Úloha: Nájdite čísla GCD a LCM najpohodlnejším spôsobom:
a) 12 a 40; b) 9 a 40; c) 12 a 72.
Úloha má 5 minút.
Aký je najpohodlnejší spôsob riešenia jednotlivých cvikov?
Analýza pomocou sklíčka.
a) Je pohodlnejšie riešiť započítaním do prvočiniteľov
12 = 2,2,3; 40 = 2 2 2 5
GCD(12;40)=2-2=4; LCM(12;40) = 222235 = 120
b) Majú čísla 9 a 40 spoločné faktory? (je tam, 1.)
Ako sa volajú tieto čísla? ? (vzájomne prvotriedne.)
Aká je gcd týchto čísel? ? (GCD(9;40) = 1)
Aká je LCM týchto čísel? ? (NOC(9;40) = 9,40=360.)
c) Čo môžete povedať o číslach 12 a 72? ? (72 delené 12) Aké pravidlo poznáme? (ak je jedno číslo deliteľné druhým, potom GCD = najmenšie číslo a LCM = najväčšie)
gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72
Údaje, ktoré ste získali, skontrolujte pomocou štandardu, ktorý leží na stole učiteľa.
FO: Hodnotia sa podľa kritérií napísaných na štandardnom hárku. Začiarknutím políčka vedľa kritéria.
7 kliešťov – vysoká úroveň
6-4 tik – priemerná úroveň
1-3 zaškrtnutia – nízka úroveň
Fizminutka
Rýchlo vstali, usmiali sa,
Ťahali sa vyššie a vyššie.
No, narovnaj ramená,
Zdvihnúť, znížiť.
Odbočte doprava, odbočte doľava,
Dotknite sa rúk kolenami.
Sadli si, postavili sa, sadli si, postavili sa,
A bežali na mieste.
Otázka učiteľa: Kde už využívame naše znalosti GCD a LCA čísel?
Pri riešení problémov.
Pred nimi na učiteľskom stole je „Harmanček na úlohu“ pozostávajúci z 21 okvetných lístkov.
Red Petal – úlohy úrovne C.
Žltý okvetný lístok – úlohy úrovne B.
Zelený okvetný lístok – úlohy úrovne A.
| Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša? |
|
| Kytice boli vyzbierané z 210 bordových, 126 bielych a 294 červených ruží, pričom každá kytica obsahovala rovnaký počet ruží rovnakej farby. Aký je najväčší počet kytíc vyrobených z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici? |
|
| List lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka je 40 cm. Tento list je potrebné rozrezať na rovnaké štvorce bez odpadu. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto pracovného listu a koľko? |
|
| Koľko vojakov pochoduje na prehliadkovom ihrisku, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade? |
|
| V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý 20 a tretí 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode opäť vydali na cestu v ten istý deň. Dnes lode opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa pôjdu opäť prvýkrát spolu plaviť?Koľko ciest vykoná každá loď? |
|
| Krb v miestnosti musí byť kachľový v tvare štvorca. Koľko kachlí bude potrebných na krb s rozmermi 195 ͯ 156 cm a aké sú najväčšie rozmery kachlí? |
|
| Volodyin krok je 75 cm a Katyin krok 60 cm V akej minimálnej vzdialenosti urobia obaja celočíselný počet krokov? |
|
| Za novoročné darčeky sme kúpili 180 jabĺk, 90 pomarančov a 900 cukríkov. Všetky deti dostali rovnaké darčeky. Aký je najväčší počet rovnakých darčekov vyrobených z tohto ovocia a sladkostí? |
|
| Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, na tento účel musia byť v pravidelných rozostupoch umiestnené betónové stĺpy. Koľko stĺpov je potrebné doviesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stĺpy umiestnené? |
|
| Nájsť: LOC(360,252). |
|
| Za novoročné darčeky sme kúpili 78 čokoládových tyčiniek, 156 perníčkov, 52 balení sušienok, 104 pomarančov a 130 jabĺk. Aký najväčší počet rovnakých darčekov sa dá vyzbierať? |
|
| Na uloženie škatúľ s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť škatuľu so štvorcovým dnom. Aká musí byť najkratšia dĺžka strany štvorcového dna, aby sa škatule zmestili do škatule? |
|
| Vypočítajte GCD(720,216), LCM(720,216). |
|
| Aký je pomer LCM (308,264) k GCD (308,264)? |
|
| Na postavenie vianočného stromčeka sme nakúpili oriešky, sladkosti a perníky - spolu 760 kusov. Zobrali o 80 orechov viac ako sladkostí a o 120 perníkov menej ako orechov. Aký najväčší počet rovnakých darčekov pre deti sa dá z tejto zásoby vyrobiť? |
|
| Nájsť LOC(84;160;96), |
|
| Nájdite podiel delenia LCM(24, 2004) GCD rovnakých čísel. |
|
| Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. |
|
| Nájdite GCD (56, 72). |
|
| Na stole sú knihy, ktorých počet je menší ako 100. Koľko kníh je, ak je známe, že sa dajú zviazať v baleniach po 3, 4 a 5 kusov? |
|
| Do predajne priviezli necelých 600, ale viac ako 500 tanierov. Keď ich začali ukladať po desiatkach, z plného počtu desiatok chýbali 3 platne a keď ich začali ukladať po desiatkach (po 12 platniach), zostalo 7 platní. Koľko tanierov ste priniesli do obchodu? |
FO: Prevažujúci počet červených okvetných lístkov naznačuje vysokú úroveň absorpcie, žltá - priemerná úroveň absorpcie a zelená - nízka úroveň absorpcie.
Najväčší spoločný deliteľ prvočíselných čísel je vždy jedna.
Príklady uzlov so spoločným číslom.
GCD s číslami 11 a 7
Čísla 11 a 7 sú relatívne prvočísla a zároveň prvočísla.
Čísla 11 a 7 nemajú žiadne iné spoločné faktory okrem 1.
gcd(11, 7) = 1
GCD s číslami 11 a 15
Čísla 11 a 15 sú relatívne prvočísla. Navyše 11 je prvočíslo a 15 je zložené číslo.
Deliteľmi 11 sú 1 a 11.
Deliteľmi 15 sú 1, 3, 5, 15.
Ako vidíte, jediným spoločným faktorom čísel 11 a 15 je číslo 1. Jednotkou je teda GCD čísel 11 a 15:
gcd(11, 15) = 1
GCD s číslami 10 a 21
Čísla 10 a 21 sú relatívne prvočísla. Navyše, číslo 10 aj číslo 21 sú zložené.
Faktory 10 sú 1, 2, 5, 10.
Faktory 21 sú 1, 3, 7, 21.
Ako vidíte, jediným spoločným faktorom čísel 10 a 21 je číslo 1. Jednotkou je teda GCD čísel 10 a 21:
gcd(21, 10) = 1
GCD s číslami 16 a 23
Čísla 16 a 23 sú relatívne prvočísla. Navyše 23 je prvočíslo a 16 je zložené číslo.
Voláme prirodzené čísla a a b vzájomne prvotriedne, ak ich najväčší spoločný deliteľ je 1 (GCD(a ; b) = 1). Inými slovami, ak čísla a a b nemajú žiadne iné spoločné faktory ako 1, potom ide o koprime.
Príklady dvojíc hlavných čísel: 2 a 5, 13 a 16, 35 a 88 atď. Môžete zadať niekoľko hlavných čísel, napríklad čísla 7, 9, 16 sú druhé.
Koprime čísla sa často označujú takto: (a, b) = 1. Napríklad (23, 30) = 1. Tento zápis je ako keby skrátený zápis najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (GCD(23 , 30) = 1) a hovorí, že ich najväčší spoločný deliteľ je 1.
Dve susediace prirodzené čísla budú vždy relatívne prvočísla. Napríklad 15 a 16 sú pár relatívne prvočísel, rovnako ako 16 a 17. To sa dá ľahko pochopiť, ak vezmete do úvahy „pravidlo“, že ak sú dve prirodzené čísla a a b deliteľné rovnakým prirodzeným číslom väčšie ako 1 ( n > 1), potom aj ich rozdiel musí byť deliteľný týmto číslom n (tu máme na mysli, že a, b a ich rozdiel sú deliteľné celým číslom, t.j. sú násobkami čísla n). Ale ak a a b sú dve susedné čísla (nech a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.
Z definície prvočísel a prvočísel vyplýva aj to rôzne prvočísla sú vždy coprime. Deliteľom akéhokoľvek prvočísla je predsa len on sám a 1.
Vlastnosti prvočíselných čísel
- Najmenší spoločný násobok (LCM) dvojice prvočísel sa rovná ich súčinu. Napríklad (3, 8) = 1 (to znamená coprime), preto ich LCM je 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). V skutočnosti nenájdete menšie číslo ako 24, ktoré je násobkom 3 aj 8.
- Ak sú čísla a a b prvočíslo a číslo c je násobkom oboch a a b, potom toto číslo bude tiež násobkom súčinu ab. Dá sa to napísať takto: ak c a a c b, potom c ab. Napríklad (3, 10) = 1, číslo 60 je násobkom 3 aj 10 a je tiež násobkom 30 (3 × 10).
- Ak sú čísla a a b prvočíslo a číslo c je násobkom b (c b ), potom súčin ac bude tiež násobkom b (ac b ). Napríklad (2, 17) = 1, nech c = 34. Číslo 34 je násobkom b = 17, potom ac = 2 × 34 = 68. Skontrolujeme: 68 ÷ 17 = 4, t.j. je deliteľné celok, čo znamená, že 68 je násobok 17.
Typicky existuje viac nehnuteľností, ako je tu uvedené. Okrem toho sú vlastnosti prvotriednych čísel formulované rôznymi spôsobmi. Môže byť tiež potrebné preukázať tieto vlastnosti (v tomto prípade sa dôkaz neposkytuje).
