§едно. Комплексни числа

1°. Определение. Алгебрична нотация.

Определение 1. Комплексни числанаречени подредени двойки реални числа И , ако за тях е дефинирана концепцията за равенство, операциите събиране и умножение, които отговарят на следните аксиоми:

1) Две числа
И
равно, ако и само ако
,
, т.е.

 , .

2) Сборът от комплексни числа
И

и равни
, т.е.

+ = .

3) Произведение на комплексни числа
И
номерът е извикан
и равно на , т.е.

∙=.

Означава се множеството от комплексни числа ° С.

Формули (2), (3) за числа от вида
вземете формата

откъдето следва, че операциите събиране и умножение за числа от вида
съвпадат със събиране и умножение за реални числа  комплексно число от формата
се идентифицира с реално число .

Комплексно число
Наречен въображаема единицаи означени , т.е.
Тогава от (3) 

От (2), (3)  което означава

Извиква се израз (4). алгебрична нотациякомплексно число.

В алгебрична форма операциите събиране и умножение приемат формата:

Комплексното число е обозначено
, - истинската част, е въображаемата част, е чисто въображаемо число. Обозначаване:
,
.

Определение 2. Комплексно число
Наречен конюгиранис комплексно число
.

Свойства на комплексното спрежение.

1)

2)
.

3) Ако
, тогава
.

4)
.

5)
е реално число.

Доказателството се извършва чрез директно изчисление.

Определение 3. номер
Наречен модулкомплексно число
и означени
.

Очевидно е, че
, и


. Формулите също са очевидни:
И
.

2°. Свойства на операциите за събиране и умножение.

1) Комутативност:
,
.

2) Асоциативност:,
.

3) Дистрибутивност: .

Доказателството 1) - 3) се извършва чрез директни изчисления, базирани на подобни свойства за реални числа.

4)
,
.

5) , ° С ! , удовлетворяващо уравнението
. Такава

6) ,° С, 0, ! :
. Такава се намира чрез умножение на уравнението по



.

Пример. Представете си комплексно число
в алгебрична форма. За да направите това, умножете числителя и знаменателя на дроба по конюгата на знаменателя. Ние имаме:

3°. Геометрична интерпретация на комплексни числа. Тригонометрична и експоненциална форма на записване на комплексно число.

Нека на равнината е дадена правоъгълна координатна система. Тогава
° Сможе да се свърже точка от равнината с координати
.(виж фиг. 1). Очевидно е, че такава кореспонденция е едно към едно. В този случай реалните числа лежат на оста на абсцисата, а чисто въображаемите числа лежат на оста на ординатите. Следователно оста на абсцисата се нарича реална оси оста y − въображаема ос. Нарича се равнината, на която лежат комплексните числа сложна равнина.

Отбележи, че И
са симетрични по отношение на произхода и И са симетрични по отношение на Ox.

Всяко комплексно число (т.е. всяка точка от равнината) може да бъде свързано с вектор с начало в точка O и край в точката
. Съответствието между векторите и комплексните числа е едно към едно. Следователно, векторът, съответстващ на комплексното число , обозначена със същата буква

д векторна линия
съответстващо на комплексното число
, е равно на
, и
,
.

Използвайки векторната интерпретация, може да се види, че векторът
− сума от вектори И , но
− сума от вектори И
.(виж фиг. 2). Следователно следните неравенства са верни:

Заедно с дължината вектор въвеждаме ъгъла между вектор и оста Ox, броена от положителната посока на оста Ox: ако броенето е обратно на часовниковата стрелка, тогава знакът на ъгъла се счита за положителен, ако по посока на часовниковата стрелка, тогава отрицателен. Този ъгъл се нарича аргумент за комплексно числои означени
. инжекция не се дефинира еднозначно, но с точност
… За
аргументът не е дефиниран.

Формули (6) определят т.нар тригонометрична нотациякомплексно число.

От (5) следва, че ако
И
тогава

, .

От (5)
какво от И Комплексното число е еднозначно дефинирано. Обратното не е вярно: а именно по комплексното число неговия модул е уникален, а аргументът , поради (7), − с точност
. От (7) следва също, че аргументът може да се намери като решение на уравнението

Въпреки това, не всички решения на това уравнение са решения на (7).

Сред всички стойности на аргумента на комплексно число се избира една, която се нарича основна стойност на аргумента и се обозначава
. Обикновено основната стойност на аргумента се избира или в интервала
, или в интервала

В тригонометрична форма е удобно да се извършват операции за умножение и деление.

Теорема 1.Модул на произведението на комплексните числа И е равно на произведението на модулите, а аргументът е равен на сбора от аргументите, т.е.

, но .

по същия начин

,

Доказателство.Нека бъде , . Тогава чрез директно умножение получаваме:

по същия начин

.■

Последица(Формула на Де Моавр). За
Формулата на Moivre е валидна

П пример. Нека намерим геометричното местоположение на точката
. От теорема 1 следва, че .

Следователно, за да го конструирате, първо трябва да построите точка , което е обратното около единичната окръжност и след това намерете точка, симетрична на нея около оста x.

Нека бъде
, т.е.
Комплексно число
обозначено
, т.е. Рформулата на Ойлер е валидна

Защото
, тогава
,
. От теорема 1
какво да кажем за функцията
възможно е да се работи както с обикновена експоненциална функция, т.е. равенствата са верни

,
,
.

От (8)
експоненциална нотациякомплексно число

, където
,

Пример. .

4°. корени степен на комплексно число.

Помислете за уравнението

, ОТ , н .

Нека бъде
, а решението на уравнение (9) се търси във вида
. Тогава (9) приема формата
, откъдето намираме това
,
, т.е.

,
,
.

Следователно, уравнение (9) има корени

, .

Нека покажем, че сред (10) има точно различни корени. Наистина ли,

са различни, защото техните аргументи са различни и се различават по-малко от
. освен това,
, защото
. по същия начин
.

По този начин, уравнение (9) за
има точно корени
разположени във върховете на редовно -ъгълник, вписан в кръг с радиус с център T.O.

Така е доказано

Теорема 2.извличане на корен степен на комплексно число
винаги е възможно. Всички коренни стойности та степен на разположен в горната част на правилния -ъгълник, вписан в окръжност с център нула и радиус
. при което,

Последица.корени -та степен на 1 се изразяват с формулата

.

Произведението на два корена от 1 е корен, 1 е корен -та степен от единство, корен
:
.

Комплексни числа. История на откритията

Освен това и дори против волята на този или онзи математик, въображаемите числа се появяват отново и отново в изчисленията и едва постепенно, когато се открие полезността от тяхното използване, те стават все по-широко разпространени.

Ф. Клайн

Древногръцките математици са считали за „реални“ само естествени числа. Постепенно се оформи концепцията за безкрайността на множеството от естествени числа.

През 3-ти век Архимед разработи система за обозначение до такава огромна като

. Наред с естествените числа са използвани дроби - числа, съставени от цял ​​брой дроби от единица. В практическите изчисления дробите са били използвани в продължение на две хиляди години преди новата ера. д. в древен Египети древен Вавилон. Дълго време се смяташе, че резултатът от измерването винаги се изразява или като естествено число, или като съотношение на такива числа, тоест като дроб. Древногръцкият философ и математик Питагор учи, че „... елементите на числата са елементите на всички неща, а целият свят като цяло е хармония и число“. Най-големият удар на този възглед е нанесен от откритие, направено от един от питагорейците. Той доказа, че диагоналът на квадрат е несъизмерим със страната му. От това следва, че естествените числа и дробите не са достатъчни за изразяване на дължината на диагонала на квадрат със страна 1. Има основание да се твърди, че именно с това откритие започва ерата на теоретичната математика: да се открие съществуването на несъизмерими количества с помощта на опита, без да се прибягва до абстрактни разсъждения, беше невъзможно.

Следващата важна стъпка в развитието на концепцията за числото е въвеждането на отрицателни числа - това е направено от китайските математици два века пр.н.е. д. Отрицателните числа са били използвани през 3-ти век от древногръцкия математик Диофант, който вече е знаел правилата за действие върху тях, а през 7-ми век тези числа вече са били подробно проучени от индийски учени, които сравняват такива числа с дълга. С помощта на отрицателни числа беше възможно да се опишат промените в количествата по единен начин. Още през 8 век е установено, че квадратният корен от положително число има две значения - положително и отрицателно, а квадратният корен не може да бъде извлечен от отрицателни числа: такова число няма

, да се .

През 16 век, във връзка с изучаването на кубичните уравнения, се оказва необходимо да се извлекат квадратни корени от отрицателни числа. Във формулата за решаване на кубични уравнения от вида

куб и квадратен корен: .

Тази формула работи безупречно, когато уравнението има един реален корен (

) и ако има три реални корена ( ), тогава под знака квадратен корен се появи отрицателно число. Оказа се, че пътят към тези корени води през невъзможната операция по извличане на корен квадратен от отрицателно число. След като уравненията от 4-та степен бяха решени, математиците усилено търсят формула за решаване на уравнението от 5-та степен. Но Руфини (Италия) в началото на 18-ти и 19-ти век доказа, че буквеното уравнение от пета степен не може да бъде решено алгебрично; по-точно, неговият корен не може да бъде изразен чрез буквалните стойности a, b, c, d, e с помощта на шест алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване, извличане на корен).

През 1830 г. Галоа (Франция) доказва, че не общо уравнение, чиято степен е по-голяма от 4, не могат да бъдат решени алгебрично. Въпреки това, всяко уравнение n-та степенима (ако разгледаме комплексните числа) n корени (сред които може да има равни). Математиците са убедени в това още през 17-ти век (въз основа на анализа на множество специални случаи), но едва на границата на 18-ти и 19-ти век е доказана горната теорема от Гаус.

Италианският алгебраист Г. Кардано през 1545 г. предлага въвеждане на числа от нов характер. Той показа, че система от уравнения, която няма решения в набора от реални числа, има решения от вида

, , ние трябва само да се съгласим да действаме върху такива изрази според правилата на обикновената алгебра и да приемем, че . Кардано нарече такива количества " чисто отрицателен" и дори " софистично отрицателен", смятали ги за безполезни и се опитвали да не ги използват. Всъщност с помощта на такива числа е невъзможно да се изрази нито резултатът от измерването на каквато и да е величина, нито промяната в някое количество. Но още през 1572 г. книга от Публикуван е италианският алгебраист Р. Бомбели, в който установява първите правила за аритметични операции с такива числа, до извличането на корени от кубичен цвят. въображаеми числа„Въведено през 1637 г. от френския математик и философ Р. Декарт, а през 1777 г., един от най-големите математици на 18-ти век, Л. Ойлер, предлага да се използва първата буква на френската дума имагинер(въображаема) за означаване на число (въображаема единица). Този символ влезе в обща употреба благодарение на К. Гаус. Терминът " комплексни числа“ също е въведена от Гаус през 1831 г. Думата комплекс (от лат комплекс) означава връзка, комбинация, съвкупност от понятия, предмети, явления и др., образуващи единно цяло.

През 17-ти век продължават дискусиите за аритметичната природа на въображаемите числа, възможността да им се даде геометрична обосновка.

Постепенно се развива техниката на операциите върху въображаеми числа. В началото на 17-ти и 18-ти век е изградена обща теория за корените от n-та степен, първо от отрицателни, а след това от всякакви комплексни числа, въз основа на следната формула на английския математик А. Де Муавр (1707 г.) :

. Използвайки тази формула, също беше възможно да се изведат формули за косинусите и синусите на множество дъги. Л. Ойлер извежда през 1748 г. прекрасна формула: която свързва експоненциалната функция с тригонометричната. С помощта на формулата на Л. Ойлер беше възможно да се повиши числото e до всяка комплексна степен. Любопитно е например, че . Можете да намерите sin и cos от комплексни числа, да изчислите логаритмите на такива числа, тоест да изградите теория на функциите на комплексна променлива.

В края на 18 век френският математик Ж. Лагранж успява да каже, че въображаемите величини вече не усложняват математическия анализ. С помощта на въображаеми числа те се научиха да изразяват решения на линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Такива уравнения се срещат например в теорията на трептенията на материална точка в съпротивителна среда. Още по-рано швейцарският математик Дж. Бернули използва комплексни числа за решаване на интеграли.

Въпреки че през 18-ти век много проблеми се решават с помощта на комплексни числа, включително приложни проблеми, свързани с картографията, хидродинамиката и т.н., все още няма строга обосновка за теорията на тези числа. Ето защо френският учен П. Лаплас смята, че резултатите, получени с помощта на въображаеми числа, са само насоки, придобиващи характера на реални истини само след потвърждение от преки доказателства.

„Никой не се съмнява в точността на резултатите, получени при изчисления с въображаеми количества, въпреки че те са само алгебрични формийероглифи на абсурдни величини“, пише Л. Карно.

В края на 18 век, в началото на XIXвек се получава геометрична интерпретация на комплексни числа. Датчанинът K. Wessel, французинът J. Argan и германецът K. Gauss независимо предложиха да представят комплексното число

точка в координатната равнина. По-късно се оказа, че е още по-удобно числото да се представя не чрез самата точка. М,и вектор

Припомням си необходимата информацияотносно комплексните числа.

Комплексно числое израз на формата а + би, където а, бса реални числа и и- т.нар въображаема единица, символът, чийто квадрат е -1, т.е. и 2 = -1. номер аНаречен реална част, и числото б - въображаема часткомплексно число z = а + би. Ако б= 0, тогава вместо а + 0ипиши просто а. Може да се види, че реалните числа са частен случай на комплексни числа.

Аритметичните операции върху комплексните числа са същите като над реалните: те могат да се събират, изваждат, умножават и делят един от друг. Събирането и изваждането протичат по правилото ( а + би) ± ( ° С + ди) = (а ± ° С) + (б ± д)и, а умножението - според правилото ( а + би) · ( ° С + ди) = (ac – бд) + (реклама + пр. н. е)и(тук просто се използва това и 2 = -1). Число = а – биНаречен комплексен конюгатда се z = а + би. Равенство z · = а 2 + б 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (не-нула) комплексно число:

(Например, .)

Комплексните числа имат удобно и визуално геометрично представяне: числото z = а + биможе да бъде представен като вектор с координати ( а; б) на декартовата равнина (или, което е почти същото, точка - края на вектора с тези координати). В този случай сборът от две комплексни числа се изобразява като сбор от съответните вектори (които могат да бъдат намерени чрез правилото на паралелограма). По теоремата на Питагор дължината на вектора с координати ( а; б) е равно на . Тази стойност се нарича модулкомплексно число z = а + бии се обозначава с | z|. Ъгълът, който този вектор прави с положителната посока на оста x (отброена обратно на часовниковата стрелка), се нарича аргументкомплексно число zи се означава с Arg z. Аргументът не е еднозначно дефиниран, а само до добавянето на кратно на 2 π радиани (или 360°, ако се брои в градуси) - все пак е ясно, че завъртането под такъв ъгъл около началото няма да промени вектора. Но ако векторът на дължината rобразува ъгъл φ с положителната посока на оста x, тогава нейните координати са равни на ( r cos φ ; rгрях φ ). Следователно се оказва тригонометрична нотациякомплексно число: z = |z| (cos(Arg z) + игрях (Arg z)). Често е удобно да се записват комплексни числа в тази форма, тъй като това значително опростява изчисленията. Умножението на комплексни числа в тригонометрична форма изглежда много просто: zедин · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+арг z 2) + игрях (Arg z 1+арг z 2)) (при умножаване на две комплексни числа техните модули се умножават и аргументите се събират). От тук следват Формули на Де Моавър: z n = |z|н(cos( н(Арг z)) + игрях( н(Арг z))). С помощта на тези формули е лесно да се научите как да извличате корени от всяка степен от комплексни числа. Корен n-тиградуса от число zе толкова сложно число w, Какво w n = z. Това е ясно , И къде кможе да вземе произволна стойност от набора (0, 1, ..., н- едно). Това означава, че винаги има точно нкорени нстепен от комплексно число (на равнината те са разположени във върховете на редовно н-гон).

Ако трябва да назовете разстоянието между два града, тогава можете да дадете едно число в мили, километри или други единици за линейно разстояние. Ако обаче трябва да опишете как да стигнете от един град до друг, тогава трябва да дадете повече информация, отколкото просто разстоянието между две точки на картата. В този случай си струва да се каже за посоката, в която трябва да се движите и за.

Видът информация, който изразява едномерно измерение, се нарича скаларна величина в науката. Скаларите са числа, използвани в повечето математически изчисления. Например масата и скоростта, които притежава даден обект, са скаларни величини.

За да анализираме успешно природните явления, трябва да работим с абстрактни обекти и методи, способни да представят многоизмерни величини. Тук е необходимо да се изоставят скаларните числа в полза на сложните. Те позволяват едновременното изразяване на две измерения.

Комплексните числа са по-лесни за разбиране, когато са представени графично. Ако линията има определена дължина и посока, тогава това ще бъде графично представяне. Той също така е известен като вектор.

Разлики между комплексни и скаларни величини

Такива видове числа като цели числа, рационални и реални числа са познати на децата от училище. Всички те имат едноизмерност. Правостта на числовата линия илюстрира това графично. Можете да се движите нагоре или надолу по него, но всички "движения" по тази линия ще бъдат ограничени до хоризонталната ос. Едномерните скаларни числа са достатъчни за преброяване на броя на елементите, изразяване на теглото или измерване на постояннотоковото напрежение на батерията. Но те не могат да означават нещо по-сложно. Скаларите не могат едновременно да изразяват разстоянието и посоката между два града или амплитудата с фаза. Необходимо е тези типове числа да се представят вече под формата на многоизмерен диапазон от стойности. С други думи, имаме нужда от векторни количества, които могат да имат не само величина, но и посока на разпространение.

Заключение

Скаларното число е вид математически обект, в който хората са свикнали да използват Ежедневиетое температура, дължина, тегло и т.н. Комплексното число е стойност, която включва два типа данни.

Векторът е графично представяне на комплексно число. Изглежда като стрелка с начална точка и определена дължина и посока. Понякога думата "вектор" се използва в радиотехниката, където изразява фазовото изместване между сигналите.

ТемаКомплексни числа и полиноми

Лекция 22

§едно. Комплексни числа: основни определения

символ въведете съотношението
и се нарича въображаема единица. С други думи,
.

Определение. Изразяване на формата
, където
, се нарича комплексно число, а числото наречена реална част от комплексно число и обозначават
, номер - въображаема част и обозначават
.

От това определение следва, че реалните числа са онези комплексни числа, чиято имагинерна част е равна на нула.

Удобно е комплексните числа да се представят като точки от равнина, върху която е дадена декартова правоъгълна координатна система, а именно: комплексно число
мач точка
и обратно. на ос
се показват реални числа и се нарича реална ос. Комплексни числа на формата

се наричат ​​чисто въображаеми. Те са показани като точки по оста.
, което се нарича въображаема ос. Тази равнина, която служи за представяне на комплексни числа, се нарича комплексна равнина. Комплексно число, което не е реално, т.е. такъв, че
, понякога наричан въображаем.

За две комплексни числа се казва, че са равни, ако и само ако имат еднакви реални и въображаеми части.

Събиране, изваждане и умножение на комплексни числа се извършват съгласно обичайните правила на полиномната алгебра, като се отчита фактът, че

. Операцията на деление може да се дефинира като обратна на операцията умножение и може да се докаже уникалността на резултата (ако делителят е различен от нула). На практика обаче се използва различен подход.

Комплексни числа
И
се наричат ​​спрегнати, на комплексната равнина те са представени от точки, симетрични спрямо реалната ос. Очевидно е, че:

1)

;

2)
;

3)
.

Сега разделете на може да се направи по следния начин:

.

Не е трудно да се покаже това

,

къде символ означава всяка аритметична операция.

Нека бъде
някакво въображаемо число и е реална променлива. Произведение на два бинома

е квадратен трином с реални коефициенти.

Сега, като разполагаме с комплексни числа, можем да решим всяко квадратно уравнение
.Ако , тогава

и уравнението има два комплексно спрегнати корена

.

Ако
, тогава уравнението има два различни реални корена. Ако
, то уравнението има два еднакви корена.

§2. Тригонометрична форма на комплексно число

Както бе споменато по-горе, комплексното число
удобно за представяне с точка
. Човек може също да идентифицира такова число с радиус вектора на тази точка
. При тази интерпретация събирането и изваждането на комплексни числа се извършва по правилата за събиране и изваждане на вектори. За умножение и деление на комплексни числа друга форма е по-удобна.

Въвеждаме в сложната равнина
полярна координатна система. Тогава къде
,
и комплексно число
може да се запише като:

Тази форма на нотация се нарича тригонометрична (за разлика от алгебричната форма
). В тази форма числото се нарича модул и - аргумент за комплексно число . Те са маркирани:
,

. За модула имаме формулата

Аргументът число се дефинира двусмислено, но до термин
,
. Стойността на аргумента, който удовлетворява неравенствата
, се нарича главен и се обозначава
. Тогава,
. За основната стойност на аргумента можете да получите следните изрази:

,

числов аргумент
се счита за недефиниран.

Условието за равенство на две комплексни числа в тригонометрична форма има формата: модулите на числата са равни, а аргументите се различават с кратно
.

Намерете произведението на две комплексни числа в тригонометрична форма:

Така че, когато се умножават числата, техните модули се умножават, а аргументите се добавят.

По същия начин може да се установи, че при деление модулите на числата се разделят, а аргументите се изваждат.

Разбирайки степенуването като множествено умножение, можем да получим формулата за вдигане на комплексно число в степен:

Извеждаме формула за
- корен степен на комплексно число (да не се бърка с аритметичния корен на реално число!). Операцията за извличане на корен е обратна на операцията за степенуване. Ето защо
е комплексно число такъв, че
.

Нека бъде
известно, и
изисква да бъде намерен. Тогава

От равенството на две комплексни числа в тригонометрична форма следва, че

,
,
.

Оттук
(това е аритметичен корен!),

,
.

Лесно е да се провери това може само да приеме по същество различни стойности, например когато
. Накрая имаме формулата:

,
.

Така че коренът та степен от комплексно число има различни стойности. В комплексната равнина тези стойности са разположени във върховете правилно -ъгълник, вписан в кръг с радиус
центрирано в началото. „Първият“ корен има аргумент
, аргументите на два „съседни“ корена се различават по
.

Пример. Нека вземем кубичния корен на въображаемата единица:
,
,
. Тогава:

,