PRVÝ DERIVÁT
PRVÝ DERIVÁT
(prvý derivát) Rýchlosť rastu hodnoty funkcie, keď jej argument v určitom bode rastie, ak je v tomto bode definovaná samotná funkcia. Na grafe prvá derivácia funkcie ukazuje uhol jej sklonu. Ak y=f(x), jeho prvá derivácia v bode x0 je hranica, do ktorej f(x0+а)–f(x0)/а ako ale má tendenciu k nekonečne malej hodnote. Môže byť označená prvá derivácia dy/dx alebo y'(x). Funkcia y(x) má v bode konštantnú hodnotu x0, ak dy/dx v bode x0 rovná sa nule. Prvá derivácia rovná nule je nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou, aby funkcia v danom bode dosiahla svoje maximum alebo minimum.
ekonomika. Slovník. - M.: "INFRA-M", Vydavateľstvo "Ves Mir". J. Black. Obecná redakcia: doktor ekonómie Osadchaya I.M.. 2000 .
Ekonomický slovník. 2000 .
Pozrite sa, čo je „PRVÝ DERIVÁT“ v iných slovníkoch:
- (derivát) Rýchlosť, ktorou sa hodnota funkcie zvyšuje, keď sa v určitom bode zvýši jej argument, ak je v tomto bode definovaná samotná funkcia. Na grafe prvá derivácia funkcie ukazuje uhol jej sklonu. Ak y \u003d f (x), jeho prvá derivácia v bode ... ... Ekonomický slovník
Tento výraz má iné významy, pozri derivát. Ilustrácia konceptu derivátu Derivát ... Wikipedia
Derivácia je základný pojem diferenciálneho počtu, ktorý charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie. Je definovaná ako hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, keď prírastok argumentu smeruje k nule, ak takáto hranica ... ... Wikipedia
Hraničný problém špeciálneho typu; spočíva v hľadaní premenných v doméne D x=(x1,..., xn).riešenia diferenciálnej rovnice (1) párneho rádu 2m pre dané hodnoty všetkých derivácií rádu nie vyšších ako m na hranici S domény D (alebo jej časti) ... Matematická encyklopédia
- (druhá derivácia) Prvá derivácia prvej derivácie funkcie. Prvá derivácia meria sklon funkcie; druhá derivácia meria, ako sa mení sklon s rastúcim argumentom. Druhá derivácia y = f(x)… … Ekonomický slovník
Tento článok alebo sekcia si vyžaduje revíziu. Vylepšite prosím článok v súlade s pravidlami pre písanie článkov. Zlomkový pro ... Wikipedia
- (krížová parciálna derivácia) Vplyv zmeny jedného argumentu funkcie z dvoch alebo viacerých premenných na deriváciu tejto funkcie s ohľadom na iný argument. Ak y \u003d f (x, z), potom jej derivácia alebo prvá derivácia funkcie y vzhľadom na argument x je ... ... Ekonomický slovník
analógová rýchlosť bodu- Prvá derivácia pohybu bodu pozdĺž zovšeobecnenej súradnice mechanizmu ...
analóg uhlovej rýchlosti spoja- Prvá derivácia uhla natočenia spojky vzhľadom na zovšeobecnenú súradnicu mechanizmu ... Polytechnický terminologický výkladový slovník
zovšeobecnená rýchlosť mechanizmu- Prvá derivácia zovšeobecnených súradníc mechanizmu vzhľadom na čas ... Polytechnický terminologický výkladový slovník
knihy
- Zbierka úloh v diferenciálnej geometrii a topológii, Mishchenko A.S.
- Moje vedecké články Kniha 3. Metóda matice hustoty v kvantových teóriách lasera, ľubovoľný atóm, Bondarev Boris Vladimirovič. Táto kniha sa zaoberá publikovanými vedeckými článkami, v ktorých sú prezentované nové kvantové teórie lasera, ľubovoľného atómu a tlmeného kvantového oscilátora metódou hustotných matíc.…
Je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?
Geometrický a fyzikálny význam derivácie
Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:
Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.
Inak sa to dá napísať aj takto:
Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:
derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.
Fyzikálny význam derivátu: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.
Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:
Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:
Pravidlo prvé: odstráňte konštantu
Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .
Príklad. Vypočítajme deriváciu:
Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií
Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.
Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.
Nájdite deriváciu funkcie:
Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií
Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:
Príklad: nájdite deriváciu funkcie:
Riešenie: 
Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:
V tomto prípade je stredný argument 8-násobok k piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií
Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:
Pokúsili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako to znie, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.
S akoukoľvek otázkou na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť to najťažšie ovládanie a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.
Derivácia funkcie je jednou zo zložitých tém školské osnovy. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je to derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Tá má najviac vysoká rýchlosť zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:
Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje ako .
Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kružnici.
Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej nohy k susednej. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici je tzv sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladným smerom osi. Pretože tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.
V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.
Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesajúci | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh na skúšku. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak pred bodom sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
Je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?
Geometrický a fyzikálny význam derivácie
Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:
Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.
Inak sa to dá napísať aj takto:
Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:
derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.
Fyzikálny význam derivátu: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.
Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:
Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:
Pravidlo prvé: odstráňte konštantu
Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .
Príklad. Vypočítajme deriváciu:
Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií
Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.
Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.
Nájdite deriváciu funkcie:
Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií
Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:
Príklad: nájdite deriváciu funkcie:
Riešenie:
Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:
V tomto prípade je stredný argument 8-násobok k piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií
Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:
Pokúsili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako to znie, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.
S akoukoľvek otázkou na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť to najťažšie ovládanie a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.
Dá sa vytiahnuť z nápisu derivát:
(af(x)"=af" (x).
Napríklad:
Derivácia algebraického súčtu niekoľko funkcií (v konštantnom počte) sa rovná ich algebraickému súčtu deriváty:
(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).
Napríklad:
(0,3 x 2 – 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivát posledný termín rovnica je nulová).
Ak derivácia funkcie g je nenulové, potom má aj pomer f/g konečný derivát. Táto vlastnosť môže byť zapísaná ako:
.
Nechať byť funkcie y = f(x) a y = g(x) majú konečné deriváty v bode x 0 . Potom funkcie f ± g a f g majú tiež konečné deriváty v toto bod. Potom dostaneme:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,
(f g) ' = f ' g + f g '.
Derivácia komplexnej funkcie.
Nechať byť funkciu y = f(x) má konečná derivácia v bode x 0 , funkcia z = s(y) má konečnú deriváciu v bode y 0 = f(x 0).
Potom komplexná funkcia z = s (f(x)) má v tomto bode tiež konečnú deriváciu. Dá sa to napísať v tvare:
.
Derivácia inverznej funkcie.
Nech má funkcia y = f(x). inverzná funkcia x = g(y) na niektorých interval(a, b) a existuje nenulové číslo konečný derivát túto funkciu v bode x 0 , ktorý patrí do domén, t.j. x 0 ∈ (a, b).
Potom inverzná funkcia Má derivát v bode y 0 = f (x 0):
.
Derivácia implicitnej funkcie.
Ak funkciu y = f(x) je implicitne definované rovnica F(x, y(x)) = 0, potom jeho derivát sa zistí z podmienky:
.
To hovoria funkciu y = f(x) nastaviť implicitne, Ak ona identicky vyhovuje vzťahu:
kde F(x, y) je nejaká funkcia dvoch argumentov.
Derivácia funkcie zadanej parametricky.
Ak funkciu y = f(x) je dané parametricky pomocou uvažovaného
