Видеокурсът „Вземи А“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика на 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на Основен изпит по математика. Ако искате да положите изпита за 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това са повече от 70 точки на изпита и без тях няма студент със сто точки, нито студент по хуманитарни науки.
Цялата теория, от която се нуждаете. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи на част 1 от Банката на задачите на FIPI са разглобени. Курсът напълно отговаря на изискванията на изпита-2018.
Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, проста и ясна.
Стотици изпитни задачи. Словни проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочен материал, анализ на всички видове задания за използване. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамници, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до проблем 13. Разбиране вместо натъпкване. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основата за решаване на сложни задачи от втората част на изпита.
Най -малко 1, така че поне 1 елемент е различен от нула. Нека 1 и 2 се пресичат, те имат обща линия, имат обща система, не са успоредни и затова са съвместими. Нека 1 и 2 са успоредни:,. Ако декартовата координатна система, тогава - нормални вектори. Косинус на ъгъла между два вектора:
Необходимо и достатъчно условие за перпендикулярността на две равнини:
20. Различни начини за определяне на права линия в пространството. Прав и равнинен. 2 прави линии в пространството. Ъгълът между две прави линии. Коментирайте. Правата в пространството не може да бъде определена с едно уравнение. Това изисква система от две или повече уравнения. Първата възможност за съставяне на уравненията на права линия в пространството е да се представи тази права като пресичане на две непаралелни равнини, дадени от уравненията A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2= 0, където коефициентите A 1, B 1, C 1и A 2, B 2, C 2не пропорционално: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0; A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2= 0 При решаването на много задачи обаче е по -удобно да се използват други уравнения на права линия, които изрично съдържат някои от нейните геометрични характеристики. М 0 (x 0, y 0, z 0) успоредно на вектора а = (l, m, n) Определение.Всеки ненулев вектор, успореден на дадена права, се нарича негов вектор на посоката.За всяка точка M (x, y, z) лежи върху дадена права линия, вектора M 0 M = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) е колинеарен на вектора на посоката а . Следователно равенствата се случват:
Наречен канонични уравнениянаправо в космоса. По -специално, ако искате да получите уравненията на права линия, преминаваща през две точки: M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), векторът на посоката на такава права линия може да се счита за вектор М 1 М 2 = {x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и уравненията (8.11) приемат формата:
- уравнения на права линия, преминаваща през две дадени точки... Ако обаче вземем всяка еднаква част в уравненията за някакъв параметър T, можете да получите т.нар параметрични уравнения на права линия:
За да се премине от уравнения към канонични или параметрични уравнения на права линия, е необходимо да се намери векторът на посоката на тази права линия и координатите на всяка точка, която й принадлежи. Векторът на посоката на правата линия е ортогонален на нормалите към двете равнини, следователно той е колинеен с техния векторен продукт. Следователно като вектор на посоката можете да изберете [ n 1 n 2 ] или всеки вектор с пропорционални координати. За да намерите точка, лежаща на дадена права линия, можете да зададете произволно една от нейните координати и да намерите другите две от уравненията, като ги изберете така, че детерминантата на техните коефициенти да не е равна на нула.
Ъгъл между прави линии. Ъгълът между права линия и равнина.Ъгълът между правите линии в пространството е равен на ъгъла между техните вектори на посоката. Следователно, ако две прави линии са дадени от канонични уравнения на вида
А косинусът на ъгъла между тях може да се намери по формулата:
Условията за паралелност и перпендикулярност на правите линии също се свеждат до съответните условия за техните вектори на посоката:
- условие за паралелизъм,
- условие за перпендикулярност на линията... Ъгълът φ между правата линия, даден от каноничните уравнения
И самолетът дефиниран общо уравнение Axe + By + Cz + D= 0, може да се разглежда като допълващ ъгъла ψ между направляващия вектор на правата линия и нормалата към равнината. Тогава
Условието за паралелност на права линия и равнинае в този случай условието за перпендикулярност на векторите н и а : Al + Bm + Cn= 0 и условието за перпендикулярност на права линия и равнина- условието за паралелност на тези вектори: A / l = B / m = C / n.
21. канонично уравнение на елипса. Имоти.се нарича права, която в някои декартови правоъгълни координатни системи се определя от каноничното уравнение x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, при условие, че a≥b> 0. От уравнението следва, че за всички точки на елипсата │x│≤ a и │у│≤ b. Следователно елипсата лежи в правоъгълник със страни 2а и 2б. Точките на пресичане на елипсата с осите на каноничната координатна система, които имат координати (a, 0), (-a, 0), (0, b) и (0, -b), се наричат върховете на елипсата. Числата a и b се наричат съответно голямата и втората полуоси. C1. Осите на каноничната координатна система са осите на симетрия на елипсата, а произходът на каноничната система е нейният център на симетрия. Външният вид на елипсата се описва най -лесно чрез сравняване с окръжност с радиус, центриран в център на елипсата: x 2 + y 2 = a 2. За всяко x такова, че I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами
22. Канонично уравнение на хипербола. Имоти.Наричахме хипербола права, която в определена декартова правоъгълна координатна система се определя от каноничното уравнение x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1. От това уравнение се вижда, че за всички точки на хиперболата │ x│≥a, т.е. всички точки на хиперболата лежат извън вертикалната лента с ширина 2а. Оста на абсцисата на каноничната координатна система пресича хиперболата в точки с координати (a, 0) и (-a, 0), наречени върховете на хиперболата. Оста на ординатите не пресича хиперболата. По този начин хиперболата се състои от две несвързани части. Наричат се нейните клони. Числата a и b се наричат съответно реални и въображаеми полуоси на хиперболата. За хипербола осите на каноничната координатна система са осите на симетрията, а произходът на каноничната система е центърът на симетрията. За да изследваме формата на хиперболата, намираме нейното пресичане с произволна права линия, минаваща през произход. Взимаме уравнението на права линия под формата y = kx, тъй като вече знаем, че правият x = 0 не пресича хиперболата. Абсцисите на пресечните точки се намират от уравнението x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 = 1. Следователно, ако b 2 - a 2 k 2> 0, тогава x = ± ab / √b 2 - a 2 k 2. Това ви позволява да зададете координатите на пресечните точки (ab / u, abk / u) и (-ab / u, -abk / u), където u = (b 2 -a 2 до 2) 1/2 е означено .
Правите с уравнения y = bx / a и y = -bx / a в каноничната координатна система се наричат асимптоти на хиперболата. C2. Произведението на разстоянията от точката на хиперболата до асимптотите е постоянно и равно на 2 b 2 / (a 2 + b 2). C3. Ако точка се движи по хиперболата, така че нейната абсциса в абсолютна стойност се увеличава неопределено, тогава разстоянието от точката до една от асимптотите се стреми към нула. Нека въведем число c, като поставим c 2 = a 2 + b 2 и c> 0. Точките F 1 u F 2 с координати (c, 0) и (-c, 0) в каноничната координатна система се наричат фокуси на хипербола. Съотношението e = c / a, както за елипса, се нарича ексцентричност. Хиперболата има e> 1. C4. Разстоянията от произволна точка M (x, y) на хиперболата до всеки от фокусите, както следва, зависят от неговата абсциса x: r 1 = │F 1 M│ = │a-ex│, r 2 = │F 2 M│ = │a + ex│. C5. За да може точката М да лежи върху хиперболата, е необходимо и достатъчно разликата в нейните разстояния до фокусите в абсолютна стойност да бъде равна на реалната ос на хиперболата 2а. Директрите на хипербола са прави линии, определени в каноничната координатна система с уравненията x = a /, x = -a /. C6. За да лежи точка върху хипербола, е необходимо и достатъчно отношението на нейното разстояние до фокуса към разстоянието до съответната директриса да е равно на ексцентрицитета. Уравнението на допирателната към хиперболата в лежащата върху него точка M 0 (x 0, y 0) има вида: xx 0 / a 2 - yy 0 / b 2 = 1. C7. Допирателната към хиперболата в точката M 0 (x 0, y 0) е бисектрисата на ъгъла между сегментите, свързващи тази точка с фокусите.
23. Канонично уравнение на парабола. Имоти.нарекохме правата, която в някои декартови правоъгълни координатни системи се определя от каноничното уравнение y 2 = 2px, при условие p> 0. От уравнението следва, че за всички точки на параболата x≥0. Параболата преминава през началото на каноничната координатна система. Тази точка се нарича върхът на параболата. Фокусът на парабола е точка F с координати (p / 2, 0) в каноничната координатна система. Директрисата на парабола е права линия с уравнението x = -p / 2 в каноничната координатна система. C1. Разстоянието от точката M (x, y), лежаща върху параболата, до фокуса е r = x + p / 2. C2. За да може точка М да лежи върху парабола, е необходимо и достатъчно тя да е еднакво отдалечена от фокуса и от директрисата, тази парабола. На параболата се приписва ексцентрицитет e = 1. По силата на това споразумение формулата r / d = e е вярна за елипса, за хипербола и за парабола. Нека извлечем уравнението на допирателната към параболата в точката M 0 (x 0, y 0), лежаща върху нея, има формата yy 0 = p (x + x 0). C3 Тангенсата към параболата в точка Mo е бисектрисата на ъгъла, съседен на ъгъла между сегмента, който свързва Mo с фокуса, и лъча, излизащ от тази точка по посока на оста на параболата.
24. Алгебрични линии.За да зададете алгебрични линии на равнина, тогава някои алгебрични ur-th от формата F (x, y) = 0 и някаква афинна координатна система на окръжност в равнина, тогава тези и само тези M (x, y), чиито координати удовлетворяват уравнението, се считат за легнали върху дадено уравнение. Уравненията за повърхност в пространството са зададени по подобен начин. Задайте алгебрично уравнение от формата F (x, y, z) = 0 (z) с 3 променливи и някаква координатна система OXYZ, само тези точки F (x, y, z) = 0 (z) са уравнението на равнината. В този случай ние вярваме, че две ури определят една и съща линия или повърхност и т.н., когато една от тези ури се получава от другата чрез умножаване по някакъв цифров фактор lambda 0.
25. Понятието за алгебрична повърхност.Изучаването на произволни множества от точки е напълно огромен проблем. Деф. Алгебрична повърхност е набор от точки, които в някои декартови координатни системи могат да бъдат дадени чрез уравнение от вида + ... + = 0, където всички показатели са Неотрицателни числа. такава сума от показатели.) + +, ...., + + се нарича степен на уравнението, както и редът на алгебричната повърхност. Това определение означава по -специално, че сферата, чието уравнение в декартовата правоъгълна координатна система има формата ( + ( + (=, е алгебрична повърхност от втори ред. Теорема. Алгебрична повърхност от ред p във всяка декартова координатна система може да се даде чрез уравнение на формата + ... + = 0 от ред p.
26. Цилиндрични повърхности от 2 -ри ред.Нека на равнината е дадена някаква права от 2 -ри ред и куп успоредни линии d, така че за всяко d, което не е успоредно на, тогава множеството φ на всички точки от пространството, принадлежащи на онези линии на снопа, които пресичат линията γ, са наречени водачи, а линиите, пресичащи φ, са генератори. Нека изведем уравнението на цилиндрична повърхност по отношение на афинна координатна система. Нека някои K лежат в някаква равнина P, чието уравнение F (x, y) = 0, в посока a (a 1 a 2 a 3) d е успоредна на a. Точката M (x, y, z) лежи върху някакъв генератор, а N (x'y'o) е точката на пресичане на този генератор с равнината P. Векторът MN ще бъде колинеен с ta, следователно MN = ta , x '= x + a 1 t; y '= y + a 2 t; 0 = z + a 3 t, следователно t = -z / a 3, тогава x ’= x- (a 1 z) / a 3; y '= y- (a 2 z) / a 3 F (x'y') = 0 F (x- (a 1 z) / a 3; y- (a 2 z) / a 3. Сега е ясно че уравнението F (x, y) = 0 е уравнението на цилиндър с генератори, успоредни на оста Oy, и F (y, z) = 0 с генератори, успоредни на оста Ox. 0 a 2 = 0 a 3 ≠ 0 F (x, y) = 0, следователно, толкова линии от втори ред, толкова цилиндри Повърхности: 1. Елиптичен цилиндър x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 2. Хиперболичен цилиндър x 2 / a 2 -y 2 / b 2 = 1 3. Параболичен цилиндър y 2 = 2πx 4. Двойка пресичащи се равнини x 2 / a 2 -y 2 / b 2 = 0 5. Двойка паралелни равнини x 2 / a 2 = 1
27. Канонични повърхности от втори ред.Повърхност, върху която има точка Mo, притежаваща свойството, че заедно с всяка точка Mo ≠ M съдържа права линия (Mo M), такава повърхност се нарича канонична или конус. M o е върхът на конуса, а правите линии са неговите генератори. Функция F (x, y, z) = 0 се нарича хомогенна, ако F (tx, ty, tz) = φ (t) F (x, y, z), където φ (t) е функция на t. Теорема. Ако F (x, y, z) е хомогенна функция, тогава повърхността, дефинирана от това уравнение, е канонична повърхност с връх в началото. Док. Нека е дадена афинна координатна система и от нея е дадено канонично уравнение с център F (x, y, z) = 0. Помислете за уравнение с връх в точката O M (x, y, z) = 0, тогава всяка точка OM от F ще има формата M 1 (tx, ty, tz) на каноничната повърхност. M o M (x, y, z), тъй като удовлетворява повърхността, тогава F (tx, ty, tz) = 0 е хомогенна функция φ (t) F (x, y, z) = 0, следователно повърхността е каноничен. Кривите от 2 -ри ред са сечения в крайната повърхност на равнините x 2 + y 2 -z 2 = 0 / Когато каноничните повърхности се изрязват с равнини, получаваме следните линии в разрез: а) равнина, преминаваща през a точка или двойка слети прави линии и двойка пресичащи се прави. Б) равнината не преминава през върха на конуса; следователно получаваме в разрез или елипса, или хипербола, или парабола.
28. Повърхности на революцията.Нека е дадена декартова рамка в триизмерно пространство. Равнината P преминава през Oz, γ е дадена в равнината на Ozy, а ъгълът xOy = φ γ има формата u = f (z). Вземете точка M от γ по отношение на рамката Oxyz. γ - описаната окръжност γМ по всички точки М от γ се нарича отразяване. Сечението на повърхността на въртене на равнината, преминаващо през оста на въртене, се нарича меридиан. Сечението на повърхността на въртене на равнина, перпендикулярна на оста на въртене, се нарича паралелна. Уравнението на повърхността на въртене x 2 + y 2 = f 2 (z) е уравнението на повърхността на въртене. 1) Ако ъгълът φ = 0, тогава γ лежи в равнината xOz, x 2 + y 2 = f 2 (z) 2) γ лежи в равнината xOy и нейното уравнение y = g (x), тогава y 2 + z 2 = g 2 (x) 3) γ лежи в равнината yOz и уравнението му е z = h (y), тогава z 2 + x 2 = h 2 (y)
29. Елипсоиди.Повърхността, която се получава чрез завъртане на елипса около осите на симетрията. Насочвайки вектора e 3 първо по малката ос на елипсата, а след това по голямата ос, получаваме ur-та елипса в следните форми :. По силата на ур-та формула съответните повърхности на въртене ще бъдат = 1 (a> c). Повърхностите с такива ур-и се наричат компресирани (а) и прибрани (б) елипсоиди на въртене.
Преместваме всяка точка М (x, y, z) на компресирания елипсоид на въртене към равнината y = 0, така че разстоянието от точката до тази равнина намалява в постоянното съотношение λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.
30. Хиперболоиди.Хиперболоид на един лист на революцияДали повърхността на въртене на хиперболата около оста, която не я пресича. По формулата получаваме уравнението на тази повърхност (фиг. 48). В резултат на компресирането на еднолистов хиперболоид на въртене до равнината y = 0, получаваме еднолистов хиперболоид с ur-em. Интересен sv-в еднолистов хиперболоид е наличието на праволинейни генератори в него. Така наречените прави линии, всички точки лежат на повърхността. Два праволинейни генератора преминават през всяка точка на еднополов хиперболоид, ур-тият от които може да бъде получен по следния начин. Ur-e (8) може да бъде пренаписано като. Помислете за права линия с ur-ys μ = λ, λ = μ (9), където λ и μ са някои числа (λ 2 + μ 2 ≠ 0). Координатите на всяка точка на правата линия удовлетворяват и двете ур-дупки и следователно ур-ти (8), която се получава чрез умножение по термин. Следователно, каквито и да са λ и μ, правата линия с уравнения (9) лежи върху еднолистов хиперболоид. По този начин система (9) дефинира семейство праволинейни генератори. Ако заедно с хиперболата завъртим нейните асимптоти, те описват прав кръгъл конус, наречен асимптотичен конус на хиперболоида на революцията. Когато хиперболоидът на въртенето се компресира, неговият асимптотичен конус се свива в асимптотичен конус на общ еднолистов хиперболоид.
Двулистов хиперболоид.Двулистов хиперболоид на въртене е повърхност, получена чрез завъртане на хипербола около оста, която я пресича. Съгласно формулата получаваме ur-e на двулистов хиперболоид на въртене.В резултат на компресирането на тази повърхност до равнината y = 0 се получава повърхност с ur-e (12). Повърхността, която в някои декартови правоъгълни координатни системи има ur-e от формата (12), се нарича двулистов хиперболоид (фиг. 49). Тук два клона на хиперболата съответстват на две несвързани части („кухини“) на повърхността. Асимптотичният конус на двулистов хиперболоид се дефинира по същия начин, както за еднолистов хиперболоид.
31. Параболоиди.Елиптичен параболоид.Завъртайки параболата x 2 = 2pz около оста на симетрия, получаваме повърхност с ur-em x 2 + y 2 = 2pz. Нарича се параболоид на революцията. Компресирането към равнината y = 0 превръща параболоида на въртенето в повърхност, чиято ur-e е редуцирана до формата 2z (14). Повърхност, която има такъв ur-e в някаква декартова правоъгълна координатна система, се нарича елиптичен параболоид. Хиперболичен параболоид.По аналогия с ur-em (14) можем да напишем ur-e Повърхност, която има такова ur-e в някои декартови правоъгълни координатни системи, се нарича хиперболичен параболоид. От каноничното уравнение z = x 2 / a 2 - y 2 / b 2 на хиперболичния параболоид следва, че равнините Oxz и Oyz са равнини на симетрия. Оста Oz се нарича оста на хиперболичния параболоид. Линиите z = h на пресечната точка на хиперболичния параболоид с равнините z = h представляват, за h> 0, хиперболите x 2 / a * 2 - y 2 / b * 2 = 1 с полуоси a * = a√h, b * = b√h и за h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гиперболического параболоида. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуz (Охz).
32. Сложни числа. Алгебрична форма на комплексно число.Комплексното число е израз на формата z = x + iy, където x и y са реални числа, i е въображаема единица. Числото x се нарича реална част от числото z и се обозначава с Re (z), а числото y се нарича въображаема част от числото z и се обозначава с Im (z). Числата z = x + iy и z = x - iy се наричат спрегнати. Две комплексни числа z 1 = x 1 + iу 1 и z 2 = x 2 + iу 2 се наричат равни, ако реалната и въображаемата им част са равни. По -специално i 2 = -1. Аритметичните операции върху набор от комплексни числа са дефинирани, както следва. 1. Добавяне: z 1+ z 2 = x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2); 2. Изваждане: z 1 -z 2 = x 1 -x 2 + i (y 1 -y 2); 3. Умножение: z 1 z 2 = (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); Разделяне: z 1 / z 2 = ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2. За представяне на.ч. са точките на координатната равнина Oxy. Самолет се нарича сложен, ако всеки к.ч. z = x + iy се присвоява точката на равнината z (x, y) и това съответствие е едно към едно. Осите Ox и Oy, на които са разположени реалните числа z = x + 0i = x и чисто въображаемите числа z = 0 + iy = iy, се наричат съответно реалната и въображаемата ос
33. Тригонометрична форма на комплексно число. Формулата на Мойвр.Ако истинската хи въображаема yчасти от комплексно число, изразени чрез модула r = | z| и аргумент j (x = r cosj, y = r sinj), след това всяко комплексно число z, с изключение на нула, може да се запише на тригонометрична форма z = r (cosj + isinj). Характеристики на тригонометричната форма: 1) първият фактор е неотрицателно число, r³0; 2) косинусът и синусът на същия аргумент са записани; 3) въображаемата единица се умножава по sinj. Може също да бъде полезно показателенформа на нотация за комплексни числа, тясно свързана с тригонометричната чрез формулата на Ойлер: z = re i j. Където e i j е експонентното разширение за случая на сложен показател. Формула за повдигане на комплексно число в тригонометрична форма до степен. Формулата на Мойврима вида: z = n = r n (cosnj + isin nj), където rе модулът, а j е аргументът на комплексното число.
34. Операции над полиноми. Алгоритъмът на Евклид.Общ изглед на уравнението на n -та степен: a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n = 0 (1). Определя се набор от коефициенти. (a 0, a 1, ..., a n -1, a n) са произволни комплексни числа. Помислете за лявата част на (1): a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n -полиноми от n -та степен. Два полинома f (x) и g (x) ще се считат за равни или идентично равни, ако коефициентите при същите степени са равни. Всеки полином се определя от набор от коефициенти.
Нека дефинираме операциите на събиране и умножение върху полиноми: f (x) = a 0 + a 1 x +… + a n x n; g (x) = b 0 + b 1 x +… + b s x s n³s; f (x) + g (x) = c 0 + c 1 x + ... + c n x n -1 + c n; c i = a i + b i, ако i = 0,1 ... n; i> s b i = 0; f (x) * g (x) = d 0 + d 1 x + ... + d n + s x n + s; ; d 0 = a 0 b 0; d 1 = a 0 b 1 + a 0 b 1; d 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0. Степента на произведението на полиноми е равна на сумата и операциите имат следните свойства: 1) a k + b k = b k + a k; 2) (a k + b k) + c k = a k + (b k + c k); 3). Полином f (x) се нарича обратен (x), ако f (x) * (x) = 1. Операцията за разделяне не е възможна в множеството от полиноми. В евклидовото пространство за полином има деление с остатък. f (x) и g (x)съществува r (x)и q (x)са еднозначно определени. ; ; f (x) = g (x);; ... Степента на дясната страна на £ степента g (x), и степента на лявата страна от тук от тук - стигнахме до противоречие. Доказваме първата част на теоремата :. Нека се умножаваме g (x) чрез полином, така че водещите коефициенти да се умножат.
След кстъпки.
; ; има по -малка степен q (x). Многочлен q (x) - част от f (x),а r (x) -остатък от разделението. Ако f (x)и g (x)имат реални коефициенти q (x)и r (x)- също са валидни.
35 Делител на полиноми. GCD.Нека бъдат дадени два ненулеви полинома f (x) и j (x) със сложни коефициенти. Ако остатъкът е нула, тогава f (x) се казва делимо на j (x), ако j (x) е делител на f (x). C-va на полинома j (x): 1) Полиномът j (x) е делител на f (x), ако съществува Y (x) и f (x) = j (x) * Y (x) (1). j (x) -делител, Y (x) -частичен. Нека Y (x) удовлетворява (1), тогава от предходната теорема Y (x) е частна, а остатъкът е 0. Ако (1) е изпълнено, тогава j (x) е делител, следователно j (x)<= степени f(x). Основни свойства на делимостта на полином: 1); 2 f (x) и g (x) се делят на j (x), тогава те се делят на j (x); 3) ако; 4) ако f 1 (x) .. f k (x): j (x) ®f 1 g 1 + ... + f k g k: j (x); 5) всеки полином е делим на всеки полином с нулева степен f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + a n c; 6) ако f (x): j (x), тогава f (x): cj (x); 7) Полиномът cf (x) и само те ще бъдат делители на полинома j (x), със същата степен като f (x); 8) f (x): g (x) и g (x): f (x), тогава g (x) = cf (x); 9) Всеки делител на един от f (x) и cf (x), с¹0 ще бъде делител на другия. Определение:Най -големият общ делител (GCD). Полином j (x) ще се нарича gcd f (x) и g (x), ако разделя всеки от тях. Полиномите с нулева степен винаги са gcd и са еднократни. Gcd на ненулеви полиноми f (x) и g (x) се нарича d (x), което е явно. общ делител и се дели на всеки друг делител и общ на тези полиноми. Gcd f (x) и g (x) = (f (x): g (x)). Алгоритъм за намиране на GCD:Нека степента g (x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)
r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x) + r k (x)
r k -1 (x) = r 2 (x) + q k (x) r k (x) -NOD. Нека го докажем. r k (x) делител r k -1 (x) ® върху делител r k -2 (x) ... ® върху делител g (x) ® върху делител f (x). g (x) g 1 (x) се дели на rk (x) ® f (x) - g (x) g 1 (x) се дели на rk (x) ® r 1 (x) се дели на rk (x) ) ® r 2 (x) се дели на rk (x) ® ... qk (x): rk (x) се дели на rk (x).
Нека бъдат дадени две равнини
Първата равнина има нормален вектор (A 1; B 1; C 1), втората равнина (A 2; B 2; C 2).
Ако равнините са успоредни, тогава векторите и са колинеарни, т.е. = l за някакво число l. Ето защо
─ условие за паралелност на равнината.
Условие за съвпадение на равнината:
,
тъй като в този случай умножавайки второто уравнение с l =, получаваме първото уравнение.
Ако условието за паралелност не е изпълнено, тогава равнините се пресичат. По -специално, ако равнините са перпендикулярни, тогава векторите също са перпендикулярни. Следователно техният точков продукт е 0, т.е. = 0, или
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.
Това е необходимо и достатъчно условие равнините да са перпендикулярни.
Ъгълът между две равнини.
Ъгъл между две равнини
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
това е ъгълът между техните нормални вектори и следователно
cosj = 
= 
.
Направо в космоса.
Векторно-параметрично уравнение на права линия.
Определение. Векторът на посоката на правата линиявсеки вектор, лежащ на права линия или успореден на нея, се нарича.
Нека съставим уравнението на правата линия, преминаваща през точката M 0 (x 0; y 0; z 0) и имаща посочен вектор = (a 1; a 2; a 3).
Нека оставим настрана от точката М 0 вектора 
... Нека M (x; y; z) е произволна точка на дадена права линия и 
─ радиусът му е векторът на точката М 0. Тогава 
, 
, Следователно 
... Това уравнение се нарича векторно-параметрично уравнение на права линия.
Параметрични уравнения на права линия.
Във векторно-параметричното уравнение на права линия ще премине към координатните отношения (x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. От това получаваме параметрични уравнения на права линия
x = x 0 + a 1 t,
y = y 0 + a 2 t, (4)
Канонични уравнения на права линия.
От уравнения (4) изразяваме t:
t =, t = 
, t = 
,
откъде идваме канонични уравнения на права линия
= = (5)
Уравнение на права линия, преминаваща през две дадени точки.
Нека са дадени две точки M 1 (x 1; y 1; z 1) и M 2 (x 2; y 2; z 2). Като насочващ вектор на правата линия можем да вземем вектора = 
(x 2 - x 1; y 2 - y 1; z 2 - z 1). Тъй като правата линия преминава през точката M 1 (x 1; y 1; z 1), тогава нейните канонични уравнения в съответствие с (5) ще бъдат записани във вид
(6)
Ъгълът между две прави линии.
Помислете за две прави линии с вектори на посоката = (a 1; a 2; a 3) и 
.
Ъгълът между правите линии е равен на ъгъла между векторите на посоката им, т.е.
cosj = 
= 
(7)
Условие за перпендикулярност за прави линии:
a 1 в 1 + a 2 в 2 + a 3 в 3 = 0.
Условието за паралелност на линиите:
l,
. (8)
Взаимно подреждане на прави линии в пространството.
Като се имат предвид два реда 
и 
.
Очевидно правите линии лежат в една и съща равнина тогава и само ако векторите и 
копланарни, т.е.
= 0 (9)
Ако в (9) първите две линии са пропорционални, тогава правите са успоредни. Ако и трите линии са пропорционални, правите линии съвпадат. Ако условието (9) е изпълнено и първите две линии не са пропорционални, те се пресичат.
Ако ¹ 0, тогава линиите се пресичат.
Задачи на права и равнина в пространството.
Права линия като пресечна точка на две равнини.
Нека бъдат дадени две равнини
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Ако равнините не са успоредни, тогава условието е нарушено
.
Например, нека ¹.
Нека намерим уравнението на права линия, по която се пресичат равнините.
Като вектор на посоката на желаната права линия можем да вземем вектора
= × = 
= 
.
За да намерим точка, принадлежаща на желаната права линия, фиксираме някаква стойност
z = z 0 и решаване на системата
,
получаваме стойностите x = x 0, y = y 0. И така, търсената точка M (x 0; y 0; z 0).
Изискваното уравнение
.
Взаимно подреждане на права линия и равнина.
Нека права линия x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t
и самолет
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.
За да се намерят общите точки на права линия и равнина, е необходимо да се реши системата на техните уравнения
A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,
(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3) t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.
Ако А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, тогава системата има уникално решение
t = t 0 = - 
.
В този случай правата линия и равнината се пресичат в една точка M 1 (x 1; y 1; z 1), където
x 1 = x 0 + a 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.
Ако A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, тогава линията и равнината нямат общи точки, т.е. ... са успоредни.
Ако A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0, тогава правата принадлежи на равнината.
Ъгълът между права линия и равнина.
ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВА РАВНОТА.
| Име на параметър | Смисъл |
| Темата на статията: | СВЪРЗАТЕЛНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВА РАВНА. |
| Рубрика (тематична категория) | Геология |
Две равнини в космоса могат да бъдат разположени или успоредни една на друга, или да се пресичат.
Паралелни равнини... В проекциите с цифрови знаци знак за паралелността на равнините върху плана е паралелността на техните контурни линии, равенството на полагането и съвпадението на посоките на падане на равнините: пл. S || pl. L - з S || з L, л S = л L, подложка. I. (Фигура 3.11).
В геологията плоско хомогенно тяло, съставено от скала, се нарича слой. Слоят е ограничен от две повърхности, горната от които се нарича покрив, а долната - подметката. Ако слоят се разглежда на относително къса дължина, тогава покривът и дъното се приравняват на равнините, получавайки в пространството геометричен модел на две паралелни наклонени равнини.
Плоскостта S е покривът, а равнината L е дъното на слоя (Фигура 3.12, а). В геологията се нарича най -краткото разстояние между горната и долната част истинска сила (на фигура 3.12, аистинската мощност е обозначена с буквата Н). В допълнение към истинската дебелина, в геологията се използват и други параметри на скалния слой: вертикална дебелина - H in, хоризонтална дебелина - L, видима дебелина - тип H. Вертикална мощност в геологията се нарича разстоянието от върха до дъното на слоя, измерено вертикално. Хоризонтална мощност слой е най -краткото разстояние между покрива и дъното, измерено в хоризонтална посока. Привидна мощност - най-краткото разстояние между видимото падане на покрива и дъното (видимото падане се нарича права линия на структурната равнина, тоест права линия, принадлежаща на равнината). Впрочем, видимата мощност винаги е по -голяма от истинската. Трябва да се отбележи, че за хоризонтално лежащите слоеве истинската дебелина, вертикална и видима, съвпадат.
Помислете за техниката на конструиране на паралелни равнини S и L, разположени една от друга на дадено разстояние (Фигура 3.12, б).
На плана с пресичащи се прави линии ми не дадена равнината S. Необходимо е да се конструира равнината L, успоредна на равнината S и на разстояние от нея на разстояние 12 m (тоест истинската дебелина - H = 12 m). Плоскост L се намира под равнина S (равнина S е върхът на слоя, равнина L е дъното).
1) Самолет S се задава на плана чрез проекции на контурни линии.
2) В мащаба на полагането се нанася линията на падане на равнината S - тиС. Перпендикулярно на линията ти S оставете настрана дадено разстояние от 12 m (истинска дебелина на H слоя). Под линията на падане на равнината S и успоредно на нея начертайте линия на падане на равнината L - тиЛ. Определете разстоянието между линиите на падане на двете равнини в хоризонтална посока, т.е.хоризонталната дебелина на слоя L.
3) Отлагане на хоризонталната мощност от хоризонталната на плана з S, успоредно на него, начертайте хоризонтална линия на равнината L със същата цифрова маркировка зЛ. Трябва да се отбележи, че ако равнината L е разположена под S равнината, тогава хоризонталната дебелина трябва да бъде положена по посока на издигането на S равнината.
4) Въз основа на условието за паралелност на две равнини, хоризонталните линии на равнината L са начертани върху плана.
Пресичащи се равнини... Знакът на пресичането на две равнини обикновено е паралелизмът в плана на проекциите на техните контури. Линията на пресичане на две равнини в този случай се определя от точките на пресичане на две едноименни двойки (със същите цифрови знаци) контурни линии (Фигура 3.13) :; ... Свързване на получените точки N и M с права линия м, определя проекцията на необходимата линия на пресичане. Ако равнината S (A, B, C) и L (mn) са посочени на плана не чрез контури, тогава за изграждане на тяхната линия на пресичане Tизключително важно е да се конструират две двойки контурни линии със същите числени коти, които в пресечната точка ще определят проекциите на точките R и F на желаната права линия T(Фигура 3.14). Фигура 3.15 показва случая, когато две се пресичат
равнините S и L хоризонтално са успоредни. Линията на пресичане на такива равнини ще бъде хоризонтална линия з... Струва си да се каже, че за да се намери точка А, принадлежаща на тази права линия, се изчертава произволна спомагателна равнина T, която пресича равнините S и L. Равнината T пресича равнината S по права линия а(C 1 D 2), а равнината L е в права линия б(K 1 L 2).
Пресечна точка на линии аи бпринадлежащи съответно на равнините S и L, ще бъдат общи за тези равнини: = A. Котата на точка А може да бъде определена чрез интерполиране на правите линии аи б... Остава да се начертае хоризонтална линия през A з 2.9, която е линията на пресичане на равнините S и L.
Помислете за друг пример (Фигура 3.16) за конструиране на линията на пресичане на наклонената равнина S с вертикалната равнина Т. Желаната права линия мдефинирани от точки А и В, при които контурите з 3 и з 4 равнини S пресичат вертикалната равнина Т. От чертежа може да се види, че проекцията на линията на пресичане съвпада с проекцията на вертикалната равнина: мº Т. При решаването на геоложки проучвания участък от една или група равнини (повърхности) с вертикална равнина обикновено се нарича разрез. Допълнителната вертикална проекция на права линия, построена в разглеждания пример мнаречен профил на разреза, направен от равнината Т в дадена посока.
ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВА РАВНОТА. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията „ВЗАИМНО МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ НА ДВА РАВНОТА“. 2017, 2018.
По силата на аксиомата: две равнини с обща точка имат обща права линия - възможни са само два случая на равнини: 1) равнините имат обща права линия, тоест те се пресичат; 2) равнините нямат обща точка, такива равнини се наричат паралелни. Съществуването на паралелни равнини следва от следната конструкция. Вземете в равнината (фиг. 331) всяка две пресичащи се прави линии a и b.
Чрез точката М, която не принадлежи на равнината X, направете съответно линии a и b, успоредни на данните. Нека покажем, че равнината, съдържаща тези линии, е успоредна на равнината. Всъщност, ако тези равнини се пресичат по някаква права линия c, тогава тази права линия, принадлежаща на равнината, ще пресича поне една от правите линии a и такава точка на пресичане би била точката на пресичане на една от тези прави линии с Самолетът. Междувременно и двете прави линии са успоредни на равнината по конструкция. По този начин допускането за пресичане на равнините води до противоречие. Следователно равнините са успоредни. това предполага
Паралел на равнините. Ако две пресичащи се прави линии на една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави на друга равнина, тогава равнините са успоредни.
