Hölderov stav. Hovoríme, že funkcia $f(x)$ spĺňa Hölderove podmienky v bode $x_0$, ak existujú jednostranné konečné limity $f(x_0 \pm 0)$ a také čísla $\delta > 0$, $\ alpha \in ( 0,1]$ a $c_0 > 0$ tak, že $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t )-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.
Dirichletov vzorec. Transformovaný Dirichletov vzorec sa nazýva vzorec v tvare:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ kde $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .
Pomocou vzorcov $(1)$ a $(2)$ zapíšeme čiastkový súčet Fourierovho radu v nasledujúcom tvare:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3) $$
Pre $f \equiv \frac(1)(2)$ sa vzorec $(3)$ zmení na: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac(\ sin (n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t)(2))dt=\frac(1)(2), 0
Konvergencia Fourierovho radu v bode
Veta. Nech $f(x)$ je $2\pi$-periodická absolútne integrovateľná funkcia na $[-\pi,\pi]$ a splní Hölderovu podmienku v bode $x_0$. Potom Fourierov rad funkcie $f(x)$ v bode $x_0$ konverguje k číslu $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Ak je v bode $x_0$ funkcia $f(x)$ spojitá, potom sa v tomto bode súčet radu rovná $f(x_0)$.
Dôkaz
Keďže funkcia $f(x)$ spĺňa Hölderovu podmienku v bode $x_0$, potom pre $\alpha > 0$ a $0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
Pre daný $\delta > 0$ zapíšeme rovnosti $(3)$ a $(4)$. Vynásobením $(4)$ $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ a odčítaním výsledku od $(3)$ dostaneme $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) - \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) - \\ - \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta)\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$
Z Hölderovej podmienky vyplýva, že funkcia $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\ sin \frac(t)(2)).$$ je absolútne integrovateľný na $$. Aplikovaním Hölderovej nerovnosti totiž dostaneme, že pre funkciu $\Phi(t)$ platí nasledujúca nerovnosť: $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, kde $\alpha \in (0,1 ]$.
Na základe porovnávacieho kritéria pre nesprávne integrály, nerovnosť $(6)$ znamená, že $\Phi(t)$ je absolútne integrovateľný na $.$
Podľa Riemannovej lemy $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$
Zo vzorca $(5)$ teraz vyplýva, že $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) $$
[skryť]
Dôsledok 1. Ak $2\pi$-periodická a absolútne integrovateľná na $[-\pi,\pi]$ funkcii $f(x)$ má deriváciu v bode $x_0$, potom jej Fourierov rad v tomto bode konverguje k $f (x_0) $.
Dôsledok 2. Ak $2\pi$-periodická a absolútne integrovateľná na $[-\pi,\pi]$ funkcii $f(x)$ má obe jednostranné derivácie v bode $x_0$, potom jej Fourierov rad v tomto bode konverguje na $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Dôsledok 3. Ak $2\pi$-periodická a absolútne integrovateľná do $[-\pi,\pi]$ funkcie $f(x)$ spĺňa Hölderovu podmienku v bodoch $-\pi$ a $\pi$, potom k periodicite sa súčet série Fourierovej transformácie v bodoch $-\pi$ a $\pi$ rovná $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2). $$
Znak Dini
Definícia. Nech $f(x)$ je $2\pi$-periodická funkcia. Bod $x_0$ bude regulárnym bodom funkcie $f(x)$, ak
- 1) existujú konečné ľavé a pravé limity $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Veta. Nech $f(x)$ je $2\pi$-periodická absolútne integrovateľná funkcia na $[-\pi,\pi]$ a bod $x_0 \in \mathbb(R)$ je regulárny bod funkcie $ f(x)$ . Nech funkcia $f(x)$ spĺňa Diniho podmienky v bode $x_0$: existujú nesprávne integrály $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$
potom Fourierov rad funkcie $f(x)$ v bode $x_0$ má súčet $f(x_0)$, t.j. $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Dôkaz
Čiastočný súčet $S_n(x)$ Fourierovho radu má integrálnu reprezentáciu $(1)$. A kvôli rovnosti $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Potom máme $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t) \, dt. \quad(7)$$
Je zrejmé, že teorém bude dokázaný, ak dokážeme, že oba integrály vo vzorci $(7)$ majú limity ako $n \to \infty $ rovné $0$. Uvažujme prvý integrál: $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
Podmienka Dini je splnená v bode $x_0$: nesprávny integrál $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt .$$
Preto pre každý $\varepsilon > 0$ existuje $\delta \in (0, h)$ tak, že $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+ t) -f(x_0+0) \vpravo |)(t)dt
Vzhľadom na zvolené $\varepsilon > 0$ a $\delta > 0$, integrál $I_n(x_0)$ môže byť reprezentovaný ako $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, kde
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Zvážte najprv $A_n(x_0)$. Pomocou $\left | D_n(t)\vpravo |
pre všetky $t \in (0, \delta)$.
Preto $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt
Prejdime k odhadu integrálu $B_n(x_0)$ ako $n \to \infty $. Aby sme to dosiahli, zavedieme funkciu $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix)
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0
$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ Dostaneme, že $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$, čo znamená, že pre ľubovoľný $\varepsilon > 0$ vybratý skôr existuje $N$ taký, že pre všetky $n> N$ nerovnosť $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|
Presne rovnakým spôsobom je dokázané, že druhý integrál vzorca $(7)$ má nulovú hranicu ako $n \to \infty $.
[skryť]
Dôsledok Ak je $2\pi$ periodická funkcia $f(x)$ po častiach diferencovateľná na $[-\pi,\pi]$, potom jej Fourierov rad v ktoromkoľvek bode $x \in [-\pi,\pi]$ konverguje na číslo $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Na segmente $[-\pi,\pi]$ nájdite trigonometrický Fourierov rad funkcie $f(x)=\left\(\begin(matica)
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end(matica)\right.$
Preskúmajte konvergenciu výsledného radu.
Pravidelným rozširovaním $f(x)$ na celú reálnu os získame funkciu $\widetilde(f)(x)$, ktorej graf je znázornený na obrázku.
Keďže funkcia $f(x)$ je nepárna, potom $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$
$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$
$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$
Preto $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$
Keďže $(f)"(x)$ existuje pre $x\neq k \pi$, potom $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$
V bodoch $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$ nie je funkcia $\widetilde(f)(x)$ definovaná a súčet Fourierovho radu sa rovná nule.
Nastavením $x=\frac(\pi)(2)$ získame rovnosť $1 — \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.
[skryť]
Nájdite Fourierovu sériu nasledujúceho $2\pi$-periodického a absolútne integrovateľného s funkciou $[-\pi,\pi]$:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$ a preskúmajte konvergenciu výsledného radu.
Pretože $(f)"(x)$ existuje pre $ x \neq 2k \pi$, Fourierov rad funkcie $f(x)$ bude konvergovať vo všetkých bodoch $ x \neq 2k \pi$ k hodnote Je zrejmé, že $f(x)$ je párna funkcia, a preto jej rozšírenie Fourierovho radu musí obsahovať kosínusy. \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_( 0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^( \pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac( x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_( 0)^(\pi)\ln \sin \frac(t)(2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ odkiaľ $a_0= \pi \ln 2$ .
Teraz nájdime $a_n$ pre $n \neq 0$. Máme $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2 ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$
Tu $D_n(x)$ je Dirichletovo jadro definované vzorcom (2) a dostaneme, že $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ a následne $a_n = \frac(1)(n ) $. Takže $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$
[skryť]
Literatúra
- Lysenko Z.M., poznámky z prednášok o matematickej analýze, 2015-2016
- Ter-Krikorov A.M. a Shabunin M.I. Kurz matematickej analýzy, s. 581-587
- Demidovich B.P., Zbierka úloh a cvičení z matematickej analýzy, vydanie 13, revidované, vydavateľstvo CheRo, 1997, s. 259-267
Časový limit: 0
Navigácia (iba čísla úloh)
0 z 5 dokončených úloh
Informácie
Test na materiáli tejto témy:
Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.
Test sa načítava...
Pre spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.
Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:
výsledky
Správne odpovede: 0 z 5
Tvoj čas:
Čas vypršal
Získali ste 0 z 0 bodov (0)
Vaše skóre bolo zaznamenané vo výsledkovej tabuľke
- S odpoveďou
- Odhlásený
Úloha 1 z 5
1 .
Počet bodov: 1Ak $2\pi$ -periodická a absolútne integrovateľná na $[−\pi,\pi]$ funkcii $f(x)$ má deriváciu v bode $x_0$, potom k čomu bude jej Fourierov rad konvergovať v tomto bode ?
Úloha 2 z 5
2 .
Počet bodov: 1Ak sú splnené všetky podmienky Diniho testu, potom k akému číslu konverguje Fourierov rad funkcie $f$ v bode $x_0$?
Riešenie Navier je vhodné len na výpočet dosiek sklopných pozdĺž obrysu. Všeobecnejšie je Levyho roztok. Umožňuje vám vypočítať dosku zavesenú na dvoch rovnobežných stranách s ľubovoľnými okrajovými podmienkami na každej zo zvyšných dvoch strán.
Na obdĺžnikovej doske znázornenej na obr. 5.11, (a), kĺbové hrany sú tie, ktoré sú rovnobežné s osou r. Okrajové podmienky na týchto hranách majú tvar
 |
Ryža. 5.11
Je zrejmé, že každý člen nekonečného trigonometrického radu
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; druhá parciálna derivácia funkcie vychýlenia
(5.45)
pri X = 0 a X = a sú tiež nulové, pretože obsahujú https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
Nahradením (5.46) za (5.18) dostaneme
Vynásobením oboch strán výslednej rovnice číslom , integrovaním od 0 do a a pamätať si to
,
dostaneme sa k definovaniu funkcie Ym taká lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientmi
. (5.48)
Ak pre skrátenie zápisu označ
rovnica (5.48) nadobúda tvar
. (5.50)
Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (5.50), ako je známe z priebehu diferenciálnych rovníc, má tvar
Ym(r) = jm (r)+ fm(r), (5.51)
kde jm (r) je partikulárne riešenie nehomogénnej rovnice (5.50); jeho tvar závisí od pravej strany rovnice (5.50), teda v skutočnosti od druhu zaťaženia q (X, r);
fm(r)= Am shamy + Bmchamy+y(cm shamy + Dmchamr), (5.52)
všeobecné riešenie homogénnej rovnice
Štyri ľubovoľné konštanty Am,INm ,Cm A Dm sa musí určiť zo štyroch podmienok na upevnenie okrajov dosky, rovnobežných s osou, aplikovaných na dosku konštantný q (X, r) = q pravá strana rovnice (5.50) má tvar
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
Keďže pravá strana rovnice (5.55) je konštantná, je konštantná aj jej ľavá strana; teda všetky deriváty jm (r) sú nulové a
, (5.56)
, (5.57)
kde je uvedené: .
Zvážte tanier zovretý pozdĺž okrajov rovnobežných s osou X(Obr. 5.11, (c)).
Okrajové podmienky na okrajoch r = ± b/2
. (5.59)
Vďaka symetrii vychýlenia dosky okolo osi OX, vo všeobecnom riešení (5.52) by mali byť zachované len pojmy obsahujúce párne funkcie. Pretože sh amr je nepárna funkcia a сh am r- rovnomerné a s prijatou polohou osi Oh, r sh amr- aj v pri ch am r je nepárny, potom všeobecný integrál (5.51) v posudzovanom prípade môže byť reprezentovaný ako
. (5.60)
Keďže v (5.44) nezávisí od hodnoty argumentu r, druhú dvojicu okrajových podmienok (5.58), (5.59) možno zapísať ako:
Ym = 0, (5.61)
Y¢ m = = 0. (5.62)
ambm sh amy + cm(sh amy+yam ch amr)
Od (5,60) - (5,63) to vyplýva
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
Násobenie rovnice (5.64) číslom a rovnice (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Dosadenie (5.66) do rovnice (5.64) nám umožňuje získať bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
S týmto funkčným výrazom Ym. , vzorec (5.44) na určenie funkcie priehybu má tvar
(5.69)
Séria (5,69) rýchlo konverguje. Napríklad pre štvorcový tanier v jeho strede, t.j x=a/2, r = 0
(5.70)
Ponechanie v (5.70) len jedného termínu zo série, t.j 
, získame hodnotu priehybu nadhodnotenú o menej ako 2,47 %. S ohľadom na to p 5 =
306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..Ritzova variačná metóda je založená na Lagrangeovom variačnom princípe formulovanom v časti 2.
Uvažujme túto metódu ako aplikovanú na problém ohýbania dosky. Predstavte si zakrivený povrch taniera ako riadok
, (5.71)
kde fi(X, r) spojité súradnicové funkcie, z ktorých každá musí spĺňať kinematické okrajové podmienky; Ci sú neznáme parametre určené z Lagrangeovej rovnice. Táto rovnica
(5.72)
vedie k systému n algebraické rovnice s ohľadom na parametre Ci.
Vo všeobecnom prípade deformačná energia dosky pozostáva z ohybu U a membrány U mčasti
, (5.73)
, (5.74)
kde Mh.,Mr. ,Mxy– ohybové sily; NX., NY. , Nxy- membránové sily. Časť energie zodpovedajúca priečnym silám je malá a možno ju zanedbať.
Ak u, v A w sú komponenty skutočného premiestnenia, px. , py A pz sú zložky intenzity plošného zaťaženia, Ri- sústredená sila, D i zodpovedajúci lineárny posun, Mj- sústredený moment qj- jemu zodpovedajúci uhol natočenia (obr. 5.12), potom možno potenciálnu energiu vonkajších síl znázorniť takto:
Ak okraje dosky umožňujú pohyb, potom si hrana sily vn. , mn. , mnt(obr. 5.12, (a)) zvyšujú potenciál vonkajších síl
 |
|
 |
|
Ryža. 5.12
Tu n A t– normálna a dotyčnica k okrajovému prvku ds.
V karteziánskych súradniciach, berúc do úvahy známe výrazy pre sily a zakrivenia
, (5.78)
celková potenciálna energia E pravouhlej dosky o veľ a ´ b, pri pôsobení iba zvislého zaťaženia pz
(5.79)
Ako príklad si predstavte obdĺžnikovú platňu s pomerom strán 2 a'2 b(obr. 5.13).
Doska je upnutá pozdĺž obrysu a zaťažená rovnomerným zaťažením
pz = q = konšt. V tomto prípade je výraz (5.79) pre energiu E zjednodušený
. (5.80)
Prijať za w(x, y) riadok
ktorý vyhovuje obrysovým podmienkam
 |  |
Ryža. 5.13
Ponechajte si iba prvého člena série
.
Potom podľa (5.80)
.
Minimalizácia energie E podľa (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Vychýlenie stredu štvorcovej platne veľkosti 2 ale'2 ale
,
čo je o 2,5 % viac ako presné riešenie 0,0202 qa 4/D. Všimnite si, že priehyb stredu dosky podoprenej na štyroch stranách je 3,22-krát väčší.
Tento príklad ilustruje výhody metódy: jednoduchosť a možnosť získať dobrý výsledok. Doska môže mať rôzne obrysy, variabilnú hrúbku. Ťažkosti pri tejto metóde, ako aj pri iných energetických metódach, vznikajú pri výbere vhodných súradnicových funkcií.
5.8. Metóda ortogonalizácie
Metóda ortogonalizácie navrhnutá a je založená na nasledujúcej vlastnosti ortogonálnych funkcií ji. , jj
. (5.82)
Príklad ortogonálnych funkcií na intervale ( – p, p) môžu slúžiť ako goniometrické funkcie cos nx a hriech nx pre ktoré
Ak jedna z funkcií, napríklad funkcia ji (X) sa zhodne rovná nule, potom je podmienka (5.82) splnená pre ľubovoľnú funkciu jj (X).
Na vyriešenie problému ohýbania dosky platí rovnica
možno si takto predstaviť
, (5.83)
kde F je oblasť ohraničená obrysom dosky; jij sú funkcie špecifikované tak, aby spĺňali kinematické a silové okrajové podmienky úlohy.
Predstavme si približné riešenie rovnice ohybu dosky (5.18) vo forme série
. (5.84)
Ak by bolo riešenie (5.84) presné, potom by rovnica (5.83) platila identicky pre akýkoľvek systém súradnicových funkcií jij. , pretože v tomto prípade D c2c2 wn – q = 0. Požadujeme, aby rovnica D c2c2 wn – q bol ortogonálny k rodine funkcií jij, a túto požiadavku používame na určenie koeficientov Cij. . Dosadením (5,84) do (5,83) dostaneme
. (5.85)
Po vykonaní niektorých transformácií získame nasledujúci systém algebraických rovníc na určenie Cij
, (5.86)
a hij = hji.
Bubnov-Galerkinovu metódu možno interpretovať nasledovne. Funkcia D c2c2 wn – q = 0 je v podstate rovnovážna rovnica a je projekciou vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na malý prvok dosky v smere zvislej osi z. Funkcia vychyľovania wn je pohyb v smere tej istej osi a funkcie jij možno považovať za možné pohyby. Preto rovnica (5.83) približne vyjadruje nulovú rovnosť práce všetkých vonkajších a vnútorných síl na možných posunoch. jij. . Bubnov-Galerkinova metóda je teda v podstate variačná.
Ako príklad uvažujme obdĺžnikovú dosku upnutú pozdĺž obrysu a zaťaženú rovnomerne rozloženým zaťažením. Rozmery dosky a umiestnenie súradnicových osí sú rovnaké ako na obr. 5.6.
Hraničné podmienky
pri X = 0, X= a: w = 0, ,
pri r = 0, r = b: w = 0, .
Pre funkciu vychýlenia zvolíme približný výraz v tvare radu (5.84), kde funkcia jij
spĺňa okrajové podmienky; Cij sú požadované koeficienty. Obmedzené na jedného člena série
dostaneme nasledujúcu rovnicu
Po integrácii
Kde môžeme vypočítať koeficient OD 11
,
čo plne zodpovedá koeficientu OD 11. získané metódou
V. Ritz -.
Ako prvé priblíženie je funkcia vychýlenia nasledovná
.
Maximálne vychýlenie v strede štvorcovej dosky ale ´ ale
.
5.9. Aplikácia metódy konečných rozdielov
Uvažujme o aplikácii metódy konečných rozdielov pre pravouhlé dosky so zložitými obrysovými podmienkami. Diferenčný operátor je analógom diferenciálnej rovnice zakriveného povrchu dosky (5.18), pre štvorcovú sieť, pre D X = D r = D má tvar (3.54)
20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +
Ryža. 5.14
Berúc do úvahy prítomnosť troch osí symetrie zaťaženia a deformácií dosky, môžeme sa obmedziť na zváženie jej ôsmej a určiť hodnoty priehybov iba v uzloch 1 ... 10 (obr. 5.14, (b) ). Na obr. 5.14, (b) ukazuje mriežku a číslovanie uzlov (D = a/4).
Keďže okraje dosky sú zovreté, potom zapísaním podmienok obrysu (5.25), (5.26) v konečných rozdieloch
Pripomeňme, že v reálnej analýze je trigonometrický rad rad v kosínusoch a sínusoch viacerých oblúkov, t.j. riadok formulára
Trochu histórie. Počiatočné obdobie teórie takýchto radov sa pripisuje polovici 18. storočia v súvislosti s problémom kmitania strún, keď sa požadovaná funkcia hľadala ako súčet radov (14.1). Otázka možnosti takejto reprezentácie vyvolala búrlivú diskusiu medzi matematikmi, ktorá trvala niekoľko desaťročí. Spory súvisiace s obsahom pojmu funkcia. V tom čase boli funkcie zvyčajne spojené s ich analytickým priradením, ale tu bolo potrebné reprezentovať funkciu vedľa (14.1), ktorej graf je skôr ľubovoľnou krivkou. Ale význam týchto sporov je väčší. V skutočnosti vyvolali otázky súvisiace s mnohými zásadne dôležitými myšlienkami matematickej analýzy.
A v budúcnosti, ako v tomto počiatočnom období, teória trigonometrických radov slúžila ako zdroj nových myšlienok. Práve v súvislosti s nimi vznikla napríklad teória množín a teória funkcií reálnej premennej.
V tejto záverečnej kapitole sa budeme zaoberať materiálom, ktorý opäť spája skutočnú a komplexnú analýzu, ale málo sa odráža v učebniciach TFCT. V priebehu analýzy vychádzali z vopred určenej funkcie a rozšírili ju do trigonometrického Fourierovho radu. Tu uvažujeme inverzný problém: pre daný trigonometrický rad stanovte jeho konvergenciu a súčet. Na tento účel Euler a Lagrange úspešne použili analytické funkcie. Zdá sa, že Euler prvýkrát (1744) získal rovnosť
Nižšie nasledujeme Eulerove kroky, pričom sa obmedzíme len na špeciálne prípady sérií (14.1), konkrétne trigonometrické série
Komentujte. V zásade sa použije nasledujúca skutočnosť: ak postupnosť kladných koeficientov a p monotónne smeruje k nule, potom tieto rady konvergujú rovnomerne na akomkoľvek uzavretom intervale, ktorý neobsahuje žiadne body tvaru 2lx (na gZ). Najmä na intervale (0,2n -) bude bodová konvergencia. Pozri o tom v práci, s. 429-430.
Eulerova myšlienka sčítania radov (14.4), (14.5) je taká, že pomocou substitúcie z = e a prejdite na mocenskú sériu
Ak sa v jednotkovom kruhu dá explicitne nájsť jeho súčet, potom sa problém zvyčajne vyrieši oddelením skutočnej a imaginárnej časti. Zdôrazňujeme, že pomocou Eulerovej metódy je potrebné skontrolovať konvergenciu radu (14.4), (14.5).
Pozrime sa na niekoľko príkladov. V mnohých prípadoch bude geometrický rad užitočný
ako aj rady získané z neho diferenciáciou alebo integráciou člen po členoch. Napríklad,
Príklad 14.1. Nájdite súčet radu
Riešenie. Predstavujeme podobnú sériu s kosínusmi
Obe série sa zbližujú všade, od r majorizovaný geometrickým radom 1+ r + r 2+.... Za predpokladu z = e"x, dostaneme
Tu sa zlomok zredukuje na formu
kde dostaneme odpoveď na otázku problému:
Popri tom sme stanovili rovnosť (14.2): Príklad 14.2. Súčet riadkov
Riešenie. Podľa vyššie uvedenej poznámky oba rady konvergujú na špecifikovanom intervale a slúžia ako Fourierove rady pre funkcie, ktoré definujú f(x) 9 g(x). Aké sú tieto funkcie? Aby sme odpovedali na otázku, v súlade s Eulerovou metódou zostavíme rad (14.6) s koeficientmi a p= -. súhlas-
ale rovnosť (14.7) dostaneme
Ak vynecháme detaily (čitateľ by si ich mal zopakovať), upozorňujeme, že výraz pod logaritmickým znakom môže byť reprezentovaný ako
Modul tohto výrazu sa rovná - a argument (presnejšie, jeho hlavná hodnota je
- 2sin-
hodnota) sa rovná Preto In ^ = -ln(2sin
Príklad 14.3. o -l súčet riadkov
Riešenie. Obidva rady všade konvergujú, keďže im dominuje konvergentný
vedľa spoločného člena -! . Riadok (14.6)
n(n +1)
priamo
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns poskytne známe množstvo. Na základe ho reprezentujeme vo forme
rovnosť
Tu je výraz v zátvorkách ln(l + z) a výraz v hranatých zátvorkách je ^ ^ + ** ^--. v dôsledku toho
= (1 + -) ln (1 + z). Teraz treba dať sem z = eLX a vykonajte rovnaké kroky ako v predchádzajúcom príklade. Ak vynecháme detaily, upozorňujeme na to Zostáva otvoriť zátvorky a napísať odpoveď. To necháme na čitateľa. Úlohy pre kapitolu 14 Vypočítajte súčty nasledujúcich riadkov. 3.1.a). Ak w=u + iv, potom A= -r- -v = -^-^ l: 2 + (1-.g) 2 .t2 + (1-d:) 2 Počiatok súradníc by sa mal z tohto kruhu vylúčiť, pretože (m, v) 9* (0; 0) V* e R, tón A= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - ich w = 2x; nie je nikde holomorfný; sv závisí od premennej „t. Cauchyho-Riemannove podmienky naznačujú, že tieto funkcie sú tiež nezávislé od y. 4.5. Zoberme si napríklad prípad Re f(z) = i(x, y) = konšt. OD pomocou Cauchy-Riemannových podmienok z toho odvodiť, že Im/(z) = v (x 9 r) = konšt. argument derivácie sa rovná nule, potom je jeho imaginárna časť nula a skutočná časť je kladná. Odtiaľ odvodzujte odpoveď: rovno pri = -X-1 (X * 0). b) kruh z + i=j2. výraz v zátvorkách nadobudol rovnaký význam, potom by mali čo je v rozpore s iracionalitou ale . pri= 0, -1 x 1 máme a =--e [-1,1]" v = 0. Uvažujme druhý segment hranice - polkruh z=EÚ,tg. V tejto časti výraz sa prevedie do formy w=u=-- ,/* -. Medzi. Podľa (8.6) sa požadovaný integrál rovná
b). Spodná polkruhová rovnica má tvar z(t) = e“, t e[l, 2n). Podľa vzorca (8.8) sa integrál rovná z = t + i, te. odpoveď: - + - i. 0,1 .t+2/r e2,e 2. Z podmienok úlohy vyplýva, že hovoríme o hlavnej hodnote koreňa: Vz, t.j. o prvom z nich. Potom je integrál 8.3. Pri riešení úlohy nie je zámerne daný výkres, ale čitateľ by ho mal doplniť. Použije sa rovnica priamky spájajúcej dva dané body i, /> e C (ale - začať, b - koniec): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Rozdeľme požadovaný integrál na štyri: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Na segmente AB máme z- (1 -1)
? 1 +1
/, takže integrál na tomto segmente sa podľa (8.8) rovná Postupujeme podobným spôsobom, zistíme oblasť D obsahujúca Г a ns obsahujúcu ale. Podľa integrálnej vety aplikovanej na /),/] sa požadovaný integrál rovná nule. geometrický rad 1 + q + q2 (|| reprezentujú v tvare /(z) = /(-^z). Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať polomer konvergencie Taylorovho radu funkcie so stredom v bode 0 je väčší ako jedna. Máme: Hodnoty funkcie sú rovnaké na diskrétnej množine s limitným bodom patriacim do kruhu konvergencie. Podľa vety o jedinečnosti /(z) = konšt. 11.3. Predpokladajme, že požadovaná analytická funkcia /(z) existuje. Porovnajme jej hodnoty s funkciou (z) = z2 na scéne E, pozostávajúce z bodiek z n = - (n = 2,3,...). Ich význam je rovnaký a odvtedy E má limitný bod patriaci danému kruhu, potom podľa vety o jednoznačnosti /(z) = z 2 pre všetky argumenty daného kruhu. To je však v rozpore s podmienkou /(1) = 0. Odpoveď: ns neexistuje. 12.2. ale). Reprezentujte funkciu vo formulári a rozbaľte zátvorky. jednoduché palice 1,-1,/. Súčet zvyškov v nich sa rovná -- a integrál sa rovná v). Medzi pólmi 2 Trki (kGZ) z integrandu len dva ležia vo vnútri daného kruhu. Je to 0 a 2 ja obe sú jednoduché, zvyšky v nich sú rovnaké v 1. Odpoveď: 4z7. vynásobte to 2/r/. Ak vynecháme detaily, uvedieme odpoveď: / = -i . 13.2. ale). Dajme teda e"=z e"idt =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal sa zredukuje na formu Tu sa menovateľ rozkladá (z-z,)(z-z 2), kde z, = 3 - 2 V2 / leží vo vnútri kruhu pri
, a z,=3 + 2V2 / leží vyššie. Zostáva nájsť zvyšok vzhľadom na jednoduchý pól z pomocou vzorca (13.2) a b) . Za predpokladu, ako je uvedené vyššie, e" = z
, intefal zredukujeme do formy Subintefálna funkcia má tri jednoduché póly (ktoré?). Necháme čitateľa, aby vypočítal zvyšky v nich, uvádzame odpoveď: ja =
. rovná sa 2(^-1- h-dt).
Označte integrál v zátvorkách /. Použitím rovnosti cos "/ = - (1 + cos2f) dostaneme, že / = [- cit
. Analogicky s prípadmi a), b) urobte substitúciu e 2,t
= z, redukovať integrál do tvaru kde integračná krivka je rovnaký jednotkový kruh. Ďalšie argumenty sú rovnaké ako v prípade a). Odpoveď: pôvodný, hľadaný integrál sa rovná /r(2-n/2). 13.3. ale). Zvážte pomocný komplexný integrál /(/?)= f f(z)dz, kde f(z) = - p-, G (I) - obrys zložený z polkruhy y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 a všetky priemery (nakreslite). Rozdeľme tento integrál na dve časti - podľa intervalu [-/?,/?] a podľa y(R). áno. Vo vnútri obvodu ležia iba jednoduché póly z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (obr. 186). Zisťujeme, pokiaľ ide o ich zvyšky: Zostáva overiť, že integrál preč y(R) inklinuje k nule ako R. Z nerovnosti |g + A|>||i|-|/>|| a z odhadu integrálu pre z e y(R) z toho vyplýva
Kosínusom a sínusom viacerých oblúkov, t.j. radom tvaru
alebo v komplexnej forme
kde a k,b k alebo resp. c k volal koeficienty T. r.
Prvýkrát T. r. stretnúť sa u L. Eulera (L. Euler, 1744). Dostal rozšírenia
Všetci R. 18. storočie V súvislosti so štúdiom problematiky voľného kmitania struny vyvstala otázka možnosti reprezentovať funkciu charakterizujúcu počiatočnú polohu struny ako súčet T. r. Táto otázka vyvolala búrlivú diskusiu, ktorá trvala niekoľko desaťročí, najlepší analytici tej doby - D. Bernoulli, J. D. Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Euler). Spory súvisiace s obsahom pojmu funkcia. V tom čase boli funkcie zvyčajne spojené s ich analytikou. priradenie, čo viedlo k zvažovaniu iba analytických alebo po častiach analytických funkcií. A tu bolo potrebné, aby funkcia, ktorej graf je dostatočne ľubovoľný, zostrojila T. r. reprezentujúcu túto funkciu. Ale význam týchto sporov je väčší. V skutočnosti diskutovali alebo vyvstali v súvislosti s otázkami týkajúcimi sa mnohých zásadne dôležitých pojmov a myšlienok matematiky. analýza všeobecne - reprezentácia funkcií Taylorovým radom a analytická. pokračovanie funkcií, použitie divergentných radov, limity, nekonečné sústavy rovníc, funkcie podľa polynómov atď.
A v budúcnosti, ako v tomto úvodnom, bude teória T. r. slúžili ako zdroj nových myšlienok v matematike. Fourierov integrál, takmer periodické funkcie, všeobecné ortogonálne rady, abstraktné . Výskumy na rieke T. slúžil ako východisko pre vytvorenie teórie množín. T. r. sú výkonným nástrojom na reprezentáciu a skúmanie funkcií.
Otázku, ktorá viedla k polemike medzi matematikmi v 18. storočí, vyriešil v roku 1807 J. Fourier, ktorý uviedol vzorce na výpočet koeficientov T. r. (1), ktorý musí. reprezentovať na funkcii f(x):
a aplikoval ich pri riešení problémov vedenia tepla. Vzorce (2) sa nazývajú Fourierove vzorce, hoci sa s nimi už skôr stretol A. Clairaut (1754) a L. Euler (1777) k nim dospel pomocou integrácie po členoch. T. r. (1), ktorého koeficienty sú určené vzorcami (2), tzv. blízko Fourierovej funkcie f a čísla a k, b k- Fourierove koeficienty.
Povaha získaných výsledkov závisí od toho, ako sa chápe reprezentácia funkcie ako rad, ako sa chápe integrál vo vzorcoch (2). Moderná teória T. rieky. získané po objavení sa Lebesgueovho integrálu.
Teória T. r. možno podmienečne rozdeliť na dve veľké časti – teóriu Fourierove rady, v ktorej sa predpokladá, že rad (1) je Fourierovým radom určitej funkcie a teória všeobecného T. R., kde takýto predpoklad nie je. Nižšie sú uvedené hlavné výsledky získané v teórii všeobecného T. r. (v tomto prípade sa množiny a merateľnosť funkcií chápu podľa Lebesguea).
Prvý systematický výskum T. r., v ktorom sa nepredpokladalo, že ide o Fourierove rady, bola dizertačná práca V. Riemanna (V. Riemann, 1853). Preto teória generála T. r. volal niekedy Riemannova teória termodynamiky.
Na štúdium vlastností ľubovoľného T. r. (1) s koeficientmi smerujúcimi k nule B. Riemann uvažoval o spojitej funkcii F(x) ,
čo je súčet rovnomerne konvergentných radov
získané po dvojnásobnej integrácii série po jednotlivých termínoch (1). Ak séria (1) konverguje v určitom bode x k číslu s, potom v tomto bode existuje druhá symetrická veličina a rovná sa s. F funkcie:
potom to vedie k súčtu radov (1) generovaných faktormi 
volal Riemannovou sumačnou metódou. Pomocou funkcie F je formulovaný Riemannov lokalizačný princíp, podľa ktorého správanie radu (1) v bode x závisí len od správania sa funkcie F v ľubovoľne malom okolí tohto bodu.
Ak T. r. konverguje k množine kladnej miery, potom jej koeficienty majú tendenciu k nule (Cantor-Lebesgue). Tendencia k nulovým koeficientom T. r. vyplýva aj z jej konvergencie k súboru druhej kategórie (W. Young, W. Young, 1909).
Jeden z ústredných problémov teórie všeobecnej termodynamiky je problém reprezentácie ľubovoľnej funkcie T. r. Posilnením výsledkov NN Luzina (1915) o reprezentácii funkcií TR pomocou Abel-Poissonovej a Riemannovej sčítateľnej metódy dokázal DE Men'shov (1940) nasledujúcu vetu, ktorá odkazuje na najdôležitejší prípad, keď reprezentácia funkcie f sa rozumie T. r. do f(x) takmer všade. Pre každú merateľnú a takmer všade konečnú funkciu f existuje T. R., ktorá k nej takmer všade konverguje (Men'shovova veta). Treba poznamenať, že aj keď je f integrovateľné, potom vo všeobecnosti nemožno Fourierov rad funkcie f považovať za taký rad, pretože existujú Fourierove rady, ktoré sa všade rozchádzajú.
Vyššie uvedená Men'shovova veta pripúšťa nasledujúce spresnenie: ak je funkcia f merateľná a konečná takmer všade, potom existuje taká, že 
takmer všade a člen po člene diferencovaný Fourierov rad funkcie j konverguje k f(x) takmer všade (N. K. Bari, 1952).
Nie je známe (1984), či je možné takmer všade v Men'shovovej vete vynechať podmienku konečnosti pre funkciu f. Najmä nie je známe (1984), či T. r. zbiehajú takmer všade
Preto bol problém reprezentácie funkcií, ktoré môžu nadobudnúť nekonečné hodnoty na množine kladnej miery, zvažovaný pre prípad, keď je nahradený slabšou požiadavkou - . Konvergencia v miere k funkciám, ktoré môžu nadobudnúť nekonečné hodnoty, je definovaná nasledovne: čiastkové súčty T. p. s n(x) konverguje v miere k funkcii f(x) .
ak kde f n(x) konvergujú k / (x) takmer všade a postupnosť konverguje k nule. V tomto prostredí bol problém reprezentácie funkcií vyriešený až do konca: pre každú merateľnú funkciu existuje T. R., ktorý k nej v miere konverguje (D. E. Men'shov, 1948).
Problému jedinečnosti T. r. sa venovalo veľa výskumov: Môžu sa dva rôzne T. rozchádzať do rovnakej funkcie? v inej formulácii: ak T. r. konverguje k nule, z toho vyplýva, že všetky koeficienty radu sú rovné nule. Tu možno znamenať konvergenciu vo všetkých bodoch alebo vo všetkých bodoch mimo určitej množiny. Odpoveď na tieto otázky v podstate závisí od vlastností množiny, mimo ktorej sa konvergencia nepredpokladá.
Bola stanovená nasledujúca terminológia. Veľa mien. súbor jedinečnosti alebo U- stanovené, ak z konvergencie T. r. na nulu všade, možno s výnimkou bodov zo sady E, z toho vyplýva, že všetky koeficienty tohto radu sú rovné nule. Inak Enaz. M-súprava.
Ako ukázal G. Cantor (1872), rovnako ako všetky konečné sú U-množiny. Ľubovoľná je aj súprava U (W. Jung, 1909). Na druhej strane, každý súbor pozitívnych opatrení je súbor M.
Existenciu M-množín miery stanovil D. E. Men'shov (1916), ktorý skonštruoval prvý príklad dokonalej množiny s týmito vlastnosťami. Tento výsledok má zásadný význam v probléme jedinečnosti. Z existencie M-množín nulovej miery vyplýva, že ak sú zastúpené funkcie T. R., ktoré konvergujú takmer všade, sú tieto rady definované vždy nejednoznačne.
Dokonalé zostavy môžu byť aj U-súpravy (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Veľmi jemné charakteristiky množín miery nuly zohrávajú podstatnú úlohu v probléme jedinečnosti. Všeobecná otázka o klasifikácii súborov opatrení nula na M- a U-sady zostávajú (1984) otvorené. Nie je to vyriešené ani pri dokonalých zostavách.
Nasledujúci problém súvisí s problémom jedinečnosti. Ak T. r. konverguje k funkcii 
potom či tento rad musí byť Fourierovým radom funkcie /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) dal kladnú odpoveď na túto otázku, ak f je integrovateľná v zmysle Riemanna a rad konverguje k f(x) vo všetkých bodoch. Z výsledkov III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) naznačuje, že odpoveď je kladná, aj keď séria konverguje všade okrem spočítateľnej množiny bodov a jej súčet je konečný.
Ak a T. p absolútne konverguje v niektorom bode x 0, potom body konvergencie tohto radu, ako aj body jeho absolútnej konvergencie, sú umiestnené symetricky vzhľadom na bod x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Podľa Denjoyova - Luzinova veta z absolútnej konvergencie T. r. (1) na množine kladných mier, rad konverguje 
a následne absolútna konvergencia radu (1) pre všetkých X. Túto vlastnosť majú aj množiny druhej kategórie, ako aj určité množiny nulovej miery.
Tento prieskum pokrýva iba jednorozmerný T. r. (jeden). Existujú samostatné výsledky súvisiace so všeobecným T. p. z viacerých premenných. Tu je v mnohých prípadoch stále potrebné nájsť prirodzené problémové vyhlásenia.
Lit.: Bari N. K., Trigonometrický rad, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrický rad, prel. z angličtiny, zväzok 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integrálny a trigonometrický rad, M.-L., 1951; Riemann B., Diela, prekl. z nemčiny, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Teljakovskij.
Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Štandardné metódy, ale dostali sa do slepej uličky s iným príkladom.
Aká je náročnosť a kde môže byť zádrhel? Odložme namydlené lano, pokojne rozoberme dôvody a zoznámime sa s praktickými metódami riešenia.
Prvý a najdôležitejší: v drvivej väčšine prípadov je na štúdium konvergencie radu potrebné použiť nejakú známu metódu, ale bežný výraz radu je plný takých zložitých náplní, že nie je vôbec jasné, čo s tým robiť . A chodíte v kruhoch: prvý znak nefunguje, druhý nefunguje, tretí, štvrtý, piaty spôsob nefunguje, potom sa koncepty vyhodia a všetko sa začína odznova. Zvyčajne je to kvôli nedostatku skúseností alebo medzier v iných častiach kalkulu. Najmä ak beží sekvenčné limity a povrchovo rozobrané limity funkcií, potom to bude ťažké.
Inými slovami, človek jednoducho nevidí potrebné riešenie kvôli nedostatku vedomostí alebo skúseností.
Niekedy je na vine aj „zatmenie“, keď napríklad jednoducho nie je splnené potrebné kritérium pre konvergenciu radu, no z neznalosti, nepozornosti či nedbanlivosti to z oka vypadne. A dopadne to ako v tom kole, kde profesor matematiky riešil detskú úlohu pomocou divokých opakujúcich sa postupností a číselných radov =)
V najlepších tradíciách okamžite živé príklady: riadky 
a ich príbuzní - sa rozchádzajú, pretože je to teoreticky dokázané sekvenčné limity. S najväčšou pravdepodobnosťou vás v prvom semestri vybije z duše za dôkaz na 1-2-3 stranách, ale zatiaľ to úplne stačí na to, aby ste ukázali, že nie je splnená potrebná podmienka na konvergenciu série, odvolávajúc sa na na známe fakty. slávny? Ak študent nevie, že koreň n-tého stupňa je mimoriadne silná vec, potom povedzme rad 
dať ho do zabehnutých koľají. Aj keď riešenie je ako dva a dva: , t.j. z pochopiteľných dôvodov sa obe série rozchádzajú. Skromný komentár „tieto limity sú teoreticky dokázané“ (alebo aj jeho absencia) na kompenzovanie úplne stačí, napokon výpočty sú dosť ťažké a rozhodne nepatria do sekcie číselných radov.
A po preštudovaní nasledujúcich príkladov budete len prekvapení stručnosťou a transparentnosťou mnohých riešení:
Príklad 1
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: v prvom rade skontrolujte vykonanie potrebné kritérium pre konvergenciu. Nejde o formalitu, ale o veľkú šancu vysporiadať sa s príkladom „malého krviprelievania“.
"Inšpekcia scény" naznačuje divergentný rad (prípad zovšeobecneného harmonického radu), ale opäť vyvstáva otázka, ako vziať do úvahy logaritmus v čitateli?
Približné príklady úloh na konci hodiny.
Nie je nezvyčajné, keď musíte vykonať dvojstranné (alebo dokonca trojstranné) uvažovanie:
Príklad 6
Preskúmajte konvergenciu radu 
Riešenie: najprv sa opatrne vysporiadaj s hlúposťami čitateľa. Postupnosť je obmedzená: . potom: 
Porovnajme našu sériu so sériou . Vďaka práve získanej dvojitej nerovnosti bude pre všetky „en“ platiť: 
Teraz porovnajme rad s divergentným harmonickým radom.
Menovateľ zlomku menej menovateľ zlomku, tak samotný zlomok – viac zlomky (zapíšte si prvých pár pojmov, ak nie sú jasné). Takže pre akékoľvek "sk": 
Takže na porovnanie, séria 
sa rozchádza spolu s harmonickým radom.
Ak trochu zmeníme menovateľa: 
, potom bude prvá časť odôvodnenia podobná: 
. Ale na preukázanie divergencie radu je už použiteľný iba limitný test porovnania, pretože nerovnosť je nepravdivá.
Situácia pri konvergujúcich radoch je „zrkadlová“, to znamená, že napríklad pre sériu je možné použiť obe porovnávacie kritériá (nerovnosť je pravdivá) a pre sériu iba obmedzujúce kritérium (nerovnosť je nepravdivá).
Pokračujeme v safari divočinou, kde sa na obzore črtalo stádo pôvabných a šťavnatých antilop:
Príklad 7
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: potrebné konvergenčné kritérium je splnené a my si opäť kladieme klasickú otázku: čo robiť? Pred nami je niečo, čo pripomína konvergentný rad, tu však neexistuje jasné pravidlo - takéto asociácie sú často klamlivé.
Často, ale tentoraz nie. Cez Limitné porovnávacie kritérium Porovnajme náš rad s konvergentným radom . Pri výpočte limitu používame úžasná hranica 
, kde ako nekonečne malý stojí: 
konverguje spolu s vedľa .
Namiesto štandardnej umelej techniky násobenia a delenia „trojkou“ bolo možné spočiatku porovnávať s konvergentným radom.
Tu je však potrebné upozorniť, že konštantný multiplikátor všeobecného výrazu neovplyvňuje konvergenciu radu. A práve v tomto štýle je navrhnuté riešenie nasledujúceho príkladu:
Príklad 8
Preskúmajte konvergenciu radu
Ukážka na konci lekcie.
Príklad 9
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: v predchádzajúcich príkladoch sme použili ohraničenosť sínusu, ale teraz je táto vlastnosť mimo hry. Menovateľ zlomku vyššieho poradie rastu ako čitateľ, takže keď sínusový argument a celý spoločný výraz nekonečne malý. Nevyhnutná podmienka konvergencie, ako ste pochopili, je splnená, čo nám nedovoľuje vyhýbať sa práci.
Rekogníciu vykonáme: v súlade s pozoruhodná rovnocennosť 
, mentálne zahoďte sínus a získajte sériu. No niečo také….
Rozhodovanie:
Porovnajme skúmaný rad s divergentným radom. Používame limitné porovnávacie kritérium: 
Nahradme nekonečnú malú ekvivalentnou: for 
.
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad sa rozchádza spolu s harmonickým radom.
Príklad 10
Preskúmajte konvergenciu radu
Toto je príklad „urob si sám“.
Pre plánovanie ďalších akcií v takýchto príkladoch veľmi pomáha mentálne odmietnutie sínusu, arksínusu, tangensu, arctangensu. Pamätajte však, že táto možnosť existuje iba vtedy nekonečne malý argument, nie je to tak dávno, čo som narazil na provokatívny seriál:
Príklad 11
Preskúmajte konvergenciu radu 
.
Riešenie: je tu zbytocne pouzivat obmedzenost arkustangens a nefunguje ani ekvivalencia. Výstup je prekvapivo jednoduchý: 
Študijná séria sa rozchádza, pretože nie je splnené potrebné kritérium pre konvergenciu radu.
Druhý dôvod„Gag on the job“ spočíva v slušnej prepracovanosti bežného člena, čo spôsobuje ťažkosti technického charakteru. Zhruba povedané, ak vyššie diskutované série patria do kategórie „čísla, ktoré uhádnete“, potom tieto patria do kategórie „vy rozhodnete“. V skutočnosti sa tomu hovorí zložitosť v „bežnom“ zmysle. Nie každý správne vyrieši niekoľko faktoriálov, stupňov, koreňov a iných obyvateľov savany. Samozrejme, najviac problémov spôsobujú faktoriály:
Príklad 12
Preskúmajte konvergenciu radu
Ako povýšiť faktoriál na mocninu? ľahko. Podľa pravidla operácií s právomocami je potrebné zvýšiť každý faktor produktu na silu:
A, samozrejme, pozornosť a ešte raz pozor, samotný nápis d'Alembert funguje tradične: 
Teda skúmaná séria konverguje.
Pripomínam vám racionálnu techniku na odstránenie neistoty: keď je to jasné poradie rastučitateľ a menovateľ - vôbec nie je potrebné trpieť a otvárať zátvorky.
Príklad 13
Preskúmajte konvergenciu radu
Šelma je veľmi vzácna, no nájde sa a obísť ju objektívom fotoaparátu by bolo nefér.
Čo je to faktoriál dvojitého výkričníka? Faktoriál „navíja“ súčin kladných párnych čísel: 
Podobne faktoriál „navíja“ súčin kladných nepárnych čísel: 
Analyzujte, aký je medzi nimi rozdiel
Príklad 14
Preskúmajte konvergenciu radu
A v tejto úlohe sa snažte nezamieňať so stupňami, úžasné ekvivalencie A úžasné limity.
Vzorové riešenia a odpovede na konci hodiny.
Ale študent dostane nakŕmiť nielen tigre - prefíkané leopardy tiež vystopujú svoju korisť:
Príklad 15
Preskúmajte konvergenciu radu 
Riešenie: nevyhnutné kritérium konvergencie, obmedzujúce kritérium, d'Alembertovo a Cauchyho kritériá takmer okamžite zmiznú. Čo je však najhoršie, funkcia s nerovnosťami, ktorá nás opakovane zachraňovala, je bezmocná. Porovnanie s divergentnou sériou je skutočne nemožné, pretože nerovnosť 
nesprávne - multiplikátor-logaritmus iba zvyšuje menovateľa, čím znižuje samotný zlomok 
vo vzťahu k zlomku. A ďalšia globálna otázka: prečo sme si spočiatku istí, že naša séria 
je viazaný na divergenciu a musí sa porovnávať s nejakou divergentnou sériou? Hodí sa tam vôbec?
Integrálna funkcia? Nesprávny integrál 
vyvoláva smútočnú náladu. Teraz, keby sme sa pohádali 
…tak potom áno. Stop! Takto sa rodia nápady. Rozhodujeme sa v dvoch krokoch:
1) Najprv študujeme konvergenciu radu 
. Používame integrálnou vlastnosťou:
Integrand nepretržitý na
Teda číslo 
diverguje spolu so zodpovedajúcim nevlastným integrálom.
2) Porovnajte náš rad s divergentným radom 
. Používame limitné porovnávacie kritérium:
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad sa rozchádza spolu s bok po boku 
.
A na takomto rozhodnutí nie je nič nezvyčajné ani kreatívne – tak by sa malo rozhodnúť!
Navrhujem nezávisle vypracovať nasledujúce dva ťahy:
Príklad 16
Preskúmajte konvergenciu radu 
Študent s určitými skúsenosťami vo väčšine prípadov okamžite vidí, či sa séria zbieha alebo rozchádza, ale stane sa, že dravec sa šikovne zamaskuje v kríkoch:
Príklad 17
Preskúmajte konvergenciu radu 
Riešenie: na prvý pohľad nie je vôbec jasné, ako sa táto séria správa. A ak máme pred sebou hmlu, tak je logické začať hrubou kontrolou potrebnej podmienky pre zbiehavosť série. Aby sme odstránili neistotu, používame nepotopiteľnú metóda násobenia a delenia adjunkovaným výrazom:
Nevyhnutný znak konvergencie nefungoval, ale vyniesol na svetlo nášho súdruha Tambov. V dôsledku vykonaných transformácií sa získal ekvivalentný rad 
, čo zase silne pripomína konvergentný rad .
Napíšeme čisté riešenie:
Porovnajte tento rad s konvergentným radom. Používame limitné porovnávacie kritérium:
Násobte a delte prídavným výrazom:
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad konverguje spolu s vedľa .
Možno si niektorí kladú otázku, odkiaľ sa vzali vlci z nášho afrického safari? Neviem. Asi to priniesli. Získate nasledujúcu trofejnú kožu:
Príklad 18
Preskúmajte konvergenciu radu 
Príklad riešenia na konci lekcie
A na záver ešte jedna myšlienka, ktorá mnohých študentov v zúfalstve navštívi: namiesto toho, či použiť zriedkavejšie kritérium pre konvergenciu radu? Znamenie Raabe, znamenie Abel, znamenie Gauss, znamenie Dirichlet a ďalšie neznáme zvieratá. Myšlienka funguje, ale v reálnych príkladoch je implementovaná veľmi zriedka. Osobne som sa za tie roky praxe uchýlil len 2-3 krát znamenie Raabe keď zo štandardného arzenálu naozaj nič nepomohlo. Reprodukujem priebeh môjho extrémneho hľadania v plnom rozsahu:
Príklad 19
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: Bezpochyby znak d'Alemberta. V priebehu výpočtov aktívne využívam vlastnosti stupňov, ako aj druhá úžasná hranica:
Tu je jeden pre vás. D'Alembertov znak nedával odpoveď, hoci nič nenaznačovalo takýto výsledok.
Po prečítaní manuálu som našiel málo známy limit overený teoreticky a použil som silnejšie radikálne Cauchyho kritérium:
Tu sú dve pre vás. A čo je najdôležitejšie, nie je vôbec jasné, či séria konverguje alebo sa rozchádza (pre mňa mimoriadne zriedkavá situácia). Nevyhnutný znak porovnávania? Bez veľkej nádeje - aj keď nepredstaviteľným spôsobom zistím poradie rastu čitateľa a menovateľa, stále to nezaručuje odmenu.
Úplný d'Alembert, no najhoršie je, že sériu treba vyriešiť. Nevyhnutné. Koniec koncov, toto bude prvýkrát, čo sa vzdávam. A potom som si spomenul, že sa zdalo, že existujú nejaké silnejšie znamenia. Predo mnou už nebol vlk, ani leopard, ani tiger. Bol to obrovský slon, ktorý mával veľkým chobotom. Musel som zobrať granátomet:
Znamenie Raabe
Zvážte kladný číselný rad.
Ak existuje limit 
, potom:
a) V rade sa rozchádza. Okrem toho môže byť výsledná hodnota nulová alebo záporná.
b) V rade konverguje. Najmä rad konverguje pre .
c) Kedy Raabeho znamenie nedáva odpoveď.
Poskladáme limitu a zlomok opatrne zjednodušíme: 
Áno, obrázok je mierne povedané nepríjemný, ale už ma to neprekvapilo. lopitálne pravidlá, a prvá myšlienka, ako sa neskôr ukázalo, sa ukázala ako správna. Najprv som však asi hodinu krútil a otáčal limit „bežnými“ metódami, no neistota sa nechcela eliminovať. A chodenie v kruhoch, ako nasvedčuje skúsenosť, je typickým znakom, že bol zvolený nesprávny spôsob riešenia.
Musel som sa obrátiť na ruskú ľudovú múdrosť: "Ak nič nepomôže, prečítajte si pokyny." A keď som otvoril 2. diel Fichtenholtza, na moju veľkú radosť som našiel štúdiu identickej série. A potom už išlo riešenie podľa vzoru.
