normálnom stave sa v 1/2 prípadoch uprednostňuje štvorec. Pravá hemisféra uprednostňuje zlatý rez a odmieta predĺžený obdĺžnik. Naopak, ľavá hemisféra gravituje smerom k predĺženým rozmerom a odmieta zlatý rez.

Pri kopírovaní týchto obdĺžnikov sa pozorovalo nasledovné: keď bola aktívna pravá hemisféra, proporcie v kópiách boli zachované najpresnejšie; keď bola ľavá hemisféra aktívna, proporcie všetkých obdĺžnikov boli skreslené, obdĺžniky boli natiahnuté (štvorec bol nakreslený ako obdĺžnik s pomerom strán 1:1,2; proporcie natiahnutého obdĺžnika sa prudko zväčšili a dosiahli 1:2,8 ). Najsilnejšie boli skreslené proporcie „zlatého“ obdĺžnika; jeho proporcie v kópiách sa stali proporciami obdĺžnika 1:2,08.

Pri kreslení vlastných kresieb prevládajú proporcie blízke zlatému rezu a predĺžené. V priemere sú pomery 1:2, pričom pravá hemisféra uprednostňuje proporcie zlatého rezu, ľavá sa vzďaľuje od proporcií zlatého rezu a rozťahuje vzor.

Teraz nakreslite niekoľko obdĺžnikov, zmerajte ich strany a nájdite pomer strán. Akú máte hemisféru?

ZLATÝ POMER VO FOTOGRAFII

Príkladom využitia zlatého rezu vo fotografii je umiestnenie kľúčových komponentov rámu v bodoch, ktoré sa nachádzajú 3/8 a 5/8 od okrajov rámu. Dá sa to ilustrovať na nasledujúcom príklade: fotografia mačky, ktorá je umiestnená na ľubovoľnom mieste v ráme.

Teraz podmienečne rozdeľme rám na segmenty v pomere 1,62 z celkovej dĺžky z každej strany rámu. Na priesečníku segmentov budú hlavné "vizuálne centrá", do ktorých sa oplatí umiestniť potrebné kľúčové prvky obrazu. Presuňme našu mačku do bodov „vizuálnych centier“.

ZLATÝ POMER A PRIESTOR

Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm z 18. storočia, pomocou tejto série našiel pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy.

Avšak jeden prípad, ktorý sa zdal byť v rozpore so zákonom: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Sústredené pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objavu pásu asteroidov. Stalo sa tak po smrti Titia na začiatku 19. storočia. Fibonacciho séria je široko používaná: s jej pomocou predstavuje architektúru živých bytostí a umelých štruktúr a štruktúru galaxií. Uvedené skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselného radu od podmienok jeho prejavu, čo je jedným zo znakov jeho univerzálnosti.

Dve zlaté špirály galaxie sú kompatibilné s Dávidovou hviezdou.

Venujte pozornosť hviezdam, ktoré vychádzajú z galaxie v bielej špirále. Presne 180 0 z jednej špirály vychádza ďalšia rozvíjajúca sa špirála... Po dlhú dobu astronómovia jednoducho verili, že všetko, čo tam je, je to, čo vidíme; ak je niečo viditeľné, tak to existuje. Neviditeľnú časť Reality si buď vôbec nevšimli, alebo ju nepovažovali za dôležitú. Ale neviditeľná strana našej Reality je v skutočnosti oveľa väčšia ako viditeľná strana a pravdepodobne dôležitejšia... Inými slovami, viditeľná časť Reality je oveľa menej ako jedno percento celku – takmer nič. V skutočnosti je naším skutočným domovom neviditeľný vesmír...

Vo vesmíre existujú všetky ľudstvu známe galaxie a všetky telesá v nich vo forme špirály, ktorá zodpovedá vzorcu zlatého rezu. V špirále našej galaxie leží zlatý rez

ZÁVER

Príroda, chápaná ako celý svet v rozmanitosti svojich foriem, pozostáva akoby z dvoch častí: živej a neživej prírody. Výtvory neživej prírody sa vyznačujú vysokou stabilitou, nízkou variabilitou, súdiac podľa mierky ľudského života. Človek sa narodí, žije, starne, umiera, no žulové hory zostávajú rovnaké a planéty sa točia okolo Slnka rovnako ako za čias Pytagora.

Svet divokej prírody sa pred nami objavuje úplne iný - mobilný, premenlivý a prekvapivo rozmanitý. Život nám ukazuje fantastický karneval rozmanitosti a originality kreatívnych kombinácií! Svet neživej prírody je predovšetkým svetom symetrie, ktorá dáva jeho výtvorom stabilitu a krásu. Svet prírody je predovšetkým svetom harmónie, v ktorom funguje „zákon zlatého rezu“.

V modernom svete má veda osobitný význam kvôli zvýšenému vplyvu človeka na prírodu. Dôležitými úlohami v súčasnej etape je hľadanie nových spôsobov spolužitia človeka a prírody, štúdium filozofických, sociálnych, ekonomických, vzdelávacích a iných problémov, ktorým spoločnosť čelí.

V tomto príspevku sa zaoberal vplyvom vlastností „zlatého rezu“ na živú a neživú prírodu, na historický priebeh vývoja dejín ľudstva a planéty ako celku. Pri analýze všetkého vyššie uvedeného možno opäť žasnúť nad vznešenosťou procesu poznávania sveta, objavovaním jeho stále nových vzorcov a dospieť k záveru: princíp zlatého rezu je najvyšším prejavom štrukturálnej a funkčnej dokonalosti sveta. celok a jeho časti v umení, vede, technike a prírode. Dá sa očakávať, že zákonitosti vývoja rôznych systémov prírody, zákony rastu, nie sú veľmi rôznorodé a možno ich vysledovať v najrozmanitejších formáciách. Toto je prejav jednoty prírody. Myšlienka takejto jednoty, založená na prejave rovnakých vzorov v heterogénnych prírodných javoch, si zachovala svoj význam od Pytagora až do súčasnosti.

Esej dokončila študentka 8. ročníka gymnázia MOU č. 9 Vyushina Veronika

Jekaterinburg

1. Úvod. Podiel zlatého rezu. F a φ.

"Geometria má dva veľké poklady. Prvým je Pytagorova veta, druhým je delenie segmentu v extrémnom a priemernom pomere."

Johannes Kepler

Pravidelné mnohouholníky priťahovali pozornosť starovekých gréckych vedcov dávno pred Archimedom. Pythagorejci, ktorí si zvolili pentagram - päťcípu hviezdu ako znak svojho zväzku, prikladali veľký význam problému rozdelenia kruhu na rovnaké časti, teda vybudovania pravidelného vpísaného mnohouholníka. Albrecht Dürer (1471-1527), ktorý sa stal zosobnením renesancie v Nemecku, uvádza teoreticky presnú metódu konštrukcie pravidelného päťuholníka, vypožičanú z Ptolemaiovho veľkého diela „Almagest“.

Durerov záujem o stavbu pravidelných mnohouholníkov odráža ich využitie v stredoveku v arabských a gotických ornamentoch a po vynájdení strelných zbraní aj v usporiadaní pevností.

Stredoveké metódy konštrukcie pravidelných mnohouholníkov boli približné, ale boli (alebo nemohli byť) jednoduché: uprednostňovali sa metódy konštrukcie, ktoré si nevyžadovali ani zmenu riešenia kružidla. Leonardo da Vinci tiež veľa písal o polygónoch, ale bol to Dürer, nie Leonardo, kto odovzdal stredoveké stavebné metódy potomkom. Dürer, samozrejme, poznal Euklidove „Princípy“, ale do svojho „Sprievodcu meraním“ (o konštrukciách s kružidlom a pravítkom) nezahrnul Euklidovu metódu na zostrojenie pravidelného päťuholníka, teoreticky presnú, ako všetky euklidovské. stavby. Euklides sa nepokúša rozdeliť daný kruhový oblúk na tri rovnaké časti a Dürer vedel, hoci dôkaz sa našiel až v 19. storočí, že tento problém je neriešiteľný.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka navrhovaná Euklidom zahŕňa rozdelenie priameho segmentu v strednom a krajnom pomere, ktorý bol neskôr nazývaný zlatý rez a priťahoval pozornosť umelcov a architektov na niekoľko storočí.

Bod B rozdeľuje úsečku ABE v strednom a krajnom pomere alebo tvorí zlatý rez, ak sa pomer väčšej časti úsečky k menšej rovná pomeru celého úsečky k väčšej časti.

Zlatý rez, napísaný ako rovnosť pomerov, má tvar

AB/BE = AB/AE

Ak dáme AB=a a BE=a/F tak, aby sa zlatý rez rovnal AB/BE=F, dostaneme pomer

To znamená, že F spĺňa rovnicu

Táto rovnica má jeden kladný koreň

Ф=(√5+1)/2=1,618034….

Všimnite si, že 1/Ф = (√5 -1)/2, keďže (√5-1)(√5+1) =5-1=4. Je obvyklé považovať φ=0,618034… za 1/Ф.

Ф a φ - veľké a malé formy gréckeho písmena "phi".

Toto označenie bolo prijaté na počesť starovekého gréckeho sochára Phidiasa (5. storočie pred n. l.) Phidias dohliadal na stavbu chrámu Parthenon v Aténach. V proporciách tohto chrámu sa opakovane vyskytuje číslo φ.

2.História zlatého rezu

Všeobecne sa uznáva, že koncept zlatého rozdelenia zaviedol do vedeckého používania Pytagoras, staroveký grécky filozof a matematik (VI. storočie pred Kristom). Existuje predpoklad, že Pytagoras si požičal svoje znalosti o zlatom rozdelení od Egypťanov a Babylončanov. Proporcie Cheopsovej pyramídy, chrámov, basreliéfov, domácich potrieb a dekorácií z hrobky Tutanchamona skutočne naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramesseho proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira, zobrazený na reliéfe drevenej dosky z hrobky svojho mena, drží v rukách meracie prístroje, v ktorých sú upevnené proporcie zlatého delenia.

O zlatom delení vedel aj Platón (427...347 pred Kr.). Jeho dialóg „Timaeus“ je venovaný matematickým a estetickým názorom Pytagoriovej školy a najmä otázkam zlatej divízie.

Parthenon má 8 stĺpov na krátkych stranách a 17 na dlhých. Pomer výšky budovy k jej dĺžke je 0,618. Ak Parthenon rozdelíme podľa „zlatého rezu“, získame určité výstupky fasády. Pri jeho vykopávkach sa našli kompasy, ktoré používali architekti a sochári starovekého sveta. Pompejský kompas (Múzeum v Neapole) obsahuje aj proporcie zlatého delenia.

V starovekej literatúre, ktorá sa k nám dostala, bola zlatá divízia prvýkrát spomenutá v „Začiatkoch“ Euklida. V 2. knihe „Začiatkov“ je uvedená geometrická konštrukcia zlatého delenia. Po Euklidovi skúmali zlaté delenie Hypsikles (2. storočie pred n. l.), Pappus (3. storočie n. l.) a ďalší, v stredovekej Európe sa zoznámili so zlatým delením z arabských prekladov Euklidových „Počiatkov“. K prekladu sa vyjadril prekladateľ J. Campano z Navarry (3. storočie). Tajomstvá zlatej divízie boli žiarlivo strážené, držané v prísnej tajnosti. Poznali ich len zasvätení.

V období renesancie vzrástol záujem o zlaté delenie medzi vedcami a umelcami v súvislosti s jeho využitím, tak v geometrii, ako aj v umení, najmä v architektúre. Leonardo da Vinci, umelec a vedec, videl, že v talianskych umelcoch sú veľké empirické skúsenosti, no chýbajú vedomosti. Otehotnel a začal písať knihu o geometrii, no v tom čase sa objavila kniha mnícha Lucu Pacioliho a Leonardo svoj nápad opustil. Podľa súčasníkov a historikov vedy bol Luca Pacioli skutočným majstrom, najväčším matematikom v Taliansku medzi Fibonaccim a Galileom.

Luca Pacioli si dobre uvedomoval dôležitosť vedy pre umenie. V roku 1496 prišiel na pozvanie vojvodu z Moreau do Milána, kde prednášal matematiku. Leonardo da Vinci v tom čase pôsobil aj na súde Moro v Miláne. V roku 1509 vyšla v Benátkach kniha Luca Pacioliho Božská proporcia s brilantne prevedenými ilustráciami, a preto sa verí, že ich vytvoril Leonardo da Vinci. Kniha bola nadšeným chválospevom na zlatý rez. Medzi mnohými výhodami zlatého rezu mních Luca Pacioli nezabudol pomenovať jeho „božskú podstatu“ ako vyjadrenie božskej trojice: Boh syn, Boh otec a Boh svätý duch (rozumelo sa, že malý segment je zosobnením Boha syna, väčší segment - boha svätého ducha).

Leonardo da Vinci venoval veľkú pozornosť aj štúdiu zlatej divízie. Vyrobil časti stereometrického telesa tvorené pravidelnými päťuholníkmi a zakaždým získal obdĺžniky s pomermi strán v zlatom delení. Preto dal tejto divízii názov zlatý rez. Takže je stále najobľúbenejší.

V rovnakom čase na severe Európy v Nemecku riešili rovnaké problémy Albrecht Dürer. Načrtáva úvod k prvému návrhu pojednania o proporciách. Dürer píše: "Je potrebné, aby ten, kto niečo vie, to naučil ostatných, ktorí to potrebujú. To je to, čo som si zaumienil."

Súdiac podľa jedného z Dürerových listov sa počas pobytu v Taliansku stretol s Lucom Paciolim. Albrecht Dürer podrobne rozvíja teóriu o proporciách ľudského tela. Dürer pridelil zlatému rezu dôležité miesto vo svojom systéme pomerov. Výška osoby je rozdelená v zlatých proporciách líniou pásu, ako aj líniou vedenou cez končeky prostredných prstov spustených rúk, spodnú časť tváre - ústa atď. Známy proporcionálny kompas Dürer.

Konštrukcia série segmentov zlatého rezu môže byť vykonaná ako v smere nárastu (rastúca séria), tak aj v smere poklesu (zostupná séria).

Ak na priamke ľubovoľnej dĺžky odložíme úsečku m (φ), ďalej odložíme úsečku M. Na základe týchto dvoch úsečiek zostavíme stupnicu úsečiek zlatého podielu vzostupného a zostupného radu.

V nasledujúcich storočiach sa pravidlo zlatého rezu zmenilo na akademický kánon, a keď sa časom v umení začal boj s akademickou rutinou, v zápale boja, „vyhodili dieťa spolu s vodou. " Zlatý rez bol opäť „objavený“ v polovici 19. storočia. V roku 1855 publikoval nemecký výskumník zlatého rezu profesor Zeising svoju prácu „Estetický výskum“. So Zeisingom sa presne to, čo sa stalo, muselo stať výskumníkovi, ktorý tento jav považuje za taký, bez spojenia s inými javmi. Absolutizoval podiel zlatého rezu a vyhlásil ho za univerzálny pre všetky javy prírody a umenia. Zeising mal početných nasledovníkov, ale našli sa aj odporcovia, ktorí jeho doktrínu proporcií vyhlásili za „matematickú estetiku“.

Príklady zlatého rezu v architektúre nájdete všade, keď to viete vidieť. Na to príde aj školák. V roku 2013 uskutočnila žiačka 10. ročníka Elena Sivakova vlastný výskum budov z 19. a 20. storočia. Poďme sledovať, ako to urobila, a naučiť sa, ako to vidieť a identifikovať v architektonických štruktúrach za 5 minút. Po prečítaní článku nezostanú žiadne otázky o tom, čo to je a či jeho nezvyčajné vlastnosti môžu byť použité vo vašom živote.

7+ Príklady zlatého pomeru v ruskej architektúre

St. Petersburg

Budovy historického centra Petrohradu boli postavené v rôznych štýloch, ako je barokový, empírový, eklektický, neobarok, neogotika. Dodržiavajú zlaté pravidlo?

Katedrála svätého Izáka

Túto katedrálu postavil v rokoch 1819 až 1858 dvorný architekt Alexandra I. Auguste Montferrand. Neskorý štýl, v ktorom sa už prejavujú črty neorenesancie a eklektizmu. Elena sa čudovala: "Aký je dôvod harmónie pomerne objemnej budovy?"

Prvý rad je určený šírkou budovy, ktorá sa berie ako 400 jednotiek. a predstavuje také čísla ako 400, 247, 153, 94, 58…

Ak vydelíme 400 číslom ≈1,618, dostaneme približne 247; zopakujte akciu s nasledujúcim číslom: 247: 1,618≈153.

A tak nájdeme všetky čísla. Teraz sa pozrime na obrázok. Hlavná časť so stĺpmi zapadá do obdĺžnika so stranami 400 a 247. Keďže strany sú v pomere Ф≈1,618, tvoria Zlatý obdĺžnik.

Ďalší rad predstavuje výška budovy: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Tieto rozmery sú zabudované do menších detailov. Katedrála svätého Izáka je vertikálne rozdelená Zlatým rezom v spodnej časti kupoly, vďaka čomu je pomer hlavnej časti a kupoly harmonický.

Tretí rad veľkostí začína od 113 a zobrazuje šírku základne hlavnej kupoly: 113, 69, 42, 26, 16. Čísla tejto série sa nachádzajú vo veľkostiach okien, vo výškach stĺpov a ďalšie detaily katedrály.

Zlaté obdĺžnikové a rovnoramenné trojuholníky sa odohrávajú v budove Katedrály svätého Izáka, ako je zrejmé z obrázku.

Kunstkamera

Budova Kunstkamera, založená v roku 1718 pod vedením nemeckého architekta Georga Mattarnoviho, stojí na univerzitnom nábreží Vasilievského ostrova: Petrovský barok, dve 3-poschodové budovy a komplexná viacstupňová kupolová veža.

Štúdia začína hlavnými hodnotami: výškou a dĺžkou budovy, z ktorej je postavený zlatý rad. Dĺžka - 450 jednotiek, potom 277, 170, 105, 65, 40, 24. Takéto rozmery možno vidieť vo výške a šírke rôznych úrovní veže, dĺžke budov. Samotná vežová časť je od základne po vrchol vpísaná do zlatého rovnoramenného trojuholníka. Zlatý rez je vidieť vo väčšej miere práve v tomto hlavnom prvku, čo je z pohľadu architektúry správne. Záver: Základ Kunstkamery dodržiava zlaté pravidlo a zachováva kompozičnú harmóniu.

Nový zlatý rad začína výškou budovy: 211, 130, 80, 49, 30. Pri pohľade na rozmery výkresu je zrejmé, že výber trojpodlažného typu budov je spôsobený proporcionalitou s veža.

Obchodný dom "Esders and Scheifals" na križovatke Moika a Gorokhovaya

Postavený v roku 1907 podľa návrhu Vladimíra Alexandroviča Lipského a Konstantina Nikolajeviča de Rochefort (Rochefort). V roku 1905 požiadali Belgičan S. Esders a Holanďan N. Scheyfals o povolenie postaviť pre svoj obchodný dom namiesto starého päťposchodovú budovu s kupolou a vežou na rohovej veži.

Od stavebnej dĺžky 671 jednotiek. začína séria Golden Ratio, pozorovaná vo veľkostiach: 671, 414, 256, 158, 98, 60, 37, 23. Venujte pozornosť hlavnému prvku - veži. Sme presvedčení, že kompozičné riešenie dotvára harmonická kombinácia výškových hodnôt.

Postavený v roku 1941 podľa projektu Noya Abramoviča Trockého. Budovanie sovietskeho obdobia sa považuje za kreatívnu interpretáciu. Centrálny portikus so štrnástimi stĺpmi dotvára súsošie na tému budovania socializmu a erbu Ruskej sovietskej federatívnej socialistickej republiky.

Päťposchodové budovy sú symetricky umiestnené po stranách. Dĺžka domu dosahuje 1472 jednotiek, z ktorých vydelením číslom F získame množstvo rozmerov stavebných prvkov: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50 (príloha 21): výška konštrukcie, výška vstupu atď.

Horná časť Zlatého rovnoramenného trojuholníka sa zhoduje s hornou časťou budovy a jej strany prechádzajú hornými bodmi hlavného vchodu. Pravouhlý zlatý trojuholník tvoria vrcholy v hornej časti budovy a na konci vnútornej strany bočného krídla. Proporcionalita je zrejmá, hoci nemá veľký kompozičný význam.

Moskva

Moskovská štátna univerzita na Sparrow Hills

Na jeho projekte pracoval tím vedený B.M. Iofanom, ktorý bol neskôr odvolaný z postu hlavného architekta. Príklad povojnovej sovietskej architektúry bol postavený v rokoch 1949 až 1953.

BM Iofan navrhol zloženie piatich komponentov s centrálnou vežou. Počas rokov výstavby to bola najvyššia budova v Európe.

Dĺžka budovy je 1472 jednotiek. a začína séria: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Zlatý rez poslúcha, hlavne výškové rozmery. Zo šírky veže vyplýva ďalší rad: 538, 332, 205, 126, ktorý je viditeľný v zemepisných rozmeroch.

Zlatý pravouhlý trojuholník so svojou preponou prechádza cez roh budovy a zachytáva hospodárske budovy.

Študent tak vo všetkých skúmaných budovách objavil Zlatý rez, ktorý zachováva harmóniu.

5 dodatočných príkladov

Na zjednodušenie úlohy hľadania SP môžete použiť racionálne zlomky 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; a tak ďalej. Vzor je jasný: 3+2 = 5; 5+3=8; 8+5=13… Alebo ešte jednoduchšie. Vyrobte si kompas na určenie pomeru podľa návodu vo videu. Bude to trvať asi 10 minút Bude tiež povedané a znázornené, ako používať tento kompas na určenie proporcionality prvkov.

Pomocou tejto metódy nájdeme zlatý podiel ruského architekta Matveja Kazakova v kremeľskej budove Senátu a vo všetkých ostatných dielach: Prechistensky palác v Moskve, šľachtické zhromaždenie, nemocnica Golitsyn (pomenovaná po Pirogovovi) ...

Paškov dom v Moskve (Ruská štátna knižnica), ktorý vytvoril ďalší veľký architekt Vasilij Ivanovič Bazhenov, je považovaný za príklad dokonalých architektonických pamiatok, v ktorých je ľahké identifikovať ZS.

Hrozný symbol Paríža a zlatého rezu

Keď sa v Paríži montovala kovová Eiffelova veža, mnohí Francúzi boli pobúrení. Kritici o ňom písali ako o „ošklivosti mesta“, „hanbe Paríža“, „štíhlej pyramíde z kovových schodov“. Boli medzi nimi Emile Zola, Dumas Jr., Guy de Maupassant. Teraz je táto najnavštevovanejšia pamiatka pýchou Parížanov. Možno za to môže „božský“ pomer?

Pozoruje sa aj v najznámejšej francúzskej katedrále Notre Dame de Paris.

Celá pravda o starovekých staviteľoch

Intuitívne alebo vedome stavali veľkí architekti budovy s ohľadom na tieto proporcie? Starovekí matematici vedeli o zlatom reze už od čias Pytagorasa. Stále viac sa potvrdzuje jej uplatnenie v architektonických proporciách. Nenašiel sa však ani jeden starodávny záznam s priamym odporúčaním použiť „božský pomer“. Vitruvius (1. storočie pred Kristom), ktorý napísal Desať kníh o architektúre, v ktorých uvažoval aj o proporcionalite, žiadnu nemá. Zvláštny fakt, však?

Možno sú všetky vyššie uvedené štúdie prispôsobením sa známemu výsledku? Vybrať si z rôznych architektonických prvkov tie, ktoré hypotézu potvrdzujú, nie je také ťažké, keďže nikto nevyžaduje absolútnu presnosť. Je logické zamyslieť sa nad otázkou: „Čo ak Gréci NEPOUŽÍVAJÚ zlatý rez?

V skutočnosti pre Lucu Pacioliho, ktorý v roku 1509 napísal dielo „Božská proporcia“, nebola jeho úžitková hodnota taká dôležitá. Bolo dôležité podložiť jej mystickú povahu. A začali to vedome používať až od momentu, keď kniha vyšla.

Tajomstvo starogréckej architektúry

Krásne a harmonické objekty vždy spĺňajú pravidlo AP a táto proporcionalita je určená analýzou magnitúd. Kritici umenia starostlivo študovali grécky Parthenon, postavený na počesť víťazstva nad Peržanmi - chrám bohyne Atény. Pomer dĺžky chrámu k šírke udáva zlaté číslo s malou chybou. Ak od dĺžky konštrukcie odpočítate 14 cm a pridáte k šírke, dostanete úplnú zhodu s matematickou hodnotou. Fasáda budovy sa smerom nahor mierne zužuje, čím sa odchyľuje od pravouhlého tvaru. Vzhľadom na zrakové vnímanie to stavitelia robia vedome. Preto nie je úplne správne považovať ho za obdĺžnik zlatého rezu. Ale proporcie sú dodržané, takže je logické predpokladať, že architekti Iktin a Kallikrates zámerne stanovili pravidlo v projekte?

Mýty a bizarné fakty o pyramíde

Cheopsova pyramída bola tiež postavená s ohľadom na túto podmienku. Bez toho, aby sme zachádzali do matematického dokazovania prítomnosti zlatého vzorca, povieme len, že obsahuje pravouhlý zlatý trojuholník, ktorého strany sú na výšku a polovicu strany základne budovy. Nič prekvapivé?

Potom však vyvstáva otázka o úrovni staroegyptskej matematiky. Ukazuje sa, že Pytagorova veta im bola známa dve tisícročia pred narodením samotného vedca. Upozorňuje sa na to, že Cheopsovi dedičia postavili svoje pyramídy s rôznymi proporciami. prečo?

Zistilo sa, že pyramídové štruktúry s AP majú fenomenálny vplyv na tie v nich: rastliny rastú lepšie, kovy sú pevnejšie, voda zostáva dlho čerstvá. Vedci s týmito hádankami pracujú už mnoho rokov, no záhada zostáva.

Všimli sme si, že pyramída prináša štruktúru priestoru do harmonického stavu. Všetko, čo spadá do zóny pôsobenia, je tiež organizované podobným spôsobom: zlepšuje sa psycho-emocionálny stav ľudí, znižuje sa žiarenie škodlivé pre človeka a miznú geopatogénne zóny. Internet tvrdí, že ak sa veľkosť postavy zdvojnásobí, potom sa vplyv pyramídy zosilní stokrát.

Ako si môžete postaviť „zlatý“ dom pre seba?

Správne rozloženie energií vo vnútri domu, harmonický dizajn v kombinácii s ekológiou a bezpečnosťou stavebných materiálov povzbudzujú moderných architektov a dizajnérov k využívaniu princípov a konceptov Zlatého rezu. To zvyšuje odhad a vytvára dojem hĺbkovej štúdie projektu. Náklady sa zvyšujú o 60-80%.

Pre talentovaných umelcov a architektov zostáva pravidlo počas tvorivého procesu intuitívne. Niektorí z nich však toto ustanovenie vedome implementujú.

V prírode sa takáto proporcionalita nachádza všade. Každý, kto cíti harmóniu priestoru, vytvorí proporčnú stavbu bez zvláštneho úsilia.

Napríklad naši predkovia stavali kaštiele primerané človeku. Merali výšku a dĺžku v sazhenoch, lakťoch, arshinoch, rozpätiach. Namieta niekto, že zlatý rez sa dodržiava v ľudskom tele? Dĺžka paže od končekov prstov po podpazušie súvisí so vzdialenosťou od rovnakého bodu k lakťu, ako je táto hodnota s veľkosťou dlane.

Slávny francúzsky architekt Le Corbusier použil výšku majiteľa ako východiskovú jednotku na výpočet parametrov budúceho domu a interiéru. Všetky jeho diela sú skutočne individuálne a harmonické.

5 spôsobov, ako dodržiavať pravidlo v interiéri

1. V dome postavenom bez zohľadnenia pomeru môžete miestnosti prerobiť tak, aby proporcie zodpovedali.
2. Niekedy stačí prestaviť nábytok alebo urobiť dodatočnú priečku.
3. Podobne sa mení aj výška a dĺžka okien a dverí.
4. Pri farebnom dizajne sa zjednodušený pomer dosiahne vďaka 60 % hlavnej farby, 30 % tieňovaniu a zvyšných 10 % zlepšeniu vnímania tónov.
5. Výška a dĺžka nábytku by mala byť primeraná výške stropov a šírke stien.

Aplikácia tejto normy v architektonicky navrhnutom priestore je kombinovaná s konceptmi sebaorganizácie, rekurzie, asymetrie a krásy.

O zlatom reze jednoduchými slovami

Čo je to? Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené nekonečným iracionálnym zlomkom, ktorého desatinná hodnota sa približne rovná číslu Ф≈1,618 alebo Ф≈1,62. Inými slovami: ak vezmeme celok a rozdelíme ho na dve časti tak, že jedna z nich je 62 % a druhá 38 %, dostaneme Zlatý rez.

Zlatý obdĺžnik: keď delíme dĺžku väčšej strany dĺžkou menšej a dostaneme číslo F. Pri delení menšej väčšou dostaneme prevrátenú hodnotu φ ≈ 0,618.

Zlatý rovnoramenný trojuholník: ak je pomer veľkosti jednej strany a veľkosti podstavy zlaté číslo Ф; uhol medzi rovnakými stranami je 36°.

Keplerov zlatý pravouhlý trojuholník kombinuje Pytagorovu vetu a 3C: pomer druhých mocnín jeho strán je 1,618.

Pozrite si informatívne video na túto tému

Aby ste neprehrali, vezmite si článok do sena na sociálnych sieťach

V praxi sa pri výbere formátu listu (obrázku) často používajú „klasické“ proporcie strán obdĺžnika, v ktorých je pomer menšej strany k väčšej 0,6180339 a väčšej k menšej je 1,6180339. Od staroveku sa tieto čísla nazývali zlaté čísla a pomer množstiev potrebných na ich získanie je známy ako zlatý rez alebo zlatý rez.

Základ doktríny harmónie sveta, vyjadrenej číselne, položil starogrécky matematik Pythagoras (VI. storočie pred Kristom). Zlatý rez prezentoval ako jeden zo zákonov, ktorý matematicky presne určuje najkrajší a najharmonickejší pomer častí celku, rozdelených na dve nerovnaké polovice.

Konštrukcia obdĺžnika je založená na pomere častí segmentu v proporciách zlatého rezu. Pomocou uhlopriečok je rozdelený na jednotlivé časti, v ktorých sa formuje dynamika proporčných obrazcov - štvorec, obdĺžnik, ako aj pravouhlé a rovnoramenné trojuholníky.

Pomocou uhlopriečok teda môžete získať sekvenčný rad zväčšujúcich sa obdĺžnikov s pomerom strán 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, odvodených zo štvorca.

So stranou √4 vznikne obdĺžnik s dvojitým štvorcom. So stranou √3 sa vytvoria dva pravouhlé trojuholníky, v ktorých spoločná prepona je uhlopriečka obdĺžnika, ktorá sa rovná dvojnásobku hodnoty menšej vetvy (tj strany štvorca) a majú ostrú preponu. uhly 30 a 60 stupňov.

Uhlopriečka sa používa aj pri konštrukcii postupne sa zväčšujúcich štvorcov, čím vzniká „dynamický“ vývoj ich veľkosti.

V tejto konštrukcii je strana každého nasledujúceho štvorca spojená so stranou predchádzajúceho, keďže uhlopriečka štvorca je s jeho vlastnou stranou. Tieto transformácie sa niekedy označujú ako "aktívny štvorec".

Geometrický systém dynamických proporcií štvorca, obdĺžnika a trojuholníka bol základom pre tvorbu architektonických štruktúr v ranom období starovekého Egypta. Okrem toho v podmienkach primitívnej techniky architektonickej výstavby v tých vzdialených časoch bolo neustále potrebné obnovovať kolmicu na čiaru, ktorá sa potom vykonávala pomocou lana s 12 uzlami. S použitím takéhoto zariadenia sa získal pravouhlý trojuholník s pomerom strán 3: 4: 5, ktorý sa neskôr stal známym ako egyptský. V súčasnosti sú na jeho základe postavené pravé uhly a na koniec segmentu sú nakreslené kolmice.

Od staroveku sa zlatý rez používal pri vytváraní rôznych obrazov. To prispieva k vytvoreniu harmonických obrazov a vyváženosti proporcií vo všetkom, čo obklopuje. Proporcie zlatého rezu sú prítomné v matematike a najmä v geometrii, vo výtvarnom umení, v každodennom živote a v prírode, v rastlinnom a živočíšnom svete.

Zlatý rez bol široko rozvinutý v matematike. Takže v 16. storočí taliansky vedec Fibonacci zostrojil matematický rad čísel, v ktorom ďalšie číslo určuje súčet predchádzajúcich dvoch - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. , 55 atď. Okrem toho je stanovená ďalšia závislosť týchto čísel, v ktorej je pomer každého nasledujúceho k predchádzajúcemu vyjadrený číslom 1,618 ... a predchádzajúceho k nasledujúcemu - 0,618. V tomto matematickom rade teda vzniká prepojenie čísel, obsahujúce proporcie zlatého rezu.

Obzvlášť často sa zlatý rez používa v geometrii pri delení kruhu na rovnaké časti a konštrukcii pravidelných mnohouholníkov.

V hviezdicovom mnohouholníku - päťcípej hviezde ich každý priesečník jej strán rozdeľuje na dve nerovnaké časti v proporciách zlatého rezu.

Od staroveku sa zlatý rez používal v rôznych druhoch výtvarného umenia – v architektúre, sochárstve, maliarstve. Parthenon je klasickým príkladom aplikácie zlatého rezu v architektúre.

Obzvlášť široko používaný v jeho práci bol pomer zlatého rezu Leonarda da Vinciho, ktorý nazval „božská proporcia“.

Staroveké sochy gréckeho umenia, odrážajúce proporcie ideálne tvarovaného ľudského tela, sa tiež riadia číselnou harmóniou zlatého rezu.

Zlatý rez sa používa pri písaní písmen a číslic v rôznych typoch písma.

Zlatý rez sa často používa pri určovaní veľkosti obdĺžnika vzhľadom na jeho väčšiu alebo menšiu stranu. Ak má obdĺžnikový obrázok dĺžku (AB), jeho výšku (AC) určuje nasledujúca konštrukcia:

Najprv sa od konca segmentu (B) po priesečník s kolmicou (AO=OB=VD) nakreslí oblúk rovnajúci sa jeho polovici. Výsledný bod D je spojený priamkou s druhým koncom úsečky (A). Potom sa z bodu D nakreslí oblúk s polomerom VD k priesečníku s touto priamkou a označí sa bod E. Oblúk nakreslený z konca segmentu A s polomerom AE určuje bod C pozdĺž zvislej priamky. a požadovaná výška obrazu AC.

Ak je daná výška obrázku (AC), tak jeho dĺžka (AB) je určená inou konštrukciou. Najprv sa postaví štvorcový ASDE so stranou rovnajúcou sa AC. Potom sa zo stredu strany štvorca (O) nakreslí oblúk s polomerom OD a získa sa bod B na vodorovnej priamke, ktorá určí požadovanú dĺžku strany obdĺžnikového obrázku AB. .

Na obdĺžnik so zlatými proporciami môžete postaviť ľubovoľnú veľkosť podobného formátu listu.

Za týmto účelom sa položí na list papiera v jednom z jeho rohov (A) a nakreslí sa v ňom uhlopriečka. Potom sa z bodu A daná veľkosť vodorovnej alebo zvislej strany formátu listu odloží a jej koncom sa pretiahne kolmica, až kým sa nepretne s uhlopriečkou, ktorá určí druhú stranu obdĺžnika.

Zlatý rez je univerzálnym prejavom štrukturálnej harmónie. Nachádza sa v prírode, vede, umení – vo všetkom, s čím môže človek prísť do styku. Keď sa ľudstvo zoznámilo so zlatým pravidlom, už ho viac nepodvádzalo.

Definícia.
Najrozsiahlejšia definícia zlatého rezu hovorí, že menšia časť označuje väčšiu časť, ako väčšia časť označuje celok. Jeho približná hodnota je 1,6180339887. V zaokrúhlenom percente budú pomery častí celku korelovať ako 62 % až 38 %. Tento pomer vo formách priestoru a času funguje.

Starovekí ľudia považovali zlatý rez za odraz kozmického poriadku a Johannes Kepler ho nazval jedným z pokladov geometrie. Moderná veda považuje zlatý rez za „asymetrickú symetriu“ a nazýva ho v širšom zmysle univerzálnym pravidlom, ktoré odráža štruktúru a poriadok nášho svetového poriadku.

História.
Starovekí Egypťania mali predstavu o zlatých proporciách, vedeli o nich aj v Rusku, ale mních z cibuľovej pačuli prvýkrát vedecky vysvetlil zlatý pomer v knihe „Božská proporcia“ (1509), ktorá bola údajne ilustrovaný Leonardom da Vincim. Pacioli videl v zlatom reze božskú trojicu: malý segment zosobňoval syna, veľký otca a celok svätého ducha.

Meno talianskeho matematika Leonarda Fibonacciho je priamo spojené s pravidlom zlatého rezu. V dôsledku vyriešenia jedného z problémov vedec dospel k postupnosti čísel, ktorá je dnes známa ako Fibonacciho rad: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 atď. Kepler upozornil na tzv. vzťah tejto sekvencie k zlatému rezu: „Je usporiadaný tak, že dvaja mladší členovia tohto nekonečného podielu v súčte dávajú tretieho člena a ľubovoľní dvaja poslední členovia, ak sa pridajú, dajú ďalšieho člena a rovnaký pomer je zachovaný do nekonečna." Teraz je Fibonacciho séria aritmetickým základom na výpočet proporcií zlatého rezu vo všetkých jeho prejavoch

Fibonacciho čísla - harmonické delenie, miera krásy. Zlatý rez v prírode, človeku, umení, architektúre, sochárstve, dizajne, matematike, hudbe https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci tiež venoval veľa času štúdiu vlastností zlatého rezu, s najväčšou pravdepodobnosťou mu tento termín patrí. Jeho kresby stereometrického telesa tvoreného pravidelnými päťuholníkmi dokazujú, že každý z obdĺžnikov získaných rezom udáva pomer strán v zlatom delení.

Postupom času sa pravidlo zlatého rezu zmenilo na akademickú rutinu a až filozof Adolf Zeising ho v roku 1855 priviedol späť k druhému životu. Proporcie zlatého rezu priviedol do absolútna, čím sa stal univerzálnym pre všetky javy okolitého sveta. Jeho "Matematická estetika" však spôsobila veľa kritiky.

Príroda.
Dokonca aj bez toho, aby sme sa púšťali do výpočtov, zlatý rez možno ľahko nájsť v prírode. Takže pomer chvosta a tela jašterice, vzdialenosť medzi listami na vetve spadajú pod ňu, je tu zlatý rez a v tvare vajíčka, ak je cez jeho najširšiu časť nakreslená podmienená čiara.

Bieloruský vedec Eduard Soroko, ktorý študoval formy zlatých delení v prírode, poznamenal, že všetko, čo rastie a snaží sa zaujať svoje miesto vo vesmíre, je obdarené proporciami zlatého rezu. Jednou z najzaujímavejších foriem je podľa neho špirála.
Dokonca aj Archimedes, dávajúc pozor na špirálu, odvodil na základe jej tvaru rovnicu, ktorá sa dodnes používa v technike. Neskôr si Goethe všimol príťažlivosť prírody k špirálovitým formám a nazval špirálu „Krivý život“. Moderní vedci zistili, že také prejavy špirálovitých foriem v prírode, ako je ulita slimáka, usporiadanie slnečnicových semien, sieťové vzory, pohyb hurikánu, štruktúra DNA a dokonca aj štruktúra galaxií obsahujú Fibonacciho sériu.

Ľudské.
Módni návrhári a odevní dizajnéri robia všetky výpočty na základe proporcií zlatého rezu. Človek je univerzálna forma na testovanie zákonitostí zlatého rezu. Samozrejme, od prírody nie všetci ľudia majú ideálne proporcie, čo vytvára určité ťažkosti pri výbere oblečenia.

V denníku Leonarda da Vinciho je kresba nahého muža vpísaná do kruhu v dvoch polohách nad sebou. Na základe štúdií rímskeho architekta Vitruvia sa Leonardo podobne pokúsil určiť proporcie ľudského tela. Neskôr francúzsky architekt Le Corbusier pomocou Leonardovho „Vitruviánskeho muža“ vytvoril vlastnú škálu „harmonických proporcií“, ktorá ovplyvnila estetiku architektúry 20. storočia.

Adolf Zeising, skúmajúci proporcionalitu človeka, urobil kolosálnu prácu. Zmeral asi dvetisíc ľudských tiel a tiež množstvo antických sôch a odvodil, že zlatý rez vyjadruje priemerný zákon. U človeka sú mu podriadené takmer všetky časti tela, no hlavným ukazovateľom zlatého rezu je rozdelenie tela podľa pupkového bodu.
V dôsledku meraní výskumník zistil, že proporcie mužského tela 13: 8 sú bližšie k zlatému pomeru ako proporcie ženského tela - 8: 5.

Umenie priestorových foriem.
Umelec Vasilij Surikov povedal, že "v kompozícii je nemenný zákon, keď sa na obrázku nedá nič odstrániť ani pridať, ani bod navyše, toto je skutočná matematika." Po dlhú dobu sa umelci riadili týmto zákonom intuitívne, ale po Leonardovi da Vinci sa proces vytvárania obrazu už nezaobíde bez riešenia geometrických problémov. Napríklad Albrecht Dürer použil na určenie bodov zlatého rezu ním vynájdený proporčný kompas.

Umelecký kritik F. v. Kovalev, ktorý podrobne študoval obraz Nikolaja Ge „Alexander Sergejevič Puškin v dedine Michajlovský“, poznamenáva, že každý detail plátna, či už ide o krb, knižnicu, kreslo alebo samotného básnika, je prísne zapísaný v zlaté proporcie.

Bádatelia zlatého rezu neúnavne študujú a merajú majstrovské diela architektúry a tvrdia, že sa takými stali, pretože boli vytvorené podľa zlatých kánonov: ich zoznam zahŕňa veľké pyramídy v Gíze, katedrálu Notre Dame, katedrálu Vasilija Blaženého, ​​Parthenon.
A dnes sa v akomkoľvek umení priestorových foriem snažia dodržať proporcie zlatého rezu, keďže podľa historikov umenia uľahčujú vnímanie diela a vytvárajú v divákovi estetický vnem.

Slovo, zvuk a film.
Formuláre dočasne? Go arts nám svojím spôsobom demonštrujú princíp zlatého delenia. Literárni kritici si napríklad všimli, že najpopulárnejší počet riadkov v básňach neskorého obdobia Puškinovej tvorby zodpovedá sérii Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Pravidlo zlatého rezu platí aj v jednotlivých dielach ruského klasika. Vrcholom „Pikovej kráľovnej“ je teda dramatická scéna Hermana a grófky, ktorá končí smrťou tej druhej. V príbehu je 853 riadkov a vrchol padne na riadok 535 (853: 535=1, 6) – to je pointa zlatého rezu.

Sovietsky muzikológ e. K. Rosenov si všíma úžasnú presnosť pomerov zlatého rezu v prísnych a voľných formách diel Johanna Sebastiana Bacha, čo zodpovedá premyslenému, koncentrovanému, technicky overenému štýlu majstra. To platí aj pre vynikajúce diela iných skladateľov, kde bod zlatého rezu zvyčajne predstavuje najvýraznejšie alebo neočakávané hudobné riešenie.
Filmový režisér Sergej Ejzenštejn vedome zladil scenár svojho filmu „Bojová loď Potemkin“ s pravidlom zlatého rezu, pričom pásku rozdelil na päť častí. V prvých troch častiach sa akcia odohráva na lodi av posledných dvoch - v Odese. Prechod do kulís v meste je zlatá stredná cesta filmu.

príklady zlatého pomeru. Ako ste získali zlatý rez

Zlatý rez je teda zlatý rez, ktorý je tiež harmonickým delením. Aby ste to vysvetlili jasnejšie, zvážte niektoré funkcie formulára. Totiž: forma je niečo celok, ale celok sa zase vždy skladá z nejakých častí. Tieto časti majú s najväčšou pravdepodobnosťou odlišné vlastnosti, prinajmenšom rôzne veľkosti. Nuž, takéto rozmery sú vždy v určitom pomere ako medzi sebou, tak aj vo vzťahu k celku.

Čiže inými slovami môžeme povedať, že zlatý rez je pomer dvoch veličín, ktorý má svoj vlastný vzorec. Použitie tohto pomeru pri vytváraní formy pomáha, aby bola pre ľudské oko čo najkrajšia a najharmonickejšia.

Špirálové tetovanie má oveľa väčší význam, ako sa na prvý pohľad zdá. Takýto jednoduchý vzor je postavený na takzvanom princípe zlatého rezu, ktorý sa nachádza všade v prírode. Navyše, tento princíp je známy už od staroveku, čo potvrdzuje aj jeho prítomnosť na základni egyptských pyramíd.

Symbolika tetovania so špirálami

V tetovaní Ta-moko alebo v rovnakých keltských vzoroch sú špirály veľmi bežné, a to nie je prekvapujúce. Absencia pravých uhlov tejto postavy symbolizuje spojenie s prírodou, ktorá nemá rada pravé uhly a vždy sa ich snaží vyhladiť. Špirálové tetovanie znamená jednotu s prírodou, spravidla takéto tetovanie robia pokojní, rozumní ľudia.

Ale to je len všeobecný význam, ľudia sa často snažia zistiť význam špirálového tetovania, v skutočnosti si ho zamieňajú s inými tetovaniami. Špirálové tetovanie často zavádza ľudí, v poslednej dobe je veľmi populárne. Jeden význam je úplne iný, vyhovuje uzavretým ľuďom, samotárom, ktorí väčšinou utrpeli nejaký šok a nechcú sa o to podeliť a takéto tetovanie sa robí na jeho počesť.

Tetovanie vlny je veľmi podobné špirále, ktorá symbolizuje lásku k moru alebo tetovaniu čierneho slnka, ktorého význam sme podrobne napísali.

Špirálové tetovanie sa často robí ako talizman, pretože je symbolom cyklickej povahy života, prenáša energiu sveta a existencie. Obraz špirály môžete aplikovať na ramená, predlaktia, hrudník a chrbát. Tetovanie je vhodnejšie pre ženy, pretože ďalší význam tetovania je ženský.

Predpokladá sa, že Pytagoras bol prvý, kto predstavil koncept zlatého rezu. Diela Euklida prežili dodnes (staval pravidelné päťuholníky pomocou zlatého rezu, preto sa takýto päťuholník nazýva „zlatý“) a číslo zlatého rezu je pomenované po starogréckom architektovi Phidiasovi. To znamená, že toto je naše číslo „phi“ (označené gréckym písmenom φ) a rovná sa 1,6180339887498948482 ... Prirodzene, táto hodnota je zaokrúhlená: φ \u003d 1,618 alebo φ \u003d 1,62 a v percentách , zlatý rez vyzerá na 62 % a 38 %.

V čom spočíva jedinečnosť tohto podielu (a verte mi, že existuje)? Skúsme najprv pochopiť príklad segmentu. Vezmeme teda segment a rozdelíme ho na nerovnaké časti tak, že jeho menšia časť súvisí s väčšou, ako väčšia s celkom. Rozumiem, zatiaľ nie je celkom jasné, čo je čo, pokúsim sa to jasnejšie ilustrovať na príklade segmentov:

Takže vezmeme segment a rozdelíme ho na dva ďalšie, takže menší segment a odkazuje na väčší segment b, rovnako ako segment b odkazuje na celok, teda na celú čiaru (a + b). Matematicky to vyzerá takto:

Toto pravidlo funguje na dobu neurčitú, segmenty môžete deliť na ako dlho chcete. A uvidíte, aké je to jednoduché. Hlavná vec je raz pochopiť a je to.

Teraz sa však pozrime na zložitejší príklad, ktorý sa vyskytuje veľmi často, pretože zlatý pomer je reprezentovaný aj ako zlatý obdĺžnik (ktorého pomer strán je φ \u003d 1,62). Toto je veľmi zaujímavý obdĺžnik: ak z neho „odrežeme“ štvorec, opäť dostaneme zlatý obdĺžnik. A tak nekonečne veľa krát. Pozri:

Ale matematika by nebola matematikou, keby v nej neboli vzorce. Tak priatelia, teraz to bude trochu „bolestivé“. Riešenie zlatého rezu som schoval pod spojler, je tam veľa vzorcov, ale nechcem nechať článok bez nich.

Princíp zlatého rezu. Úspešná tvorba alebo pravidlo zlatého rezu

Zachytenie okamihu – to je presne moment tvorby umelca či fotografa. Okrem inšpirácie musí majster dodržiavať prísne definované pravidlá, ktorými sú: kontrast, umiestnenie, vyváženie, pravidlo tretín a mnohé ďalšie. Ale pravidlo zlatého rezu je stále uznávané ako priorita, je to aj pravidlo tretín.

Asi komplexne

Ak si základ pravidla zlatého rezu predstavíme v zjednodušenej forme, tak v skutočnosti ide o rozdelenie reprodukovaného momentu na deväť rovnakých častí (tri vertikálne po tri horizontálne). Prvýkrát to zámerne uviedol Leonardo da Vinci, pričom všetky svoje kompozície postavil v tomto druhu mriežky. Bol to on, kto prakticky potvrdil, že kľúčové prvky obrazu by sa mali sústrediť na priesečníky vertikálnych a horizontálnych línií.

Pravidlo zlatého rezu vo fotografii podlieha určitej korekcii. Okrem deväťsegmentovej mriežky sa odporúča použiť trojuholníky tzv. Princíp ich konštrukcie je založený na pravidle tretín. Na tento účel sa nakreslí diagonála z najvyššieho bodu do spodného bodu a z opačného horného bodu sa nakreslí lúč, ktorý rozdeľuje už existujúcu uhlopriečku v jednom z vnútorných priesečníkov mriežky. Kľúčový prvok kompozície by mal byť zobrazený v priemernej veľkosti z výsledných trojuholníkov. Tu stojí za to poznamenať: daná schéma konštrukcie trojuholníkov odráža iba ich princíp, čo znamená, že má zmysel experimentovať s uvedenými pokynmi.

Ako používať mriežku a trojuholníky?

Pravidlo zlatého rezu vo fotografii funguje podľa určitých noriem v závislosti od toho, čo je na nej zobrazené.

Horizontálny faktor. Podľa pravidla tretín by mal byť umiestnený pozdĺž vodorovných čiar. V tomto prípade, ak je vtlačený objekt nad horizontom, potom faktor prechádza spodnou čiarou a naopak.

Umiestnenie hlavného objektu. Klasické usporiadanie je také, v ktorom je centrálny prvok umiestnený v jednom z priesečníkov. Ak fotograf vyberie dva objekty, mali by byť diagonálne alebo v rovnobežných bodoch.

Použitie trojuholníkov. Pravidlo zlatého rezu sa v tomto prípade odkláňa od kánonov, ale len mierne. Objekt sa nemusí nachádzať v priesečníku, ale nachádza sa čo najbližšie k nemu v strednom trojuholníku.

Smer. Tento princíp snímania sa využíva pri dynamickej fotografii a spočíva v tom, že dve tretiny obrazového priestoru by mali zostať pred pohybujúcim sa objektom. To poskytne efekt pohybu vpred a označenie cieľa. V opačnom prípade môže fotografia zostať nepochopená.

Oprava pravidla zlatého rezu

Napriek tomu, že pravidlo tretín je v doterajšej teórii kompozície považované za klasické, čoraz viac fotografov má tendenciu ho opúšťať. Ich motivácia je jednoduchá: analýza obrazov známych umelcov ukazuje, že pravidlo zlatého rezu sa nedodržiava. S týmto tvrdením možno polemizovať.

Zamyslime sa nad známou Giocondou, ktorú odporcovia používania pravidla tretín uvádzajú ako príklad (zabúdajúc, že ​​pri zrode jeho praktického využitia stál sám da Vinci). Ich argumenty sú, že majster nepovažoval za potrebné usporiadať kľúčové prvky obrazu v priesečníkoch, ako to vyžaduje klasický obraz. Prehliadajú však faktor vodorovných línií, podľa ktorých sú hlava a trup vyobrazeného umiestnené tak, že silueta ako celok nebolí oči. Navyše je v tejto práci vo väčšej miere použitá špirála, na ktorú teoretici fotografie vo väčšine prípadov zabúdajú. A takto je možné vyvrátiť tvrdenia o takmer každom výtvore, ktorý sa uvádza ako príklad.

Môže sa použiť pravidlo zlatého rezu, alebo ho môžete odmietnuť, ak chcete zdôrazniť disharmóniu kompozície. Nemožno však tvrdiť, že nie je kľúčovým prvkom pri formovaní umeleckého objektu.

Zlatý rez v architektúre. Ako ste získali zlatý rez

Zlatý rez si možno najjednoduchšie predstaviť ako pomer dvoch častí toho istého objektu rôznej dĺžky, oddelených bodkou.

Jednoducho povedané, koľko dĺžok malého segmentu sa zmestí do veľkého, alebo pomer najväčšej z častí k celej dĺžke lineárneho objektu. V prvom prípade je pomer zlatého rezu 0,63, v druhom prípade je pomer strán 1,618034.

V praxi je zlatý rez len proporcia, pomer segmentov určitej dĺžky, strán obdĺžnika alebo iných geometrických tvarov, súvisiace alebo konjugované rozmerové charakteristiky skutočných objektov.

Spočiatku boli zlaté proporcie odvodené empiricky pomocou geometrických konštrukcií. Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť alebo odvodiť harmonickú proporciu:

• Klasické rozdelenie jednej zo strán pravouhlého trojuholníka a konštrukcia kolmice a sečny. Aby ste to dosiahli, z jedného konca segmentu je potrebné obnoviť kolmicu s výškou ½ jej dĺžky a postaviť pravouhlý trojuholník, ako na obrázku.
  Ak nakreslíme výšku kolmice na preponu, potom s polomerom rovným zvyšnému segmentu sa základňa rozreže na dva segmenty s dĺžkami úmernými zlatému rezu;
• Metóda konštrukcie pentagramu Dürera, brilantného nemeckého grafu a geometra. Dnes poznáme Dürerovu metódu zlatého rezu ako spôsob konštrukcie hviezdy alebo pentagramu vpísaného do kruhu, v ktorom sú najmenej štyri segmenty harmonických proporcií;
• V architektúre a stavebníctve sa zlatý rez častejšie používa vo vylepšenej podobe. V tomto prípade sa ako schéma nepoužíva rozdelenie pravouhlého trojuholníka pozdĺž nohy, ale pozdĺž prepony.

Pre tvoju informáciu! Na rozdiel od klasického zlatého rezu, architektonická verzia predpokladá pomer strán segmentu v pomere 44:56.

Ak sa štandardná verzia zlatého rezu pre živé bytosti, maľbu, grafiku, sochy a antické stavby počítala s pomerom 37:63, tak sa zlatý rez v architektúre z konca 17. storočia začal používať čoraz častejšie 44: 56. Väčšina odborníkov považuje zmenu v prospech „štvorcových“ rozmerov za rozšírenie výškovej výstavby.

Mnohí snívajú o ideálnom vzhľade, ale nie každý má jasnú predstavu o tom, aké proporcie možno považovať za harmonické. Vzorec zlatého rezu tváre je neoddeliteľne spojený s číslom 1,618 a ďalšími pomermi. Takže proporcie krásy možno opísať takto:

• pomer výšky a šírky tváre by mal byť 1,618;
• ak rozdelíte dĺžku úst a šírku krídel nosa, dostanete 1,618;
• pri delení vzdialeností medzi žiakmi a obočím to opäť vyjde 1,618;
• dĺžka očí by mala zodpovedať vzdialenosti medzi nimi, ako aj šírke nosa;
• oblasti tváre od línie vlasov po obočie, od mosta nosa po špičku nosa a spodná časť po bradu by mali byť rovnaké;
• ak nakreslíte zvislé čiary od zreníc po kútiky pier, získate tri časti rovnakej šírky.

Je potrebné pochopiť, že v prírode je zhoda všetkých parametrov pomerne zriedkavá. Ale na tom nie je nič zlé. To vôbec neznamená, že tváre, ktoré nezodpovedajú ideálnym proporciám, možno označiť za škaredé alebo neatraktívne. Práve naopak, práve „defekty“ dodajú tvári niekedy nezabudnuteľné čaro.

Zlatý rez v kompozícii kresieb v paint.net
Matematicky možno „Zlatý pomer“ opísať nasledovne – pomer celku k jeho väčšej časti by sa mal rovnať pomeru väčšej časti k menšej. Ukážme si to na príklade segmentu.

V našom prípade je celý segment C rozdelený na dve časti - veľké A a menšie B. Potom, ak sa B / A rovná A / B, rozdelenie segmentu sa uskutoční podľa princípu nazývaného „Zlatý Sekcia“.
Nie úplne presné, ale blízke zlatému pomeru, ako napríklad pomer 2/3 alebo 5/8. Čísla v takýchto pomeroch sa často nazývajú "zlaté".
Prečo potrebujeme tieto informácie na kreslenie v paint.net? Pre zloženie je dôležitý „zlatý rez“. Predpokladá sa, že predmety obsahujúce „zlatú časť“ ľudia vnímajú ako najharmonickejšie. V takýchto pomeroch si slávni umelci vybrali veľkosti hostiteľov pre svoje obrazy.
Zvážte zjednodušenú verziu konštrukcie „Zlatého rezu“ pre kompozíciu obrázka alebo pravidlo „Tretiny“. Pravidlom tretieho je, že v duchu rozdelíme rám na tri časti horizontálne a vertikálne a na priesečníky imaginárnych čiar umiestnime kľúč a dôležité detaily našej kresby alebo fotografickej koláže.

Princíp „zlatého rezu“ možno uplatniť pri orezaní obrázka. Takže napríklad rám vytvorený podľa pravidla „zlatého rezu“ z veľkej fotografie môže vyzerať takto.

Zlatý rez v hudbe. Metóda zlatého pomeru v hudobných dielach

„Zlatý rez“ je skôr matematický pojem a jeho štúdium je úlohou vedy. Ide o rozdelenie určitého množstva na dve časti tak, že väčšia časť sa bude vzťahovať k menšej ako celok k väčšej. Tento pomer sa rovná transcendentálnemu číslu Ф=1,6180339… s úžasnými vlastnosťami.

Metóda zlatého rezu je vyhľadávanie hodnôt funkcie v danom segmente. Táto metóda je založená na princípe delenia segmentov v takzvanom zlatom reze. Najväčšiu distribúciu získal pre hľadanie extrémnych hodnôt pri riešení problémov súvisiacich s optimalizáciou. Okrem matematiky sa metóda zlatého rezu používa v rôznych oblastiach, od architektúry, umenia až po astronómiu. Napríklad slávny sovietsky režisér Sergej Ejzenštejn ho použil vo svojom filme "Bojová loď Potemkin" a Leonardo da Vinci - pri písaní svojej slávnej "La Gioconda".

Metóda zlatého rezu sa používa aj v hudbe. Ukázalo sa, že tento zlatý rez je v hudobných dielach veľmi bežný. Začiatkom 20. storočia na stretnutí Moskovského hudobného krúžku zaznela správa obsahujúca informácie o používaní zlatého rezu v hudbe. Posolstvo si s veľkým záujmom vypočuli skladatelia S. Rachmaninov, S. Taneyev, R. Glier a ďalší. Správa muzikológa Rozenova E.K. „Zákon zlatého rezu v hudbe a poézii“ znamenal začiatok štúdia matematických vzorcov spojených so zlatým rezom v hudbe. Analyzoval hudobné diela Mozarta, Bacha, Beethovena, Wagnera, Chopina, Glinku a ďalších skladateľov a ukázal, že tento „božský podiel“ je prítomný aj v ich dielach.

Vrchol mnohých skladieb nie je umiestnený v strede, ale je mierne posunutý ku koncu skladby v pomere 62:38 - to je bod zlatého rezu. Doktor umení profesor L. Mazel si pri štúdiu osemtaktových melódií Chopina, Beethovena, Skrjabina všimol, že v mnohých dielach týchto skladateľov vrchol spravidla pripadá na slabý zlomok kvinty, teda na bod zlatého rezu - 5/8. L. Mazel veril, že takmer každý skladateľ – prívrženec harmonického štýlu dokáže nájsť podobnú hudobnú štruktúru: päť taktov vzostupu a tri takty zostupu. To naznačuje, že metódu zlatého rezu aktívne používali skladatelia vedome alebo nevedome. Pravdepodobne takéto štrukturálne usporiadanie vrcholov dáva hudobnému dielu harmonický zvuk a emocionálne zafarbenie.

Skladateľ a muzikológ L. Sabaneev sa podujal na seriózne štúdium hudobných diel, aby v nich prejavil zlatú proporciu. Študoval asi dvetisíc výtvorov rôznych skladateľov a dospel k záveru, že asi v 75 % prípadov sa v hudobnom diele aspoň raz nachádza zlatý rez. Zaznamenal najväčší počet diel, v ktorých sa zlatý rez vyskytuje u skladateľov ako Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Skrjabin (90 %), Chopin (92). %), Schubert (91 %). Najpodrobnejšie študoval Chopinove etudy a dospel k záveru, že zlatý rez bol určený v 24 etúdach z 27. Iba v troch Chopinových etudách sa zlatý rez nenašiel. Niekedy štruktúra hudobného diela zahŕňala symetriu aj zlatý rez. Napríklad v Beethovenovi je veľa diel rozdelených na symetrické časti a v každej z nich sa objavuje zlatý rez.

Môžeme teda povedať, že prítomnosť zlatého rezu v hudobnom diele je jedným z kritérií harmónie hudobnej skladby.