Решаване на уравнение 3 1. Различни методи за решаване на уравнения. Проверяване на решението до уравнение

В курса по математика за 7 клас за първи път се срещат уравнения в две променливи, но те се изучават само в контекста на системи от уравнения с две неизвестни. Ето защо цяла поредица от проблеми отпадат от полезрението, при които се въвеждат някои условия върху коефициентите на уравнението, които ги ограничават. Освен това методи за решаване на задачи като „Решаване на уравнение в естествени числа или цели числа“ също остават без внимание, въпреки че проблеми от този вид се срещат все по -често в материалите на USE и на приемните изпити.

Кое уравнение ще се нарича уравнение с две променливи?

Така например уравненията 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 са уравнения в две променливи.

Помислете за уравнението 2x - y = 1. То се превръща в истинско равенство за x = 2 и y = 3, така че тази двойка стойности на променливите е решение на разглежданото уравнение.

По този начин решението на всяко уравнение с две променливи е съвкупността от подредени двойки (x; y), стойностите на променливите, които това уравнение се превръща в истинско числово равенство.

Уравнение с две неизвестни може:

а) има едно решение.Например, уравнението x 2 + 5y 2 = 0 има уникално решение (0; 0);

б) имат множество решения.Например (5 -| x |) 2 + (| y | -2) 2 = 0 има 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

v) нямат решения.Например, уравнението x 2 + y 2 + 1 = 0 няма решения;

Ж) имат безкрайно много решения.Например x + y = 3. Решенията на това уравнение ще бъдат числа, чиято сума е 3. Множеството от решения това уравнениеможе да се запише като (k; 3 - k), където k е всяко реално число.

Основните методи за решаване на уравнения с две променливи са методи, базирани на факторинг изрази, изолиране на пълен квадрат, използване на свойствата на квадратно уравнение, ограничени изрази и методи за оценка. Уравнението обикновено се трансформира във форма, от която може да се получи система за намиране на неизвестни.

Факторизация

Пример 1.

Решете уравнението: xy - 2 = 2x - y.

Решение.

Групираме термините с цел факторинг:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Преместете общия множител от всяка скоба:

y (x + 1) - 2 (x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Имаме:

y = 2, x е всяко реално число или x = -1, y е всяко реално число.

Поради това, отговорът е всички двойки от вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенството на нула не е така отрицателни числа

Пример 2.

Решете уравнението: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y).

Решение.

Групираме се:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Сега всяка скоба може да бъде сгъната с помощта на квадратната формула за разлика.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Сумата от два неотрицателни израза е нула само ако 3x - 2 = 0 и 2y - 3 = 0.

Това означава, че x = 2/3 и y = 3/2.

Отговор: (2/3; 3/2).

Метод за оценка

Пример 3.

Решете уравнението: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Решение.

Във всяка скоба изберете пълен квадрат:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Оценете значението на изразите в скоби.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, тогава лявата страна на уравнението винаги е поне 2. Равенството е възможно, ако:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y - 2) 2 + 2 = 2, което означава x = -1, y = 2.

Отговор: (-1; 2).

Нека се запознаем с друг метод за решаване на уравнения с две променливи от втора степен. Този метод е, че уравнението се счита за квадрат по отношение на всяка променлива.

Пример 4.

Решете уравнението: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решете уравнението като квадрат по отношение на x. Нека намерим дискриминанта:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4 (√y - 2) 2. Уравнението ще има решение само когато D = 0, тоест, ако y = 4. Заменете стойността на y в първоначалното уравнение и намерете, че x = 3.

Отговор: (3; 4).

Често в уравнения с две неизвестни, ограничения на променливите.

Пример 5.

Решете цялото уравнение: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Препишете уравнението като x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Дясната страна на полученото уравнение, разделена на 5, дава остатък 2. Следователно x 2 не се дели на 5. Но квадратът на число, което не се дели по 5 дава остатък 1 или 4. По този начин равенството е невъзможно и няма решения.

Отговор: без корени.

Пример 6.

Решете уравнението: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Изберете пълните квадрати във всяка скоба:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. Лявата страна на уравнението винаги е по -голяма или равна на 3. Равенство е възможно при условие | x | - 2 = 0 и y + 3 = 0. По този начин x = ± 2, y = -3.

Отговор: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

За всяка двойка отрицателни цели числа (x; y), удовлетворяващи уравнението
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, изчислете сумата (x + y). В отговора посочете най -малката от сумите.

Решение.

Нека изберете пълни квадрати:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Тъй като x и y са цели числа, техните квадрати също са цели числа. Сумата от квадратите на две цели числа, равна на 37, се получава, ако добавим 1 + 36. Следователно:

(x - y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решавайки тези системи и вземайки предвид, че x и y са отрицателни, намираме решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Отговор: -17.

Не се обезсърчавайте, ако имате затруднения при решаването на уравнения с две неизвестни. С малко практика можете да се справите с всяко уравнение.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да решите уравнения в две променливи?
За да получите помощ от учител - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Умението да ги решавате е абсолютно необходимо.

Квадратно уравнение е уравнение от формата ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучим конкретни методи на решение, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат условно да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имайте точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как определяте колко корена има уравнението? Има едно прекрасно нещо за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е само числото D = b 2 - 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Откъде идва - сега няма значение. Друго е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има квадратното уравнение. А именно:

1. Ако D.< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D> 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а изобщо не техните признаци, както по някаква причина мнозина смятат. Разгледайте примерите - и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Нека запишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; с = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното уравнение остава:
а = 1; b = −6; с = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Дискриминантът е нула - ще има един корен.

Имайте предвид, че за всяко уравнение са записани коефициенти. Да, дълго е, да, скучно - но няма да смесвате коефициентите и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да изписвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след като се решат 50-70 уравнения - като цяло не чак толкова.

Квадратични корени

Сега нека преминем към решението. Ако дискриминантът D> 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате някоя от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Нека ги намерим

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ вляво (-1 \ вдясно)) = 3. \\ \ край (подравняване) \]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Може да се използва всяка формула. Например първият:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да броите, няма да има проблеми. Най -често грешки възникват при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново описаната по -горе техника ще ви помогне: погледнете формулата буквално, опишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по -различно от това, което е дадено в определението. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Лесно е да се види, че един от термините липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по -лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът при променлива x или свободен елемент е равен на нула.

Разбира се, е възможен много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0. Нека го преобразуваме малко:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c / a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако неравенството (−c / a) ≥ 0 важи в непълно квадратно уравнение на формата ax 2 + c = 0, ще има два корена. Формулата е дадена по -горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не беше необходим - в непълните квадратни уравнения изобщо няма сложни изчисления. Всъщност дори не е необходимо да се помни неравенството (−c / a) ≥ 0. Достатъчно е да изразите стойността x 2 и да видите какво стои от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, няма да има никакви корени.

Сега нека се заемем с уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да се премахне полиномът:

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук са корените. В заключение ще анализираме няколко такива уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т.к. квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

((3 * x - 1) = 0;

- (3 * x - 1) = 0;

Оттук получаваме, че има едно уравнение 3 * x - 1 = 0.

Получено линейно уравнение под формата 3 * x - 1 = 0

За да решим уравнението, определяме какви свойства има уравнението:

• Уравнението е линейно и е записано като a * x + b = 0, където a и b са произволни числа;
• При a = b = 0 уравнението има безкраен набор от решения;
• Ако a = 0, b ≠ 0, уравнението няма решение;
• Ако a ≠ 0, b = 0, уравнението има решение: x = 0;
• Ако a и b са числа, различни от 0, тогава коренът се намира по следната формула x = - b / a.

Следователно получаваме, че a = 3, b = - 1, което означава, че уравнението има един корен.

Проверяване на решението до уравнение

Заместете намерената стойност x = 1/3 в оригиналния израз | 3 * x - 1 | = 0, тогава получаваме:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

За да намерим стойността на израз, първо изчисляваме умножението или делението на свой ред, след което се извършва събиране или изваждане. Тоест получаваме:

Следователно, x = 1/3 е коренът от уравнението | 3 * x - 1 | = 0.

| 3 * x - 1 | = 0;

Модулът се разширява със знак плюс и минус. Получаваме 2 уравнения:

1) 3 * x - 1 = 0;

Пренасяме известните стойности в едната страна, а неизвестните в другата. При прехвърляне на стойности техните знаци се променят на противоположния знак. Тоест получаваме:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Отваряме скобите. Тъй като пред скобите има знак минус, когато се разгъне, знаците на стойностите се променят на противоположния знак. Тоест получаваме:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1 / ( - 3);
x = 1/3;
Отговор: x = 1/3.

I. Линейни уравнения

II. Квадратни уравнения

брадва 2 + bx +° С= 0, а≠ 0, в противен случай уравнението става линейно

Квадратните корени могат да бъдат изчислени по различни начини, например:

Ние сме добри в решаването на квадратни уравнения. Много уравнения с по -високи степени могат да бъдат сведени до квадрат.

III. Уравненията се свеждат до квадрат.

промяна на променлива: а) биквадратно уравнение брадва 2n + bx n + ° С = 0,а ≠ 0,н ≥ 2

2) симетрично уравнение от степен 3 - уравнение от формата

3) симетрично уравнение от степен 4 - уравнение от формата

брадва 4 + bx 3 + cx 2 +bx + а = 0, а≠ 0, коефициенти a b c b a или

брадва 4 + bx 3 + cx 2 –bx + а = 0, а≠ 0, коефициенти a b c (–b) a

Защото х= 0 не е корен от уравнението, тогава е възможно да се разделят двете страни на уравнението с х 2, тогава получаваме :.

Извършвайки заместването, решаваме квадратното уравнение а(T 2 – 2) + bt + ° С = 0

Например, нека решим уравнението х 4 – 2х 3 – х 2 – 2х+ 1 = 0, разделяме двете страни на х 2 ,

, след подмяната получаваме уравнението T 2 – 2T – 3 = 0

- уравнението няма корени.

4) Уравнение от вида ( x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = Брадва 2, коефициенти ab = cd

Например, ( x + 2)(х +3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2. Умножавайки 1–4 и 2–3 скоби, получаваме ( х 2 + 14х+ 24)(х 2 +11х + 24) = 4х 2, разделяме двете страни на уравнението с х 2, получаваме:

Ние имаме ( T+ 14)(T + 11) = 4.

5) Хомогенно уравнение от степен 2 е уравнение от вида P (x, y) = 0, където P (x, y) е полином, всеки член на който има степен 2.

Отговор: -2; -0,5; 0

IV. Всички горни уравнения са разпознаваеми и типични, но какво ще кажете за уравнения с произволна форма?

Нека бъде даден полином Pн ( х) = ан х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 x + а 0, където а n ≠ 0

Помислете за метод за намаляване на степента на уравнение.

Известно е, че ако коефициентите аса цели числа и а n = 1, тогава целочислените корени на уравнението Pн ( х) = 0 са сред делителите на свободния термин а 0. Например, х 4 + 2х 3 – 2х 2 – 6х+ 5 = 0, делителите на числото 5 са ​​числата 5; -5; 1; -1. Тогава P 4 (1) = 0, т.е. х= 1 е коренът на уравнението. Нека намалим степента на уравнението P 4 (х) = 0, като разделим полинома на множителя x –1, получаваме

P 4 (х) = (х – 1)(х 3 + 3х 2 + х – 5).

По същия начин, P 3 (1) = 0, тогава P 4 (х) = (х – 1)(х – 1)(х 2 + 4х+5), т.е. уравнението P 4 (x) = 0 има корени х 1 = х 2 = 1. Нека покажем по -кратко решение на това уравнение (използвайки схемата на Хорнер).

означава, х 1 = 1 означава х 2 = 1.

Така, ( х– 1) 2 (х 2 + 4х + 5) = 0

Какво направихме? Намалена степента на уравнението.

V. Помислете за симетрични уравнения на 3 и 5 градуса.

а) брадва 3 + bx 2 + bx + а= 0, очевидно х= –1 корен на уравнението, след това намалете степента на уравнението до две.

б) брадва 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + а= 0, очевидно х= –1 корен на уравнението, след това намалете степента на уравнението до две.

Например, нека покажем решението на уравнение 2 х 5 + 3х 4 – 5х 3 – 5х 2 + 3х + = 0

х = –1

Получаваме ( х – 1) 2 (х + 1)(2х 2 + 5х+ 2) = 0. Следователно корените на уравнението: 1; 1; -1; –2; –0,5.

Ви. Ето списък на различни уравнения за решаване в класната стая и у дома.

Каня читателя да реши уравнения 1-7 за себе си и да получи отговорите ...